量子力学黄皮书讲解
量子力学讲义1
量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
量子力学讲稿 张永德
1
这里，等式右边第二项在地球条件下比第一项小很多，所以作了一级近似计算。 4
引入记号 c
h 为电子 Compton 波长（0.0242 A ），上式改写成 m0c
(1.6) (1.6)式已为实验证实。然而，这里推导中使用了光照射过程是光子 和电子碰撞过程，并且散射光频率会减小等概念，这些都是经典物 理学认为光是波动场所无法理解的。比如，按经典观念，电子在受 迫振动下发射的次波——散射光频率应当和入射光頻率相同。 总之，这一组实验揭示了： 作为波动场的光其实也具有粒子性质的一面。 ※ ※ ※ II, 第二组实验——粒子的波动性实验 [A]，《电子的 Young 双缝实验》 Feynman 说：电子 Young 双缝实验是量子力学的心脏。 1961 年 Jönsson，电子束做出了单缝、双缝衍射实验。 电子波长很短，缝宽和缝距都要十分狭小，低能电子容易被缝屏 物质散射衰减，实验很难做。 Jönsson 在铜膜上刻了五条 缝宽为 0.3 m 、缝长 50 m 、缝距 1 m 的狭缝， 分别用单、双、三、四、五条缝做了衍射实验。实验中电子的加速 电压为 50keV，接受屏距离缝屏 35cm。 概念性分析1： 实验事实是， 这时在接受屏 x 处探测到电子的概率 P ( x ) 并不简单 地等于两缝各自单独开启时的概率 P1 ( x ) 、 P2 ( x ) 之和，而是存在两缝 相互影响的干涉项
2
波振子数（即自由度数目）为 N d
0 L: e ikx
x 0
8 2 d 。为此用驻波条件， c3
e ikx
xL
kL 2n k
2n 2 k L L
辐射场单位体积内，波数 k k d 3k 内自由度数目 k
N d 2d 3 k
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题复习答案考研资料
曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解完整版>精研学习网>免费在线试用20％资料全国547所院校视频及题库资料考研全套>视频资料>课后答案>往年真题>职称考试目录隐藏第1章波函数与Schrödinger方程1.1复习笔记1.2课后习题详解1.3名校考研真题详解第2章一维势场中的粒子2.1复习笔记2.2课后习题详解2.3名校考研真题详解第3章力学量用算符表达3.1复习笔记3.2课后习题详解3.3名校考研真题详解第4章力学量随时间的演化与对称性4.1复习笔记4.2课后习题详解4.3名校考研真题详解第5章中心力场5.1复习笔记5.2课后习题详解5.3名校考研真题详解第6章电磁场中粒子的运动6.1复习笔记6.2课后习题详解6.3名校考研真题详解第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1复习笔记7.2课后习题详解7.3名校考研真题详解第8章自旋8.1复习笔记8.2课后习题详解8.3名校考研真题详解第9章力学量本征值问题的代数解法9.1复习笔记9.2课后习题详解9.3名校考研真题详解第10章微扰论10.1复习笔记10.2课后习题详解10.3名校考研真题详解第11章量子跃迁11.1复习笔记11.2课后习题详解11.3名校考研真题详解第12章其他近似方法12.1复习笔记12.2课后习题详解12.3名校考研真题详解内容简介隐藏本书是曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的学习辅导书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。
本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。
因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。
（2）详解课后习题，巩固重点难点。
本书参考大量相关辅导资料，对曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
（3）精编考研真题，培养解题思路。
量子力学讲义6-2(最新版)
x y z
ψ n lm (r , θ , ϕ ) —ψ 011 ,ψ 01−1 ,ψ 010
r
也可取为
ψ n n n —ψ 100 ,ψ 010 ,ψ 001
x y z
可以证明 ⎡ψ 011 ⎤ ⎡ −1/ 2 ⎢ψ ⎥ = ⎢1/ 2 ⎢ 01−1 ⎥ ⎢ ⎢ψ 010 ⎥ ⎢0 ⎣ ⎦ ⎢
⎣
l = N − 2nr = N , N − 2, N − 4, ,1( N 奇)或0( N 偶)
nr = 0,
1,
2,
N −1 N 或 , 2 2
(17) (18)
E 由此可证明， N 能级的简并度为
例如，N=偶数情况，(对N=奇数,证明类似)
1 f N = ∑ (2l + 1) = ( N + 1)( N + 2) 2 l = 0,2, , N
x y z x y z
1 1 1 Enx ny nz = (nx + ) ω + (n y + ) ω + (nz + ) ω 2 2 2 = ( N + 3 / 2) ω，
(21) 与(14)式相同。类似可求出能级简并度，因为 对于给定N，有 nx = 0, 1, 2, , N − 1, N , n y + nz = N , N − 1, N − 2, , 1, 0,
Rnr l (r ) ∼ r e
l −α 2 r 2 / 2
F (−nr , l + 3 / 2, α 2 r 2 ),
经归一化后，表为
Rnr l (r ) = α
l + 2 − nr 3/ 2
⎡2 (2l + 2nr + 1)!!⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎣ π nr ![(2l + 1)!!] ⎦
量子力学教程量子力学教程
归一化条件表示为
d3 r (r, sz ) 2
sz /2
d3
r(
(r,
/
2),
(r
,
/
2))
(r, / (r,
2) / 2)
d3 r[ r, / 2 2 r, / 2 2 ]
（2）
d3 r 1
（12）
并且
2 x
2 y
2 z
I
（单位算符）
（13）
可以证明 的三个分量反对易
x y y x 0 y z z y 0 z x x z 0
（14）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量量子子力力学学教程教程(第二版)
式（11）和（14）联立得
)
1
（6）
a 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基.一
般自旋态可以展开为
sz
a b
aa
b
波函数表示为
（7）
(r, sz ) r, / 2a r, / 2 （8）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量量子子力力学学教程教程(第二版)
பைடு நூலகம்
x
y
y x
i z
y z z y i x
z x x z i y
式（15）与（13）归纳为
（15）
a a i a
（16）
上式与 概括了Pauli 算符的全部代数性质.
量子力学黄皮书讲解
量子力学黄皮书讲解量子力学是一门研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子的行为和性质。
黄皮书是指《黄皮书系列：量子力学基础》，是一本经典的量子力学教材。
本文将以量子力学黄皮书为参考，讲解量子力学的基本概念和原理。
第一章：量子力学的起源和基本假设量子力学的起源可以追溯到20世纪初，当时科学家们发现经典物理学无法解释一些实验现象，如黑体辐射和光电效应。
为了解释这些现象，人们提出了量子理论的基本假设：1. 粒子的能量是离散的，而不是连续的。
这意味着粒子的能量只能取特定的值，称为能级。
2. 粒子的位置和动量不能同时确定，存在不确定性原理。
这意味着我们无法同时准确测量粒子的位置和动量。
第二章：波粒二象性量子力学中的粒子既表现出粒子性，又表现出波动性。
这一概念被称为波粒二象性。
实验观察表明，电子、光子等微观粒子既可以像粒子一样进行定位和计数，又可以像波一样进行干涉和衍射。
这种波粒二象性在量子力学中得到了充分的解释。
第三章：量子力学的数学框架量子力学使用数学工具来描述微观粒子的行为。
其中最基本的数学工具是波函数。
波函数是一个复数函数，用于描述粒子的位置和状态。
根据波函数的演化方程，我们可以预测粒子在不同时间和空间的行为。
第四章：量子力学的测量和观测在量子力学中，测量是一个重要的概念。
测量不仅仅是获取粒子的位置和动量，还涉及到对粒子的其他性质的测量，如自旋和能量。
根据波函数坍缩的原理，测量会导致粒子状态的崩溃，从而确定粒子的性质。
第五章：量子力学的运动方程量子力学中的运动方程是薛定谔方程，用于描述波函数随时间的演化。
薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数和能级。
第六章：量子力学的基本原理和实验验证量子力学的基本原理包括量子叠加原理、量子纠缠原理和量子隧道效应等。
这些原理是量子力学理论的基石，通过实验验证，证明了量子力学的正确性和可靠性。
第七章：量子力学的应用量子力学不仅仅是一门理论学科，还有广泛的应用。
量子力学讲义2-3(最新版-09)
∂ Ε→i , Ρ → −i ∇ ∂t
由作用在波函数上的微分算符表示的。
（21）
Peking University
通常我们称
∂ i 和 −i ∇ 分别为能量和动量算符。 ∂t
关于算符的概念，将在后面章节中作系统介绍。
Quantum Mechanics ( I )
2.3 ※
Peking University
在经典力学中，体系运动状态随时间的变 化遵循牛顿方程。牛顿方程是关于变量的二阶 全微分方程。方程的系数只含有粒子的质量 m。一旦初始条件给定，方程将唯一地决定以 后任何时刻的运动状态。
※
Peking University
Quantum Mechanics ( I )
在量子力学中，体系的运动状态由波函数 Ψ (r , t ) 描述。换言之，我们就体系在给定时刻 t 的性质所能做出的所有预言，全都可以由该时 刻的Ψ推得。因此，和经典力学类似，理论的 核心问题是：已知某一初始时刻 t0 的波函数， 设法确定以后各时刻的波函数。为了做到这一 点，我们必须知道决定 Ψ (r , t )随t变化规律的方 程式。
方程（20）与导出它的关系式（19）一样，显然 不满足相对论原理。然而德布罗意理论却不受这 个限制。为了得到自由粒子的相对论方程，我们 可以采用相对论的能量动量关系
Ε =c Ρ +m c
2 2 2
2.3
2 4
Quantum Mechanics ( I )
※
应用上述算符代换可得
∂2Ψ − 2 = ( − 2∇ 2 + m 2 c 2 ) Ψ c ∂t 2
则描述不可逆过程，没有周期性的解，实际上
Peking University
量子力学讲义及资料第三章： 一维定态问题
第三章： 一维定态问题[1]对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明2a x = ）（）（22226112πn a x x -=-并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数：()axn a x n πsin2=ψ （1） 先计算坐标平均值：xdx axn a xdx a x n a xdx x a aa）（⎰⎰⎰-==ψ=02022cos 11sin 2ππ利用公式：2sin cos sin ppxp px x pxdx x +-=⎰ （2） 得2cos sin cos ppxp px x pxdx x +-=⎰ （3） 22cos 22sin 221022aa x n n a a x n x n a x a x a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ 计算均方根值用()x x x x x ，）（222-=-以知，可计算2xdx ax n x a dx a x n x a dx x x a a）（⎰⎰⎰-==ψ=022222022cos 11sin 2ππ利用公式px ppx x p px x p pxdx x sin 1cos 2sin 1cos 3222-+=⎰ （5） aa x n x n a a x n n a x n a x a x 0222222cos222sin 22311πππππ⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=222223πn a a -= ()22222222223⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-a n a a x x x x π）（2222212πn a a -=（6） 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度a1=ω。
210a xdx a xdx x aa ===⎰⎰ω 312202a dx x a x a==⎰()22222222223⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-a n a a x x x x π）（故当∞→n 时二者相一致。
量子力学曾谨言第五版第二章讲课稿(知识点)讲解
第一章 波函数与Schr ödinger 方程§1、波函数及其统计解释(Wave-function and its statistical interpretation)一、德布罗意的“物质波”假说1、德布罗意的“物质波”假说(De Broglie matter-waves in 1923） 先回忆普朗克的“光量子”假说：E h p h νλ=⎧⎨=⎩, 重新换写一下：E ω= 2ωπν=是圆频率p k = k 是波矢量，2k πλ=是由波动性决定粒子性。
德布罗意假说：微观粒子也有波动性，满足关系式： , E p k ω==， 称之为德布罗意关系，是由粒子性决定波动性。
对于具有确定的能量E 和动量p 的自由粒子，其对应的物质波是一个单色的平面波： 平面波是()(),exp r t A i k r t ψω⎡⎤=⋅-⎣⎦，将德布罗意关系E p kω=⎧⎪⎨=⎪⎩代入得：()(),exp r t A i p r Et ψ=⋅-⎡⎤⎣⎦，称为德布罗意波（是复数波）。
因此，由德布罗意假设知，微观粒子的运动状态可用波函数表示。
物质波(matter wave)：与粒子运动相联系的平面波称为物质波或德布罗意波。
而一般可计算得到： 物质微粒的波长1010-<Å，氧原子0.4≈Å、DNA 分子410-≈Å、电子波长1≈Å。
只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。
通常物质微粒的质量和动量较大，因而德布罗意波长非常短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能显示出波动性。
德布罗意波长(De Broglie wave-length)的计算： [例1] 求做热运动的气体分子的德布罗意波长。
[解] 温度为T 的气体分子热运动动能为32B E k T =，当o 300K T =（室温）时，分子的动能约为0.039eV ，相应的物质波波长为22 0.039(eV)h p m c λ==⨯分子 对于氧分子（2O ），282o p 32329.3810eV m m ≈=⨯⨯，波长0.026nm λ≈，远小于分子的平均自由程，所以分子的热运动可作经典力学处理。
量子力学讲义 温伯格
量子力学讲义引言量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它在20世纪初由一系列科学家发展而来，其中最著名的是德国物理学家温伯格（Max Born）。
量子力学革命性地改变了我们对自然界的认识，揭示了微观粒子行为的奇异性质。
本讲义将介绍量子力学的基本原理、数学描述和一些重要的应用。
1. 量子力学的基本原理量子力学的基本原理可以归结为以下几点：1.1 波粒二象性量子力学揭示了微观粒子既具有粒子性又具有波动性的特性。
根据德布罗意（Louis de Broglie）提出的波粒二象性理论，任何物质粒子都具有波动性，其波长与动量相关。
这意味着微观粒子不仅可以被看作是粒子，还可以被看作是波动。
1.2 玻尔原子模型玻尔（Niels Bohr）提出了一种描述原子结构的模型，即玻尔原子模型。
根据这个模型，原子由一个中心的原子核和围绕核旋转的电子组成。
电子只能在特定的能级轨道上运动，而且只能在能级之间跃迁，放出或吸收特定能量的光子。
1.3 不确定性原理海森堡（Werner Heisenberg）提出了著名的不确定性原理，它指出在测量微观粒子的位置和动量时，无法同时精确确定它们的值。
这是由于测量过程中的干扰和微观粒子的波粒二象性导致的。
不确定性原理限制了我们对微观世界的观测和测量。
2. 量子力学的数学描述量子力学使用数学语言来描述微观粒子的行为。
其中最基本的数学工具是波函数（wave function）和算符（operator）。
2.1 波函数波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它是时间和空间的函数，可以用来计算粒子的概率分布。
波函数的平方模的积分表示了在特定位置找到粒子的概率。
2.2 算符算符是量子力学中表示物理量的数学对象。
它们作用于波函数上，可以得到物理量的期望值。
例如，位置算符可以得到粒子的位置期望值，动量算符可以得到粒子的动量期望值。
2.3 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程。
它是一个偏微分方程，描述了波函数随时间变化的规律。
量子力学ppt课件
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
h
n
c
h 0
c
n0
X
mv
0
2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
h m0c
量子力学教程课件
量子力学教程课件1. 简介量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学分支，描述了微观世界的基本原理和规律。
本教程课件旨在介绍量子力学的基本概念、数学描述和常见应用，帮助学生深入理解和应用量子力学知识。
2. 量子力学基础2.1 波粒二象性介绍波粒二象性的基本概念，包括波动性和粒子性的相互转化，以及双缝实验等经典实例。
2.2 不确定性原理解释不确定性原理的概念和意义，说明无法同时准确确定粒子的位置和动量的原理。
2.3 波函数和 Schrödinger 方程介绍波函数的概念，以及薛定谔方程的基本形式和求解方法，引导学生理解波函数描述微观粒子的性质和行为。
3. 定态量子力学3.1 定态和定态方程介绍定态的概念，以及定态方程的推导和求解方法，帮助学生理解波函数与能量之间的关系。
3.2 算符和本征值问题解释算符和本征值问题的基本概念，包括算符的作用和本征函数的定义，引导学生掌握本征值问题的求解方法。
3.3 动量和位置算符介绍动量和位置算符的定义和性质，解释它们对应的本征函数和本征值，讨论动量-位置不确定性关系。
4. 哈密顿力学和波函数演化4.1 哈密顿量和状态演化解释哈密顿量的概念和物理意义，讨论波函数演化的基本原理，引导学生理解时间演化和态矢量的变化关系。
4.2 边界条件和量子力学稳定态探讨边界条件对量子力学系统稳定态的影响，以及波函数在无穷深势阱等特定势场中的求解。
4.3 时间演化和量子力学测量介绍时间演化算符的定义和性质，讨论量子力学测量的基本原理和微扰态的提取方法。
5. 特殊系统和量子力学应用5.1 含时量子力学引入含时量子力学的概念，解释含时薛定谔方程的物理意义，介绍准确求解和近似求解的方法。
5.2 简谐振子讨论简谐振子的基本性质和量子化过程，引导学生理解能级和激发态的概念。
5.3 氢原子和多电子系统介绍氢原子的量子力学描述和能级结构，讨论多电子系统的波函数形式和近似求解方法。
5.4 量子力学与量子信息探索量子力学与量子信息科学的联系，简要介绍量子计算、量子通信和量子加密等前沿应用。
樱井纯现代量子力学第二版3.6.11式推导
樱井纯教授是著名的量子力学专家，他的《现代量子力学第二版》是该领域的经典教材之一。
在书中，他对量子力学中的各种概念和公式进行了深入的探讨和推导。
其中，3.6.11式是量子力学中的一个重要公式，本文将对该式进行推导和分析。
1. 3.6.11式的含义3.6.11式是描述量子力学中体系的哈密顿量的期望值的公式。
在量子力学中，哈密顿量是描述体系总能量的算符，其期望值可以用来计算体系的平均能量。
3.6.11式在量子力学的应用中具有重要意义。
2. 推导过程为了推导3.6.11式，我们需要从基本的量子力学原理出发，逐步推导出该式。
以下是推导的详细过程：（1）我们从量子力学基本原理出发，假设体系的波函数ψ(x)和相应的哈密顿量H。
量子力学中，波函数的平方表示粒子在空间中的分布概率，而哈密顿量则描述体系的总能量。
（2）根据量子力学的基本原理，我们可以得到哈密顿量H的本征方程：Hψ(x) = Eψ(x)其中，E为体系的能量本征值，ψ(x)为对应的能量本征函数。
（3）接下来，我们将哈密顿量表示为动量算符P和势能算符V的和：H = P^2/2m + V(x)其中，P为动量算符，m为粒子的质量，V(x)为势能函数。
（4）根据上述表示，我们可以得到哈密顿量的期望值为：< H > = ∫ψ*(x)Hψ(x)dx其中，ψ*(x)表示波函数的共轭复数。
（5）将哈密顿量的表达式代入上式，并根据量子力学中的基本原理进行计算，最终可以得到3.6.11式的具体表达式。
3. 结论通过以上推导过程，我们得到了樱井纯教授《现代量子力学第二版》中3.6.11式的详细推导过程。
该推导过程基于量子力学的基本原理，从哈密顿量的本征方程出发，逐步推导得到了该式的具体表达式。
在量子力学的研究和应用中，3.6.11式具有重要的意义，它可以帮助我们理解和描述体系的能量特性，为进一步的量子力学研究提供了重要的理论基础。
樱井纯教授的《现代量子力学第二版》对量子力学的各个方面进行了深入的讨论和分析，为该领域的研究工作提供了重要的参考。
量子力学 刘劲松 15讲.
光电子科学与工程学院 刘劲松 第十五讲
角动量的本征态 碱金属原子光谱的双线结构
1
目录
一、总角动量的本征态 二、碱金属原子光谱的双线结构
2
一、总角动量的本征态(1)
考虑到自旋后，碱金属原子价电子的Hamilton
量为
Hˆ Hˆ 0 (r)Sˆ lˆ, 其中Hˆ 0 pˆ 2 / 2 V (r)
故应有是lˆ2的本征函数，即lˆ2 c
lˆ21
2
c
1 2
和lˆ
2
1 2
c
1 2
1 2
和
1 2
是lˆ
2对应
相同本征值的本征函数,即1
2
aYlm
,
1 2
bYlm
且
1 2
和
1 2
对应lˆ2的本征值都为c
l(l
1) 2。
一般而言
m
m或
1
得到
[l(l 1) 3 4 m]a (l m)(l m 1)b a (l m 1)(l m)a [l(l 1) 3 4 (m 1)]b b
a和b有非零解的条件为
l(l 1) 3 4 m
(l m)(l m 1)
2
2
2
lz1 m
l z2
1 2
lz
1 2
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量子力学黄皮书讲解
量子力学黄皮书讲解量子力学是一门研究微观世界的物理学理论，被誉为20世纪最重要的科学理论之一。
它揭示了微观粒子的奇妙行为和性质，对于理解原子、分子、光与物质相互作用等现象具有重要意义。
黄皮书是量子力学领域中一本经典的教材，以其严谨的理论推导和系统的内容向读者介绍了量子力学的基本原理和应用。
黄皮书的讲解从经典物理学的视角出发，引导读者理解量子力学的背景和发展历程。
它首先介绍了黑体辐射和光电效应的实验现象，这些实验结果无法用经典物理学的理论来解释。
为了解释这些现象，量子力学引入了“能量量子化”的概念，即能量不是连续的，而是以最小单位的量子形式存在。
这一概念颠覆了传统物理学关于能量连续性的假设，开启了全新的物理学领域。
接着，黄皮书详细介绍了波粒二象性，即微观粒子既具有波动性又具有粒子性。
这一概念由德布罗意提出，并通过实验验证。
他的实验利用电子通过晶体时的衍射现象，证明了电子具有波动性。
这一实验奠定了量子力学的基础，并为后来的发展提供了重要的实验依据。
在介绍了波粒二象性后，黄皮书探讨了量子力学中的不确定性原理。
不确定性原理由海森堡提出，它指出对于某些共轭变量，如位置和动量，无法同时精确确定其数值。
这与经典物理学中的确定性原理形成了鲜明对比。
不确定性原理揭示了微观世界的固有限制和测量的局限性，成为后来量子力学理论发展的重要基础。
黄皮书还介绍了量子力学中的波函数和算符理论。
波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学工具，它包含了粒子的所有可能状态和性质。
算符理论则是量子力学中处理物理量测量的数学框架，它将物理量与数学算符相联系。
通过对波函数和算符理论的深入理解，我们可以计算和预测微观粒子的行为和性质。
除了基本原理的讲解，黄皮书还涵盖了量子力学的应用领域，如原子和分子物理、固体物理、粒子物理等。
它介绍了量子力学在这些领域中的重要实验和理论成果，为读者提供了对于量子力学实际应用的深入了解。
总结起来，黄皮书是一本经典的量子力学教材，通过系统而严谨的讲解，向读者介绍了量子力学的基本原理和应用。
量子力学 宋鹤山 第四版
量子力学宋鹤山第四版量子力学是一门研究微观世界的物理学理论，由于其独特的性质和广泛的应用，成为现代物理学的重要组成部分。
宋鹤山的《量子力学》第四版是一本经典的教材，对于深入理解量子力学理论和应用具有重要的指导意义。
量子力学的基本原理是波粒二象性和不确定性原理。
波粒二象性指的是微观粒子既可以表现出粒子性质，也可以表现出波动性质。
例如，电子可以像粒子一样在空间中运动，同时也可以像波一样干涉和衍射。
不确定性原理则指出，对于某个微观粒子的位置和动量的测量，存在一定的不确定度，即无法同时准确确定粒子的位置和动量。
量子力学的基本方程是薛定谔方程，描述了微观粒子的运动和演化。
薛定谔方程是一个偏微分方程，解出波函数后，可以通过波函数的模的平方得到粒子在空间中的概率分布。
波函数的演化遵循薛定谔方程的时间演化，通过波函数的演化可以研究粒子在时间上的行为。
量子力学的基本概念包括态矢量、算符和测量。
态矢量表示了系统的状态，可以通过叠加和量子态的叠乘得到新的态。
算符是量子力学中描述物理量的数学工具，通过算符作用于态矢量可以得到物理量的期望值。
测量是量子力学中的基本操作，通过测量可以得到某个物理量的具体取值，并使得量子系统塌缩到测量后的态。
量子力学的应用非常广泛，涉及到多个领域。
在原子物理中，量子力学解释了原子的结构和光谱现象。
在固体物理中，量子力学解释了电子在晶格中的行为和导电性质。
在核物理中，量子力学解释了核反应和放射性衰变。
在粒子物理学中，量子力学解释了微观粒子的性质和相互作用。
除了基本原理和应用外，量子力学还涉及到一些重要的概念和现象。
例如，量子纠缠是一种特殊的量子态，其中两个或多个粒子之间的态是相互关联的，无论它们之间的距离有多远。
量子隧道效应是指微观粒子可以穿越势垒或势阱，即使它们的能量低于势垒或势阱的高度。
量子计算和量子通信是量子力学的前沿研究领域，通过利用量子叠加和量子纠缠的特性，可以实现更快速和安全的信息处理和通信。
量子力学讲义第七章讲义
量子力学讲义第七章讲义第七章量子力学的矩阵形式与表象变换§1 态的表象一、什么叫表象——量子力学中态和力学量的具体表示方式二、研究表象的意义根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。
§7.1 量子态的不同表象一、坐标表象波函数(x,t)1、(x,t)2、——表示体系处在(x,t)所描述的态中，在xx+d x范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在(x,t)所描述的态中，测量坐标x这个力学量所得值在xx+d x这个范围内的几率。
3、4、动量为的自由粒子的本征函数5、x在坐标表象中对应于本征值的本征函数，即，二、动量表象波函数动量本征函数：组成完备系，任一状态可按其展开(1)展开系数(2)(x,t)与c(p,t)互为Fourier（付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。
认为c(p,t)和(x,t)描述同一个状态。
(x,t)是这个状态在坐标表象中的波函数，c(p,t)是同一个状态在动量表象中的波函数。
1、——状态波函数2、表示体系处在c(p,t)所描述的态中测量动量这个力学量p所得结果为pp+d p范围内的几率。
3、命题：假设(x,t)是归一化波函数，则c(p,t)也是归一。
(在第一章中已经证明)4、的本征函数（具有确定动量的自由粒子的态）若(x,t)描写的态是具有确定动量p'的自由粒子态，即：则相应动量表象中的波函数：所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p为变量的函数。
换言之，动量本征函数在自身表象中是一个函数。
三、力学量表象问题：那末，在任一力学量F表象中，(x,t)所描写的态又如何表示呢？1、分立谱的情况设算符的本征值为：F1, F 2, ..., F n,...，相应本征函数为：1(x), 2(x),..., n(x),...。
将(x,t)按的本征函数展开：若(x,t), u n(x)都是归一化的，则a n(t)也是归一化的。
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量子力学黄皮书讲解
量子力学黄皮书是指《The Principles of Quantum Mechanics》一书，该书是由物理学家保罗·迈尔斯于1930年代撰写的，被誉为量子力学的经典教材之一。
本文将从黄皮书的结构、内容和意义三个方面来讲解量子力学黄皮书。
黄皮书的结构非常清晰，分为10章，涵盖了量子力学的基本原理以及一些应用领域。
第一章介绍了量子力学的历史背景和基本概念，包括波粒二象性、不确定性原理等。
第二章讨论了量子力学的数学基础，包括波函数、算符和态矢量等。
第三章介绍了量子力学的测量理论，包括测量算符和测量结果的统计性质。
第四章研究了定态问题，即粒子在势场中的行为。
第五章讨论了矩阵力学，即量子力学的一个重要形式。
第六章介绍了自旋和角动量的量子力学描述。
第七章研究了量子力学的微扰理论，用于处理近似求解。
第八章讨论了量子力学的路径积分方法，是一种替代的求解方法。
第九章介绍了量子力学的相互作用理论，用于描述多粒子系统。
最后一章探讨了量子力学的统计性质，包括玻尔兹曼统计和费米-狄拉克统计。
黄皮书的内容丰富而详细，对量子力学的各个方面都进行了深入的研究。
书中引入了大量的数学工具，如线性代数、微积分等，以便读者更好地理解和应用量子力学的原理。
此外，黄皮书还介绍了一些经典的实验，如双缝实验、斯特恩-盖拉赫实验等，用于验证量子力学的预言。
在应用方面，黄皮书讨论了一些重要的问题，如氢原
子的能级结构、振动子和旋转子的量子力学描述等。
此外，黄皮书还介绍了一些重要的定理和方法，如哈密顿-雅可比方程、量子力学的微扰理论和路径积分方法等。
黄皮书对于量子力学的发展和意义具有重要的影响。
该书系统地阐述了量子力学的基本原理和数学形式，为后来的研究和应用奠定了基础。
许多物理学家和科学家都通过阅读黄皮书来学习量子力学，并将其中的理论和方法应用于自己的研究中。
此外，黄皮书对于量子力学的哲学和观念也进行了一些讨论，如波粒二象性的解释、测量问题的解释等，对于理解量子力学的本质和哲学意义有一定的帮助。
量子力学黄皮书是一本经典的量子力学教材，其结构清晰、内容丰富、意义重大。
通过阅读黄皮书，读者可以全面了解量子力学的基本原理和数学形式，掌握量子力学的基本概念和方法，为深入研究和应用量子力学打下坚实的基础。
无论是对于物理学学习者还是科学研究者来说，量子力学黄皮书都是一本不可或缺的经典之作。