高等数学微积分期末试卷及答案

选择题〔6×2〕

1~6 DDBDBD

一、填空题

1 In x + 1 ;

2 y = x

3 一 2x 2 ; 3 y = log 2 x

1一x

,(0,1), R ; 4(0,0) lim (x 一 1)(x + m) = lim x + m = 1 + m = 2

5 解：原式= x )1 (x 一 1)(x + 3) x )1 x + 3 4

：m = 7 ：b = 一7, a = 6

二、判断题

1 、 无穷多个无穷小的和是无穷小〔 〕

2 、 假设 f(*)在x 处取得极值，则必有 f(*)在x 处连续不可导〔 〕

0 0

3 、 设 函 数 f (*) 在 [0,1] 上 二 阶 可 导 且

f '(x) 想 0令A = f '(0)， B = f '(1),C = f (1)一 f (0), 则必有A>B>C( )

1~5 FFFFT

三、计算题

1

1 用洛必达法则求极限 lim x

2 e x 2

x )0

1 1

e x 2 e x 2 (一2x 一3 ) 1

2

2 假设 f (x) = (x

3 +10)

4 , 求f ''(0)

f '(x) = 4(x 3 +10)3 . 3x 2 = 12x 2 (x 3 +10)3

解： f ''(x) = 24x . (x 3 +10)3 + 12x 2 . 3 . (x 3 +10)2 . 3x 2 = 24x . (x 3 +10)3 +108x 4 (x 3 +10)2

：f ''(x) = 0

4

3 求极限lim(cos x)x 2

x )0

4 求y = (3x 一 1)35

x 一 1 的导数

x 一 2 j tan 3 xdx

x 解：原式= lim = lim = lim e x 2 = +w x )0 1 x )0 一2x 一3 x )0 5

求j x arctanxdx

6

四、证明题。

1 、证明方程x3+ x 1 = 0 有且仅有一正实根。

证明：设f (x) = x3 + x 1

2 、证明arcsin x + arccos x = (1 x 1)

2

五、应用题

1 、描绘以下函数的图形

3.

7 1 7 9

4.补充点(2, ).( , ).(1,2).(2, )

2 2 2 2

5 lim f (x) = ,：f (x)有铅直渐近线x = 0

x0

6 如下图：

2.讨论函数f (x) = x2 Inx2 的单调区间并求极值由上表可知 f(*)的单调递减区间为(, 1)和(0,1)单调递增区间为(1,0)和(1，+ )

且 f(*)的极小值为 f(-1)=f(1)=1