大学本科No.7 量子力学基础及其应用 题

《大学物理BII 》作业 No.07量子力学基础及其应用
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
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1、掌握物质波公式、理解实物粒子的波粒二象性特征。

2、理解概率波及波函数概念。

3、理解不确定关系，会用它进行估算；理解量子力学中的互补原理。

4、会用波函数的标准条件和归一化条件求解一维定态薛定谔方程。

5、理解薛定谔方程在一维无限深势阱、一维势垒中的应用结果、理解量子隧穿效应。

6、理解决定电子量子态的4个量子数的物理意义及其取值范围。

7、理解由薛定谔方程得到的氢原子能级公式、轨道角动量公式、轨道角动量沿特定方向分量的公式；
8、理解描述电子自旋内禀特征的自旋概念及自旋角动量公式，了解施特恩－格拉赫实验结果的物理意义。

9、理解多电子原子中电子的壳层排布结构以及它们和能量最低原理、泡利不相容原理的关系。

10、理解晶体中电子共有化特征、能带形成的原因；掌握价带、空带、满带、导带等概念。

掌握导体、绝缘体、本征半导体、P 型半导体、N 型半导体各自的能带结构特征。

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一、选择题(6小题，每题2分，共12分）
1. 不确定关系式 ≥∆⋅∆x p x 表示在x 方向上［ ］
(A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定 (C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定 2. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
)(23cos
1)(a x a a x a
x ≤≤-=
πψ
那么粒子在6
5a
x =
处出现的概率密度为［ ］
a 21(A)
a 1(B) a
21(C) a 1(D) 3. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系：
［ ］
(A) v ∝λ
(B)
v
1∝λ
(C)
2
211c v -∝
λ (D)
22v c -∝λ
4. 下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？［ ］
(A) n = 2，l = 2，m l = 0，2
1
=s m
(B) n = 3，l = 1，m l =-2，2
1-=s m
(C) n = 1，l = 2，m l = 1，2
1
=
s m
(D) n = 3，l = 2，m l = 0，2
1-
=s m 5. 硫化镉(CdS)晶体的禁带宽度为2.42eV, 要使这种晶体产生本征（半导体）光电导，则入射到晶体上的光的波长不能大于(普朗克常量h = 6.63×10-34J·s ，基本电荷e = 1.6×10-19
C)：
(1n m=109-m) ［ ］
(A) 650nm (B) 628 nm (C) 550 nm (D) 514 nm
6. 在原子的L 壳层中，电子可能具有的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )是 (1) (2，0，1，
21) (2) (2，1，0，21-
)
(3) (2，1，1，2
1
)
(4) (2，1，-1，2
1
-)
以上四种取值中，哪些是正确的？［ ］ (A) 只有(1)、(2)是正确的 (B) 只有(2)、(3)是正确的 (C) 只有(2)、(3)、(4)是正确的 (D) 全部是正确的
二、判断题（6小题，每题2分，共12分）
1．量子力学中的“隧道效应”现象只有粒子总能量高于势垒高度时才出现。

［ ］ 2．根据量子力学理论，氢原子中的电子是作确定的轨道运动，轨道是量子化的。

［ ］ 3．根据德布罗意假设，只有微观粒子才有波动性。

［ ］
4．描述微观粒子运动状态的波函数在空间中可以不满足波函数的标准条件。

［ ］ 5．不确定关系表明微观粒子不能静止，必须有零点能存在。

［ ］ 6. 固体中能带的形成是由于固体中的电子仍然满足泡利不相容原理。

［ ］
三、填空题（6小题，每空2分，共24分）
1. 低速运动的质子p 和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比αp p :p ＝ ______ ；动能之比αE E :p ＝ ______ 。

2. 如果电子被限制在边界x 与x x ∆+之间，5.0=∆x Å，则电子动量的x 分量的不确定量近似地为 ___________ -1s m kg ⋅⋅。

(不确定关系式h p x x ≥∆⋅∆，普朗克常量s J 10
63.634
⋅⨯=-h )
3. 根据量子力学理论，氢原子中电子的角动量在外磁场方向上的投影为 l z m L =，当角量子数l ＝2时，z L 的可能取值为________________。

4. 根据量子力学理论，氢原子中电子的角动量为 )1(+=
l l L 。

当主量子数n = 4时，电
子角动量的可能取值为_____________________。

根据泡利不相容原理，在角量子数l =3的电子支壳层上最多可能有的电子数为_______________个。

5. 本征半导体掺_______价元素杂质即可成为n 型半导体，它的多数载流子是_______，如果掺______价元素杂质成为p 型半导体，它的多数载流子是_______。

请在所附的两个能带图中括号位置分别填入施主能级或受主能级。

6. 太阳能电池中，本征半导体锗的禁带宽度是0.67eV ，它能吸收的辐射的最大波长是_________(m)。

(普朗克常量s J 1063.634⋅⨯=-h ，J 106.1eV 119-⨯=)
四、计算题（3小题，共28分）
1. (共8分）在宽为a 的一维无限深势阱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图(a)所示，对应的总能量为4eV,若它处于另一个波函数如图(b)的态上，它的总能量是多少？粒子的零点能又是多少？
_)
____)
2.（共10分）由库仑定律和简单的角动量量子化条件，导出氢原子诸能级。

3.（共10分）粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，其波函数为：
)0(3sin 2)(a x a
x a x <<=
πψ
试求粒子出现概率最大的各个位置及在区间)2
6(a
x a <<的概率。

五、证明题（附加题5分） 1. 利用不确定关系（2
≥
∆⋅∆p x ），证明一维无限深方势阱中粒子的基态能量为：
2
2
08ma
E =，其中势阱宽度为a 。