相似三角形奥数题

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相似三角形奥数题

相似三角形奥数题如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．考点：平行线分线段成比例．专题：计算题．分析：由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF．解答：解：在△ABC中，因为EF∥AB，所以EF：AB=CF：CB①，同样，在△DBC中有EF：CD=BF：CB②，①+②得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③．设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得x：6+x：9=1，解得x= ．故EF= 厘米．点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．答题：HLing老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮2、如图所示．▱ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．解答：解：过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，∴OG= BC= ，GB= AB= ．在△FOG中，由于GO∥EB，∴△FOG∽△FEB，= ，∴BE= •OG= •= ．答：BE的长为．点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，构造出△FEB∽△FOG．答题：fxx老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮3、如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定．专题：证明题．分析：过D引DE∥AB，交AC于E，因为AD平分∠BAC（=120°），所以∠BAD=∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．解答：证明：过D引DE∥AB，交AC于E．∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAD=60°．又∠BAD=∠EDA=60°，所以∴△ADE是正三角形，∴EA=ED=AD．①由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，∴= = =1- ．②由①，②得=1- ，从而+ = ．点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED∽△CAB是解题的关键．答题：499807835老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮4、如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．解答：证明：延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，∴= ．∵IH=AB，∴= ，从而，- = - = = =1+ ．①在△OED与△OBH中，∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，∴△OED≌△OBH（AAS）．从而DE=BH=AI，∴=1．②由①，②得- =2．点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题．答题：fxx老师显示解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮5、一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）．求证：考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：过B引BG∥EF，交AC于G，将求证中所述线段“集中”到同一线段AC上进行求证．解答：证明：过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知= ，= ，∴××= ××=1．点评：考查了平行线分线段成比例定理，本题也可过C引CG∥EF 交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证．答题：HLing老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮6、如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．专题：计算题．分析：由FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△IHB ∽△AFG∽△ABC，于是= ，= ，再结合= ，先计算式子右边的和，易求+ + = =2，从而有+ + =2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可．解答：解：∵FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，∴四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，∴△IHB∽△AFG∽△ABC，∴= ，= ，∴+ + = ，又∵DE=PE+PD=AI+FB，AF=AI+FI，BI=IF+FB，∴DE+AF+BI=2×（AI+IF+FB）=2AB，∴+ + = =2，∵DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，∴+ + = + + =2，∴+ + =2，解得d=306．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质．答题：wangcen老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮7、如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF ∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．考点：平行线分线段成比例．分析：由平行线的性质可得= = = ，得出OE与BC，OF与AD的关系，进而即可求解EF的长．解答：解：∵AD∥BC，EF∥BC，∴= = = ，又= = ，= = ，∴OE= BC= ，OF= AD= ，∴EF=OE+OF=15．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮8、已知：P为▱ABCD 边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由于AB=CD，所以将转化为，再由平行线的性质可得= ，进而求解即可．解答：证明：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，AB∥CD，∴= =∴- = - = =1．点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮9、如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长．解答：解：∵MN∥BC，∴在△ABD中，= ，即OM= = ，同理ON= = ，∴MN=OM+ON= ．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮10、P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）由平行线可得△PIF∽△CAB，得出对应线段成比例，即= = ，同理得出= = ，即可证明结论；（2）证明方法与（1）相同．解答：证明：（1）∵DE∥AB，IH∥AC，FG∥BC，∴可得△PIF∽△CAB，∴= = ，同理= = ，+ + = + + =1．（2）仿（1）可得= = ，= = = ，∴+ + = + + =1．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮11、如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC：AB．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线可得对应线段成比例，又有已知EF=FG=CH=HI=HJ，可分别求出线段AB、CD与AE、CJ的关系，进而可求解结论．解答：解：∵AB∥CD，EF=FG=CH=HI=HJ，∴= = ，∴= = ，= = ，∴DJ=4AE，又= ，解得AB= AE，又AE= CJ，∴AB= CJ，EB=4CJ，= = ，CD=5CJ，∴AB：CD= ：5=1：2．点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮12、已知P为△ABC 内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即△PBC+△PAC+△PAB=△ABC，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解．（2）由（1）中得出，则其中至少有一个不大于，可设≤，即3AD≤PD，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论．解答：解：（1）由面积概念得：S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC①整理等式得：+ + =1，②由面积概念得：= ，= ，∴= ，即= ③同理得：= ④= ⑤把式③、④、⑤、代入式②得：；（2）由，知，，中至少有一个不大于，不妨设≤即3AD≤PD．而AD=AP+PD，∴AP≥2PD，∴≥2，即不小于2，同理可证三式中至少有一个不大于2．。

相似三角形难题

相似三角形难题难题1题目：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F，求证：AF:AO=2:1。

解答思路：1.连接DE：由于D、E分别是AB、AC的中点，根据三角形的中位线定理，DE∥BC且DE=21BC。

2.利用相似三角形：由于DE∥BC，根据平行线的性质，我们有△ADE∼△ABC和△DOE∼△COB。

3.找出比例关系：由于DE=21BC，则BCDE=21。

由于△ADE∼△ABC，则AFAO=ACAE=21（因为E是AC的中点）。

4.计算AF:AO：由于AFAO=21，则AF:AO=2:1。

难题2题目：在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，DBAD=32，△ABC的面积为S，求△ADE的面积。

解答思路：1.利用相似三角形：由于DE∥BC，根据平行线的性质，我们有△ADE∼△ABC。

2.找出比例关系：由于DBAD=32，则ABAD=52。

3.计算面积比：由于△ADE∼△ABC，则S△ABC S△ADE=(ABAD)2=(52)2=254。

4.计算△ADE的面积：由于S△ABC=S，则S△ADE=254S。

难题3题目：在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠ADE=∠B，AE=6，AD=4，AC=9，求AB的长。

解答思路：1.利用相似三角形：由于∠ADE=∠B且∠A=∠A（公共角），根据相似三角形的判定定理，我们有△ADE∼△ACB。

2.找出比例关系：由于△ADE∼△ACB，则ACAD=ABAE。

3.代入已知值求解：代入已知值AE=6，AD=4，AC=9，得到94=AB6。

4.计算AB：解这个方程得到AB=227。

相似三角形判定专项练习30题(有答案)

相似三角形判定专项练习30题（有答案）1．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？2．如图，△BAC、△AGF为等腰直角三角形，且△BAC≌△AGF，∠BAC=∠AGF=90°．若△BAC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E．请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．3．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．4．如图，已知∠1=∠2，且AB•ED=AD•BC，则△ABC与△ADE相似吗？是说明理由．5．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别AB、CB延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE．若BC=6，AC=8，求证：△ABC∽△DBE．6．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．7．如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E．（1）证明：△ADC∽△AEB；（2）连接DE，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．8．如图，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，∠A=∠D．求证：△ABC∽△DEC．9．在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，F为BC上的中点，连接DE，EF，DF．（1）求证：DF=EF；（2）直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；（3）在（2）中的相似三角形中选择一对进行证明．10．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．11．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．求证：△ABC∽△FCD．12．已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．求证：Rt△ADC∽Rt△CDB．13．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，找出图中的两对相似三角形并说明理由．14．如图，∠DEC=∠DAE=∠B，试说明：（1）△DAE∽△EBA；（2）找出两个与△ABC相似的三角形（第2小题不要求写出证明过程）．15．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．（1）求证：△EAB∽△ECA；（2）△ABE和△ADC是否一定相似？如果相似，加以说明；如果不相似，那么增加一个怎样的条件，△ABE和△ADC 一定相似．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）△ABD与△ACE相似吗？为什么？（3）图中还有哪些三角形相似？请直接写出来．18．如图，已知：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=135°，求证：△EAC∽△CBF．19．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．21．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s 的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的22．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从B点出发沿着BC向C移动，速度为每秒2个单位，动点Q 从点C出发沿CD向D出发，速度为每秒1个单位，几秒后由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？这时线段PQ与AC的位置关系如何？请说明理由．23．已知，如图，，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由．24．已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE．连接AE、CD （如图），若MN分别为AE、CD的中点，（1）求证：AM=CN；（2）求∠MBN的大小；（3）若连接MN，请你尽可能多的说出图中相似三角形和全等三角形．25．如图，已知△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，∠BAC=∠MBN=90°，BD⊥AN．请找出与△ABD相似的三角形并给出证明，直接写出∠ANC的度数．26．如图，在△ABC中，AB=6，BC=8．点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止．设运动时间为t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．27．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，证明：△ABE∽△AEF．28．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，连接BD，AC，且DE⊥AC于E，交AB于F，求证：△AFD∽△ADB．29．已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD．（2）若M、N分别是BE和CD的中点，将△ADE绕点A按顺时针旋转，如图②所示，试证明在旋转过程中，△AMN 是等腰三角形；（3）试证明△AMN与△ABC和△ADE都相似．30．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．相似三角形判定专项练习30题参考答案：1．解：△ABE 与△DEF 相似．理由如下： ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD ，设AB=AD=CD=4a ， ∵E 为边AD 的中点，CF=3FD ， ∴AE=DE=2a ，DF=a ，∴==2，==2，∴=，而∠A=∠D ， ∴△ABE ∽△DEF ． 2．解：△EAD ∽△EBA ，△DAE ∽△DCA ．对△ABE ∽△DAE 进行证明： ∵△BAC 、△AGF 为等腰直角三角形， ∴∠B=45°，∠GAF=45°， ∴∠EAD=∠EBA ，而∠AED=∠BEA ， ∴△EAD ∽△EBA ． 3．证明：∵△ABC 为正三角形， ∴∠A=∠C=60°，BC=AB ， ∵AE=BE ， ∴CB=2AE ， ∵，∴CD=2AD ，∴==，而∠A=∠C ， ∴△AED ∽△CBD ． 4．解：△ABC ∽△ADE ，理由为：证明：∵AB •ED=AD •BC ，∴=，∵∠1=∠2， ∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE ，即∠BAC=∠DAE ， ∴△ABC ∽△ADE ．5．证明：∵在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8， ∴AB==10，∴DB=AD ﹣AB=15﹣10=5 ∴DB ：AB=1：2，又∵EB=CE ﹣BC=9﹣6=3， ∴EB ：BC=1：2，又∵∠DBE=∠ABC，∴△ABC∽△DBE．6．（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．7．（1）证明：∵如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，∴∠ADC=∠AEB=90°．又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△AEB；（2）由（1）知，△ADC∽△AEB，则AD：AE=AC：AB．又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．8．证明：∵AC⊥BC，∴∠ACB=∠DCE=90°，又∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEC．9．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BEC=∠BDC=90°，而F为BC上的中点，∴EF=BC，DF=BC，∴DF=EF；（2）解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；（3）△ADE∽△ACB．理由如下：证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，而∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴=，∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB．10．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．11．证明：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∵D为BC中点，且DE⊥BC，∴EB=EC．∴∠B=∠DCF．∴△ABC∽△FCD．12．证明：∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠ADC=∠CDB=90°，∴Rt△ADC∽Rt△CDB．13．解：△ABD∽△CBE，△ABC∽△DBE．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABD∽△CBE，∴∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠DBE，∴△ABC∽△DBE14．解：（1）∵∠DEC=∠B，∴DE∥AB，∴∠DEA=∠EAB，又∵∠DAE=∠B，∴△DAE∽△EBA；（2）△CDE∽△ABC，△EAC∽△ABC．15．证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC=∠AEB=90°．∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABE．（2）∵△ACD∽△ABE，∴AD：AE=AC：AB．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．16．证明：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴BD=CD，AD=CD，∴∠C=∠DAC，又∵AE⊥AD，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠EAB=∠C，∴△EAB∽△ECA；（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，∴当∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或=时，△ABE和△ADC一定相似．17．解：（1）证明∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∴△ADE∽△ABC；（2）相似．证明：∵△ADE∽△ABC；∴，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE；（3）△DOE∽△COB；△EOB∽△DOC．18．证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠E+∠ECA=45°（三角形外角定理）．又∠ECF=135°，∴∠ECA+∠BCF=∠ECF﹣∠ACB=45°，∴∠E=∠BCF；同理，∠ECA=∠F，∴△EAC∽△CBF．19．（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．20．解：∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，∴∠ABE=∠ACD又∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC∴∠DAC=∠EAB∴△ABE∽△ACD．21．解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．22．解：要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ ∴只要或者∵AB=6，BC=8∴只要设时间为t则PC=8﹣2t，CQ=t∴t=或者t=；①当t=时，△ABC∽△PCQ，PQ⊥AC理由：△ABC∽△PCQ∴∠BAC=∠CPQ∵∠BAC+∠ECP=90°，∴∠EPC+∠ECP=90°即PQ⊥AC；②当t=，△ABC∽△QCP，AC平分PQ理由：△ABC∽△QCP∴∠BAC=∠CQP，∠ACB=∠QPC∴∠QCE=∠EQC，∠ACB=∠QPC∴PE=EQ=CE即AC平分PQ23．解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE．理由：∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△BAD∽△CAE，∵∠ACB=∠AED，∠AFE=∠BFC，∴△AFE∽△BFC．24．（1）证明：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABC=60°，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中∴△ABE≌△DBC（SAS）∴AE=DC，∵M、N分别为AE、CD的中点，∴AM=AE，CN=DC∴AM=CN；（2）解：∵△ABE≌△DBC，∴∠EAB=∠CDB，在△AMB和△DNB中∴△AMB≌△DNB（SAS），∴∠ABM=∠DBN，∵∠ABC=∠ABM+∠MBD=60°，∴∠DBN+∠MBD=60°，即∠MBN=60°；（3）解：图中的全等三角形有：△ABM≌△DBN，△BME≌△BCN，△ABE≌△DBC；相似三角形有：△ABD∽△BCE，△ABD∽△BMN，△BMN∽△BCE．25．解：△ABD∽△CBN，理由：∵△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，BD⊥AN，∴∠MBD=∠NBD=∠BNM=∠ABC=45°，∴==，∵∠MBA+∠ABD=45°，∠ABD+∠CBN=45°，∴∠ABD=∠CBN，∴△ABD∽△CBN，∴∠BNC=∠ADB=90°，∵∠BNA=45°，∴∠ANC=45°．26．解：∵点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，∴BD=t，BE=8﹣2t，∴△BDE∽△BAC时，=，即=，解得t=2.4（秒）；当△BED∽△BAC时，=，即=，解得t=（秒）．综上所述，t的值为2.4秒或秒．27．证明：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，∴∠B=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1．∴△ABE∽△ECF．∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∠FEC+∠EFC=90°，∴AB：AE=BE：EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEF=∠B=90°．∴△ABE∽△AEF．28．证明：∵∠AEF=∠ABC=90°，∠EAF=∠BAC．∴△EAF∽△BAC，=，即AE•AC=AF•AB．同理可得，△AED∽△ADC，=，即AE•AC=AD2，∴AD2=AF•AB，即=，又∵∠DAF=∠BAD，∴△AFD∽△ADB．29．证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD；（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，BE=CD．∵M，N分别是BE，CD的中点，∴BM=CN．在△ABM与△ACN中，，∴△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∴△AMN为等腰三角形；（3）由（2）得△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∴∠BAM+∠BAN=∠CAN+∠BAN，即∠MAN=∠BAC，又∵AM=AN，AB=AC，∴AM：AB=AN：AC，∴△AMN∽△ABC；∵AB=AC，AD=AE，∴AB：AD=AC：AE，又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE；∴△AMN∽△ABC∽△ADE．30．证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．。

相似三角形经典题型

相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。

判断这两个三角形是否相似。

解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。

所以△ABC∽△A'B'C'。

2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。

解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。

又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。

但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。

因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。

相似三角形练习题及答案

相似三角形练习题及答案在初中数学中，相似三角形是一个很重要的概念。

相似三角形具有相同的形状，但是尺寸不同。

理解相似三角形的性质对于解决几何问题和计算三角形的边长和角度非常有帮助。

下面是一些相似三角形的练习题，帮助你巩固对该概念的理解，并附有答案供参考。

练习题一：已知△ABC和△DEF相似，且AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 12cm。

若DE = 9cm，求DF和EF的长度。

练习题二：△ABC和△PQR中，∠B = ∠Q，AB = 5cm，BC = 8cm，PQ = 6cm，若AC = 10cm，求PR的长度。

练习题三：已知△ABC和△DEF相似，DE = 4.5cm，EF = 6cm，BC = 12cm，若AC = 8cm，求△ABC和△DEF的周长比。

练习题四：在△ABC中，∠B = 90°，AB = 9cm，BC = 12cm。

点D是BC的中点，于BC上作DE ⊥ BC，DE = 3cm。

求△ADE和△ABC的周长比。

练习题五：已知△ABC和△DEF相似，AB = 10cm，BC = 12cm，AC = 15cm，EF = 6cm，若△DEF的面积为18平方厘米，求△ABC的面积。

答案及解析如下：练习题一：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。

设DF = x，EF = y。

根据题意可写出比例：AB/DE = AC/EF = BC/DF代入已知值，得到：6/9 = 8/y = 12/x解得：x = 16cm，y = 12cm因此，DF = 16cm，EF = 12cm。

练习题二：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。

设PR = x。

根据题意可写出比例：AB/PQ = AC/PR = BC/QR代入已知值，得到：5/6 = 10/x = 8/(6 + x)解得：x = 15cm因此，PR = 15cm。

练习题三：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。

相似三角形典型例题30道

相似三角形典型例题30道1: 在△ABC中，DE是平行于BC的线段，且AD/DB = 2/3。

求DE/BC的比值。

2: 已知△PQR与△XYZ相似，PQ = 6，XY = 9，求QR 与YZ的比值。

3: 在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE平行于BC，已知AD = 3，DB = 6，求AE与EC的比值。

4: 已知两个相似三角形的面积比为4:9，求它们对应边的比。

5: 在△XYZ中，MN是平行于XY的线段，且XM = 4，MY = 6，求MN/XY的比值。

6: 在△ABC中，AD是BC的中线，且AE是AB的延长线，若AE与BC相交于点F，求AF与FB的比值。

7: 在△DEF中，GH平行于EF，已知DE = 8，DF = 10，求GH/EF的比值。

8: 在一个相似三角形中，若大三角形的周长是36，小三角形的周长是24，求它们的面积比。

9: 在△JKL中，MN平行于JK，若JM = 3，MK = 5，求MN/JK的比值。

10: 如果两个相似三角形的对应边长分别为5和15，求它们的面积比。

11: 在△ABC中，AD是BC的中线，且DE平行于BC，已知AD = 4，BC = 8，求DE的长度。

12: 已知相似三角形的对应边长比为1:4，求它们的周长比。

13: 在△PQR中，S是PQ的中点，若ST平行于QR，求PS与PQ的比值。

14: 在相似三角形中，若小三角形的每条边长为5，大三角形的对应边长为15，求它们的面积比。

15: 在一个三角形中，若一条边的延长线与另一边的平行线相交，则形成的两小三角形与原三角形相似，求相似比。

16: 在△XYZ中，若XY = 10，XZ = 15，YZ = 12，求△XYZ的周长。

17: 已知△ABC与△DEF相似，若AB = 4，DE = 8，求AC与DF的比值。

18: 在△GHI中，JK平行于GH，若GJ = 5，GH = 20，求JK的长度。

19: 在相似三角形中，若一个三角形的面积是36，另一个三角形的面积是144，求其对应边的比。

小学高级奥数第23讲-相似三角形

F
E
A
D
H
B
C
G
已知：如图，四边形ABCD是直角梯形，∠A=∠B=90º，AD=3，BC=4， S△AOD=1，求四边形ABCD的面积。
如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，则
S△ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB
A D F B
E G C
如图，DE平行BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的长。
四边形ABCD被AC和DB分成甲乙丙丁4个三角形，已知 BE=80,CE=60,DE=40,AE=30,问：丙、丁两个三角形之和是甲乙两个三角形面积之和的多少倍？
梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。则整个梯形的面积为多少？
梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。则整个梯形的面积为多少？
A
D
E
B
C
如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
课后作业
<作业1>
如图，△ABC中，DE、FG、MN、PQ、BC互相平行，AD=DF=FM=MP=PB,求
如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE： EC=1:3，AF与BE相交于点G，求三角形ABG的面积。
如图ABCD是梯形，BD是对角线，E为BD上一点，EF是三角形AED的高，EG是三角形BCE的高。如果三角形ABE和三角形BCE的面积分别为6和10平方厘米， EF：EG=7:4,那么求梯形ABCD的面积。

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1．解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2．解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3．又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ．例3 分析由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =．在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、，则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆．（4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例5．解：画法略．例6．分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =．又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米．例7．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）．说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ，又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆．说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解（1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆；（2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解（1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等；（2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等；（4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；（5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等；（6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ．又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ，又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米）所以旗杆的高为21.5米．说明在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米．例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．）例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形．如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。

相似三角形测试题及答案

相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 2:3，则BC:EF的比值为：A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案：B2. 在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。

以下哪项不是相似三角形的性质？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案：D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为2:3，则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。

答案：2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm，DE = 9cm，则BC 与EF的比值为______。

答案：2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 8cm，DE = 12cm，求三角形ABC的周长，已知三角形DEF的周长为36cm。

答案：三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D = 50°，∠B =∠E = 60°，求∠C和∠F的度数。

答案：∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，DE = 6cm，BC = 5cm，EF = 7.5cm，证明AC = 6.25cm。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。

已知EF = 7.5cm，所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。

因此，AC = 6.25cm。

8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，求证：∠C = ∠F。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等。

已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

实用标准文案相似三角形一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB 上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC 交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM=CN．又∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．（3）证明：在图②中正确画出线段PD，由（1）同理可证△ABM≌△ACN，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= 135°°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA 方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有两组（①③，②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）证明：（2）选择①、③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD（8分）选择②、④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．解答：解：（1）AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；（3）作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ 是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴S ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t ，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C ∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC 相似？解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，在△ABC 中，AB=10cm ，BC=20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似．解答：设经过秒后t 秒后，△PBQ 与△ABC 相似，则有AP=2t ，BQ=4t ，BP=10﹣2t ，当△PBQ ∽△ABC 时，有BP ：AB=BQ ：BC ，即（10﹣2t ）：10=4t ：20，解得t=2.5（s ）（6分）当△QBP ∽△ABC 时，有BQ ：AB=BP ：BC ，即4t ：10=（10﹣2t ）：20，解得t=1．所以，经过2.5s 或1s 时，△PBQ 与△ABC 相似（10分）．解法二：设ts 后，△PBQ 与△ABC 相似，则有，AP=2t ，BQ=4t ，BP=10﹣2t分两种情况：（1）当BP 与AB 对应时，有=，即=，解得t=2.5s （2）当BP 与BC 对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s 或2.5s 时，以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1）当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时， 2）有=，∴AB==3；3）当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时， 4）有=，∴AB==3．故当AB 的长为3或3时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，能否在边AB 上找一点N （不含A 、B ），使得△CDM 与△MAN 相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．解答：证明：分两种情况讨论：①若△CDM ∽△MAN ，则=．∵边长为a ，M 是AD 的中点， ∴AN=a ．②若△CDM ∽△NAM ，则．∵边长为a，M 是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似．当AN=a时，N点的位置满足条件．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）点评：本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC 交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN与△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ 时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．解答：解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．（7分）24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC ∽△DEF．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm）．所以，学校旗杆的高度是12m．（3分）（2）解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（不合题意，舍去），∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题基本上难度不大，利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：（1）由已知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC ∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB，∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．解答：解：（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；（2）在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm。

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案一、选择题1. 在相似三角形中，对应角相等的条件是：A. 边长成比例B. 面积相等C. 周长相等D. 角相等答案：A2. 下列选项中，哪一项不是相似三角形的性质？A. 对应边成比例B. 对应角相等C. 面积比等于边长比的平方D. 周长比等于边长比答案：B二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比是________。

答案：4:94. 若三角形ABC与三角形A'B'C'相似，且∠A=∠A'=60°，则∠B与∠B'的关系是________。

答案：相等三、简答题5. 解释为什么在相似三角形中，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。

答案：在相似三角形中，由于对应角相等，根据正弦定理，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。

这是因为正弦值与角的大小成正比，而相似三角形的对应角大小相同，因此它们的正弦值之比也相同。

四、计算题6. 在三角形ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，∠A=60°，求三角形ABC的面积。

答案：首先，利用余弦定理计算BC的长度。

根据余弦定理，BC²= AB² + AC² - 2AB*AC*cos∠A。

代入已知值，得到BC² = 5² +7² - 2*5*7*(1/2) = 25 + 49 - 35 = 39，所以BC = √39 cm。

然后，利用三角形的面积公式S = (1/2)AB*AC*sin∠A，代入已知值，得到S = (1/2)*5*7*(√3/2) = 17.5√3 cm²。

7. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=3:5，求三角形ABC与三角形DEF的面积比。

答案：由于相似三角形的面积比等于边长比的平方，所以三角形ABC与三角形DEF的面积比为(3:5)² = 9:25。

三角形奥数题

相似三角形奥数题121．如图，等腰△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F 为DE的中点，AF、BE交于H，求证：AF⊥BE。

2．如图，△ABC中，∠C=90°，D、E是BC边上的点，且∠ABC=1 2∠ADC=13∠AEC。

若BD=11，DE=5，求AC。

3．如图，等腰Rt△ABC中，B=90，AD是BC边的中线，BE⊥AD交AC于E，EF⊥BC。

若AB=BC=a，求EF。

4．如图，在锐角三角形ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=22，求点B到AC的距离。

5．如图，△ABC中，DE∥BC，已知S△OBC=n2，S△BOD=mn(n>m)，其中O为BE和CD的交点，求S BCED和S ADE 。

6．如图，D为等边△ABC的边BC上一点。

已知BD=1，CD=2，CH⊥AD于点H，连结BH。

试证：∠BHD=60°。

7．如图，平行四边形ABCD的面积是60，E、F分别是AB、BC的中点，AF与DE、DB分别交于G、H，求四边形EBHG的面积。

8．如图，在等边△ABC 的BC 边上有一点D ，BD : DC=1 : 2，作CH ⊥AD ，H 为垂足，连结BH ，求证：△ADB ∽△BDH 。

9．如图，△ABC 中，BC=2AC ，D 、E 分别是BC 、AB 上的点，且∠1=∠2=∠3。

如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长为m 、m 1、m 2，求12m m m的值。

10．如图，在直线l 的同侧有三个相邻的等边三角形△ABC 、△ADE 、△AFG ，且G 、A 、B 都在直线l 上，设这三个三角形边长分别为a 、b 、c ，连结GD 交AE 于N ，连BN 交AC 于L ，求AL 的长。

11．如图，△PQR 与△P'Q'R'是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为AB=a 1，BC=b 1，CD=a 2，DE=b 2，EF=a 3，FA=b 3，求证：a 12+a 12+a 12= b 12+b 12+b 1212．如图，设P 、Q 是线段BC 上的两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？证明你的结论。

相似三角形难题集锦(含答案)

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)一、题目描述在初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。

本文为您提供一些经典的相似三角形练习题，通过解答这些练习题可以提高学生的解题能力和对相似三角形的理解。

本文附有详细的参考答案，供学生进行自我检测和复习。

二、练习题1. 已知△ABC和△DEF相似，AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，DE = 9cm，计算EF的长度。

2. △ABC与△DEF相似，AB = 2cm，BC =3.5cm，AC = 4cm，EF= 7cm，求DE的长度。

3. 在△ABC中，角A的度数为50°，角B的度数为70°，BC = 8cm。

若与△ABC相似的三角形的边长分别为10cm和12cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。

4. 在△ABC中，∠B = 90°，AC = 10cm，BC = 12cm。

若与△ABC相似的三角形的第二边为16cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。

5. 已知△ABC与△DEF相似，AB = 6cm，AC = 8cm，DE = 12cm，若EF = 18cm，求BC的长度。

6. 高度为5cm的小树和高度为12cm的大树的影子长度之比为2:3。

如果小树的影子长度为10cm，求大树的影子长度。

7. 一个航拍无人机垂直飞行，发现自己离地面的垂直距离与航拍无人机的长度（包括机身和旋翼）的比例为3:2。

如果航拍无人机的长度为120cm，求离地面的垂直距离。

8. 在一个旅游小组中，由5名成年人和7名儿童组成，其平均年龄为30岁。

如果另一个旅游小组由2名成年人和3名儿童组成，其平均年龄为24岁。

求这两个旅游小组的总年龄之比。

三、参考答案1. 根据相似三角形的性质可知，EF与AC的比例应与DE与BC的比例相等。

即 EF/AC = DE/BC。

代入已知值，得 EF/10 = 9/8。

相似三角形经典练习题及答案

相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。

因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。

2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。

因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。

因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。

3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。

设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。

4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。

因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。

所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。

5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。

相似三角形经典题（含答案）（Si...

相似三角形经典题(含答案)（Similar triangle classic questions(including answers)）Similar triangle classical exercisesExample 1. Choose a similar triangle from the following trianglesExample 2 is known: as in figure ABCD, the ratio of the perimeter to the sum if...Figure 3 cases, known to, to prove that.Example 4 which of the following statements are true and which ones are wrong?(1) all right triangles are similar. (2) all isosceles triangles are alike(3) all isosceles right triangles are similar. (4) all equilateral triangles are alikeFigure 5 example, D is a point on the AC, D DE E the dotted line, in the side, the small triangle and point D, point E and a vertex with similar composition. Draw as much as possible to meet the conditions of the graphics, and that of line DE painting.Figure 6 cases, a person holding a small scale paintings engraved with cm, standing about 30 meters away from the poles, the arm straight forward, small scale vertical ruler, see about 12 paintings just over the poles, the known arm length of about60 cm high, for the wire rod.Figure 7 cases, in order to measure a high-rise MN Xiaoming, put a mirror in the A from N 20m, NA back to C along the Xiao Ming, just from the mirror to see the roof of M, if m, his eyes from the ground height of 1.6m, please help you calculate Xiaoming the height of the building (accurate to 0.1M).The two triangles in the 8 lattice diagram are similar triangles, and the reasons are givenExample 9 determines whether the case is similar and explains the reasons for the following groups of conditions:(1)(2)(3)Example 10. In the following graph, there is no similar triangle. If it exists, show them in letters, and briefly explain the basis for identificationExample 11 is known: as in Fig., in the case of angular bisector, try using a triangle similar relation descriptionExample 12, the known three side length is 5, 12 and 13, and its similar maximum length is 26, the area of S.13 cases in a mathematics activity class, the teacher let thestudents to the playground to measure the height of the flagpole, and then come back to AC measurement method for their measurement is. Xiaofang: take a 3.5 meter high pole upright in the 27 meters away from the flagpole at C (pictured), then walk along the BC direction D, the top of the flagpole and pole top A visual E is in the same line, C D, and measured the distance between two points is 3 meters, Xiaofang mesh is 1.5 meters high, so that you can know the high flagpole. Do you think this measurement method is feasible? Please explain the reasonFigure 14. cases, in order to estimate the width of the river on the other side of the river, we can select a target as A, on this side of the river and then points B and C, so, then choosing E, BC and AE to determine the intersection point is D, measured in meters, meters, meters, you can find the distance between the two sides of AB roughly?Figure 15. cases, in order to find the island peak height of AB, DC and FE to establish a benchmark in D and F, the benchmark is 3 feet high, separated by 1000 step (step 1 is equal to 5 feet), and AB, CD and EF in the same plane, from the G DC benchmark back the 123 step, can see peaks A and C benchmark top end in a straight line, from the H FE benchmark 127 steps back, can see peaks A and E benchmark top on a straight line. How much is the horizontal distance BD AB and its peak height and benchmark CD? (ancient problems)Figure 16 example, known Delta ABC boundary AB = AD, AC = 2, BC = high on the side.(1) seeking the length of BC;(2) if there is a square edge on AB, the other two vertices are on AC, BC, respectively, and the area of this square is calledSimilar triangle classic Exercises answer1. cases of the solution, five and six, and the similar, similar, three or four, and similar2. solution is a parallelogram, so, l ~,Again, so, and the perimeter of the perylene ratio is 1:3.Again, dry.3 cases analysis, so as to, if further proof, the problem must pass.To prove dreams, *.Again, l,Star.To dreams, *.In dreams, and in R ~Case 4. analysis (1) is incorrect, because in the right triangle, the size of the two angles is uncertain, so the shape of the right triangle is different(2) not correct either,The vertices of an isosceles triangle are not of definite size, so the shape of an isosceles triangle is also different(3) right. There are isosceles right triangle ABC and, among them,Then,The three sides are a, B, and C, and the edges are,Then,So, l ~.(4) is correct, and is an equilateral triangle, the corresponding angles are equal, the corresponding edge is proportional to it.Answer: (1) and (2) incorrect. (3) and (4) correctExample 5. solutions:Painting slightly.The analysis of 6. cases of the narrative can draw the geometry as shown below, the CM cm m, m, m, and BC. ~ ~ because, again, so, so you can find the BC long.So, l ~ solution. Hence.Again, l,So, l ~ *,.And cm cm meters, meters, meters, meters. The pole star is 6 meters high.Example 7. analysis according to the law of Physics: the incident angle of light is equal to the angle of reflection, so that the similarity relation is clearBecause the solution, so so.So, that is. So (m)This shows that this is a practical application, the method seems simple, but in fact it is very clever, saving the use of instrumentation to measure the troubleExample 8.. It is impossible to judge these two graphs if they are not painted in the grid. In fact, the lattice virtually adds to the condition the length and the angleThe solution is in the grid, so..,Again. So. So ~.Explain the problems encountered in the grid point, we must fully find the various conditions, do not make omissionsIn 9. cases (1) because the solution to it;(2) because the two triangles only, the other two are not equal, and not so similar;(3) because, so it is similarIn 10. cases (1) and two equal solution; (2) to two equal;(3) to two equal; (4) to both sides proportionally equal angles;(5) to both sides proportionally equal angles; (6) to both sides proportionally equal angles.Analysis of 11. cases with a 65 degree angle of the isosceles triangle, the angle is 72 degrees, and BD is the bisector of the corner, so, you can launch to, and then by the similar triangle corresponding edge is proportional to the ratio between the line launched.That star.But equally, dry.And so, so, so, so, L.That (1) has two angles equal, then the two triangles are similar, this is the judgment of two triangles. The most commonly used method, and according to the equal angle position, can determine which side is the corresponding edge.(2) to explain the product of a line, or the square formula, usually to prove the scaling formula, or, again, to derive the product formula or the square formula according to the basic nature of the proportionBy the analysis of 12 cases of the three sides can be judged as a right triangle, and because it is also a right triangle, so, then by the maximum edge length is 26, can calculate the similarity ratio, two right angle side to calculate, and obtain the area.The solution of a three side in order,,, L.And to dreams, *,Again, *. *.13. cases analysis method to judge whether it is feasible, should consider the use of this method combined with our existing knowledge can be obtained according to the flagpole high. This measuring method, F to G, CE to H, so that, and GF, HF, EH and AG, this can be obtained, so the AB can be obtained. The flagpoleThe solution is feasible. The reasons are as follows:The flagpoles high. F for G, CE H (pictured). So ~.Because, soSo, that is, by, so the solution (m)So the height of the flagpole is 21.5 metersIt shows that the method should be practical and feasible in concrete measurementExample 14. solutions:,L ~, (m), a: between the two sides of AB is roughly 100 meters away.Example 15. answer: rice, step, (Note:.)16. cases analysis: BC long, need to draw solution, because AB and AC are higher than AD, so there are two kinds of situations, namely D in BC or D in the BC extension line, so long for the BC to two to discuss the situation. For the area of a square key is the length of the side for a square.Solution: (1) as above, by the AD BC group, by the Pythagorean theorem BD = 3, DC = 1, BC = so BDDC = 3 + 1 = 4.As follows, BD = 3, DC = 1, so BC = BD = CD = 3-1 = 2.(2) as shown by the graph, BC = 4, and so is ABC. Hence, the right triangle.The AEGF is a square, set GF = x, FC = 2x,GF "AB dreams, so, that is. So, dry.As follows, when BC = 2,AC = 2, Delta ABC is an isosceles triangle, as an CP AB in P, AP = r,In Rt APC, by the Pythagorean theorem CP = 1,Dreams GH / / AB, R ~ Delta CGH Delta CBA, dreams, RTherefore, the square has an area of orThird (lower) similar triangleFirst pages, 6 pages(similarity triangle's nature and application) practice rollFill in the blanks1. When the similarity ratio between two similar triangles is 3, their perimeter ratio is..;2, if the delta delta A to ABC 'B' C ', and the perimeter of delta ABC is 12cm, then the perimeter of delta A' B 'C' for;3, as shown in Figure 1, in ABC, BE, CD line intersect at point G, then the delta GED:S Delta GBC= = S;4, as shown in Figure 2, the ABC / B= / AED, AB=5, AD=3, CE=6, AE=;5, as shown in Figure 3, ABC, M AB is the midpoint of the N on BC, BC=2AB / BMN= / C, is a ~ Delta, similarity ratio =;6, as shown in Figure 4, the trapezoidal ABCD, AD / / BC S, Delta ADE:S Delta BCE=4:9, Delta ABD:S Delta ABC= S;The perimeter of 7 and two similar triangles are 5cm and 16cm, respectively, and the ratio of the bisector of their corresponding angles is;8, as shown in Figure 5, the BC=12cm in ABC, D, and F are three points AB, E, G is three points AC, DE+FG+BC=;The ratio of the area of the two and the 9 triangles is 2:3, and the ratio of them to the angle is equal to the ratio of the height of the opposite side;10, it is known that there are two triangles similar, one side length is 2, 3 and 4 respectively, and the other side length is x, y and 12 respectively. Then the values of X and y are respectively;Two, multiple-choice questions11, the following polygon must be similar to (), A, two rectangles, B, two diamond, C, two squares, D, two parallelogramIn 12, ABC, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, the shortest edge of another and it is similar to the triangle is 5cm, is the longestside (18cm) is A, B, 21cm C, 24cm D, 19.5cm13, as shown in ABC, BD, CE to the high point of O, the following conclusion is wrong ()A, CO, CE=CD, CA, B, OE, OC=OD, OBC, AD, AC=AE, AB, D, CO, DO=BO, EO14, known in ABC / ACB=900, CD, AB in group D, if BC=5, CD=3, AD (long)A, 2.25 B, 2.5 C, 2.75 D, 315, as shown in figure ABCD, the edge of square BC is on the bottom QR of the isosceles right triangle PQR,The other two vertices, A and D, are on PQ and PR, and PA:PQ equals ()A, 1:B, 1:2, C, 1:3, D, 2:316, as shown in figure D, and E are Delta ABC edge AB and AC point, ==3,And / AED= / B, Delta AED and delta ABC is the area ratio is ()A, 1:2, B, 1:3, C, 1:4, D, 4:9Three, answer questions17, figure, known in the delta ABC, CD=CE / A= / ECB, CD2=AD - BE test.18, known as shown in ABC, DE, BC, AD=5, BD=3, S and delta ADE:S Delta ABC value.19, known square ABCD, C straight line, respectively, AD, AB extension line at points E, F, and AE=15, AF=10, square ABCD for the length of the side.20, known as shown in the equilateral Delta CDE and B respectively, A ED, DE extension line, DE2=AD and EB, and the degree of angle ACB.21, known as shown in ABC / C=600, AD, BC in D group, BE group AC E, Delta CDE Delta CBA to explain.22, known, as shown in figure F, ABCD edge, DC extension of the line point, link AF, pay BC at G, hand in BD at E, try to explain AE2=EG EF24. ABC, D, E / C=900, respectively AB, AC on AD, AB=AE AC, ED AB (13) to verify the aboveIn 25, ABC, M and AC is the midpoint, side of the AE=BA connection EM, and extend the BC line to D, verify the BC=2CDAB=AC, the 26 known isosceles triangle ABC, AD, BC in group D, CG, AB, AD, AC BG respectively in E, F, BE2=EF and EG prove:27, known in ABC, AD / BAC=900 BC in D P group, AD midpoint, BP extension line AC to E EF BC in F, an EF2=AE AC confirmation:28., as shown in the parallelogram,1. APD ~ CDQTwoMap your own painting, with a triangle of 30 degrees can be drawn outDreams of an isosceles triangle ABC / ABC = 120 DEGL / DAP= / DCQ=30 / CDQ / PDA=150 ~ * ~ / ADP / APD=150 degrees and dreamsL / CDQ= / APD / DAP= / QCD and dreamsStar delta APD Delta CDQ ~ AP/CD=PD/DQ frequencyD is the midpoint of AC AD=DC dreams AP/DP=AD/DQ AP/AD=PD/QD perylene perylene perylene / PDQ= / PAD dreamsStar delta APD to DPQ3. a triangle has 1 angles of 30, and the other has 2 30 degrees angles, in favor of the 155| review (6)(1) dreams / ABC=120 / A= / L degrees, C=30 degrees,Dreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees degrees,L / APD= / CDQ,Star delta APD to CQD(2) set up; as shownDreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees, degrees, R / APD= / CDQ / A= / C, andStar delta APD to CQD / A= / C only, the other corresponding angle are not equal, therefore, Delta APD and delta DPQ is similar;(3), two triangle into a more general condition, but the ABC must be an isosceles triangle, and / EDF= / A, otherwise it is not established.。

相似三角形奥数题库

几何：2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）· GAO D B EC Q P NM · O Q PB DE C N M · A O D BFAECP P A D CB4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．1.∠ABC 的顶点B 在⊙O 外，BA 、BC 均与⊙O 相交，过BA 与圆的交点K 引∠ABC 平分线的垂线，交⊙O 于P ，交BC 于M 。

求证：线段PM 为圆心到∠ABC 平分线距离的2倍。

2.在△ABC 中，AP 为∠A 的平分线，AM 为BC 边上的中线，过B 作BH⊥AP 于H ，AM的延长线交BH 于Q ，求证：PQ∥AB。

EDCB A3.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。

求证：MQ∥NP。

4.ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。

求证：KP⊥AB。

5.以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。

20181122小学奥数练习卷(知识点：相似三角形)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：相似三角形）题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共3小题）1．在面积为360的正方形ABCD中，E是AD中点，H是FG中点，且DF=CG，那么三角形AGH的面积是（）A．70B．72C．75D．902．如图，△ABC中，DE、FC、BC互相平行，AD=DF=FB，则S△ADE：S四边形DEGF：S =（）四边形FGCBA．1：2：3B．1：4：9C．2：5：8D．1：3：5 3．如图，四边形FBCE为长方形，四边形ABCD为边长为1的正方形．若AX长n，则AF长（）A．2（1﹣n）B．C．D．E．2n第Ⅰ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共32小题）4．如图，正方形ABCD的边长为4，正方形CEFG的边长为12，D、C、E三点在一条直线上，联结DF，作GI∥DF与DA的延长线交于点I．作IH⊥DF与DF 交于点H．则IH的长度为．5．如图，在长方形ABCD中，AB=30，阴影部分面积是120，那么，CF=．6．如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求的值．7．如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF=2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD：EF为．8．如图，在直角形△ABC中，角C=90°，AC=2，BC=1，D在AC上．将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处．如果AD⊥ED，则△ABE的面积为．9．如图，ABCD是长边为6的正方形，ADGH是一个梯形，点E、F分别是AD、GH的中点，HF=6，EF=4，EF⊥GH．联结HE并延长交CD于点I，作IJ⊥HA，则IJ=．10．如图，在圆O中，AB为直径，C为圆内一点．作AD平行BC与CO的延长线交于D点．延长OD至E点，使得DE=2CO．联结AE、BE、BD，延长BD交AE于点F，则AF：FE=．11．如图，A是长方形宽的中点，B位于长方形长边的三分之一处，长方形的面积是阴影部分面积的倍．12．如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC上的点，且AP：PD=1：3，AQ：QC=4：1，如果正方形ABCD的面积为100，那么三角形PBQ的面积是．13．如图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是．14．如图，长方形ABCD的长BC=15cm．宽AB=6cm．在AD上有一点E，使得DE=2AE．长方形ABCD的对角线交点为O．连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接OF与AD相交于点G．则阴影部分的面积为cm2．15．如图，ABCD是直角梯形，AB=4，AD=5，DE=3，那么梯形ABCD的面积是．16．如图，两个等腰直角三角形重叠在一起，阴影部分为重合部分，阴影部分的面积是平方厘米．17．如图所示，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是22和36，则三角形BNE的面积为．18．三个正方形如图放置，中心都重合，它们的边长依次是1cm、3cm、5cm，图中阴影部分的面积是cm2．19．如图1，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜边上，连结AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形，图2中已标出其中三块的面积，那么△ABC的面积是．20．在梯形ABCD中，上底长4厘米，下底长8厘米，S△COD=9平方厘米，梯形ABCD面积是．21．如图中，三角形ABC面积为48平方厘米，AD=2.5DB，CF=FD，阴影部分的面积总和比空白部分的面积总和少平方厘米．22．正方形ABCD与等腰直角三角形BEF叠放在一起（如图），M、N点为正方形的边的中点．阴影部分的面积是14cm2，三角形BEF的面积是cm2．23．如图，有两条线段BG和EF把一个边长15分米的正方形分成两个高相等（AF=FD）的直角梯形与一个直角三角形，已知两个梯形面积的差是18平方分米，图中线段CG的长是分米．24．图中AC：CD=5：1，S△ADE：S△ABC=4：5，那么AE：EB=．25．如图，长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AC、AH、DH、BC的中点．三角形EFG的面积是平方厘米．26．将一个三角形的三条边同时扩大相同的倍数，如图，得到的新三角形的面积变为原三角形面积的9倍，则新三角形的周长是原三角形的周长的倍．27．如图，将一个三角形（有阴影）的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的倍．28．如图，在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，则FC=．29．图中，四边形FMCG和FDHG都是梯形．D为BC的中点，BE=BA，MF=MA，△ABC的面积为1．那么梯形FDHG的面积是．30．在如图中，AE：EC=1：2，CD：DB=1：4，BF：FA=1：3，△ABC的面积S=1，那么四边形AFHG的面积为．31．如图所示，E是矩形ABCD的边BC的中点，BD与AE的交点为F，那么三角形FAB的面积与矩形ABCD的面积之比为．32．图中，三角形ABC的面积是60cm2，已知AF：FC=2：3，E为BC边的中点，那么阴影部分的面积是cm2．33．如图，梯形ABCD中，BO=3OD，三角形ABO的面积为12平方厘米，则梯形ABCD的面积为平方厘米．34．如图，长方形ABCD的面积为120平方厘米，BE=3AE，BF=2FC，则S△AEG=．35．如图，ABCD是正方形，其面积为50平方厘米，3AE=AB，求△GCD的面积评卷人得分三．解答题（共15小题）36．如图所示，正方形ABCD的边长是20，E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，连接AF、AG、FG、BE、EC，这些线段相交于H、N、M、P点，请问：（1）△GCF的面积是多少？（2）△CPF的面积是多少？（3）五边形HFPMN的面积是多少？37．将一张长方形纸片依如图所示之方式折叠，使得纸片的一个顶点落在一条短边的中点上．若阴影部分的两个三角形是完全相同的三角形（三条边相等ao=do；oe=ob；ac=db，三个角相等，面积相等），且未折叠前的长方形纸片短边长度是12 厘米．那么，BF的长度是多少厘米．38．边长分别为8cm和6cm 的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BC于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？39．图中D是△ABC的BC上的一点，且BD：CD=2：1，过D点作DF∥AC交AB 于E，延长DE到F，使FE：ED=2：1，如果△CDF的面积是42平方厘米，则△ABC的面积是平方厘米．40．如图，ABCD是一个长方形，从G、F、E引出的小横线都平行于AB．若AD=12，则AG等于多少？41．如图是由边长分别为5厘米和4厘米的两个正方形拼成，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？42．图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？43．在一个直角三角形纸片上剪一块正方形，并使正方形的面积尽可能大，正方形的面积是多少？44．长方形ABCD的面积是2011平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．45．如图，梯形ABCD的上底AD长12厘米，高BD长18厘米，BE=2DE，则下底BC长厘米．46．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O．已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积．47．如图，在梯形ABCD中，三角形AOB的面积是13平方厘米，线段OB的长度是OD的2倍．△BOC的面积是多少平方厘米？48．如图，正方形ABCD的边长为4，是BC边的中点的，F是DC边上的点且DF= DC，AE与BF相交于G点．求△ABG的面积．49．如图，在△ABC中，AB=11cm，AC=9cm．首先，在BC边上，取点H使么∠BHA=90°；然后在BC边上，在H与C之间取点D，使么BAD=60°；这样，∠DAC是∠HAD的2倍．请问，这时BH的长度是CH长度的几倍？50．如图，在长方形ABCD的外侧取点E，将各顶点用直线连接，AD和EB的交点是F．当三角形EAF是18cm2；四边形FBCD是50cm2；三角形EDC是8cm2时，求三角形EFD的面积．请写出答案及思考过程．参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．在面积为360的正方形ABCD中，E是AD中点，H是FG中点，且DF=CG，那么三角形AGH的面积是（）A．70B．72C．75D．90【分析】连结EG，EF，设正方形边长为1份，GC=DF=x份．由风筝模型知，故列出方程：S△EGC ：S△ECF=GH：HF=1：1，x×1=（1﹣x）×，即可求得DF的值，连AF，阴影部分的面积可用正方形的面积减去空白部分的小三角形的面积得到．【解答】解：根据分析，连结EG，EF，设正方形边长为1份，GC=DF=x份．由风筝模型知，故列出方程：S△EGC ：S△ECF=GH：HF=1：1，x×1=（1﹣x）×，解得：x=．连结AF，∵；；，∴S△AGF =1﹣S△ABG﹣S△GCF﹣S△ADF=，∴=70．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形，突破点是：利用风筝模型，列出关系式，再求解，根据各三角形的面积最后求出阴影部分的面积．2．如图，△ABC中，DE、FC、BC互相平行，AD=DF=FB，则S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB=（）A．1：2：3B．1：4：9C．2：5：8D．1：3：5【分析】因为DE∥FC，AD=DF，所以S△ADE ：S△AFG=1：4，S△ADE=S△AFG，S四边形DEGF=S△AFG，FG∥BC，AD=DF=FB，S△AFG：S△ABC=4：9，所以S△ABC=S△AFG，S四边形FGCB=S△AFG，再求比即可．【解答】解：因为DE∥FC，AD=DF，所以S△ADE ：S△AFG=1：4，S△ADE=S△AFG，S四边形DEGF=S△AFG，FG∥BC，AD=DF=FB，S△AFG：S△ABC=4：9，所以S△ABC =S△AFG，S四边形FGCB=S△AFG，S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB=S△AFG：S△AFG：=S△AFG，=：：=1：3：5．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的性质，关键是用S△ADE 表示出S四边形DEGF和S四边形FGCB．3．如图，四边形FBCE为长方形，四边形ABCD为边长为1的正方形．若AX长n，则AF长（）A．2（1﹣n）B．C．D．E．2n【分析】分析：要求AF的长，可以根据△AFX与△BCF相似，得到相应的线段的比值，继而得到答案．【解答】解：因为四边形FBCE为长方形，四边形ABCD为边长为1的正方形，所以AX∥BC，所以△AFX∽△FBC，所以，即：，所以FA=．故选：B．【点评】本题主要考查了利用三角形的相似求线段的长度，解题的关键在于如何判定两三角形相似，并找出相应的对应边．二．填空题（共32小题）4．如图，正方形ABCD的边长为4，正方形CEFG的边长为12，D、C、E三点在一条直线上，联结DF，作GI∥DF与DA的延长线交于点I．作IH⊥DF与DF 交于点H．则IH的长度为7.2．【分析】过G作GJ⊥DF，垂足为J．根据勾股定理、相似三角形的判定与性质，求出GJ，证明IH=GJ，即可得出结论．【解答】解：过G作GJ⊥DF，垂足为J．在直角△DEF中，∠E=90°，EF=12，DE=4+12=16，由勾股定理得DF=20，因为∠E=90°，所以∠EDF+∠EFD=90°，因为∠EFG=∠JFG+∠EFD=90°，所以∠EDF=∠JFG，在△DEF和△FJG中，，所以△DEF∽△FJG，所以，所以，所以GJ=7.2，因为GI∥DF，IH⊥DF，GJ⊥DF，所以IH=GJ，所以IH=7.2．故答案为7.2．【点评】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，考查学生的计算能力，正确运用勾股定理、相似三角形的判定与性质是关键．5．如图，在长方形ABCD中，AB=30，阴影部分面积是120，那么，CF=8．【分析】按题意，可以利用阴影部分的面积求得BF和CE的乘积，而由BF：FC=AB：CE，从而可以求得FC和AB的乘积，再利用线段之比，求得CF的长．【解答】解：根据分析，阴影部分的面积=×BF×CE=120⇒BF×CE=240，又∵BF：FC=AB：CE∴BF×CE=FC×AB=240，又∵AB=30∴FC=240÷30=8，故答案是：8．【点评】本题考查了剪切和拼接，突破点是：利用阴影部分的面积和线段的比例关系求得CF的长．6．如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求的值．【分析】连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC=EP：PD，只要求出S△EFC 和S△FDC的比即可求出EP：PD，从已知的线段之间的比例关系，可以算出面积之比，可以求得△EFC和△FDC分别与△ABC的面积比，从而最后求得EP：PD的值．【解答】解：根据分析，如图，连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC=EP：PD又∵AF=2BF∴S△AFC ：S△BFC=AF：BF=2：1⇒，；同理：CE=3AE⇒S△EFC ：S△AEF=EC：AE=3：1⇒=；CD=4BD⇒S△CDF：S△BDF=CD：BD=4：1⇒=故：EP：PD=S△EFC ：S△FDC=．故答案是：．【点评】本题考查了相似三角形和风筝模型，突破点是：利用风筝模型列出线段比和面积比的关系式，再求解．7．如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF=2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD：EF为2：1．【分析】因为AF=2FB，所以AF：FB=2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF=AF：FB=2：1，据此解答即可．【解答】解：因为AF=2FB，所以AF：FB=2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，则∠ADF=∠BEF，∠EFB=∠DFA，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF=AF：FB=2：1，故答案为：2：1．【点评】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据BE∥AC，得出△ADF∽△BEF．8．如图，在直角形△ABC中，角C=90°，AC=2，BC=1，D在AC上．将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处．如果AD⊥ED，则△ABE的面积为．【分析】先根据勾股定理计算出AB=，根据折叠的性质得BE=BA=，DA=DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，可得△BCD是等腰直角三角形，CD=1，AD=1，继而求得△ABE的面积．【解答】解：由勾股定理得：AB=，∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴△ABD≌△BDE，∴BE=BA=，∠BDA=∠BDE=135°，又∵AD⊥ED，∴BC∥DE，所以△BCD是等腰直角三角形∴BC=CD=1，所以S=，△BDE同理可得：，所以△ABE的面积是．故答案为：．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等性质的综合应用．9．如图，ABCD是长边为6的正方形，ADGH是一个梯形，点E、F分别是AD、GH的中点，HF=6，EF=4，EF⊥GH．联结HE并延长交CD于点I，作IJ⊥HA，则IJ= 3.6．【分析】如下图所示作辅助线，过点E作EN⊥HJ于点N，延长BA，交EH于点O，交HG于点M，则AM⊥HF，AM⊥AD，因此AM=EF=4；由点E、F分别是AD、GH的中点，可知AE=HM=3，又HM∥AE，所以四边形AEMH是平行四边形，则OA=AM=×4=2，由△OAE≌△IDE，可得DI=AO=2；在RT△AMH 中，由勾股定理可得AH=5；同理可得HE=2，EI=，于是可以求得HI=HE+EI=3；由S△HAE=AE•EF=AH×EN，可以求得EN的长；由∠ENJ=∠J=90°，∠NHE=∠JHI，可得△HNE∽△HJI，由相似三角形的对应边成比例即可求得IJ的长．【解答】解：如图作辅助线，由分析可知，AM⊥HF，AM⊥AD，则AM=EF=4；因为点E、F分别是AD、GH的中点，所以AE=HM=3，又HM∥AE，所以四边形AEMH是平行四边形，所以OA=AM=×4=2．因为AE=DE，∠AEO=∠DEI，∠OAE=∠IDE=90°，所以△OAE≌△IDE，所以DI=AO=2；在RT△AMH中，由勾股定理可得AH==5，同理可得：HE=2，EI=，所以HI=HE+EI=3；=AE•EF=AH×EN可得：×3×4=×5×EN，由S△HAE解之得，EN=2.4；因为∠ENJ=∠J=90°，∠NHE=∠JHI，所以△HNE∽△HJI，所以=，所以=，解得IJ=3.6．故答案为：3.6．【点评】本题较难，辅助线很关键；用到平行四边形的判定以及性质，三角形的全等及相似，勾股定理等知识．10．如图，在圆O中，AB为直径，C为圆内一点．作AD平行BC与CO的延长线交于D点．延长OD至E点，使得DE=2CO．联结AE、BE、BD，延长BD交AE于点F，则AF：FE=1．【分析】如图，连接AC．根据比例模型可知AC∥DF，可得==1，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接AC．∵AD∥BC，OA=OB，∴==1，∴CO=OD，∵OA=OB，OC=OD，∴AC∥BF，∴=，∵DE=2OC=CD，∴=1，∴AF：EF=1，故答案为1．【点评】本题考查比例模型，圆的有关知识，解题的关键是灵活运用比例模型的知识解决问题．11．如图，A是长方形宽的中点，B位于长方形长边的三分之一处，长方形的面积是阴影部分面积的3倍．【分析】分析：如下图，设长方形CDFE边长为3x，宽为2y，则BD=2x，CD=2y，则可计算矩形CDFE的面积、三角形CBF的面积、三角形CBA的面积，根据三角形CBF的面积、三角形CBA的面积即可计算阴影部分的面积，根据计算得数值比较可以计算长方形的面积是阴影部分面积的几倍．【解答】解：设FD=3x，CD=2y，∴FB=x，CA=y，则矩形ABCD的面积=6xy，△FBC的面积是，△CBA的面积是，阴影部分的面积为xy+xy=2xy，所以长方形的面积是阴影部分面积的3倍，故答案为：3．【点评】本题考查了当高一定的时候，三角形的面积与底成正比例这一性质的灵活应用．12．如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC上的点，且AP：PD=1：3，AQ：QC=4：1，如果正方形ABCD的面积为100，那么三角形PBQ的面积是37.5．【分析】连接DQ，作△DQP的高QE．分别求出△ABP、△BCQ、△DCQ、△DPQ 的面积，然后用正方形的面积减去它们的和即可．【解答】解：连接DQ，作△DQP的高QE．正方形ABCD 的面积为100，所以它的边长是10．因为AP ：PD=1：3，所以AP=2.5；DP=7.5．S △ABP =10×2.5÷2=12.5．AQ ：QC=4：1，所以S △CQB =S △ABC =S 正方形ABCD =×100=10．同理，S △DCQ =10．EQ ⊥AD ，所以EQ ：DC=AQ ：AC=4：5，EQ=×10=8，S △OQD =7.5×8÷2=30．S △PBQ =S 正方形ABCD ﹣S △ABP ﹣S △CQB ﹣S △DCQ ﹣S △OQD =100﹣12.5﹣10﹣10﹣30=37.5．【点评】根据边的比求出四个三角形的面积是关键．求三角形PQD 是面积时，根据平行线分线段成比例原理，求出高EQ 是关键．13．如图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD 的面积是 53 ．【分析】分析：要求四边形ABCD 的面积在这里可以采用整体思想来求，在大正方形里面共有5个矩形，其中除去阴影部分的面积，四个矩形的面积为10×10﹣6=94，每个三角形的面积分别是所在矩形面积的一半，继而可求得答案．【解答】解：（10×10﹣6）÷2+6=94÷2+6=47+6=53答：四边形ABCD的面积是53．故答案为：53．【点评】本题主要采用了整体思想的运用，在平常的解题中，我们要注意平行四边形的对角线分成的两个三角形面积相等这样一个性质的运用．14．如图，长方形ABCD的长BC=15cm．宽AB=6cm．在AD上有一点E，使得DE=2AE．长方形ABCD的对角线交点为O．连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接OF与AD相交于点G．则阴影部分的面积为6cm2．【分析】DE=2AE可知：DE=BC，延长GO交BC与M点；ED∥BC可知：△FED ∽△FBC，FD=FC；△FGD∽△FMC，GD=MC；△AOG≌△COM，AG=MC，再由AG+GD=15厘米进行代换求出AG的长度，进而求出EG的长度，再从O 点做出△EOG的高，这个高的长度是长方形ABCD宽的一半，进而根据三角形的面积公式求出△EOG的面积．【解答】解：如图：延长GD交BC于M点，做△EOG的高ON；DE=2AE，那么AE=AD=15×=5（厘米）；DE=AD=BC；因为ED∥BC，所以∠FED=∠FBC；∠FDE=∠FBC，又因为：△FED∽△FBC，所以：ED=BC，FD=FC；同理：因为GD∥MC，△FGD∽△FMC，GD=MC；因为∠DAC=∠ACB，AO=CO，∠AOG=∠MOC，所以△AOG≌△COM，那么：AG=MC；GD=AG，AG+GD=15，AG+AG=15，AG=9（厘米）；所以：EG=AG﹣AE=9﹣5=4（厘米）；ON=AB=×6=3（厘米）；S△EOG=×4×3=6（平方厘米）；答：阴影部分的面积是6平方厘米．故答案为：6．【点评】本题根据相似三角形边之间的比例关系以及全等三角形边之间的关系，求出EG的长度，再求出EG边上高的长度，根据三角形的面积公式求解即可．15．如图，ABCD是直角梯形，AB=4，AD=5，DE=3，那么梯形ABCD的面积是40．【分析】如图所示，三角形ADC 和三角形BDC 等底等高，则二者的面积相等，它们都减去公共部分（三角形ODC ），剩余部分的面积仍然相等，即三角形AOD 和三角形BOC 的面积相等，于是即可求出三角形OBC 的面积，进而得出三角形AOB 的面积，因为等高不等底的三角形的面积比就等于对应底的比，也就能求出AO 与OC （BO 与OD ）的比，从而即可求出三角形ODC 的面积，问题即可得解．【解答】解：S △AOD =S △BOC =5×3÷2=7.5，S △AOB =4×5÷2﹣7.5=10﹣7.5=2.5；所以AO ：OC=BO ：OD=2.5：7.5=1：3，所以S △ODC =7.5×3=22.5，所以梯形的面积为：10+7.5+22.5=10+30=40．答：梯形ABCD 的面积是 40．故答案为：40．【点评】解答此题的主要依据是：等底等高的三角形的面积相等，等高不等底的三角形的面积比就等于对应底的比．16．如图，两个等腰直角三角形重叠在一起，阴影部分为重合部分，阴影部分的面积是21.5平方厘米．【分析】利用等腰直角三角形的特点，计算出其面积．阴影部分的面积比较容易算出．【解答】解：因为是两个等腰直角三角形叠放在一起，所以△BGF，△BDH，△CFI都是等腰直角三角形．因为BF=12 厘米；所以BF 边上的高就是6厘米；所以S△BFG=12×6×=36 平方厘米；S△ICF=2×2÷2=2平方厘米；因为BD=BF﹣DF=12﹣7=5厘米；所以DH=5厘米；S△BDH=5×5×=12.5平方厘米；所以阴影部分的面积是36﹣2﹣12.5=21.5 平方厘米．【点评】此题考查了等腰直角三角形的特殊性质，底边上的中线，高线，顶角平分线三线合一以及在面积计算中的综合运用．17．如图所示，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是22和36，则三角形BNE的面积为14．【分析】如下图所示，连接AM，由等底等高的三角形的面积相等，有S△DAP =S△DAM，所以S△DAP﹣S△DAF=S△DAM﹣S△DAF，即S△PDF=S△MAF=22，同理可得，S△BNE=S △MAE，所以S△BNE =S△MAE=S△EAF﹣S△MAF=36﹣22=14，据此解决即可．【解答】解：如上图所示：因为S△DAP =S△DAM，所以S△DAP ﹣S△DAF=S△DAM﹣S△DAF，即S△PDF =S△MAF=22．同理可得，S△BNE =S△MAE，所以S△BNE =S△MAE=S△EAF﹣S△MAF=36﹣22=14．答：三角形BNE的面积为14．故答案为：14．【点评】本题解决的关键是能作出辅助线，利用等底等高的三角形的面积相等解决．18．三个正方形如图放置，中心都重合，它们的边长依次是1cm、3cm、5cm，图中阴影部分的面积是17cm2．【分析】求阴影部分的面积就相当于求大正方形的面积减去另外两个正方形的面积差；据此解答．【解答】解：5×5﹣（3×3﹣1×1），=25﹣8，=17（平方厘米）；答：图中阴影部分的面积是17cm2．故答案为：17．【点评】本题关键是观察得出：阴影部分的面积=大正方形的面积﹣（中正方形的面积﹣小正方形的面积）．19．如图1，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜边上，连结AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形，图2中已标出其中三块的面积，那么△ABC的面积是36．【分析】根据燕尾定理，求得三角形的面积比与边长比，然后再利用等腰直角三角形的性质，求得中间的小等腰直角三角形与大的等腰直角三角形的面积比，即可求得大的三角形的面积．【解答】解：根据分析，如图（1）延长AD交BC于G．如图（2）根据燕尾定理，得到：S△DEG：S△DFG=2：3=0.4：0.6；如图（3）得：GD：GA=0.4：（2+0.4）=0.4：2.4=1：6，∵ED∥BA，∴EG：GB=1：6，同理FG：GC=1：6，∴，故：S△ABC =36×S△DEF=36×1=36，故答案是：36．【点评】本题考查了相似三角形和燕尾定理，本题突破点是：利用燕尾定理求得三角形的面积比与边长比．20．在梯形ABCD中，上底长4厘米，下底长8厘米，S△COD=9平方厘米，梯形ABCD面积是40.5平方厘米．【分析】三角形AOD相似于BOC，再依据“上底长4厘米，下底长8厘米，S=9△COD 平方厘米”，即可代入公式计算．【解答】解：AD=4，BC=8，因为△AOD∽△BOC，所以OD：OB=1：2，则S△DOC：S△BOC=1：2，因为S△DOC=S△BOA=9平方厘米，所以S△BOC=18平方厘米；S△AOD=S△AOB=9÷2=4.5（平方厘米），SABCD=4.5+9+9+18=40.5（平方厘米）；答：梯形的面积是40.5平方厘米．故此题应填40.5平方厘米．【点评】此题主要考查梯形的面积公式及相似三角形的特点，将题目数据代入公式及可以求出．21．如图中，三角形ABC面积为48平方厘米，AD=2.5DB，CF=FD，阴影部分的面积总和比空白部分的面积总和少8平方厘米．【分析】AD=2.5DB，则AD：DB=5：2此题应根据梅涅劳斯定理，得到××=1，得到=，设S△CEF=7X，则S△AEF=5X，S△EDC=12X，S△BED=S△ABE=30X．再由图中三角形ABC的面积是48平方厘米，解决问题．【解答】解：AD=2.5DB，则AD：DB=5：2，根据梅涅劳斯定理，得到××=1，得到=，设S △BEF =7X ，则S △CEF =5X ，因为CF=DF ，所以S △EDC =7X +5X=12X ，又因为AD ：DB=5：2，则三角形ADF 的面积：三角形BDF 的面积=5：2，所以S △AFD =S △AFC =12X ×5÷2=30X所以可得：5X +7X +12X +30X +30X=4884X=48X=则阴影部分的面积比空白处的面积少：12X +7X +30X ﹣30X ﹣5X=14X=14×=8（平方厘米）答：阴影部分的面积总和比空白部分的面积总和少 8平方厘米．故答案为：8．【点评】掌握梅涅劳斯定理，是解答此题的关键．22．正方形ABCD 与等腰直角三角形BEF 叠放在一起（如图），M 、N 点为正方形的边的中点．阴影部分的面积是14cm 2，三角形BEF 的面积是 18 cm 2．【分析】因为M 、N 是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如图形中的三角形面积都相等，阴影部分由7个三角形组成，且其面积为14平方厘米，故一个三角形的面积为2平方厘米，那么三角形BEF 的面积是18平方厘米．【解答】解：如图，作出辅助线后，可知每个小三角形的面积为：14÷7=2，所以大三角形的面积为：14÷7×9=18（平方厘米）．故答案为：18．【点评】此题较难，应结合题意，根据图形进行分析，将该图形进行分割后，使所得图形如图形中的三角形面积都相等．23．如图，有两条线段BG和EF把一个边长15分米的正方形分成两个高相等（AF=FD）的直角梯形与一个直角三角形，已知两个梯形面积的差是18平方分米，图中线段CG的长是4分米．【分析】过E点做BC的平行线，交AB于H，交DC于I．已知两个梯形的面积差为15，所以△HBE+△GIE=15，即HB×HE÷2+IG×IE÷2=15，再根据HE=IE=，即可求出CG．【解答】解：如图，过E点做BC的平行线，交AB于H，交DC于I．因为S梯形ABEF﹣S梯形GDEF=15平方分米，所以△HBE+△GIE=15平方分米，所以HB×HE÷2+IG×IE÷2=15因为HE=IE=所以（HB+IG）×=30所以GC×=30所以GC=4答：线段CG的长是4分米．故答案为：4．【点评】此题解答的关键通过作辅助线，运用转化的数学思想，解决问题．24．图中AC：CD=5：1，S△ADE：S△ABC=4：5，那么AE：EB=2：1．【分析】如图，从B点向AC做垂线BF，它是三角形ABC的高，从E向AC做垂线EG，它是三角形ADE的高，根据三角形的面积公式分别表示出三角形ABC 和三角形ADE的面积，再根据这两个三角形的面积比，得出EG与BF的比，然后根据三角形AEG与三角形ABF相似，得出它们的相似比，从而得出AE 与AB的比，进而求出AE与EB的比．【解答】解：如图，做三角形ABC的高BF，以及三角形ADE的高EG；因为AC：CD=5：1所以AD：AC=6：5，AC=AD；S△ADE=EG×ADS△ABC=BF×AC=BF×AD，又S△ADE ：S△ABC=4：5，所以：（EG×AD）：（BF×AD）=4：5EG：BF=4：55EG=BFEG=BF，所以：EG：BF=2：3，因为：EG⊥AC，BF⊥AC，所以EG∥BE，△AGE∽△AFB，所以AE：AB=EG：BF=2：3那么AE：EB=2：（3﹣2）=2：1．故答案为：2：1．【点评】解答此题的关键是结合题意，利用三角形的面积公式，得出对应高的比，再由相似三角形的性质，得出对应边的比相等．25．如图，长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AC、AH、DH、BC的中点．三角形EFG的面积是5平方厘米．【分析】如图：连接BF、CG，因为E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点．这样把长方形ABCD平均分成8份，阴影部分占，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．【解答】解：因为E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点．所以AE=ED，BH=HC，EF=FB，DG=GH，所以三角形EFG的面积占长方形ABCD面积的，40×（平方厘米），答：三角形EFG的面积是5平方厘米．故答案为：5．【点评】求出阴影部分的面积占长方形面积的几分之几是解答关键，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．26．将一个三角形的三条边同时扩大相同的倍数，如图，得到的新三角形的面积变为原三角形面积的9倍，则新三角形的周长是原三角形的周长的3倍．【分析】根据题干分析可得，原三角形与新三角形相似三角形，相似比是1：3．根据相似三角形的性质可得：相似三角形的面积的比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．由此即可得出答案．【解答】解：根据题干可得原三角形与新三角形相似，相似比是1：3，由相似三角形的性质可得：周长的比等于相似比，即：原三角形周长：新三角形周长=1：3答：新三角形的周长是原三角形的周长的3倍．故答案为：3．【点评】此题考查了相似三角形的相似比与它们周长的比以及面积的比的性质．27．如图，将一个三角形（有阴影）的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的9倍．【分析】因大三角形的两条边分别被三等分，根据：如果三角形的高相等，则高所在边的长度比就等于面积比，可以求得结果．【解答】解：分别连接由b边延长得到的等分点与对应的顶点，则得到三个一b 为底边的三个面积相等的三角形，又因最左边的面积与阴影的面积比是3：1，所以阴影的面积与大三角形的面积比是1：9，则这个大三角形的面积是原三角形面积的9倍．故此题应填：9．【点评】此题主要考查等底等高的三角形面积相等．28．如图，在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，则FC=8．【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以可得三角形BEF 和三角形CDF相似，则对应线段成比例：BE：CD=BF：FC，据此设FC为x，则BF就是10﹣x，根据线段比例式可得：4：16=（10﹣x）：x，据此解比例求出x的值即可．【解答】解：AB∥CD，所以可得三角形BEF和三角形CDF相似，则对应线段成比例：BE：CD=BF：FC，设FC为x，则BF就是10﹣x，根据线段比例式可得：4：16=（10﹣x）：x，4x=16（10﹣x），4x=160﹣16x，20x=160，x=8，答：FC=8．故答案为：8．。

初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题16 相似三角形的性质

专题16相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有：1.对应角相等；2.对应边成比例；3.对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；4.周长之比等于相似比；5.面积之比等于相似比的平方.性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC ，设BC a =，AD h =，试用a 、h 的代数式表示正方形的边长.例题与求解【例1】如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是.（“弘晟杯”上海市竞赛试题）解题思路：由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换.【例2】如图，已知△ABC 中，DE ∥GF ∥BC ，且::1:2:3AD DF FB =，则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形（）（黑龙江省中考试题）A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36解题思路：△ADE ，△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积.【例3】如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，求△ABC 的面积.（第二届美国数学邀请赛试题）解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质.如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到：1△FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ；21HG IE DFBC AC AB ++=；32DE FG HIBC AC AB++=；42ABC S =△.上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独运，请读者给出证明.【例4】如图，△ABC 中，O 是三角形内一点，满足∠BAO ∠ =CAO ∠ =CBO ∠ =ACO .求证：2BC AC AB =⋅.（北京大学自主招生考试试题）解题思路：这实际上是一个著名的问题：布洛卡点问题.设P 是△ABC 内一点，满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，称点P 是△ABC 的布洛卡点，则有cot cot cot cot BAC ABC ACB θ∠+∠+∠=.【例5】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，5DC =，AB =，45B ∠=︒.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，设运动的时间为t 秒.（1）求BC 的长；（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形.（济南市中考试题）解题思路：对于（2），由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对于（3），需要分情况讨论.在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：①勾股定理；②相似三角形面积比等于相似比的平方.【例6】设△A 1B 1C 1的面积为S 1，△A 2B 2C 2的面积为S 212()S S <，当△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且120.30.4S S ≤≤时，则称△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2有一定的“全等度”.如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，30B ∠=︒，60BCD ∠=︒，连接AC .（厦门市中考试题）（1）若AD =DC ，求证：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”；（2）你认为：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障..能力训练A 级1.如图，在△ABC 与△BED 中，若53AB BC AC BD BE DE ===，且△ABC 与△BED 的周长之差为10cm ，则△ABC 的周长为cm.（第1题）（第2题）（第3题）2.如图，△ABC 中，:1:2CE EB =，DE ∥AC .若△ABC 的面积为S ，则△ADE 的面积为.（苏州市中考试题）3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ，CD 交于F ，且3EFC FED S S =△△，则:ADE ABC S S =△△.4.若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为cm.（武汉市中考试题）5.如图，□ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 的中点，EF 交AC 于点O ，FE 的延长线交CB 的延长线于G 点，那么:AOF COG S S =△△（）A.1:4B.1:9C.2:5D.1:2（第5题）（第6题）（第7题）6.如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD ∥BC ，BC =CD ，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒.将△BEC 绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连接EF 交CD 于点M .已知5BC =，3CF =，则:DM MC 的值为（）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:4（荆州市中考试题）7.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE ，BC 分别交于点N ，M ，则下列结论错误的是（）A.AN ON AM OM= B.22ONE OMB S AN S AM =△△ C.AN OE AM OC= D.22ADE ABCS ON OM S =△△8.如图，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，N 点在CD 上.若BMN MBC ∠=∠，则CNND的值为（）A.12B.13C.23D.25（第8题）（第9题）图1图2ABF ∽△COE ；边中点，2ACAB=时，如图2，求OF OE 的值；边中点，AC n AB =时，请直接写出OFOE的值.ABC 中，4AB =，D 在AB 边上移动（不与A ，B 重合），DE ∥BC 交AC 于E ，连接1DEC S S =△.中点时，求1:S S 的值；，1S y S=，用x 的代数式表示y ，并求x 的取值范围；点位置；若不存在，请说明理由.（福州市中考试题）12.在等腰△ABC 中，5AB AC ==，6BC =.动点M ，N 分别在两腰AB ，AC 上（M 不与A ，B 重合，N 不与A ，C 重合），且MN ∥BC .将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上；（2）设MN x =，△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B 级1.如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB .若△ADE ，△EFG ，△GIC 的面积分别为20cm 2，45cm 2，80cm 2，则△ABC 的面积为.（第1题）（第2题）ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，对角线AC ⊥BD 于P 点，已知.（绍兴市中考试题）内接于△ABC ，已知△AOR ，△BOP 和△CRQ 的面积分别是的边长是（）（全国初中数学联赛试题）B.3C.2D.3（第3题）（第4题）（第5题）4.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且3CD AB =，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则:AE ED =（）（“希望杯”邀请赛试题）A.2B.32 C.12 D.12-5.如图，△ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AB 上的点，且123∠=∠=∠.如果△ABC ，△EBD ，△ADC 的周长依次是m ，m 1，m 2，证明：1254m m m +≤.（全国初中数学联赛试题）6.如图，P 是△ABC 内的一点，等长的三条线段DE ，FG 和HI 分别平行于边AB ，BC 和CA ，并且12AB =，8BC =，6CA =.求证：::1:5:3AI IF FB =.（江苏省竞赛试题）（第6题）（第7题）7.如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且ABC PQRS S nS =△矩形，其中n 为不小于3的自然数.求证：BSAB为无理数.（上海市竞赛试题）8.如图，已知直线l 1的解析式为36y x =+，直线l 1与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，直线l 2经过B ，C 两点，点C 的坐标为(8,0).又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线l 2上从点C 向点B 移动，点P ，Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度.设移动时间为t 秒.（1）求直线l 2的解析式；（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式；（3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？（山西省中考试题）9.如图，设△ABC 三边上的内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等.求证：△ABC 为正三角形.（江苏省竞赛试题）10.在矩形ABCD 和矩形CEFG 中，已知AD CGk AB CE==，连接DE 与AF 交于点P ，连接CP.（1）如图1，当1k =时，点B ，C ，E 三点在同一条直线上，求AFDE的值.（2）如图2，当1k =时，将图1中的矩形CEFG 绕点C 顺时针旋转一个角度.①求AFDE的值；②求证：CP ⊥AF .（3）如图3，当1k ≠时，请直接写出用含k 的式子表示的AFDE的值.图1图2图311.在直角梯形ABCD 中，CB ∥OA ，90COA ∠=︒，3CB =，6OA =，BA =分别以OA ，OC 边所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求点B 的坐标；（2）已知D ，E 分别为线段OC ，OB 上的点，5OD =，2OE EB =，直线DE 交x 轴于点F ，求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.（山西省中考试题）专题16相似三角形的性质例110.5提示：BE AE EFEG EC BE==．例2C例3144提示：1++=．例4解法一：如图1，过点O作AC的平行线交BC，AB于点D，E．∵DE∥AC，∴∠OAC=∠1，∴∠1=∠BAO，∵∠OAC=∠OCA，∴AO=OC，AE=OE，∴△AOE∽△ACO，∴AC OCAO EO=①，∵DE∥AC，∴AB AECB CD=②，∵∠2=∠OBC，∠BCO=∠BCO，∴△OCD∽△BCO，∴OC CDBC CO=③，①×②×③得ACCO图1AB CEDO12AB OC OC AE CDBC BC OE CD OC⋅=⋅⋅，∴21AC ABBC⋅=（AO=OC，AE=OE），∴2BC AC AB=⋅．解法二：如图2，不妨设AB>AC，延长CA至点P，使CP=AB，连接PB，PO．在△BAO和△PCO中，BA PCBAO PCOAO CO=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BAO≌△PCO，∴∠CPO=∠ABO．∴O，A，P，B四点共圆，∴∠OAB=∠OPB=∠OBC．而∠CPO=∠ABO，∴∠ABC=∠CPB，又∠ACB=∠BCP，∴△CBA∽△CPB，∴AC BCBC PC=，注意到PC=AB，∴2BCAC AB=⋅，即△ABC三边成比例．例5提示：（1）BC =10（2）如图1，过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，则BG =AD =3，GC =7，MN ∥DG ，当M ，N 运动t 秒时，CN =t ，CM =10-2t ，由△MNC ∽△GDC ，得CN CM CDCG=，即10257t t -=，解得5017t =．（3）①当NC =MC 时，如图2，则t =10-2t ，103t =；②当MN =NC 时，如图3，过点N 作NE ⊥MC 于点E ，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，由△NEC ∽△DHC ，得CN EC CDHC=，即553t t -=，解得258t =；③当MN =MC 是，如图4，过点M 作MF ⊥CN 于点F ，则1122FC NC t ==．由△MFC ∽△DHC ，得FCMCHC DC =，即1102235tt -=，解得6017t =．例6（1）∵AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ACB ．∵∠BCD =60°，∴∠DCA =∠ACB =30°．∵∠B =30°，∴∠DAC =∠B =30°，∴△DAC ∽△ABC ．过点D 作DE ⊥AC 于点E ．∴AD =DC ，∴AC =2EC ．在Rt △DEC 中，∵∠DCA =30°，∴cos 2EC DCA DC∠==，∴DC EC =，∴DC AC=图1图2图3图4∴210.33DAC ABC DC AC S S ∆∆=≈⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵0.30.4DACABCS S ∆∆≤≤，∴△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”．（2）△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”不正确．反例：若∠ACB =40°，则△DAC 与△ABC 不具有一定的“全等度”．∵∠B =30°，∠BCD =60°，∴∠BAC =110°．∵AD ∥BC ，∴∠D =120°．∴△DAC 与△ABC 都是钝角三角形，且两钝角不相等．∴△DAC 与△ABC 不相似．∴若∠ACB =40°，则△DAC 与△ABC 不具有一定的“全等度”．A 级1．252．29S3．194．127或60375．B6．C7．C 8．A9．提示：由△ABC ∽△DCA ，得22ABC ADCS AB BC CDS AD∆∆==10．提示：（1）∠ABF =∠COE ，∠BAF =∠C ，可证明△ABF ∽△COE ．（2）如图，作OG ⊥AC ，交AD 的延长线于G ，则∠G =∠C ，∵O 为AC 中点，AC =2AB ，∴∠FOG =∠BOA =∠COE =45°，∴△FOG ∽△EOC ，∴OF OG OEOC=．又AO =BA ，∠G =∠C ，∠AOG =∠BAC ，∴△AGO ≌△BCA ，∴OG =AC =2OC ，∴2OF OG OEOC==．（3）OFOE n =．11．提示：（1）114S S =．（2）()2140416S x x x S-+<<=．(第10题)（3）不存在点D ，使得114S S >成立，从而反面说明．12．（1）当MN =3时，点P 在BC 上．（2）①当03x <≤时，213y x =．当3x =时，y 有最大值为3；②当36x <<时，设△PMN 与BC 相较于点E 、F ，BC 边上的高为4，则24434PEF ABCx S S ∆∆-=⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()2433PEF x S ∆=-，()()22221438123344AMN PEF y S S x x x x x ∆∆=-=-+-=--+-=-．当x =4时，y 有最大值为4．B 级1．405cm 2提示：1DE FC IC BCBCBC++=．2．2提示：Rt △BAD ∽Rt △CBA ．3．C ．4．C 提示：延长DA 、CB 相交于G ，219GAB GDCS AB S CD ∆∆==⎛⎫ ⎪⎝⎭．设GAB S S ∆=，则9GDC S S ∆=，8ABCD S S =，222::::1:5:9GAB GEF GDC GA GE GD S S S ∆∆∆==．5．△EBD ∽△DAC ∽△ABC ，1m BD mBC=，2m DC AC mACBC==，222115511244m m BD AC BC DC ACDC ACAC AC AC mBCBC BC BC BC BC BC ++-+==-+=-+-+≤⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．提示：163DE FG HI ===，203IF AB DE =-=，203AF AI IF AI =+=+，由△AFG ∽△ABC ，得AF GF ABBC=，43AI =，FB =4．7．设BC =a ，BC 边上的高AD =h ，PS =x ，RS =y ．由△ASR ∽△ABC ，得h x y a h-=，∵ABC PQRS S nS ∆=矩形，∴12h x ah nxy nxa h-==，整理得22220nx nxh h -+=，∴12x h=∵()()222221n n n n -<-<-，∴22n n -从而x h为无理数，于是BS BA=xh为无理数.8.提示：（1）364y x =-+.（2）23310S t t =-+.（3）如图1，当CP=CQ 时，即10t t -=，得5t =.如图2，当QC=QP 时，过点Q 作QD ⊥x 轴于D ，则()111022CD PC t ==-.∵△QDC ∽△BOC ，∴CD CQ CO CB =，即()1102810t t -=，得5013t =.（3）如图3，当PC=PQ 时，过P 作2PD l ⊥于D ，则1122CD CQ t ==.∵△CDP ∽△COB .∴CD CP CO CB =，即1102810tt-=，得8013t =综上所述，当5t =或5013或8013时，△PCQ 为等腰三角形.9.设三角形边长为,,a b c .设x 为正方形的边长，h 为三角形的高，S 为三角形的面积.设D 、E 、F 、G 是立于a 边上的正方形的顶点.∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴a a aax h x a h -=，2a a a aah S x a h a h ==++.同理可得：22,b c b c S Sx x b h c h ==++.据题意a b c x x x ==，故得222a b c S S Sa hb hc h ==+++，或a b c a h b h c h +=+=+①，但111222a b c S ah bh ch ===，故a b c ah bh ch ==②.由①②得()()22a b a h b h -=-，因此a b a h b h -=-，故a b a h b h -=-③，或a b a h h b -=-④，其中必有一成立.若④式成立，由①④求得b a h =，矛盾（直角三角形斜边大于直角边），故③式成立.有①③得a b =.同理可证b c =，故a b c ==，即△ABC 为正三角形.10.(1)连结AC ，CF ，可证明△ACF ∽△DCE ，得AFDE=（2）①AFDE=②证明△ADH ∽△CPH ，∠CPH=∠ADH=90°，故CP ⊥AF .（3）AFDE=.11.(1)B (3,6).(2)作EG ⊥x 轴于点G ，可求得E （2，4），直线DE 的解析式152y x =-+.（3）存在.①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN 为菱形.作MP ⊥y 轴于点P ，则MP ∥x 轴，∴△MPD ∽△FOD ，∴MP PD MD OF OD FD ==.又当0y =时，1502x -+=，解得10x =.∴F 点的坐标为（10，0）.∴OF=10.在Rt △ODF 中，FD ===，∴105MP PD ==∴MP =，PD =.∴点M 的坐标为(5-+.∴点N 的坐标为(-.②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM 为菱形，延长NM 交x 轴于点P ，则MP ⊥x 轴.∵点M 在直线152y x =-+上.∴设M 点坐标为1,52a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，在Rt △OPM 中，222OP PM OM +=，∴2221552a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得()124,0a a ==舍去，∴点M 的坐标为（4，3）.∴点N 的坐标为（4，8）.③如图3，当OM=MD=DN=NO 时，四边形OMDN 为菱形，连结NM 交OD 于点P ，则NM 与OD 互相垂直平分，∴52yM yN OP ===.∴15522xM -+=，∴5xM =，∴5xN xM =-=-.∴N 的坐标为55,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，x 轴上方的点N 有三个，分别为(1N -，()24,8N ，355,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

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