02 能量与动量方程
动量和能量
3、功和能的关系 做功的过程是物体能量的转化过程，做了多少功， 就有多少能量发生了变化，功是能量转化的量度． a. 重力做功与重力势能增量的关系
重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力 势能增加．重力对物体所做的功等于物体重力势 能增量的负值． 即WG = EP1 － EP2 = －ΔEP
b. 弹力做功与弹性势能增量的关系 弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性 势能增加．弹力对物体所做的功等于物体弹性势能 增量的负值． 即W弹力= EP1－EP2 = －ΔEP
f = μ mg
a= μ g
t = v/a = v / μg
木板 的位移S 2=v t
在t 时间内，物体m 的位移S 1=1/2×v t
W = FS 2 = f S 2 = μ mgv t=mv2
又解：由能量守恒定律，拉力F 的功等于物体动能的增加和 υ m 转化的内能. f P f F 2 +f ΔS W=1/2× mv S1 v S2 = 1/2× mv2 + f (S 2 - S 1)
若A不固定，B向上摆动时A也要向右运动，当B恰能 摆到水平位置时，它们具有相同的水平速度，把A、B 看成一个系统，此系统除重力外，其他力不做功，机 械能守恒.又在水平方向上系统不受外力作用，所以系 统在水平方向上动量守恒，设M在最低点得到的速度 为v0，到水平位置时的速度为v. Mv0=(M+m)v. Mv02/2=(M+m)v2/2+Mgh. I′=. Mv0 M m I′= I m
ห้องสมุดไป่ตู้
例4.(2000全国高考题)有三根长度皆为 l＝1.00m 的 不可伸长的绝缘轻线，其中两根的一端固定在天花板上 的 O 点，另一端分别拴有质量皆为 m＝1.00×10－ 2kg 的带电小球 A 和 B，它们的电量分别为 一q 和 ＋ q，q＝l.00×10－7C。A、B 之间用第三根线连接起来。 空间中存在大小为 E＝1.00×106N/C 的匀强电场，场 强方向沿水平向右，平衡时 A、B 球的位置如图所示。 现将 O、B 之间的线烧断，由于有空气阻力，A、B 球 最后会达到新的平衡位置。求最后两球的机械能与电势 能的总和与烧断前相比改变了多少。（不计两带电小球 间相互作用的静电力）
动量与能量结合的公式
动量与能量结合的公式在咱们的物理世界里，动量与能量的结合那可是相当有趣且重要的一部分。
先来说说动量，它可以简单理解为物体运动的“冲击力”。
想象一下，一辆高速行驶的汽车，就算你能瞬间挡住它不让它再往前移动一厘米，但你依然能感受到它那种强大的“冲劲儿”，这就是动量。
而能量呢，就像是物体的“本事”。
比如一个被举高的重物，它就具有了重力势能，一旦松开手，它就能依靠这份“本事”往下掉落，产生各种效果。
当动量和能量结合起来，那公式就登场啦！动量与能量结合的公式就是：$E_{k} = \frac{p^2}{2m}$ 。
这里的 $E_{k}$ 表示动能，$p$ 是动量，$m$ 是物体的质量。
为了更好地理解这个公式，我想起之前给学生们上课时候的一件事。
当时我在课堂上讲这个知识点，有个特别调皮的学生，总是坐不住，注意力不集中。
我就拿了个小皮球，问大家：“如果我把这个皮球用力扔出去，它的动量会怎样？能量又会怎样？” 这时候，那个调皮的学生眼睛一下子亮了起来，开始认真思考。
我接着说：“大家想想，如果这个皮球质量变大，按照咱们的公式，它的动能又会怎么变化？” 同学们纷纷讨论起来，那个调皮学生也积极参与，还争着回答问题。
咱们再深入一点，这个公式在实际生活中的应用那可多了去了。
就比如说在交通事故中，车辆的碰撞就是动量和能量的相互作用。
车速越快，动量越大，碰撞时产生的能量也就越大，造成的破坏也就越严重。
这也是为什么要限制车速，就是为了减少事故中的动量和能量，降低危害。
还有在体育比赛里，像打乒乓球、羽毛球，运动员击球的力量和速度，其实都涉及到动量和能量的变化。
运动员要根据球的来势，巧妙地控制自己的力量和击球时机，以达到最佳的效果。
这背后，动量与能量的结合公式可是默默发挥着作用呢。
再说说火箭发射，那更是动量与能量结合的精彩展示。
火箭燃料燃烧产生巨大的推力，让火箭获得极大的动量，同时也赋予了它巨大的能量，从而能够挣脱地球引力，飞向太空。
动量和能量的关系公式
动量和能量的关系公式动量和能量是物理学中两个重要的物理量，它们之间存在着紧密的关系。
在经典力学中，动量和能量可以通过公式进行相互转化。
首先，我们来看动量的定义。
动量是物体的运动状态的量度，它定义为物体的质量乘以速度：动量 = 质量×速度。
动量的单位是千克·米/秒（kg·m/s）。
而能量则描述了物体所具有的做工能力。
能量可以通过物体的动能和势能来表示。
动能是物体由于运动而具有的能量，它等于物体的质量乘以速度的平方再除以2：动能 = 1/2 ×质量×速度^2。
动能的单位也是千克·米/秒（kg·m/s）。
势能则是物体由于位置而具有的能量，它与物体所处位置的势场相关，例如重力势能、弹性势能等。
根据动量和能量的定义可以得知，动量和能量的关系是通过速度来联系的。
由动量的定义可知，动量正比于速度，即动量随速度的变化而变化。
而根据动能的定义可以得知，动能正比于速度的平方。
因此，动量和能量之间存在以下关系：动能 = 动量的平方 / (2 ×质量)这个公式表明，当物体的质量不变时，动量的平方和动能呈正比关系。
当动量增加时，动能也会增加。
这意味着，在碰撞或运动过程中，当物体的动量增加时，它的动能也会增加。
此外，还存在能量守恒定律，即在一个封闭系统中，能量的总量保持不变。
这意味着在物体之间发生碰撞或相互作用时，能量可以从一个物体转移到另一个物体，但总能量保持不变。
总结起来，动量和能量之间存在紧密的联系，而它们的关系可以通过速度、质量和能量守恒定律进行描述和推导。
这些公式和定律的应用使得我们能够更好地理解和解释物体的运动和相互作用过程。
动量和能量
【 例 题 1】 某 地 强 风 的 风 速 是 20m/s ， 空 气 的 密 度 是 】 ρ=1.3kg/m3 。 一风力发电机的有效受风面积为 一风力发电机的有效受风面积为S=20m2 ， 如果 风通过风力发电机后风速减为12m/s，且该风力发电机的效率 风通过风力发电机后风速减为 ， 为η=80%，则该风力发电机的电功率多大？ ，则该风力发电机的电功率多大？
1 2 1 2 1 Pt =( mv 0 − mv )η = ρSv 0tη(v 02 −v 2 ) 2 2 2
代入数据解得 P=53kW
【例题2】 在光滑水平面上，动能为 0、动 例题 】 在光滑水平面上，动能为E 与静止小钢球2发生碰 量的大小为p 的小钢球1与静止小钢球 量的大小为 0的小钢球 与静止小钢球 发生碰 碰撞前后球1的运动方向相反 的运动方向相反。 撞 ， 碰撞前后球 的运动方向相反 。 将碰撞后 的动能和动量的大小分别记为E 球1的动能和动量的大小分别记为 1、 p1 ，球 的动能和动量的大小分别记为 2的动能和动量的大小分别记为 2 、 p2 ， 则必 的动能和动量的大小分别记为E 的动能和动量的大小分别记为 有 A．E1<E0 ． C．E2>E0 ． B．p1<p0 ． D．p2>p0 ．
例题3】 年全国） 【 例题 】 （ 2000年全国 ） 在原子核物理中 ， 研究核子与核 年全国 在原子核物理中， 关联的最有效途径是“双电荷交换反应” 关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部 分过程和下述力学模型类似。两个小球A和 用轻质弹簧相连 用轻质弹簧相连， 分过程和下述力学模型类似 。 两个小球 和 B用轻质弹簧相连， 在光滑的水平直轨道上处于静止状态。 在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于 v0 轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度 射向B球 轨道的固定挡板 ，右边有一小球 沿轨道以速度 射向 球， 如图所示。 与 发生碰撞并立即结成一个整体 发生碰撞并立即结成一个整体D。 如图所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体 。在它们继续 向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定， 向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定， 不再改变。然后， 球与挡板 发生碰撞，碰后A、 都静止不 球与挡板P发生碰撞 不再改变 。然后， A球与挡板 发生碰撞，碰后 、 D都静止不 接触而不粘连。 动 ， A与 P接触而不粘连 。 过一段时间 ， 突然解除锁定 （ 锁定 与 接触而不粘连 过一段时间， 突然解除锁定（ 及解除锁定均无机械能损失） 已知A、 、 三球的质量均为 及解除锁定均无机械能损失）。已知 、B、C三球的质量均为 m。 。 球的速度。 （1）求弹簧长度刚被锁定后 球的速度。 ）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度 球离开挡板P之后的运动过程中 （ 2）求在 球离开挡板 之后的运动过程中， 弹簧的最大弹 ） 求在A球离开挡板 之后的运动过程中， 性势能。 性势能。
动量和能量
s 7 答案： l 3
图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B 静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量 l 与B相同滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑 l 行，当A滑过距离L1时，与B相碰，碰撞时间极短， 碰后A，B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后 A恰好返回出发点P并停止。滑块A和B与导轨的滑动 摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为L2， 求A从P出发时的初速度v0。
2 1
v0 g(10l1 16l2 )
L2
B L1
A P
如图所示，质量mA为4.0kg的木板A放在水平面C上， 木板与水平面间的动摩擦因数μ为0.24，木板右 端放着质量mB为1.0kg的小物块B（视为质点），它 们均处于静止状态。木板突然受到水平向右的 12Ns的瞬时冲量I作用开始运动，当小物块滑离木 板时，木板的动能EM为8.0J，小物块的动能为 0.50J，重力加速度取10m/s2，求 ⑴瞬时冲量作用结束时木板的速度v0； ⑵木板的长度L。
例：如图所示，质量为ｍ的滑块A，以初速度V0从左 端滑上被固定在光滑水平地面上的小车B。小车质量 为M，滑块与小车间的动摩擦因数为μ，已知A滑离B 时的速度为V，求小车B的长度(ｍ＜M)。
若小车B未被固定。其余条件未变，要使滑块 A不滑离木板，求小车至少多长？
2 Mv0 l 2( M m) g
表达式
a. m1v1+m2v2=m1v'1+m2v′2 (适用于
作用前后都运动的两个物体组成的系统).
常 b. 0= m v + m v （适用于原来静止的 1 1 2 2 见 两个物体组成的系统，比如爆炸、反冲等， 表 两者速率及位移大小与各自质量成反比）. 达 式
动量、能量、质能方程讲解
虽然凭日常生活经验很难检验质能方程的正确性，但是质能方程却为核能的应用 打开了大门，它能定量地描述核反应释放出的能量，根据质能方程可知，要想从 物体中获得能量，最重要的就是用某个方法使这种物质经过某一过程，使其前后 静质量不相等，
比如将铀235原子分裂成两个新的原子核，其中有92个质子，143个中子，于是 在一个中子的撞击下，铀原子的总静质量要比铀235原子的静质量少0.22u，u = 1.66×10^-27kg，于是释放出的能量就是ΔE = Δmc^2 = 0.22×1.66×10^27×9×10^16 = 3.3×10^-11焦耳，
而1g铀235中的原子数约为2.56×10^21，因此1g铀235中的原子全部裂变就会 (3.3×10^-11)×(2.56×10^21) = 8.5×10^10焦耳，这个能量相当于20吨TNT 爆炸释放出的能量。因此不管是核裂变还是核聚变，原子中蕴含的能量都是非常 巨大的。
这就说明物体的动能等于物体运动时的能量减去静止时的能量，因此用E代表物 体总能量，上式就可以表达为E = mc^2，这个式子就是质能关系，它说明如果 某个物体或者体系有ΔE的能量变化的话，则对应的质量也有Δm的变化，
即ΔE = Δmc^2，现实中能量的变化是比较容易观测的，而质量的变化则是很微 小的，非常不容易察觉，比如一千克的水从0摄氏度被加热到100摄氏度时，吸 收的能量为4.18×10^5焦耳，则质量只是增加了Δm = ΔE/c^2 = 4.6×10^-12 千克，根本感觉不到。
说完了质量与速度的关系，那么变化的质量又和能量是什么关系呢，在力学中推 导做功时，定义了元功的概念，现在有一质量为m0的物体在变力F的作用下沿x 轴运动，当质点的速度从零增加到v时，外力F做的功就是此刻的动能，
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
(完整版)动量方程和能量方程
给控制体的热能 q以及外界环境对控制体做
功w的和。为简化推导形式，这里取控制体
为单位质量，e 为单位质量的内能，对于一个 静止系统有：
q w de
§ 2.3.空3气能动量力方学程的积分形式
t
e
V
2
/
2d
S
e
D(eV
2
/2)
•
q•
Dt
pV
f •V
•
•
Q ' viscous W ' viscous
§ 2.空3.气6 方动力程学组封闭的条件
在能量方程中，引入了另外一个未知的流场变
量 e 。现在有三个方程，即连续方程，动量方
程 和 能 量方 程 ， 但 它 们 包 含 了 四 个 独 立 的 变 量： , p,V和e 。引入如下两个方程可以使系统 封闭：
Fviscous
§ 2.2.4 动空量气方动程力学的物质导数形式
Du Dt
p x
f
x
(Fx
)v
iscous
Dv Dt
p y
f
y
(Fy
)viscous
DDwt pz f z (Fz )viscous
§2.3 能量空方气程动力学
§ 2.3.1 能量方程的引入
§ 2.3.2 能量方程的物理意义 § 2.3.3 能量方程的积分形式 § 2.3.4 能量方程的微分形式 § 2.3.5 能量方程的物质导数形式 § 2.3.6 方程组封闭的条件
§ 2.1空.1气连动续力学方程的物理意义
连续方程描述的是流体力学中的质量 守恒规律：流出控制体的质量流量等于 控制体内质量随时间的减少率。
能量与动量的关系
能量与动量的关系（下面用到的符号含义：E ：能量；p ：动量；m ：静质量；m'：动质量；c ：光速；v ：粒子的运动速度；k E ：动能；h ：普朗克常量；ν：频率；λ：波长）最近在量子力学教材中看到两种能量与动量关系的表达式：（1）E=2mp 2； （2）E=pc 。
为探讨他们的区别，作如下分析：在（1）中，能量E 指的是动能，即认为运动粒子的能量全部表现为动能，因为：E=2m p 2=2mv 21；在（2）中，E=pc=c c v1mv22-=vc m'而相对论中的能量与动量关系表达式为：2E =222)mc ((pc)+可以证明，上面的关系式与质能方程等价，因为： 2E =222)mc ((pc)+=222c)c v 1mv(-+22)mc (=2222)c cv 1m (-=22)c (m'，即E=2c m' 另外，相对论中的动能表达式为：k E =2c m'-2mc可以看到，若粒子是光量子，则：E=pc ，2E =222)mc ((pc)+，k E =2c m'-2mc 三式是等价的，因为对于光量子, m =0,p=m'c,且其能量全部为动能，故有：E =k E =pc=2c m'；然而对于其他粒子，显然以上三式是不等价的。
经过上述分析，我们看到：（1）式是非相对论性的粒子的能量动量关系式；（2）式是相对论性的光量子的能量动量关系式。
然而事实真是如此吗？我们可以看一下德布罗意关系式：E=hν；p=h/λ。
由此可推出：E=hν=pλν=pc我们知道德布罗意关系式对任何粒子都是成立的，那么由其推出的E=pc应该也适用于任何粒子，这显然与上面得出的E=pc只适用于光量子的结论矛盾。
问题到底出在哪里？通过仔细的检查，我们可以发现这样的事实：前面讨论的（1）、（2）两式中，速度v和c都是指粒子运动的速度；而在德布罗意关系式中，λν=c是指波速。
动量和能量
第五部分动量和能量第一讲基本知识介绍一、冲量和动量1、冲力（F —t 图象特征）→冲量。
冲量定义、物理意义冲量在F —t 图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F 对t 的平均作用力）2、动量的定义动量矢量性与运算二、动量定理1、定理的基本形式与表达2、分方向的表达式：ΣI x =ΔP x ，ΣI y =ΔP y …3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。
即tP ∆∆=ΣF 外 三、动量守恒定律1、定律、矢量性2、条件a 、原始条件与等效b 、近似条件c 、某个方向上满足a 或b ，可在此方向应用动量守恒定律四、功和能1、功的定义、标量性，功在F —S 图象中的意义2、功率，定义求法和推论求法3、能的概念、能的转化和守恒定律4、功的求法a 、恒力的功：W=FScos α=FS F =F S Sb 、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F —S 图象（或先寻求F 对S 的平均作用力）c 、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点五、动能、动能定理1、动能（平动动能）2、动能定理a 、ΣW 的两种理解b 、动能定理的广泛适用性六、机械能守恒1、势能a 、保守力与耗散力（非保守力）→势能（定义：ΔE p =－W 保）b 、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达2、机械能3、机械能守恒定律a 、定律内容b 、条件与拓展条件（注意系统划分）c 、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。
七、碰撞与恢复系数1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）碰撞的基本特征：a 、动量守恒；b 、位置不超越；c 、动能不膨胀。
2、三种典型的碰撞a 、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。
满足——m 1v 10+m 2v 20=m 1v 1+m 2v 221m 1210v +21m 2220v =21m 121v +21m 222v 解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：v 1=21201021m m v 2v )m m (++-，v 2=12102012m m v 2v )m m (++- 对于结果的讨论：①当m 1=m 2时，v 1=v 20，v 2=v 10，称为“交换速度”；②当m 1＜＜m 2，且v 20=0时，v 1≈－v 10，v 2≈0，小物碰大物，原速率返回；③当m 1＞＞m 2，且v 20=0时，v 1≈v 10，v 2≈2v 10，b 、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律c 、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体，故有 v 1=v 2=21202101m m v m v m ++ 3、恢复系数：碰后分离速度（v 2－v 1）与碰前接近速度（v 10－v 20）的比值，即： e=201012v v v v --。
动量和能量
二、两个定理 1、动量定理： I合=Δp 或F合t=mv2-mv1
2、动能定理： W合=ΔEK或F合S=mv22/2-mv12/2
动量定理：F合t=Δp，描述的是“力在时间上的积累
效果”——改变物体的动量；该式是矢量式，即动量的变
化方向与合冲量的方向相同。动能定理：F合S=ΔEK，描
述的是“力在空间上积累效果”——改变物体的动能；该 式是标量式。
冲量 动量
动量
动量定理 基本规律 动量守恒定律
功
功率 基本概念 动能 重力势能
能量
势能 弹性势能 电势能
动能定理
基本规律 机械能守恒定律
功能原理
二、两个定理 1、动量定理： I合=Δp 或F合t=mv2-mv1
2、动能定理： W合=ΔEK或F合S=mv22/2-mv12/2
动量定理：F合t=Δp，描述的是“力在时间上的积累
第三讲 动量和能量
牛顿运动定律与动量观点和能量观点通 常称作解决力学问题的三把金钥匙。其实它 们是从三个不同的角度来研究力与运动的关 系。解决力学问题时，选用不同的方法，处 理问题的难易、繁简程度可能有很大差别， 在很多情况下，用动量和能量的观点来解题， 会更快捷、更有效。
一、动量和能量概述
基概念
效果”——改变物体的动量；该式是矢量式，即动量的变
化方向与合冲量的方向相同。动能定理：F合S=ΔEK，描
述的是“力在空间上积累效果”——改变物体的动能；该 式是标量式。
用动量定理、动能定理解题关键：（1）正确地分析 研究对象的受力（2）准确地分析物体的运动。
对系统用动量定理分析受力只分析系统外力；对系统 用动能定理分析受力不仅分析系统外力，还要考试系统内 力做功，一般指系统内滑动摩擦力做功。
相对论的动量和能量
轻核聚变条件
温度要达到
108 K 时，使
2 1
H
具
有 10keV
的动能，足以克服两
2 1
H
之间的库仑排斥
力.
五 动量与能量的关系
E mc2 m0c2 1 v2 c2
p mv m0v 1 v2 c2
(mc2 )2 (m0c2 )2 m2v2c2
E 2 E02 p2c2
电子的静质量
m0 0.9111030 kg
电子的静能 m0c2 8.19 1014 J 0.511MeV
质子的静质量
m0 1.6731027 kg
质子的静能 m0c2 1.5031010 J 938MeV
1千克的物体所包含的静能 9 1016 J
1千克汽油的燃烧值为 4.6 107 焦耳 .
4 – 5 相对论性动量和能量
1. 相对论力学的基本方程
牛顿力学中，动量 p mv
m ：不随物体运动状态而改变的恒量。
相对论动量必须满足以下两个条件： a.在洛氏变换下保持不变;
b.在 v c 0 的条件下，还原为牛顿力学的
动量形式。
由此，得相对论动量：
p m0 v 1 v2 c2
xdp
0 dt
dx
d( pv) pdv vdp 和
p
p
0
vdp
m0v
得
Ek
m0 v 2
1 2
v
0
1 2
m0v dv 1 v2 c2
积分后，得 Ek
m0 v 2 1 v2
c2
m0c2
1 v2 c2 m0c2
流动控制方程
流动控制方程
流动控制方程是描述流体在流动过程中的动量守恒、质量守恒和能量守恒的方程。
在流体力学中，流动控制方程通常包括连续性方程、动量方程和能量方程。
1. 连续性方程：描述了流体的质量守恒，即单位时间内通过某一截面的质量流量等于流过该截面的质量的减少率。
连续性方程可以用以下形式表示：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
其中，ρ为流体的密度，t为时间，v为速度矢量。
2. 动量方程：描述了流体的动量守恒，即单位时间内通过某一截面的动量流量等于流过该截面的动量的减少率。
动量方程可以用以下形式表示：
∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + μ∇^2v + ρg
其中，ρ为流体的密度，t为时间，v为速度矢量，p为压力，
μ为动力粘度，g为重力加速度。
3. 能量方程：描述了流体的能量守恒，即单位时间内通过某一截面的能量流量等于流过该截面的能量的减少率。
能量方程可以用以下形式表示：
∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + ρg·v
其中，E为单位质量的总能量，T为流体的温度，k为热导率，ρ为流体的密度，t为时间，v为速度矢量，p为压力，g为重
力加速度。
这些方程是流体力学的基本方程，用于研究流体在不同条件下
的运动和变化。
根据具体情况和问题，可能会对流动控制方程进行简化或添加适当的辅助方程。
能量守恒动量守恒联立公式
能量守恒动量守恒联立公式
能量守恒和动量守恒是物理学中两个重要的守恒定律。
能量守恒
表明在一个封闭系统中，能量总量保持不变。
动量守恒则表明在一个
封闭系统中，动量总量保持不变。
能量守恒和动量守恒可以用数学公式表示为:
1.能量守恒公式：
初能量+输入能量=末能量+输出能量
这可以表示为：E_i + E_in = E_f + E_out
2.动量守恒公式：
初动量+输入动量=末动量+输出动量
这可以表示为：P_i + P_in = P_f + P_out
在一些物理过程中，同时满足能量守恒和动量守恒是非常重要的。
例如，弹性碰撞中能量守恒和动量守恒的联立公式可以用于推导出一
些关于速度和质量的有用关系。
在核反应和高能物理实验中，能量守
恒和动量守恒也经常被用来研究粒子的性质和相互作用。
总之，能量守恒和动量守恒是物理学中两个十分重要的守恒定律，它们形成了我们对自然界中各种物理现象和过程行为的理解基础。
动量和能量
第五部分动量和能量第一讲基本知识介绍一、冲量和动量1、冲力（F —t 图象特征）→冲量。
冲量定义、物理意义冲量在F —t 图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F 对t 的平均作用力）2、动量的定义动量矢量性与运算二、动量定理1、定理的基本形式与表达2、分方向的表达式：ΣI x =ΔP x ，ΣI y =ΔP y …3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。
即tP ∆∆=ΣF 外 三、动量守恒定律1、定律、矢量性2、条件a 、原始条件与等效b 、近似条件c 、某个方向上满足a 或b ，可在此方向应用动量守恒定律四、功和能1、功的定义、标量性，功在F —S 图象中的意义2、功率，定义求法和推论求法3、能的概念、能的转化和守恒定律4、功的求法a 、恒力的功：W=FScos α=FS F =F S Sb 、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F —S 图象（或先寻求F 对S 的平均作用力）c 、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点五、动能、动能定理1、动能（平动动能）2、动能定理a 、ΣW 的两种理解b 、动能定理的广泛适用性六、机械能守恒1、势能a 、保守力与耗散力（非保守力）→势能（定义：ΔE p =－W 保）b 、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达2、机械能3、机械能守恒定律a 、定律内容b 、条件与拓展条件（注意系统划分）c 、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。
七、碰撞与恢复系数1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）碰撞的基本特征：a 、动量守恒；b 、位置不超越；c 、动能不膨胀。
2、三种典型的碰撞a 、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。
满足——m 1v 10+m 2v 20=m 1v 1+m 2v 221m 1210v +21m 2220v =21m 121v +21m 222v 解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：v 1=21201021m m v 2v )m m (++-，v 2=12102012m m v 2v )m m (++- 对于结果的讨论：①当m 1=m 2时，v 1=v 20，v 2=v 10，称为“交换速度”；②当m 1＜＜m 2，且v 20=0时，v 1≈－v 10，v 2≈0，小物碰大物，原速率返回；③当m 1＞＞m 2，且v 20=0时，v 1≈v 10，v 2≈2v 10，b 、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律c 、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体，故有 v 1=v 2=21202101m m v m v m ++ 3、恢复系数：碰后分离速度（v 2－v 1）与碰前接近速度（v 10－v 20）的比值，即： e=201012v v v v --。
动量方程能量方程
c1
k 1
(k 1)Ma12 sin2
斜激波后的马赫数：
v2n c2
v2 sin(
c2
)
Ma2 sin(
)
波前后马赫数的关系： Ma2 sin( ) Ma1 sin
Ma12 sin2 (k 1) / 2 kMa12 sin2 (k 1) / 2
亚声速流。
（3）
p2 pamb p1
p0
p0
p0
在扩张段中将产生激波现象。喉部处的声速流进入扩张段后成为超声速流，而在 某处截面产生正激波，超声速流通过正激波后成为亚声速流，压强升高，直到出口 处渐达从到喉了道背移压 向出p口 处pam。b 。当激小波于的一位定置值是后和，压激强波比移有出关管的道，成随为着斜背激压波的，降整低个，扩激张波段逐为 超声速流，并且不再随背压的变化而变。
斜激波前气流的法向分速度是超音速，斜激波后的法 向分速度是亚音速。斜激波后的气流的速度，则根据切向 气流的分速度大小的不同，可能大于音速也可能小于音速。
第五节 激波的反射与相交
自由界面上的反射
在自由界面上的反射 在固体避面上的反射
λ型激波系
从等压自由界面发生出来的应是膨胀波。在固体壁面上反射
c2 {[2kMa12 (k 1)][2 (k 1)Ma12 ]}0.5
c1
k 1
(k 1)Ma12
6.马赫数比
Ma2 Ma12 (k 1) / 2 Ma1 kMa12 (k 1) / 2
第四节 斜激波
当超音速气流流过图 中所示 的凹壁面时将产生斜激波,气 流的速度由超音速变为亚音 速，而且流动的方向也将发 生变化。壁面的转折角为 ， 用角标1和2分别表示波前和 波后，n和t分别表示速度与 激波面垂直和平行的分量， 激波与波前壁面的交角称激
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§3 恒定总流伯努利方程综合性实验3.1 实验目的和要求1.通过定性分析实验，提高对动水力学诸多水力现象的实验分析能力；2.通过定量测量实验，进一步掌握有压管流中动水力学的能量转换特性，验证流体恒定总流的伯努利方程，掌握测压管水头线的实验测量技能与绘制方法；3.通过设计性实验，训练理论分析与实验研究相结合的科研能力。
3.2 实验装置1．实验装置简图实验装置及各部分名称如图3.1所示。
图3.1 伯努利方程综合性实验装置图1. 自循环供水器2. 实验台3. 可控硅无级调速器 3. 溢流板 5. 稳水孔板6. 恒压水箱7. 实验管道8. 测压点①~○199. 弯针毕托管10. 测压计11. 滑动测量尺12. 测压管①~○1913. 实验流量调节阀13.回水漏斗2．装置说明(1) 流量测量——称重法或量体积法称重法或量体积法是在某一固定的时段内，计量流过水流的重量或体积，进而得出单位时间内流过的流体量，是依据流量定义的测量方法。
本实验及后述各实验的测流量方法常用称重法或量体积法，用秒表计时，用电子称称重，小流量时，也可用量筒测量流体体积。
为保证测量精度，一般要求计时大于15~20秒。
(2) 测流速——弯针管毕托管弯针管毕托管用于测量管道内的点流速，原理见第2章2.3.3。
为减小对流场的干扰，本装置中的弯针直径为φ1.6⨯1.2 mm （外径⨯内径）。
实验表明只要开孔的切平面与来流方向垂直，弯针管毕托管的弯角从90︒~180︒均不影响测流速精度，如图3.2所示。
(3) 本仪器测压点有两种：1) 毕托管测压点，图3.1中标号为①、⑥、⑧、○12、○14、○16、○18（后述加*表示），与测压计的测压管连接后，用以测量毕托管探头对准点的总水头值，近似替代所在断面的平均总水头值，可用于定性分析，但不能用于定量计算；2) 普通测压点，图3.1中标号为②、③、④、⑤、⑦、⑨、⑩、○11、○13、○15、○17、○19，与测压计的测压管连接后，用以测量相应测点的测压管水头值。
(4) 测点⑥*、⑦所在喉管段直径为d 2，测点○16*、○17所在扩管段直径为d 3，其余直径均为d 1。
3．基本操作方法（1）测压管与连通管排气。
打开开关供水，使水箱充水，待水箱溢流，全开阀13，将实验管道7中气体完全排尽，再检查调节阀关闭后所有测压管水面是否齐平。
如不平则需查明故障原因（例连通管受阻、漏气或夹气泡等）并加以排除，直至调平。
（2）恒定流操作。
全开调速器，此时水箱保持溢流，阀门13开度不变情况下，实验管道出流为恒定流。
uu90~180图3.2 弯针管毕托管类型（3）非恒定流操作。
调速器开、关过程中，水箱6无溢流情况下，实验管道出流为非恒定流。
（4）流量测量。
实验流量用阀13调节，流量用称重法测量。
3.3 实验原理1．伯努利方程。
在实验管路中沿管内水流方向取n 个过水断面，在恒定流动时，可以列出进口断面(1)至另一断面(i )的伯努利方程式(i =2,3…,n )221111w122i i i i i p p z z h g g g gααρρ-++=+++v v取α1＝α2＝αn …＝1，选好基准面，从已设置的各断面的测压管中读出pz gρ+值，测出通过管路的流量，即可计算出断面平均流速v 及22gαv ，从而可得到各断面测管水头和总水头。
2．过流断面性质。
均匀流或渐变流断面流体动压强符合静压强的分布规律，即在同一断面上pz C gρ+=，但在不同过流断面上的测压管水头不同，1212p p z z g g ρρ+≠+；急变流断面上p z C gρ+≠。
3.4 实验内容与方法1．定性分析实验(1) 验证同一静止液体的测压管水头线是根水平线。
阀门全关，稳定后，实验显示各测压管的液面连线是一根水平线。
而这时的滑尺读数值就是水体在流动前所具有的总能头。
想一想：若某一根测压管液面不在测压管水头线的水平线上，原因可能是a)有气泡堵塞在连通管上；b )测压管粗细不均而受毛细现象影响；c)测压计滑尺的导轨不水平；d)受污物堵塞。
其中不正确的答案是（）(2) 观察不同流速下，某一断面上水力要素变化规律。
以测点⑧*、⑨所在的断面为例，测管⑨的液面读数为该断面的测压管水头。
测管⑧*连通毕托管，显示测点的总水头。
实验表明，流速越大，水头损失越大，水流流到该断面时的总水头越小，断面上的势能亦越小。
(3) 验证均匀流断面上，动水压强按静水压强规律分布。
观察测点②和③，尽管位置高度不同，但其测压管的液面高度相同，表明pz C gρ+=。
变一变：将均匀流断面变成急变流断面，动水压强也按静水压强规律分布吗？为什么在绘制总水头线时，测点⑩、○11应舍弃？ (4) 观察沿流程总能坡线的变化规律。
加大开度，使接近最大流量，若稳定后各测管水位如图3.3所示，图中A-A为管轴线。
图3.3 测压管水位示例纵观带毕托管的测点①*、⑥*、⑧*、○12*、○14*、○16*、○18*的测管水位（实验时可加入雷诺实验用的红色水，使这些管呈红色，如图3.3中以较深颜色表示的测压管），可见各测管的液面沿流程是逐渐降低而没有升高的，表明总能量沿流程只会减少，不会增加，能量损失是不可能逆转的。
扩一扩：预习流动阻力与水头损失概念，判别下列说法对的是（ 、 ） a)h 1-6是沿程阻力损失； b) h 1-6是管段1—5的沿程损失与收缩段5—6的局部损失之和； c) h 8-14是沿程损失； d) h 8-14是管段8—14的沿程损失与两个弯道管段的局部损失之和。
(5) 观察测压管水头线的变化规律。
总变化规律：纵观测压点②、④、⑤、⑦、⑨、○13、○15、○17、○19的测压管水位，可见沿流程有升也有降，表明测压管水头线沿流程可升也可降。
沿程水头损失：从②、④、⑤点可看出沿程水头损失的变化规律，等径管道上，距离相等，沿程损失相同。
势能与动能的转换：以测点⑤、⑦、⑨为例，测点所在流段上高程相等，管径先收缩后扩大，流速由小增大再减小。
测管⑤到测管⑦的液位发生了陡降，表明水流从测点⑤断面流到测点⑦断面时有部分压力势能转化成了流速动能。
而测管⑦到测管⑨测管水位回升了，这正和前面相反，说明有部分动能又转化成了压力势能。
这就清楚验证了动能和势能之间是可以互相转化的，因而是可逆的。
位能和压能的转换：以测点⑨与○15所在的两断面为例，由于二断面的流速水头相等，测点⑨的位能较大，压能（测管液位离管轴线的高度）很小，而测点○15的位能很小，压能却比⑨点大，这就说明了水流从测点⑨断面流到测点○15断面的过程中，部分位能转换成了压能。
想一想：在恒定流条件下，测压管水头线沿管轴线逐渐升高表示：（）a)管径渐缩；b)管径渐扩；c)管径不变；d)等径管管轴线高程逐渐抬高。
(6) 利用测压管水头线判断管道沿程压力分布。
测压管水头线高于管轴线，表明该处管道处于正压下；测压管水头线低于管轴线，表明该处管道处于负压下，出现了真空。
高压和真空状态都容易使管道破坏。
实验显示（参图 3.3），测点⑦的测管液面低于管轴线，说明该处管段承受负压（真空）；测压管⑨的液位高出管轴线，说明该处管段承受正压。
动一动：拔下测点⑦处的皮管，会出现什么现象？拔下测点⑨处的皮管，又会有什么现象？2. 定量分析实验——伯努利方程验证与测压管水头线测量分析实验实验方法与步骤：在恒定流条件下改变流量2次，其中一次阀门开度大到使○19号测管液面接近可读数范围的最低点，待流量稳定后，测记各测压管液面读数，同时测记实验流量（毕托管测点供演示用，不必测记读数）。
实验数据处理与分析参考3.5 。
3．设计性实验——改变水箱中的液位高度对喉管真空度影响的实验研究为避免引水管道的局部负压，可采取的技术措施有(a)减小流量；(b)增大喉管管径；(c)降低相应管线的安装高程；(d)改变水箱中的液位高度。
下面分析后两项。
对于措施(c)，以本实验装置为例（参图 3.4），可在水箱出口先接一下垂90 弯管，后接水平段，将喉管的高程降至基准高程0－0，使位能降低，压能增大，从而可能避免点⑦处的真空。
该项措施常用于实际工程的管轴线设计中。
图3.4 实验管道系统图对于措施(d)，不同供水系统调压效果是不同的，需作具体分析。
可通过理论分析与实验研究相结合的方法，确定改变作用水头（如抬高或降低水箱的水位）对管中某断面压强的影响情况。
本设计性实验要求利用图3.1实验装置，设计改变水箱中的液位高度对喉管真空度影响的实验方案并进行自主实验。
理论分析与实验方法提示：取基准面0-0如图3.4所示，图中1-1、2-2、3-3分别为计算断面1、2、3，计算断面1的计算点选在液面位置，计算断面2、3的计算点选在管轴线上。
水箱液面至基准面0-0的水深为h 。
改变水箱中的液位高度对喉管真空度影响的问题，实际上就是22p z gρ+随h 递增还是递减的问题，可由22()pz h g ρ∂+∂加以判别。
列计算断面1、2的伯努利方程（取α2＝α3＝1）有2222w122p h z h g gρ-=+++v (1)因h w1-2可表示成 23w 121.22c h gζ-=v 式中ζc1.2是管段1－2总水头损失因数，当阀门开度不变时，在h 的有限变化范围内，可设ζc1.2近似为常数。
又由连续性方程有2243322d g d g=()22v v 故式(1)可变为43221.22[()]c d p z h g d ζρ+=-+232gv (2)式中23/2g v 可由断面1、3伯努利方程求得， 即2331.3(1)2c h z gζ=++v (3)ζc1.3是全管道的总水头损失因数，当阀门开度不变时，在h 的有限变化范围内，可设ζc1.3近似为常数。
由此得2331.321c h z g ζ-=+v ， 代入式(2)有 43322 1.22 1.3[()]()1c c d h z p z h g d ζρζ-+=-++ (4) 则 4321.222 1.3(/)(/)11c c d d z p g h ζ∂ρ∂ζ++=-+ (5) 若432 1.21.3(/)11c c d d ζζ+-+＞0，则断面2上的22pz g ρ+随h 同步递增，反之，则递减。
若接近于0，则断面2上的22p z gρ+随h 变化不明显。
实验中，先测计常数d 3/d 2、h 和z 3各值，然后针对本实验装置的恒定流情况，测得某一大流量下22p z gρ+、22/2g v 、23/2g v 等值，将各值代入式(2)、(3)，可得各管道阻力因数ζc1.2和ζc1.3。
再将其代入式(5)得22(/)z p g hρ∂+∂，由此可得出改变水箱中的液位高度对喉管真空度影响的结论。
最后，利用变水头实验可证明该结论是否正确。