基本不等式专项训练
不等式练习题
不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b，求证：a + c > b + c。
2. 已知x > 3，求证：x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1，求证：x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|，求证：x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式：5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式：2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式：4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式：5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式：2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式：3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式：x / (x 1) > 2。
2. 解不等式：1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式：(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式：(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式：(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式：|x 2| > 3。
2. 解不等式：|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式：|3x 4| < 2。
4. 解不等式：|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式：|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$，求x的取值范围。
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
基本不等式专练(含答案)
基本不等式专练一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 若x ，y ∈R +，且3x +1y =5，则3x +4y 的最小值是( )A. 5B. 245C. 2√35D. 1952. 已知直线kx −y +2k −1=0恒过定点A ，点A 也在直线mx +ny +2=0上，其中m ，n 均为正数，则1m +2n 的最小值为( )A. 2B. 4C. 8D. 63. 若x >1，则4x +1+1x−1的最小值等于( )A. 6B. 9C. 4D. 14. 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则2a 2+1a+2b 2+4b的最小值为( )A. 10B. 11C. 13D. 215. 当x >4时，不等式x +4x−4≥m 恒成立，则m 的取值阀内是( )A. m ≤8B. m <8C. m ≥8D. m >86. 正实数x,y 满足1x +1y =2，则x +2y 的( )A. 最小值为32+√2 B. 最大值为32+√2 C. 最小值为3+2√2D. 最大值为3+2√27. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y−1的最小值为( )A. 2B. 1+√2C. 32 D. 2+2√28. 实数a,b 满足a >0,b >0，a +b =4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是( )A. 4B. 6C. 32D. 839.两圆x2+y2+2ax+a2−4=0和x2+y2−4by−1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，B∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为()A. 49B. 109C. 1D. 3二、多选题（本大题共7小题，共35.0分）10.若正实数a，b满足a+b=1，则下列选项中正确的是()A. ab有最大值14B. √a+√b有最大值√2C. 3a−b>13D. 2a+1b有最小值9211.下列命题正确的有()A. 若a>b>c，ac>0，则bc(a−c)>0;B. 若x>0，y>0，x+y=2，则2x+2y的最大值为4C. 若x>0，y>0，x+y=xy，则x+2y+xy的最小值为5+2√6;D. 若实数a≥2，则log a+1(a+2)<a+2a+112.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是()A. 1a +1b≥1 B. √ab≤2 C. 1a2+b2≤18D. 0<1ab≤1413.已知a>0，b>0，下面四个结论正确的是()A. 2aba+b ≤a+b2；B.2222baba+≤+C. 若a>b，则c2a ≤c2b；D. 若1a+1+1b+1=1，则a+2b的最小值为22；14.下列各式中，最小值为4的是()A. y=x2+8xB. y=sinx+4sinx(0<x<π)C. y=e x+4e−xD. y=√x2+1+√x2+115.已知a>0，b>0，且a2+b2=1，则()A. a+b⩽√2B. 12<2a−b<2C. log2√a+log2√b⩾−12D. a2−b2>−116.下列命题为真命题的是A. 若a>b，则2a−b>12>1B. 若a>b>0，则lgalgbC. 若a>0，b>0，则√ab≥2aba+bD. 若a>b，则ac2>bc2三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）+2(x>0)的最小值为______．17.函数y=x+4x18.已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为______．四、解答题（本大题共1小题，共12.0分）(x>3)．19.已知函数f(x)=x+9x−3(1)求函数f(x)的最小值．(2)若不等式f(x)≥t2−t+7恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.C解：分别过A ，B 向准线作垂线，垂足分别为A′，B′，由抛物线定义可知AA′=AF ，BB′=BF ， 不妨设A 在P ，F 之间，∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ1>0，λ2<0，且PA =λ1AA′，PB =−λ2BB′， ∴λ1=PA AA′=1sin∠APA′，λ2=−PB BB′=−1sin∠BPB′， ∴λ1+λ2=0．2.A解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 为抛物线E 的准线上一点得： x A =−p2，x B =0， ∴x C =p 4； ∴y C =±√22p ； 又F(p2,0)， ∴k AF =k CF =±√22p−0p 4−p 2=±2√2；∴直线AF 的斜率为±2√2．3.D解：依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x =−4的距离， 因此点M 的轨迹是抛物线，且p =8，顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上， 则点M 的轨迹方程为y 2=16x ． 故选D ．4.A解：∵x ，y ∈R +，且3x +1y =5，∴3x +4y =15(3x +4y)(3x +1y )=15(9+4+3x y+12y x)=135+35(x y +4yx)≥135+35⋅2√xy ⋅4y x=5，当且仅当xy =4yx，3x +1y =5即x =1,y =12时等号成立，5.B解：已知直线kx−y+2k−1=0整理得：y+1=k(x+2)，直线恒过定点A，即A(−2,−1)．点A也在直线mx+ny+2=0上，所以：2m+n=2.整理得：m+n2=1．由于m，n均为正数，则1m +2n=(m+n2)(1m+2n)=1+n2m+2mn+1≥2+2√n2m⋅2mn=4．6.B解：由x>1，得x−1>0，∵4x+1+1x−1=4(x−1)+1x−1+5≥2√4+5=9，当且仅当4(x−1)=1x−1，即x=32时，等号成立．7.B解：正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b，=2+(1a +4b)(a+b)，=7+ba +4ab≥7+4=11，当且仅当ba =4ab且a+b=1即b=23，a=13时取等号，8.A解：∵x>4，∴x−4>0，∴x+4x−4=x−4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x=6时取等号，∵当x>4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤(x+4x−4)min=8．∴m的取值范围为：(−∞,8]．9.A解：∵正实数x、y满足1x +1y=2，，当且仅当xy y x2 ，即x =√2y 时，等号成立， 所以x +2y 的最小值为32+√2，10.A解：∵G 为△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，且x ≥1,y >1， 又∵G 在线段MN 上，∴13x +13y =1，∴x +y =3， ∴x +(y −1)=2，∴1x +1y −1=12[x +(y −1)](1x +1y −1) =12(1+1+x y −1+y −1x) ≥12(2+2)=2，当且仅当{x =y −1x +(y −1)=2，即x =1,y =2时等号成立．11.D解：令a +1=m ，b +1=n ，则m >1,n >1，m +n =6． a 2a+1+b 2b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m +n +1m +1n −4=2+6mn ⩾2+6(m+n 2)2=83，当且仅当m =n =3时取等号．12.C解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x +a)2+y 2=4，x 2+(y −2b)2=1，圆心分别为(−a,0)，(0,2b)，半径分别为2和1，故有√a 2+4b 2=3，∴a 2+4b 2=9， ∴a 2+4b 29=1，∴1a 2+1b 2=a 2+4b 29a 2+a 2+4b 29b 2=19+49+4b 29a 2+a 29b 2≥59+2√481=1，当且仅当4b 29a =a 29b，并且a 2+4b 2=9时，等号成立， 13.ABC解：对于选项A ：∵ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取“= “)，故选项A 正确；对于选项B：∵(√a+√b)2=a+b+2√ab⩽a+b+a+b=2，∴√a+√b≤√2(当且仅当a=b=12时取“=“)，故选项B正确；对于选项C：∵正实数a，b满足a+b=1，∴a−b=2a−1>−1，∴3a−b>3−1=13，故选项C正确；对于选项D：∵a+b=1，∴2a+1b=(2a+1b)(a+b)=3+2ba+ab⩾3+2√2(当且仅当{a+b=12ba=ab时取“=“)，故选项D错误．14.【答案】ACD解：由a>b>c，ac>0，可得a，b，c同号且a−c>0，所以bc(a−c)>0;故A正确；若x>0，y>0，x+y=2，则2x+2y⩾2√2x·2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时等号成立，所以2x+2y的最小值为4，故B错误；若x>0，y>0，x+y=xy，则1x +1y=1，所以x+2y+xy=2x+3y=(2x+3y)(1x +1y)=5+3yx+2xy⩾5+2√3yx·2xy=5+2√6，当且仅当3y2=2x2时等号成立，故C正确；令f(x)=lnxx ，则f′(x)=1−lnxx2<0在x∈(e,+∞)上恒成立，所以函数f(x)=lnxx在(e,+∞)上单调递减，因为a≥2，a+1≥3，所以log a+1(a+2)<a+2a+1⇔ln(a+2)ln(a+1)<a+2a+1⇔ln(a+2)a+2<ln(a+1)a+1;故选项D正确．15.ABC解：由题意得4=a+b⩾2√ab(当且仅当a=b时，等号成立)则√ab⩽2，故B正确，则1ab ⩾14，故D错误；因为1a +1b=a+bab=4ab⩾1，故A正确；因为a2+b2=(a+b)2−2ab⩾8，则1a2+b2≤18，故C正确．故选ABC ．16.ACD解：对于A.∵a 2+b 2⩾2ab,∴(a +b )2⩾4ab,a >0,b >0,∴2aba+b ⩽a+b 2，A 成立；对于B.当a =b =1时1>1不成立，B 错误； 对于C ．a >b >0⇒0<1a<1b,c 2⩾0,∴c 2a⩽c 2b，C 成立；对于D.∵a +2b +3=(a +1)+2(b +1)=[(a +1)+2(b +1)](1a+1+1b+1) =1+2+a+1b+1+2(b+1)a+1⩾3+2√2，当且仅当a+1b+1=2(b+1)a+1时,即a =√2,b =√22时等号成立，故a +2b 的最小值为2√2.故选ACD ．17.CD解： 对于A ，当x <0时，y <0，则y =x2+8x 无最小值，A 不符合题意; 对于B ，由0<x <π，得0<sinx ≤1， 又，当即sinx =2时，取等号，而sin x 的最大值为1，所以等号取不到，所以的最小值不是4，即B 不符合题意;对于C ，y =e x +4e −x ≥2√e x ×4e −x =4，当且仅当e x =4e −x 即x =ln2时，取等号， 所以y =e x +4e −x 最小值为4，C 符合题意; 对于D ，y =√x 2+1+√x 2+1≥2√√x 2+1×4√x 2+1=4，当且仅当√x 2+1=√x 2+1，即x =±√3时，取等号， 所以y =√x 2+1+√x 2+1 的最小值为4，所以符合题意．18.ABD解：对于A ，，则a +b ⩽ √2，当且仅当a =b 时取“=”号，A 正确； B .(a −b)2=a 2+b 2−2ab <a 2+b 2=1， 故−1<a −b <1，由2−1<2a−b <21，即12<a −b <2，B 正确；对于C ，取a =14，b =√154，则log 2√b <0，故log 2√a +log 2√b =−1+log 2√b <−1，C 错误；对于D ，b 2<1，则−b 2>−1，故a 2−b 2>−1，D 正确．19.AC解：对A ，若a >b ，则a −b >0，由指数函数性质知2a−b >20=1>12，A 正确； 对B ，若a >b >0，取a =2，b =12，则lg alg b =−1，不满足lgalgb >1，故B 错误； 对C ，若a >0，b >0，则a +b ⩾2√ab ，则2aba+b ⩽2√ab =√ab ，当且仅当a =b 时，等号成立，C 正确；对D ，当c =0时，结论不成立，故D 错误．20.6解：∵x >0，∴函数y =x +4x+2≥2√x ⋅4x+2=2×2+2=6当且仅当x =4x ，x >0，即x =2时，上式取等号．21.18解：根据题意，正实数x ，y 满足2x +y =1， 则xy =12(2x)y ≤12(2x+y 2)2=12×14=18，当且仅当2x =y =12，时等号成立， 即xy 的最大值为18；22.解：(1)因为x >3，所以x −3>0，所以f(x)=x +9x−3=(x −3)+9x−3+3， ≥2√(x −3)⋅9x−3+3=9，当且仅当x −3=9x−3，即(x −3)2=9时，上式取得等号， 又因为x >3，所以x =6，所以当x =6时，函数f(x)的最小值是9； (2)由(1)知f(x)的最小值是9，∴不等式f(x)≥t 2−t +7恒成立等价于9≥t 2−t +7， 即t 2−t −2≤0，解得：−1≤t ≤2，即实数t的取值范围是[−1,2]．。
专项训练：基本不等式
专项训练：基本不等式一、单选题1．若两个正实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞1时，≥2C．当x≥2时，x+有最小值2D．当0＜x≤2时，x﹣有最大值3．（题文）在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是A．9B．10C．11D．124．的内角的对边分别为，已知，，则的面积的最大值为A．B．C．D．5．已知lg a＋lg b＝0，则lg(a＋b)的最小值为( )A．lg 2B．2 C．－lg 2D．26．若，，则的最小值为A．B．C．D．7．下列结论正确的是( )A．当，时，B．当时，的最小值为C．当时，D．当时，的最小值为8．下列各式中，最小值等于2的是（）A．B．C．D．9．已知，，，则的取值范围是( )A．B．C．D．10．若，则的最小值为（）A．-1B．3C．-3D．1A ． 1B ．C ．D ．12．若正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．13则f(x)=A ． 最大值B ． 最小值C ． 最大值1D ． 最小值114．下列函数中，最小值为4的是（ ）A ． y=x+B ． y=sinx+（0＜x ＜π）C ． y=e x +4e ﹣xD ． y=+15x 的值为（ ） A ． 1 D ． 2 16．若实数 ， 满足，则 的最小值为A ．B ．C ．D ．17．下列函数中， y 的最小值为4的是 （ ） A ．C ． 18．在平面直角坐标系中，已知第一象限的点(),a b 在直线2310x y +-=上，则 23a b +的最小值为（ ） A ． 24 B ． 25 C ． 26D ． 2719，则()f x 取最小值时对应的x 的值为（ ）A ． 1- D ． 1 20．已知实数 ， 满足 ，其中 ，则 的最小值为（ ）A ． 4B ． 6C ． 8D ． 1221．若a ＞b ＞1,P=,Q =(lg a +lg b ),R =lg(),则 A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q b a lg lg ⋅212b a +二、填空题22．已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为________．23．已知，则函数的最小值为______．24．若，则的最小值为__________．25________．26．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是__________．27__________．专项训练：基本不等式参考答案1．A【解析】【分析】根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．【详解】∵两个正实数x，y满足=1，∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8．故选：A．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A 中不满足“正数”，C中“=”取不到．【详解】A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选：B．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．3．D【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：，三点共线，则：，据此有：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是12.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B【解析】【分析】根据三角形面积公式和不等式性质，可求得三角形面积的最大值。
基本不等式训练题(含答案)
基本不等式训练题(含答案)1．若xy＞0，则对xy＋yx说法正确的是()A．有最大值－2B．有最小值2C．无最大值和最小值D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400B．100C．40D．20答案：A3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：244．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.∴12x＋4x≥212x•4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，∴当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，∴－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x• －4x ＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．∴当x＜0时，f(x)的最大值为－83.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A．x＋12xB．x2－1＋1x2－1C．2x＋2－xD．x(1－x)答案：C2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32－3B．－3C．62D．62－3解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()A．200B．100C．50D．20解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2ba•ab＝2；②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx•lgy；③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a•a＝4；④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－(－xy)＋(－yx)]≤－2 －xy －yx ＝－2.其中正确的推导过程为()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a•a＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2B．22C．4D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64B．最大值164C．最小值64D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy＝8x＋2y≥28x•2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．∴xy≥64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y≥2x•4y＝4xy，∴xy≤116.答案：大1169．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2 x＋1 •4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.∴(x－1)＋9x－1＋2≥2 x－1 •9x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，∴y有最小值8.11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)•(1b－1)•(1c －1)≥8.证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200＝800×(x＋225x)＋12000≥1600x•225x＋12000＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．。
基本不等式专题训练
基本不等式专题训练一、选择题1.已知a,b∈R，且a+b=1，则ab的最大值为（）A. 41B. −41C. 1D. 不存在2.对于任意正实数x,y，下列不等式恒成立的是（）A. x2+y2≥2xyB. x2+y2≤2xyC. x+y≥2xyD. x+y≤2xy3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，则a+b+c的最大值为（）A. 1B. 3C. 3D. 33二、填空题4.已知x>0，则函数y=4x+x1的最小值为____。
5.已知a,b>0，且a+b=5，则a1+b4的最小值为____。
三、解答题6.已知x,y∈R，且x+y=4，求3x+9y的最小值。
7.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，证明：a+b+c≤2。
8.已知x>0，y>0，且xy=4，求x+yx2+y2的最小值。
参考答案一、选择题1.A解析由a+b=1，根据基本不等式(a−b)2≥0，展开得a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab。
又因为(a+b)2=a2+2ab+b2=1，所以2ab≤1−(a2+b2)+2ab=1，即ab≤41。
当且仅当a=b=21时，等号成立。
2.A解析对于任意正实数x,y，根据平方和公式，有x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时取等号）。
而选项C和D分别对应的是算术平均数与几何平均数的关系，但仅当x,y均为正数时，算术平均数才大于等于几何平均数，且等号成立的条件是x=y。
选项B显然不成立。
3.B解析由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）得(a+b+c)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3，即a+b+c≤3。
当且仅当a=b=c=31时，等号成立。
二、填空题4.41解析由算术平均数与几何平均数的关系得y=4x+x1≥24x⋅x1=4（当且仅当4x=x1，即x=21时取等号）。
5.59解析由“乘1法”与基本不等式得a1+b4=51(a+b)(a1+b4)=51(5+ab+b4a )≥51(5+2ab⋅b4a)=59（当且仅当ab=b4a，即a=35,b=310时取等号）。
高三复习基本不等式练习题
高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。
本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。
练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。
希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。
复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。
在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。
基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。
因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。
希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。
高中数学基本不等式专题50练(含答案)
高中数学基本不等式（含答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ． 【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12-【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ． 【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________【答案】8 【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x 的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 .【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b+++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______.【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221aba +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ．【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________． 【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________. 【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______.【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________. 【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 . 【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ）A. 47B. 2233C. 2D. 32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______.【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________.【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22b a ba +-的最大值为___________.【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B 【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________. 【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯b a b b a a ， 则b a 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
基本不等式训练习题
基本不等式训练习题一、选择题1. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a b > 0B. a + b > 0C. a² > b²D. 1/a < 1/b2. 已知x > y，则下列不等式中一定成立的是（）A. x y > 0B. x² > y²C. 1/x < 1/yD. x + 1 > y + 13. 若a < b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a² < b²B. a b > 0C. ab > 0D. 1/a > 1/b二、填空题1. 若a > b，则a b __________ 0。
2. 已知x < y，且x, y均为正数，则1/x __________ 1/y。
3. 若a < b < 0，则a² __________ b²。
三、解答题1. 已知x > y，证明：x + 1 > y + 1。
2. 已知a > b，且a, b均为正数，证明：a² > b²。
3. 若a < b < 0，证明：ab > 0。
4. 已知x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + y² > 0。
5. 已知a, b为正数，且a > b，证明：1/a < 1/b。
四、综合题1. 已知x, y为实数，且x > y，求证：x² y² > 0。
2. 若a, b, c为实数，且a > b > c，证明：a c > b c。
3. 已知a, b为正数，且a > b，求证：a² + b² > 2ab。
4. 若x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + 2xy + y² > 0。
(完整word版)基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.12 B ．1 C ．2 D ．44．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．45．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2 b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高一基本不等式题型练习(全)
基本不等式●知识梳理），都是正数；）积（或和）为定值（有时需要通过“配凑、拆分”找出定值））与必须能够相等（等号能够取到）．●题型训练题型一（直接运用基本不等式）已知正数、满足，则的最小值是？已知正实数，满足，则的最大值为？设，求函数题型二型（配凑法）1.若，则当取最小值时，此时，分别为？2.函数的最小值是？3.当时，求函数的最大值为？4.设，求函数的最大值为？5.已知为正实数且时，则的最大值为？6.已知，则的最大值为？7.当时，求函数的最大值为？8.当，时，求函数的最大值．题型三型（分离常数法、换元法）1.当时，函数的最小值为？2.已知，则的最小值为？3.函数的最小值为？4.求函数的最大值．5.求函数的最大值．6.函数的最大值为？题型四乘“1”法1.若，，且，则的最小值为？2.已知正实数，满足，则的最小值为？3.若正数，满足，则的最小值为？4.设，均为正数．且时，则的最小值为？5.若正数，满足，则的最小值为？1.正实数，满足，则的最小值为？2.正实数，满足，则的最小值为？3.已知，，，则的最小值为？4.已知正数，满足，则的最小值为？5.已知，，，则的最小值为？1.若正实数，满足，则的最小值为？2.若实数，满足，则的最小值为？3.若，，且，则的最小值为？4.设，，，则（）A.有最大值B.有最小值C.有最大值D.有最小值5.已知，且满足，则的最小值为？6.设，均为正数，且则的最小值为？7.若正数，满足，则的最小值为？题型七其他类型（难）1.已知，求的最大值为？解：，，，当且仅当时取等号，，当且仅当，即时取等号，，即当时，有最大值，即有最大值．2.函数的最大值为？3.正数，满足，则的最小值为？解：令，，，，，，，，，当且仅当时，即时，取等号，故的最小值为．4.设，是正实数，且，则的最小值为？解：令，，则，，，原式，当且仅当时取等号，即的最小值为．易错题1.已知时，求函数的最值为？2.下列命题正确的是（）A．函数的最小值为B．若，且，则C．函数的最小值为D．函数的最小值为3.已知正实数，满足，则的最小值为（）解：，当且仅当时等号成立，，，，4.设正实数，满足，则（）A ．有最大值4B ．有最小值C ．有最大值D ．有最小值解：选项，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为．故不正确．选项，由不等式得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为．故不正确．选项，()ab b ab a b a 2122+=++=+易知的最大值为．所以()22121212=⨯+=++ab b a 有最大值，所以2的最大值为b a +故正确．选项，()abb a b ab a b a 211222222-=+=++=+易知ab 的最大值为41．所以21412122=⨯-+有最小值b a 故不正确．。
基本不等式专题练习(含参考答案)
数学 基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋abc ≥2bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋ca ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
基本不等式专题训练(简答)
基本不等式专题训练巩固训练（一）一．基本不等式的理解1.若R b a ∈，，且0>ab ，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．ab b a 222>+B ．ab b a 2≥+C ．ab b a 211>+D ．2≥+ba ab 2.已知)1,0(,∈b a 且b a ≠，则下列四个数中最大的数是（ ）A.22b a +B.ab 2C.b a +D.ab 23.已知b a ，为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（ ）A ．b a +4B ．b a 11+C ．ab 2D ．228b a + 4.设b a <<0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．2ab ab b a <<< B ．b b a ab a <+<<2 C ．2b a b ab a +<<< D ．b b a a ab <+<<2 5.若200=+>>b a b a ，，，则下列不等式对一切满足条件的b a ，恒成立的是 ①1≤ab ；②2≤+b a ；③222≥+b a ；④333≥+b a ；⑤211≥+ba ． 二．基本不等式在最值问题中的基础运用 1.积为定值⇒和有最小值，平方和有最小值 （1）已知0>x ，函数x x y 9+=的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （2）已知0<x ，则函数xx y 1+=有（ ） A.有最大值2 B.有最小值2 C.有最大值2- D.有最大值2- （3）若0>ab ，则ba ab +4的最小值为 （4）若实数y x ，满足1=xy ，则222y x +的最小值为（5）已知函数)0,0(4)(>>+=a x xa x x f 在3=x 时取得最小值，则=a 2．和为定值⇒积有最大值，平方和有最小值（1）若10<<x ，则)1(x x -的最大值为（ ）A ．1B ．21C ．41D ．81 （2）已知0>a ，0>b ，若4=+b a ，则（ ）A.22b a +有最小值B.ab 有最小值C.b a 11+有最大值D.ba +1有最大值 （3）已知0>a ，0>b ，若1=+b a ，则ab 的最大值是（4）已知R b a ∈，，且063=+-b a ，则b a 812+的最小值为 （5）若0>x ，0>y ，且321=+y x ，则xy 的最大值为 3.平方和为定值⇒积有最大值，和有最大值（1）已知422=+b a ，则ab 的最大值为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．24（2）已知非负实数b a ，满足1032=+b a ，则b a 32+最大值是（ ）A ．10B ．52C ．5D ．10（3）已知0>a ，0>b ，且5=+b a ，则31+++b a 的最大值为（ ）A ．18B ．9C ．23D ．324.等式变不等式求最值（运用2)2(222b a b a ab +≤+≤，结合换元法） （1）设0>a ，0>b ，24=++ab b a ，则（ ）A.b a +有最大值8B.b a +有最小值8C.ab 有最大值8 D ．ab 有最小值8（2）已知正数b a ，满足62=++ab b a ，则b a 2+的最小值为（3）已知0>x ，0>y ，1642++=y x xy ．则xy 的最小值为（4）设y x ，为实数，若122=++xy y x ，则22y x +的最小值为 ，xy 的最大值为（5）设y x ，为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是巩固训练（二）一．配凑法求最值-----通过凑项或者凑系数让和、积、平方和为定值1.已知1>x ，则函数11)(-+=x x x f 的最小值为（B ） A ．4B ．3C ．2D ．1 2.已知210<<x ，则函数)21(x x y -=的最大值（C ） A ．21 B ．41 C ．81 D ．161 3.已知b a ，为正数，7422=+b a ，则21b a +的最大值为（ D ）A ．7B ．3C ．22D ．2 4.已知0>>b a ，则b a b a a -+++142的最小值为（ A ） A ．6B ．4C ．32D ．23 5.若函数)2(21)(>-+=x x x x f ，在a x =处取最小值，则=a 3 6.已知45<x ，则54124-+-=x x y 的最大值为 1 二．消元法求最值（利用等式，代入消元）1.已知实数y x ，满足：0>x 且022=+-xy x ，则y x 2+的最小值为（ ）A ．34B ．32C ．54D ．522.若正数y x ，满足0162=-+xy x ，则y x 3+的最小值是（ ）A ．21B ．1C ．22D ．23.若正数b a ，满足121=+b a ，则2112-+-b a 的最小值为（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．14.已知正数b a ，满足1=++ab b a ，则b a +2的最小值为5.设z y x ，，为正实数，满足032=+-z y x ，则xzy 2的最小值为 三．常数代换法求最值（条件求值）1.直接相乘类型，如1=+b a ，则42)11)((11≥++=++=+ba ab b a b a b a （1）已知0>a ，0>b ，2=+b a ，则ba 41+的最小值是（ ） A ．27 B ．4 C ．29 D ．5（2）已知0>a ，0>b ，112=+b a ，则b a +2的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7 （3）在ABC ∆中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若)0,0(2>>+=y x y x ， 则yx 21+的最小值为 （4）若直线)0,0(1>>=+b a by a x 过点)2,1(，则b a +2的最小值为 （5）已知0>x ，0>y ，且满足xy y x =+4，则y x +的最小值为 2.凑“分母和”类型，如1=+b a ，31)11)(1111(1111⨯++++++=+++b a b a b a . （1）设10<<x ，则x x y -+=194的最小值为（ ） A ．24 B ．25 C ．26 D ．1（2）已知10>>b a ，且42=+b a ，则121-+b a 的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．22 D ．38 （3）设n m ，为正数，且2=+n m ，则2311++++n n m 的最小值为（ ） A ．23 B ．35 C ．47 D ．59 （4）已知实数y x ,满足0>>y x 且1=+y x ，则yx y x -++134的最小值是 （5）已0>a ，0>b ，2181=++b a ，则b a +2的最小值为 四．分式函数求最值（换元法或分离常数法）1.已知)0(163)(2>+++=x x x x x f ，则)(x f 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62.已知4≥x ，则函数xx x x f 42)(2++=的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．93.已知y x ，都是正实数，则yx y y x x +++44的最大值为（ ） A ．23 B ．34 C ．25 D ．45 4.已知0>t ，则函数tt t y 142+-=的最小值为 5.若对任意0>x ，a x x x ≤++132恒成立，则a 的取值范围是 6.已知0≥x ，则函数1)3)(2(+++=x x x y 的最小值为 7.已知0>x ，0>y ，则2223y xy y x ++的最小值为 五．连续放缩求最值（连用两次基本不等式，注意两次等号成立的条件是否相同）1.已知0>a ，0>b ，则ab b a 211++的最小值是（ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．52.已知0>a ，0>b ，则ba ab 22)1()1(+++的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．16 3.已知0>>b a ，则)(1b a b a -+的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．224.若R b a ∈，，0>ab ，则abb a 1444++的最小值为巩固训练（三）基本不等式求最值综合训练1.若实数b a ，满足ab b a =+21，则ab 的最小值为（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．42.若正数y x ，满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ）A ．524B ．528C ．5D ．63.已知1>a ，1=ab ，则ba b a -+22的最小值是（ ） A ．22B ．2C ．2D ．1 4.若不等式04111≥--+m x x 对)41,0(∈x 恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 5.已知141,0,0=+>>nm n m ，若不等式a x x n m ++-≥+22对已知的n m ，及任意实数x 恒成立， 则实数a 的取值范围是（ ）A ．),8[+∞B ．),3[+∞C ．]3,(-∞D ．]8,(-∞6.若0lg lg =+y x ，则y x 94+的最小值为7.已知正数y x ，满足5=+y x ，则2111+++y x 的最小值为 8.已知正数y x ，满足1=+y x ，且m x y y x ≥+++1122，则m 的最大值为 9.已知x ，y 均为正实数，且满足1311=++xyy x ，则y x +的最小值为 10.已知正数y x ，满足1=+y x ，则当=x 时，xyy x 2+的最小值是 11.已知0>a ，0>b ，则abb a 1)4(2++的最小值为 ，此时=+b a参考答案巩固训练（一）一．1-5 DCBB ，①③⑤二．1.（1）-（5） CC ，4，22，362.（1）-（5） CA ，41，41，89 3.（1）-（3） ABC4.（1）B （2）4 （3）16 （4）32，31 （5）5102巩固训练（二）一．1-6 BCDA ，3，1二．1-5 ABA ，1，3 三1.（1）-（5）CB ，8，8，9 2.（1）-（5）BDD ，29，8四．1-3 DBB 4-7 2-，),51[+∞，223+，2 五．1-4 CCB ，4巩固训练（三）1-5 CCACD 6-9 12，21，31，6 10. 21，3 11. 8，45。
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式练习题(带答案)基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 $a\in R$，下列不等式恒成立的是（）A。
$a^2+1>a$B。
$\frac{1}{2}<a<1$C。
$a^2+9>6a$D。
$\log_{a+1}。
\log_{|2a|}$2.若 $|a|<|b|$ 且 $a+b=1$，则下列四个数中最大的是（）A。
$1$B。
$2$C。
$a^2+b^2$D。
$a$3.设 $x>0$，则 $y=3-\frac{3}{x}$ 的最大值为（）A。
$3$B。
$\frac{3}{2}$C。
$\frac{3}{4}$D。
$-1$4.设$x,y\in R$，且$x+y=5$，则$3x+3y$ 的最小值是（）A。
$10$B。
$6\sqrt{3}$C。
$4\sqrt{10}$D。
$18$5.若 $x,y$ 是正数，且 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{9y^2}=1$，则 $xy$ 有（）A。
最小值 $\frac{1}{36}$B。
最大值 $\frac{1}{36}$C。
最小值 $\frac{16}{9}$D。
最大值 $\frac{16}{9}$6.若 $a,b,c\in R$，且 $ab+bc+ca=1$，则下列不等式成立的是（）A。
$a^2+b^2+c^2\ge 2$XXX 3$C。
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2$D。
$a+b+c\le 3$7.若 $x>0,y>0$，且 $x+y\le 4$，则下列不等式中恒成立的是（）A。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\le 1$B。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge 1$C。
$xy\ge 2$D。
$xy\le 1$8.若 $a,b$ 是正数，则$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$ 三个数的大小顺序是（）A。
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。
3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。
因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时，总造价最低。
去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。
今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。
基本不等式的题目
基本不等式的题目1. 求解不等式|x+2| > 5。
解：首先，去掉绝对值，得到两个不等式，x+2 > 5 或 x+2 < -5。
解第一个不等式：x > 5 - 2 = 3。
解第二个不等式：x < -5 - 2 = -7。
综合来看，解集为x < -7 或 x > 3。
2. 求解不等式3x+4 ≤ 2x-3。
解：首先，将不等式中的项移到一边，得到3x-2x ≤ -3-4，即x ≤ -7。
3. 求解不等式2x+5 ≥ 3(x-4)。
解：首先，将不等式中的项展开，得到2x+5 ≥ 3x-12。
接下来，将x的项移到一边，得到2x-3x ≥ -12-5，即-x ≥ -17。
由于-x的系数是负数，所以将不等号翻转，得到x ≤ 17。
4. 求解不等式|2x-1| ≤ 3。
解：首先，去掉绝对值，得到两个不等式，2x-1 ≤ 3 或 2x-1 ≥ -3。
解第一个不等式：2x ≤ 3+1 = 4，即x ≤ 2。
解第二个不等式：2x ≥ -3+1 = -2，即x ≥ -1。
综合来看，解集为 -1 ≤ x ≤ 2。
5. 求解不等式x²-7x+10 > 0。
解：首先，将不等式中的二次项系数和常数项用因式分解的方式表示，得到(x-2)(x-5) > 0。
接下来，考虑两个因子相乘大于零的情况：当 x-2 > 0 且 x-5 > 0 时，即 x > 2 且 x > 5，但这个条件不成立；当 x-2 < 0 且 x-5 < 0 时，即 x < 2 且 x < 5，这时不等式成立；综合来看，解集为 2 < x < 5。
以上是五道基本不等式的题目解答，希望对你有帮助！。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
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基本不等式专题训练一．填空题（共20小题）1．（2014•浙江模拟）若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为_________．2．（2014•南通二模）设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为_________．3．（2014•青岛一模）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为_________．4．（2014•闵行区二模）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为_________．5．（2014•温州二模）已知a＞1，ab=2a+b，则（a+1）（b+2）的最小值是_________．6．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为_________．7．（2014•江苏模拟）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是_________．8．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是_________．9．（2014•天津模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为_________．10．（2014•闸北区一模）设a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式恒成立的有_________．①ab≤1；②；③a2+b2≥2．11．（2014•岳阳二模）若a，b，c∈R+，且++=1，则a+2b+3c的最小值为_________．12．（2014•上海模拟）若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是_________．13．（2014•和平区模拟）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是_________．14．（2014•潍坊模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为_________．15．（2014•瑞安市一模）若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则S=2﹣（4a2+b2）的最大值是_________．16．（2014•新昌县二模）若正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则x+y的最小值是_________．17．（2014•黄冈模拟）设正实数a，b，c满足a+2b+c=1，则+的最小值是_________．18．（2014•镇江二模）已知x，y∈R，满足2≤y≤4﹣x，x≥1，则的最大值为_________．19．（2013•镇江一模）已知x，y为正数，则的最大值为_________．20．（2012•宁国市模拟）_________．基本不等式专题训练参考答案与试题解析一．填空题（共20小题）1．（2014•浙江模拟）若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：常规题型；函数的性质及应用．分析：将x+3y=5xy转化为=1，再由x+y=（x+y），展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．∴x+y=（x+y）≥．当且仅当，即时取等号，此时结合x+3y=5xy，得∴x+y≥，可知x+y的最小值为．故答案为．点评：本题为2012年浙江文科试题第（9）题的一个变式．容易做错，应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧，应学会灵活运用．2．（2014•南通二模）设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为﹣．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．再利用三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式即可得出．法2：由a+b+c≥a+b+a2+b2，通过配方变形为+即可得出．解答：解：法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．则a+b+c≥rcosθ+rsinθ+r2==，当且仅当取等号．∴a+b+c的最小值为﹣．故答案为：．（0≤r≤c≤1）．法2：∵实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，∴a+b+c≥a+b+a2+b2=+≥﹣，当a=b=，c=时取等号，∴a+b+c的最小值为﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、配方法，属于中档题．3．（2014•青岛一模）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为9．考点：基本不等式．专题：创新题型．分析：已知条件提供了和与积的关系，要求的是积的范围，可以考虑将和转化为积，再求积的范围；也可以一元二次方程的韦达定理去研究．解答：解：∵x，y均为正实数，且xy=x+y+3∴xy=x+y+3≥2+3 （当x=y时取等号）即（）2﹣2﹣3≥0∴（+1）（﹣3）≥0∵x，y均为正实数∴+1＞0∴﹣3≥0 即xy≥9故xy的最小值为9．点评：本题主要是用基本不等式解题，关键在于化归转化思想的运用．本题还可以尝试消元利用函数求最值．4．（2014•闵行区二模）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，可知：16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．利用基本不等式即可得出其最小值．解答：解：∵不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，∴16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．则f（x）=a+4+≥a+4+=a+4+4．当且仅当取等号．∴，解得a=4．因此正实数a的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了恒成立问题的等价转化、基本不等式的应用，属于中档题．5．（2014•温州二模）已知a＞1，ab=2a+b，则（a+1）（b+2）的最小值是18．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由a＞1，ab=2a+b，可得b≠2，，b＞2．代入（a+1）（b+2）=，变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵a＞1，ab=2a+b，∴b≠2，∴，解得b＞2．∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2===2（b﹣2）++10+10=18，当且仅当b=4时取等号．因此（a+1）（b+2）的最小值是18．故答案为：18．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于中档题．6．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为﹣2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴∴﹣+===，当b=时，取得最小值为﹣2．故答案为：﹣2点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．7．（2014•江苏模拟）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．8．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x，y∈R*且+=1，可得（y＞2），代入并利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x，y∈R*且+=1，∴（y＞2）∴xy=y==+4=8，当且仅当y=4（x=2）时取等号．∴xy的最小值是8．故答案为：8．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．9．（2014•天津模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为1．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，可得z=x2﹣3xy+4y2．于是==，利用基本不等式即可得到最大值，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．于是+﹣==，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2．∴===1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．∴+﹣==≤1，当且仅当y=1时取等号，即+﹣的最大值是1．故答案为1．点评：熟练掌握基本不等式的性质和二次函数的单调性是解题的关键．10．（2014•闸北区一模）设a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式恒成立的有①③．①ab≤1；②；③a2+b2≥2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质逐一进行判定即可判断出答案．解答：解：∵a＞0，b＞0，a+b=2，∴a+b=2≥2，即ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，故①正确；∵（+）2=a+b+2=2+2≤4，当且仅当a=b=1时取等号，∴+≤2，故②不正确；∵4=（a+b）2=a2+b2+2ab≤a2+b2+2，当且仅当a=b=1时取等号，∴a2+b2≥2，故③正确，∴不等式恒成立的有①③．故答案为：①③．点评：本题考查不等式的基本性质，解题时要注意均值不等式的合理运用．属于基础题．11．（2014•岳阳二模）若a，b，c∈R+，且++=1，则a+2b+3c的最小值为9．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“乘1法”和均值不等式即可得出．解答：解：∵a，b，c∈R+，且++=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）=9，当且仅当a=2b=3c=3时取等号．∴a+2b+3c的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了“乘1法”和均值不等式，属于基础题．12．（2014•上海模拟）若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：原不等式恒成立可化为xy≥恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥恒成立，解关于a的不等式可得．解答：解：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，即（4xy﹣4）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，变形可得2xy（2a2+1）≥4a2﹣2a+34恒成立，即xy≥恒成立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy=x+2y+4≥4+2，即2﹣•﹣2≥0，解不等式可得≥，或≤﹣（舍负）可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化简可得2a2+a﹣15≥0，即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥，故答案为：点评：本题考查基本不等式的应用，涉及恒成立问题，变形并求出需要的最小值是解决问题的关键，属中档题．13．（2014•和平区模拟）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵a＞b＞c＞0，∴2a2++﹣10ac+25c2==+（a﹣5c）2≥+0=4．当且仅当a=2b=5c=时取等号．因此2a2++﹣10ac+25c2的最小值是4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．14．（2014•潍坊模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为2．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．15．（2014•瑞安市一模）若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则S=2﹣（4a2+b2）的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用，可得，，即可得出．解答：解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0，∴由，可得，，∴S=2﹣（4a2+b2）=，当且仅当b=2a=时取等号．∴S的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式及其变形应用，属于基础题．16．（2014•新昌县二模）若正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则x+y的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把x，y看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式得到z的取值范围，求出x+y的最小值．解答：解：∵x+y+z=4，∴x+y=4﹣z∵xy+yz+zx=5∴xy=5﹣yz﹣xz=5﹣z（x+y）=5﹣z（4﹣z）=z2﹣4z+5由韦达定理知：xy是一元二次方程t2﹣（4﹣z）t+（z2﹣4z+5）=0的两实根，则判别式△=（4﹣z）2﹣4（5﹣4z+z2）≥0，化简得：（z﹣2）（3z﹣2）≤0，又x，y，z为正实数∴0＜z≤，∴z的最大值是．x+y的最小值是4﹣=．故答案为：．点评：此题考查了最值问题．解此题的关键是得到关于z的一元二次方程，利用判别式求解．此题难度较大，解题时要注意细心．17．（2014•黄冈模拟）设正实数a，b，c满足a+2b+c=1，则+的最小值是7．考点：基本不等式．专题：导数的综合应用．分析：通过代换转化为利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．解答：解：∵正实数a，b，c满足a+2b+c=1，令a+b=x＞0，b+c=y＞0，且x+y=1．∴+=，由x+y=1可得y=1﹣x．∴==f（x）．（0＜x＜1）∴f′（x）=﹣==，令f′（x）=0，解得x=．当时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．因此当x=时，函数f（x）取得最小值，==4+3=7．∴+的最小值是7．故答案为：7．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值和转化的方法，属于难题．18．（2014•镇江二模）已知x，y∈R，满足2≤y≤4﹣x，x≥1，则的最大值为．考点：基本不等式．专题：导数的综合应用；直线与圆．分析：把原式化简可得，利用可行域和斜率计算公式可得的取值范围，再利用导数即可得出最大值．解答：解：由x，y满足2≤y≤4﹣x，x≥1，画出可行域如图所示．则A（2，2），B（1，3）．==，令k=，则k表示可行域内的任意点Q（x，y）与点P（﹣1，1）的斜率．而k PA=，，∴，令f（k）=k+，则≤0．∴函数f（k）单调递减，因此当k=时，f（k）取得最大值，．故答案为：．点评：本题综合考查了线性规划的可行域和斜率计算公式、利用导数求函数最大值等基础知识与\基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．19．（2013•镇江一模）已知x，y为正数，则的最大值为．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0，从而有==，利用基本不等式可求解答：解：令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0∴==当且仅当即a=b时取等号即最大值为故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是利用换元法配凑基本不等式的应用条件20．（2012•宁国市模拟）4．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据题意，由对数的性质可得，xy=10且x、y＞0，对于+，由基本不等式变形计算可得答案．解答：解：根据题意，lgx+lgy=1⇒lgxy=1，则xy=10且x、y＞0，对于+，由x、y＞0，，可得、＞0，则+≥2=2=4，即+的最小值为4，故答案为4．点评：本题考查基本不等式的运用，注意由对数的性质得到x、y均大于0，进而得到+符合基本不等式使用的条件．。