精炼贝叶斯均衡例题

合集下载

贝叶斯公式经典例题讲解

贝叶斯公式经典例题讲解
《贝叶斯公式经典例题讲解》
贝叶斯公式是一种概率公式，它可以在条件概率中派上用场。

贝叶斯公式可以用来计算在已知事实的情况下，某个事件发生的可能性。

一、贝叶斯公式
贝叶斯公式可以表示为：P（A|B）= P（B|A）* P（A）/ P（B）其中，P（A|B）是条件概率，即事件A在B已发生的情况下发生的概率；P（B|A）是反条件概率，表示事件B在A已发生的情况下发生的概率；P（A）表示事件A发生的概率；P（B）表示事件B发生的概率。

二、经典例题讲解
以下是贝叶斯公式的一个典型例题：
假设在一个学校中，有1000名学生，其中90％的学生爱看书，80％的学生爱看电视，另外有30％的学生同时喜欢看书和看电视。

现在随机抽取一名学生，问这位学生是否同时喜欢看书和看电视？
解：P（同时喜欢看书和看电视|随机抽取一名学生）= P（随机
抽取一名学生|同时喜欢看书和看电视）* P（同时喜欢看书和看电视）/ P（随机抽取一名学生）
= 0.3*0.3/1
=0.09
因此，这位学生同时喜欢看书和看电视的概率为0.09。

- 1 -。

不完全信息库洛特模型中,贝叶斯均衡例题

不完全信息库洛特模型中,贝叶斯均衡例题在不完全信息库洛特模型中，贝叶斯均衡是指每个玩家根据自己拥有的信息和对其他玩家的判断，做出的最优策略选择。

下面是一个贝叶斯均衡的例题及解析：假设有两名玩家A和B参与一个拍卖活动，拍卖品的真实价值为100元。

玩家A对拍卖品的价值有两种可能性，要么为50元，要么为150元，每种可能性的概率均为0.5。

玩家B对拍卖品的价值没有信息，他只知道拍卖品的真实价值是50元或150元的概率各为0.5。

现在，A选择一个报价x，B选择一个报价y，拍卖规则为：如果x > y，则A以x的价格购买拍卖品；如果x ≤y，则A不购买。

解析：首先，我们需要计算A在不同情况下的最优策略。

当A的价值为50元时，他会选择一个报价x来使得他的期望收益最大化。

假设A 选择报价x1，那么他购买拍卖品的期望收益为：E1 = 0.5 * (100 - x1) + 0.5 * 0 = 50 - 0.5x1。

同样地，当A的价值为150元时，他的期望收益为：E2 = 0.5 * (100 - x2) + 0.5 * 0 = 50 - 0.5x2。

玩家B在没有信息的情况下，他会选择一个报价y来使得他的期望收益最大化。

无论B的报价是多少，他购买拍卖品的期望收益都为：E3 = 0.5 * (150 - y) + 0.5 * (50 - y) = 100 - 0.5y。

现在我们来求解贝叶斯均衡。

在贝叶斯均衡下，每个玩家的报价都是最优的，即他们的期望收益都最大化。

对于玩家A，他会选择一个报价x使得E1和E2中的较大值最大化。

由于E1和E2都是关于x的线性函数，因此他会选择使E1和E2中的较大值等于50的x值。

也就是说，无论A的价值是50元还是150元，他都会选择报价50。

对于玩家B，他会选择一个报价y使得E3最大化。

由于E3是关于y的线性函数，因此他会选择y值使得E3的斜率等于0，也就是y=100。

因此，在这个不完全信息库洛特模型中，贝叶斯均衡下的最优策略是，玩家A选择报价50，玩家B选择报价100。

贝叶斯公式典型例题

贝叶斯公式典型例题
贝叶斯公式是一种计算条件概率的公式，常用于根据已知条件更新某个事件发生的概率。

下面是一个贝叶斯公式的典型例题：
例：假设有两种类型的围棋棋手，分别是专业棋手和业余棋手。

专业棋手在比赛中获胜的概率为0.9，而业余棋手获胜的概率为0.3。

已知在所有棋手中，专业棋手占70%，业余棋手占30%。

现在有一场比赛，我们只知道其中一位棋手获胜了，那么这位棋手是专业棋手的概率是多少？
解：首先，我们定义以下事件：
•A：棋手是专业的
•B：棋手获胜
根据题意，我们知道：
•P(A) = 0.7（专业棋手占比）
•P(¬A) = 0.3（业余棋手占比）
•P(B|A) = 0.9（专业棋手获胜的概率）
•P(B|¬A) = 0.3（业余棋手获胜的概率）
我们要找的是P(A|B)，即在已知棋手获胜的条件下，棋手是专业的概率。

根据贝叶斯公式，我们有：
P(A|B) = \frac{P(A) \times P(B|A)}{P(A) \times P(B|A) + P(¬A) \times P(B|¬A)}将已知的概率值代入公式中，我们得到：
P(A|B) = \frac{0.7 \times 0.9}{0.7 \times 0.9 + 0.3 \times 0.3} = \frac{0.63}{0.63
+ 0.09} = \frac{0.63}{0.72} = 0.875
所以，在已知棋手获胜的条件下，这位棋手是专业棋手的概率为0.875。

这个例题展示了贝叶斯公式在更新条件概率方面的应用。

通过已知的概率值和贝叶斯公式，我们可以计算出在给定条件下的未知概率。

贝叶斯推理例子

贝叶斯推理例子
1. 嘿，你想想看啊，比如说你去买彩票，你觉得中奖的概率有多大呢？这就可以用贝叶斯推理呀！你先根据以往的开奖情况大概估计一个基础概率，然后每次开奖后根据新的结果来调整你的概率判断，这多有意思啊！
2. 来，咱说个生活中的例子。

你判断今天会不会下雨，你会先根据天气预报和以往的经验来有个初步想法吧，但如果突然天空变得阴沉沉的，你不得赶紧调整你觉得下雨的概率呀，这就是贝叶斯推理在起作用呀，你说是不是？
3. 你知道怎么猜别人手里的牌吗？这也能用贝叶斯推理呢！看他的表情动作，先有个初步判断，然后随着每一轮出牌，不断更新你对他手里牌的估计，哎呀，多带劲啊！
4. 你想想，你找工作的时候，对拿到某个 offer 的概率判断不也是这样嘛！开始根据公司的要求和自己的情况有个想法，然后面试过程中根据各种表现来调整，这可真是贝叶斯推理的活用呀！
5. 就像你猜你喜欢的人对你有没有意思，一开始你有个感觉，然后通过他跟你的每次互动，你不就会调整那个可能性嘛，这就是贝叶斯推理呀，神奇吧！
6. 好比你玩猜数字游戏，你先乱猜一个，然后根据提示不断缩小范围，调整你的猜测，这不就是活脱脱的贝叶斯推理嘛，多好玩呀！
7. 哎呀，你看医生诊断病情也是这样的呀！根据症状先有个初步判断，然后做各种检查，根据检查结果不断改变对病情的推测，贝叶斯推理真的无处不在呢！
8. 再比如你预测一场比赛的结果，先有个大概想法，比赛过程中根据双方的表现来不断调整胜败的概率，这不是贝叶斯推理在帮忙嘛，多有用啊！总之，贝叶斯推理在我们生活中可太常见啦，好多事情都能靠它来让我们的判断更准确呢！。

贝叶斯博弈例子

贝叶斯博弈例子
以下是 8 条关于贝叶斯博弈例子：
1. 你想想在牌桌上呀，就像咱打牌的时候，你先根据对手前面出的牌来判断他手里大概有啥牌，这不就是贝叶斯博弈嘛！比如说你看到对手老是出小牌，那是不是大概率他手里大牌不多呀！
2. 去商场买东西砍价也有点这个感觉呢！你看商家报价，然后根据他的态度和表情猜测他的底线，这也是一种贝叶斯博弈嘞！要是他看起来很犹豫，那是不是代表咱还能往下砍砍价呀！
3. 在求职面试的时候呀，你得根据面试官的提问和反应来调整自己的回答策略，这难道不是贝叶斯博弈吗？好比面试官一直追问某个问题，那就得想着更深入地回答呀！
4. 学生时代考试猜答案也能算呢！当你不确定一个题目的答案时，根据以往对这类题目的了解去猜测，这不是贝叶斯博弈是啥呀！哎呀，要是以前做过类似的，那猜对的几率不就大多啦！
5. 谈恋爱的时候其实也有哦！你通过对方平时的言行举止来判断他的喜好和想法，这算不算是在进行贝叶斯博弈呢？比如说他总提到某个东西，那是不是表示他可能很喜欢呀！
6. 参加比赛的时候呀，观察对手的表现来调整自己的战术，这就是活生生的贝叶斯博弈呀！要是看到对手有个弱点，那不就得抓住机会嘛！
7. 玩游戏抢地盘的时候呢，根据其他玩家的行动来决定自己该怎么行动，不也是贝叶斯博弈嘛！他们都往左边去了，那右边是不是咱的机会就来了呀！
8. 去市场买菜的时候呀，看着菜的品质和价格，还有老板的态度，来决定要不要买，这就是一种贝叶斯博弈嘛！要是老板很热情，菜看着也不错，那咱肯定更愿意买啦！
我觉得贝叶斯博弈在我们生活中可太常见了，很多时候我们都在不知不觉中运用着它呢！。

不完全信息博弈求解方法

不完全信息博弈求解方法1. 嘿，大家想想看，贝叶斯法则不就是个超级厉害的办法嘛！就好像你去猜一个盒子里有啥，先根据经验猜一下，然后随着新信息的出现不断调整猜测，这多妙啊！比如玩猜数字游戏，一开始你可能瞎猜个 50，然后别人说大了，你不就赶紧调整范围往小了猜嘛！贝叶斯法则就是这样帮我们在不完全信息下越来越接近真相。

2. 还有呢，最大期望策略也是超有用的呀！这不就像你在走路，会选择那条看起来最有可能带你到目的地的路嘛！比如说你在商场找一家店，你会根据之前的经验和现在看到的指示牌，选择那个最有可能找到店的方向走，这就是最大期望策略在起作用呢！3. 哎呀呀，精炼贝叶斯均衡也是很关键的哦！就好像两个人跳舞，要配合得特别好才行！比如在谈判的时候，双方都要根据对方的表现和可能的反应来调整自己的策略，达到一种平衡，这就是精炼贝叶斯均衡的魔力呀！4. 大家别忘了信号传递呀！这就如同黑夜中的灯塔，给你指引方向呢！举个例子，公司面试时，候选人展示各种证书和经历，就是在给公司传递信号，让公司更好地了解自己呀！5. 那逆向归纳法也是不能小瞧的呢！就像是你倒着推理一个事情的过程。

好比下棋，你会想如果我走这一步，对方可能怎么回应，然后依次往前推，这不就是逆向归纳法嘛！6. 重复博弈也很有意思呀！是不是像和老朋友一次又一次的互动呀？就像你和邻居经常打交道，慢慢就知道对方的脾气和习惯了，然后根据这些来调整自己的行为，多有意思呀！7. 动态规划也得重视起来呀！这就好像你在规划一个漫长的旅程，一步一步地安排。

比如说在项目管理中，根据不同阶段的情况，合理安排资源和时间，不就是动态规划嘛！8. 信息甄别也超重要的啦！这就像在一堆石头里找宝石，得有方法去分辨呀！像在招聘中设置不同的考核环节，就是为了甄别出真正适合的人才呢！9. 最后呀，策略性行动可不能忽略哦！这就如同下棋时的布局，要有长远眼光呢！比如企业在市场上做出一些行动来影响竞争对手的判断，这就是策略性行动的威力呀！总之，这些不完全信息博弈求解方法都很有用，大家要好好掌握呀！。

纯策略贝叶斯纳什均衡例题

纯策略贝叶斯纳什均衡例题引言：纯策略贝叶斯纳什均衡是博弈论中常用的概念之一，它可以用于分析多方参与的决策问题。

本文将通过一个例题来解释纯策略贝叶斯纳什均衡的概念及应用。

例题背景：假设有两家咖啡店，分别是A店和B店。

每天早晨，两家咖啡店都需要决定自己的咖啡价格。

同时，消费者也需要决定去哪家咖啡店购买。

假设消费者根据市场情况作出购买决策。

A店和B店的利润与消费者选择有关。

情景一：A店设置较高的价格，B店设置较低的价格。

这种情况下，消费者更愿意选择购买B店的咖啡。

B店的利润将最大化，而A店的利润将最小化。

情景二：A店和B店都设置较低的价格。

这种情况下，消费者会更加倾向于选择购买A店的咖啡。

A店的利润将最大化，而B店的利润将最小化。

情景三：A店和B店都设置较高的价格。

这种情况下，消费者没有购买的动力，两家咖啡店的利润都会很低。

分析与求解：我们可以将上述情景转化为一个博弈论的模型，其中A店和B店是两个决策者，他们需要根据对方的策略来决定自己的策略。

消费者的选择将影响两家咖啡店的利润。

根据纯策略贝叶斯纳什均衡的概念，我们需要确定每个决策者的策略组合，以获得最优的结果。

在这个例题中，我们需要确定A店和B店的咖啡价格。

假设A店有80%的机会成为消费者的首选，B店有20%的机会。

根据这个信息，我们可以得到以下策略组合：情景一：A店设置高价格，B店设置低价格。

情景二：A店设置低价格，B店设置低价格。

情景三：A店设置高价格，B店设置高价格。

然后我们可以计算每种策略组合下两家咖啡店的利润，并找出使两家咖啡店利润最大化的策略组合。

结论：通过计算，我们可以得到以下结果：情景一：A店设置高价格，B店设置低价格。

这种情况下，A店的利润最大化，B店的利润最小化。

因此，纯策略贝叶斯纳什均衡的结果是，A店设置高价格，B店设置低价格时，两家咖啡店的利润最优化。

扩展思考：本例题中我们假设了A店有80%的机会成为消费者的首选，B店有20%的机会。

贝叶斯纳什均衡例题

贝叶斯纳什均衡例题
贝叶斯纳什均衡 (Bayesian Nash Equilibrium) 是一种非合作的博弈理论。

在贝叶斯纳什均衡中，每个参与者根据其他参与者的策略和历史数据，计算出自己在给定其他参与者的策略下的最大收益，并采取最优策略。

以下是一个贝叶斯纳什均衡的例题。

假设有三个人，分别是 A、B、C，他们玩一个猜拳游戏。

游戏规则如下:
1. A 和 B 随机猜拳，胜负概率均为 50%。

2. 如果 A 和 B 获胜，则 C 获胜的概率为 25%。

3. 如果 A 和 B 失败，则 C 获胜的概率为 75%。

现在问，谁是游戏的胜者，如果 A 和 B 采取随机策略，而 C 采取最优策略。

根据贝叶斯纳什均衡的定义，我们需要计算出每个参与者在给定其他参与者策略下的最优策略。

首先，对于 A 和 B，由于他们是随机的，所以可以采取任何策略，因此他们的最优策略是随机。

其次，对于 C，他需要计算出自己在 A 和 B 随机策略下的最大收益。

根据游戏规则，如果 A 和 B 随机，则 C 的最大收益为 25%。

因此，C 的最优策略是采取赢的概率为 25% 的拳法。

最后，由于 C 已经采取了最优策略，A 和 B 将不得不采取随机策略。

因此，游戏的胜者是 C。

需要注意的是，贝叶斯纳什均衡只适用于非合作的博弈理论。

在合作博弈中，参与者之间的策略选择需要基于信任和相互利益。

贝叶斯定理的三个例子

贝叶斯定理的三个例子《贝叶斯定理的三个例子：生活中的奇妙数学》嘿，大家好呀！今天咱来聊聊贝叶斯定理，听起来是不是很高深莫测？别急，我给你举三个接地气的例子，保证让你恍然大悟。

第一个例子，就拿咱出门带伞这事来说吧。

咱平常出门前会瞅瞅窗外，要是天阴沉沉的，咱就觉得大概率得下雨，然后就带上伞。

这其实就有点贝叶斯定理的影子啦！咱对天气的判断就是基于先验知识和当前的观察。

之前下雨的情况就是先验知识，今天这阴天的样子就是新的观察。

咱根据这些综合判断要不要带伞，就像贝叶斯定理在帮咱做决定一样。

再来说说第二个例子。

比如说你去看医生，医生说你可能得了一种罕见病。

这时候可别急着慌张啊！贝叶斯定理告诉你得全面考虑。

虽然这个病罕见，但医生的初步判断也不一定就是板上钉钉的事。

咱得结合自己的整体身体情况、家族病史这些额外的信息来重新评估这个患病的可能性。

也许最后发现只是虚惊一场呢，要是不懂贝叶斯定理，可能就被医生吓得不轻啦，哈哈。

这第三个例子呢，就像猜硬币正反。

你猜了好几次正面，然后你可能就觉得下一次还是正面的概率大。

但贝叶斯定理会告诉你，每次扔硬币都是独立的事件，不管之前是啥结果，下一次正反的概率还是各占一半。

就好像生活中有些事，不能因为之前总倒霉就觉得以后也一直倒霉，得客观地看待，别被之前的经历误导咯。

这贝叶斯定理就像是生活中的一个小秘密武器，能让我们更明智地做决策。

它告诉我们不要光看表面现象就瞎判断，得结合各种因素来综合考虑。

比如说找工作吧，不能光听人家说这工作好就盲目去了，得看看自己适不适合、公司前景咋样等等。

总之呢，贝叶斯定理虽然听起来高深，但在我们生活中无处不在。

学会用它，就能让我们少走些弯路，更清楚地看待问题。

所以呀，以后遇到事别慌张，用贝叶斯定理的思维想想，说不定就能找到更好的解决办法啦！怎么样，是不是觉得挺有意思？下次我们再碰到类似的情况，就可以试着用这个神奇的定理来思考哦。

4.1精炼贝叶斯均衡概述(6.1)

如果2的战略为A’，则要求4对3 的推断也没有任何限制。如果2的战略是以Q1的概率选择 L,Q2的概率选择R，1-Q1-Q2的概率选A',(Q1+Q2>0), 这时，要求4就限定了3的推断： p=Q1/(Q1+Q2)。
=
4.1精炼贝叶斯均衡概述

精炼贝叶斯均衡与其他均衡的关系精炼贝叶斯均衡的优点
5
4.1精炼贝叶斯均衡概述
在图4.1.1中，要求1意味着如果博弈的进行达到参与者2的非单节信息集，则参与者2必须对具体达到哪一个节有一个推断。这样的推断就表示为到达两个节的概率p和1-p，见图4.1.3。
6
4.1精炼贝叶斯均衡概述
给定参与者2的推断，选择R’的期望收益就等于p*0+(1-p)*1=1-p，而选择L’的期望收益等于p*1+(1-p)*2=2-p 。由于对任意的p，都有2p>1-p，要求2就排除了2选择R’的可能性，从而，在本例中简单要求每一参与者持有一个推断，并且在此推断下选择最优行动，就足以使我们排除不合理的均衡（R，R’）。
3,33,3
1,2
1,1
在这个子博弈中，存在唯一的纳什均衡（L,R'）,因此整个博弈唯一
的子博弈精炼纳什均衡为（D,L,R’）。
这一组战略和推断p=1，同时满足了要求1-4，因此，构成了一个精炼贝叶斯均衡。
4.1精炼贝叶斯均衡概述
下面考虑纳什均衡战略（A,L,L'）和推断P=0。根据给定的战略(A,L,L')，到达不了3的信息集。因此，按照要求1-3，并没有对3 的推断进行限制。
4.1精炼贝叶斯均衡概述
1
4.1精炼贝叶斯均衡概述
考虑如下完全非完美信息动态博弈

几个博弈案例

几个博弈案例1.囚徒困境警察抓住了两个罪犯，但是警察局却缺乏足够的证据指证他们所犯的罪行。

如果罪犯中至少有一人供认犯罪，就能确认罪名成立。

为了得到所需的口供，警察将这两名罪犯分别关押防止他们串供或结成攻守同盟，并分别跟他们讲清了他们的处境与面临的选择：如果他们两人都拒不认罪，则他们会被以较轻的妨碍公务罪各判一年徒刑；如果两人中有一人坦白认罪，则坦白者立即释放而另一人将重判10年徒刑；果两人都坦白认罪，则他们将被各判8年监禁。

问：两个罪犯会如何选择（坦白还是抵赖）？2.智猪博弈（占优战略均衡）猪圈里有一头大猪，一头小猪。

猪圈的边缘有个踏板，每踩一下，远离踏板的投食口就会落下少量食物。

如果是小猪踩踏板，大猪会在小猪跑到食槽之前吃光所有食物；若是大猪踩踏板，则小猪还有机会吃到一点残羹冷炙，因为小猪食量小嘛。

那么，两头猪会采取什么策略呢？答案是：小猪将安安心心地等在食槽边，而大猪则不知疲倦地奔忙于踏板与食槽之间。

办公室里也会出现这样的场景：有人做“小猪”，舒舒服服地躲起来偷懒；有人做“大猪”，疲于奔命，吃力不讨好。

但不管怎么样，“小猪”笃定一件事：大家是一个团队，就是有责罚，也是落在团队身上，所以总会有“大猪”悲壮地跳出来完成任务。

想一想，你在办公室里扮演的角色，是“大猪”，还是“小猪”？(其实小猪的决策是明智的，想想同一个公司，小股东与大股东的行为。

)3.性别之争（多重纳什均衡）“有一对夫妻，丈夫喜欢看足球赛节目，妻子喜欢看肥皂剧节目，但是家里只有一台电视，于是就产生了争夺频道的矛盾。

假设双方都同意看足球赛，则丈夫可得到2单位效用，妻子得到一单位效用；如果都同意看肥皂剧，则丈夫可得到1单位效用，妻子得到2单位效用；如果双方意见不一致，结果只好大家都不看，各自只能得到0单位效用。

这个博弈的策略式表达如下：丈夫\妻子足球赛肥皂剧足球赛(2，1 ) (0，0)肥皂剧(0，0) (1，2)可以用画线法求解该博弈的纳什均衡，均衡结果是(足球赛，足球赛)与(肥皂剧，肥皂剧)。

贝叶斯纳什均衡例题假设有两家企业

贝叶斯纳什均衡例题假设有两家企业摘要：1.贝叶斯纳什均衡的概述2.贝叶斯纳什均衡的例题：两家企业的博弈3.贝叶斯纳什均衡的应用范围正文：一、贝叶斯纳什均衡的概述贝叶斯纳什均衡（Bayesian Nash Equilibrium）是一种博弈论中的概念，指的是在给定自己的特征和其他局中人特征的概率分布的情况下，每个局中人选择策略使自己的期望支付达到最大化，也就是说，没有人有积极性选择其他策略。

在这种均衡状态下，每个参与者都认为自己的选择是最佳的，因为其他参与者也作出了相同的选择。

二、贝叶斯纳什均衡的例题：两家企业的博弈假设有两家企业A 和B，它们分别面临市场进入与否的决策。

企业A 可以选择进入或不进入市场，企业B 也可以选择进入或不进入市场。

两个企业的收益取决于它们各自的决策以及对方企业的决策。

如果企业A 进入市场，企业B 选择阻挠的概率为x，此时企业A 的收益为-10；如果企业A 进入市场，企业B 不阻挠的概率为1-x，此时企业A 的收益为40。

同样，如果企业B 进入市场，企业A 选择阻挠的收益为-10，企业B 不阻挠的收益为40。

在这个博弈过程中，企业A 和企业B 都希望最大化自己的收益。

因此，它们需要根据对方的决策来选择自己的最优策略。

在贝叶斯纳什均衡状态下，企业A 和企业B 都选择了能使自己收益最大化的策略，此时没有人有积极性选择其他策略。

三、贝叶斯纳什均衡的应用范围贝叶斯纳什均衡是一种理论分析工具，它可以帮助我们在不确定性条件下，预测和分析各个参与者的决策行为。

在实际应用中，贝叶斯纳什均衡可以用于解决许多经济、社会和政治领域的问题，例如价格博弈、专利竞争、国际贸易等。

贝叶斯精炼纳什均衡解经典例题和解答

贝叶斯精炼纳什均衡解经典例题和解答贝叶斯精炼纳什均衡（Bayesian refinement of Nash equilibrium）是博弈论中的一个概念，它结合了贝叶斯理论和纳什均衡的概念，用于描述在不完全信息博弈中玩家对其他玩家类型的不确定性。

这里我将为你提供一个经典的例题，并给出相应的解答。

考虑一个简化的拍卖场景，有两个潜在的买家：买家A和买家B。

拍卖的物品是一幅画，卖家想以尽可能高的价格卖出这幅画。

买家A和买家B对这幅画的估值分别服从正态分布，其均值和标准差如下：买家A的估值：均值为100，标准差为20买家B的估值：均值为120，标准差为15拍卖的规则如下：卖家首先设定一个底价p（reserve price），然后买家A和买家B分别出价。

如果买家A的出价高于底价p，并且买家B的出价也高于底价p，那么拍卖的赢家是出价最高的买家，并且他们需要支付自己的出价。

如果只有一个买家的出价高于底价p，那么这个买家获胜，并以底价p购买这幅画。

如果两个买家都没有出价高于底价p，那么拍卖失败，画作不会被卖出。

现在我们来解答这个问题：1. 假设卖家设定底价p为90，请计算在这个底价下，买家A和买家B的最优出价以及对应的期望收益。

为了计算买家A和买家B的最优出价，我们可以使用贝叶斯精炼纳什均衡的概念。

在这个场景中，买家A和买家B都面临不完全信息，即对方的估值是未知的。

我们需要通过贝叶斯理论来计算每个买家对对方估值的后验概率分布，然后根据这些概率分布来确定最优出价。

买家A的后验概率分布可以通过贝叶斯定理计算得到：P(v_A|p) = P(p|v_A) * P(v_A) / P(p)其中，v_A表示买家A对画作的估值，P(v_A)表示买家A对估值的先验概率分布（正态分布），P(p|v_A)表示在买家A估值为v_A的情况下，底价p被设定的概率，P(p)表示底价被设定为p的概率。

根据题目中给出的信息，买家A的估值服从均值为100，标准差为20的正态分布，我们可以计算P(v_A)。

精炼贝叶斯Nash均衡的精炼

(即假设参与人1将战略B剔除的情况下)，M却是参与人2在信息集I2({x1})的严格劣战略。
2021/9/10
13
信息集的严格劣战略:
• 考虑轮到参与人行动的一个信息集。战略si*为始于这一信息集的严格劣战略，如果存在另一个战略si使得对i在给定信息集可能持有的每一推断，并且对每一其他参与人后续战略可能的组合，i在给定信息集根据si选择行动并在其后根据si选择后续战略得到的收益，严格大于根据si*选择行动和后续战略得到的收益。
2021/9/10
11
例如:
1
B
1,2
2
A
R
L MR
2
L
x1
M
3,3 A, A 2,4 1,2 3,3 A, B 0,2 2,2 3,3
[ p]
1
[1 p]
1 B, A 1,2
1,2
1,2
x2
A
B
A x3 B
B, B 1,2 1,2 1,2
2,4
0,2 1,2
2,2
2021/9/10
12
• M并不是参与人2在整个博弈中的严格劣战略，但在参与人1选择A的情况下
2021/9/10
36
例如：
• 假设工人是高能力的概率q足够低，使得工资函数
处于高能力工人通过点
的无差异曲线IH的下方。
we qr tH ,e (1 q)r tL,e
eS , r tH ,eS
2021/9/10
37
w
r tH , eS
w* tL
e* tL
2021/9/10
IL IH
r tH ,e qr tH ,e (1 q)r tL, e r tL,e

贝叶斯定理例题解答

贝叶斯定理例题解答贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在已知某些先验条件的情况下，通过新的证据来更新我们对事件发生概率的估计。

下面给出一个贝叶斯定理的例题及解答，以帮助读者更好地理解和运用该定理。

例题：一家医院进行了一项新药物的临床试验，试验结果显示该药物对治疗某种疾病的有效率为80%。

然而，对于使用该药物的患者中，有10%的人实际上并不需要该药物，但仍然会有治疗效果。

对于需要该药物的患者，有5%的人没有治疗效果。

现在，一个病人想接受该药物治疗，但你并不确定他是否真的需要该药物。

如果该病人最终被治愈了，求他真正需要该药物的概率是多少？解答：设A表示病人需要该药物的事件，B表示该病人被治愈的事件，则题目所给的信息可以转化为以下条件概率：P(B|A)=0.8 （病人需要该药物并且得到治愈的概率）P(B|A')=0.1 （病人不需要该药物但得到治愈的概率）P(B'|A)=0.2 （病人需要该药物但没有治愈的概率）P(B'|A')=0.9 （病人不需要该药物且没有治愈的概率）由题意可知，该病人被治愈了，因此我们需要求解的是在B发生的条件下，A发生的概率，即：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)其中，P(B)可以利用全概率公式计算：P(B)=P(B|A)*P(A)+P(B|A')*P(A')根据题目所给的信息，可以得到：P(A)=1-0.1=0.9P(A')=0.1代入上式，可得：P(B)=0.8*0.9+0.1*0.1=0.73再代入P(B|A)和P(A)，可得：P(A|B)=0.8*0.9/0.73=0.9877因此，该病人真正需要该药物的概率为0.9877，即约为98.77%。

贝叶斯公式的例题

贝叶斯公式的例题好的，以下是为您生成的关于“贝叶斯公式的例题”的文章：在咱们学习数学的这趟奇妙之旅中，贝叶斯公式就像是一个藏在深处的神秘宝藏，得费点心思才能把它搞明白。

今儿个，我就带着您一块儿瞅瞅贝叶斯公式的那些有趣例题，让咱们一起把这个神秘宝藏给挖出来！先来说说贝叶斯公式到底是啥。

简单来讲，贝叶斯公式就是用来计算在某些条件下，某个事件发生的概率。

这就好比您在一堆水果里挑苹果，您得先知道总共有多少水果，有多少是苹果，然后才能算出您随便一抓就抓到苹果的概率。

咱来看个具体的例题。

比如说，在一个班级里，有 70%的同学喜欢数学，30%的同学喜欢语文。

而喜欢数学的同学中，有 80%的同学数学成绩优秀；喜欢语文的同学中，只有 60%的同学语文成绩优秀。

现在随机选一个同学，发现他成绩优秀，那他喜欢数学的概率是多少呢？咱们来一步步算。

首先，喜欢数学并且成绩优秀的概率就是 70%乘以80%，得到56%。

喜欢语文并且成绩优秀的概率就是30%乘以60%，得到 18%。

那么总的成绩优秀的概率就是 56%加上 18%，等于 74%。

接下来，用喜欢数学并且成绩优秀的概率 56%除以总的成绩优秀的概率 74%，就能得到这个同学喜欢数学的概率，大约是 75.68%。

您瞧瞧，这就是贝叶斯公式的威力，能帮咱们算出这种看似复杂的概率问题。

我记得之前有一次，我给学生们讲这个例题的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，说：“老师，这也太难了，感觉生活中根本用不上啊！”我笑着对他说：“别着急，宝贝儿，等会儿你就知道它多有用啦！”然后我就给他们讲了个生活中的例子。

假设您去医院做体检，有一种疾病的发病率是 1%。

医院有一种检测方法，对于患病的人，检测结果有 95%是阳性；对于没患病的人，检测结果有 5%会误判为阳性。

现在您的检测结果是阳性，那您真正患病的概率是多少呢？学生们开始动笔算了起来，算完之后，他们惊讶地发现，真正患病的概率居然不是 95%，而是大约 16%。

第12章精炼贝叶斯Nash均衡

All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng
要将子博弈精炼Nash均衡中“均衡精炼” 的思想应用到不完全信息扩展式博弈中，就必须做到： 1) 对每个参与人i，在其信息集上给出关于自己位于该信息集中哪一个决策结的信念(或推断)； 2) 对参与人i的每个信息集，在给定参与人i在该信息集上的信念(或推断)情况下，参与人的战略是对其他参与人战略的一个最优反应，即参与人的选择必须满足序惯理性(sequential rationality)。
Control Science and Engineering, HUST
All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng
定义
• 对于一个给定的不完全信息扩展式博弈中给定的均衡，如果博弈根据均衡战略进行时将以正的概率达到某信息集，称此信息集处于均衡路径之上(on the equilibrium path)。 • 反之，如果博弈根据均衡战略进行时，肯定不会达到某信息集，称之为处于均衡路径之外的信息集(off the equilibrium path)，简称非均衡路径信息集。
All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng
• 精炼贝叶斯Nash均衡既包含了一个战略组合，又包含一个信念系统。 • 这里信念系统对每个信息集都确定了位于该信息集上的参与人所持有的信念。 • 这种信念是信念持有人对已发生历史的一个推断，也可理解为他对自己位于信息集上哪一个决策结的“一种估计”。
All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng
• 不仅要求参与人2的均衡战略在由单决策结构成的信息集上最优，而且还要求参与人3的均衡战略在由多决策结构成的信息集和上最优。

贝叶斯准则例题

贝叶斯准则例题⼀、贝叶斯准则：例题1：设⼆元假设检验的观测信号模型为：H 0: x = -1+n H 1: x = 1+n其中n 是均值为0，⽅差为212nσ=的⾼斯观测噪声。

若两种假设是等先验概率的，⽽代价因⼦为000110111,8,4,2,c c c c ==== 试求贝叶斯（最佳）表达式和平均代价C:解：因为两种假设是等先验概率的所以 011()()2P H P H ==，这样，贝叶斯准备的似然⽐函数()x λ为：① 122110221(1)exp 1122(|)22()exp(4)(|)(1)1exp 112222x p x H x x p x H x πλπ--?==?=+ ?-??⽽似然⽐检测门限η为：010********(41)()()21()()(82)2P H c c P H c c η--=?=-- =1/2于是贝叶斯判决表达式为11exp(4)2H x H ><，两边取⾃然对数，并整理的最简判决表达式为10.1733H x H >-<②现在计算判决概率01(|)P H H 和00(|)P H H ，由于本例中检验统计量()l x x =，所以在两个假设下检验统计量的概率密度函数分别为：122012211(1)(|)exp 1122221(1)(|)exp 112222l p l H l p l H ππ+=-???-=-???这样，0.17330111220.1733(|)(|)1(1)exp 0.0486112222P H H p l H dll dl π--∞--∞=-=-=0.17330001220.1733(|)(|)1(1)exp 0.8790112222P H H p l H dll dl π--∞--∞=+=-=最后，利⽤贝叶斯平均代价表达式，01011110111010100000()()()()(|)()()(|)C P H c P H c P H c c P H H P H c c P H H =++---代⼊0000110(),(|),(|),P H P H H P H H c 等各数据，计算得： 1.8269C=总结：如果我们把判决表达式中的检测门限-0.1733稍作调整，例如调整为-0.1700极品-0.1800，则计算出的平均代价均⼤于检测门限为-0.1733的平均代价，这⼀结果从侧⾯验证了贝叶斯准则的确能使平均代价最⼩。