高考数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)附解析

高考数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)附解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ）

A ．21(1)(2)a a a a +++>+

B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+

C ．1

log (1)a a a a ++< D ．12

log (2)1

a a a a +++<

+ 【答案】ABD 【分析】

对于选项A ：原式等价于

()()

ln 1ln 212

a a a a ++>

++，对于选项C ：1

log (1)a a a a ++<

()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a

+⇔<

+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121

a a a a ++<

++，构造函数()ln x

f x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；

对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()

()

ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔

>+， 等价于()()2

ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式2

2a b ab +⎛⎫≤ ⎪

⎝⎭

，再结合放缩法即可

判断； 【详解】 令()ln x f x x =

，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()

ln x

f x x

=在(),x e ∈+∞上单调递减， 对于选项A ：因为2a ≥，所以

21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，

即原不等式等价于

()()

ln 1ln 212

a a a a ++>

++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>

++，从而可得2

1(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确； 对于选项C ：1

log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a

+⇔<

+， 由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 3

43

<，

因为

ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 3

23<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a

+>+，故选项C 错

误；

对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121

a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.

对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()

()

ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔

>+，因为2a ≥， 所以等价于()()2

ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2

ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦

，

因为()()()()2

2

2

22

2ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢

⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

， 所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确； 故选：ABD 【点睛】

本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.

2．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001

12

f x f x =+=-

，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）

A ．0112f x ⎛⎫

+

=- ⎪⎝

⎭

B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

C ．()f x 的最小正周期为3

D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为

1346个 【答案】AC 【分析】

根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得

052,6

x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6

x k k Z π

ωϕπ++=-

∈，两式相减可求出ω，进而求得

周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】

解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫

+

=- ⎪⎝⎭

，所以A 正确；