江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题(平行班) (含答案)
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一平行班上学期期末数学试题
江苏省天一中学2021~2022学年第一学期期末考试高一数学试题（平行班）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}1M x x =>-，集合{}21N x x =-<<，则M N = （）A ．()2,1--B ．()1,1-C ．()1,-+∞D ．()2,-+∞2．已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α的值等于A ．35-B ．35C ．45D ．45-3．sin17cos13sin 73cos 77︒︒︒︒+=（）．A B ．12C ．D ．12-4．设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．若21sin 2712sin αα+=-，则tan α=（）A ．43-B ．34-C ．34D ．436．已知函数()()47,2,2xa x x f x a x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．(]1,3C ．()1,4D ．[)3,47．四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2x y x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A ．④①②③B ．①④②③C ．③④②①D ．①④③②8．高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数[]y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.71=，[]1.22-=-，{}x 表示实数x 的非负纯小数，即{}[]x x x =-，如{}1.70.7=，{}1.20.8-=．若函数{}1logay x x =-+（0a >，且1a ≠）有且仅有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(]2,3B ．[)2,3C ．(]3,4D ．[)3,4二、选择题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知a 、b 、c 、d 均为非零实数，则下列一定正确的有（）A ．()2222a b a b++≥B ．12a a+≥C ．若11a b>，则a b <D ．若0a b <<，0c d <<，则ac bd>10．关于函数()tan 2f x x =，下列说法中正确的是（）A ．最小正周期是π2B ．图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象关于直线π4x =对称D ．在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（）A ．转动10min 后点P 距离地面10mB ．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的12C ．第17min 和第43min 点P 距离地面的高度相同D ．摩天轮转动一圈，点P 距离地面的高度不低于70m 的时间为5min12．已知函数()()sin cos *n nf x x x x N =+∈，则（）A ．对任意正奇数n ，()f x 为奇函数B ．对任意正整数n ，()f x 的图象都关于直线4x π=对称C ．当1n =时，()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-D ．当4n =时，()f x 的单调递增区间是(),422k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知扇形面积为38π，半径是1，则扇形圆心角的弧度数是________.14．求值：203591log 3log sin 811π⎛⎫⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.15．已知α为第二象限角，3cos 2sin()24παπα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，则cos α=___________.16．已知a 为正数，函数()sin f x x =在区间[]0,a 和[],2a a 上的最大值分别记为1M 和2M ，若122M ≥，则a 的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知全集U =R ，集合{}2650A xx x =-+≤∣，{}221B x a x a =-≤≤+∣.（1）若1a =，求()U C A B ；（2）若B ≠∅，且“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．已知函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求ϕ的值；(2)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域.19．已知二次函数()()222,R f x ax bx b a a b =++-∈，当()1,3x ∈-时，()0f x >；当()(),13,x ∈-∞-⋃+∞，()0f x <.(1)求a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式：()()220R ax b c x c c +-+>∈.20．已知函数()2cos cos 13f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)设,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递减区间；(2)若11126f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,123ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值.21．如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，2AB =，1AD =，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG ，其底边EF AB ⊥，点E 在半圆上，点G 在线段AD 上，三角形木块选EFG 的面积记为S .(1)①设点G 到底边EF 的距离为x ，将S 表示为x 的函数()S f x =；②设EOC θ∠=，将S 表示为θ的函数()S g θ=；(2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点E 在何处时，三角形木块EFG 的面积S 最大？并求出该最大值.22．若函数()y T x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使()()121T x T x ⋅=成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数()sin,()224x x f x x g x π-==-；（1）判断函数()y f x =是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设2()log ()h x x f x =+，证明：()h x 有且只有一个零点0x ，且05sin 46xg π⎛⎫< ⎪⎝⎭.1．B 【解析】利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】已知集合{}1M x x =>-，集合{}21N x x =-<<，则()1,1M N ⋂=-.故选：B.2．A 【分析】由三角函数的定义可求出cos α的值.【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α=-，故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.3．B 【分析】首先利用诱导公式进行变形，然后结合正弦和角公式即可求出结果.【详解】sin17cos13sin 73cos 77︒︒︒︒+()()sin17cos13sin 9017cos 9013=+-- sin17cos13cos17sin13=+ ()sin 1713=+ sin 30=12=故选：B.4．A 【分析】将解析式变形，再利用基本不等式即可得出．【详解】1x >- ，∴函数(1)114441311y x x x x =+=++-≥-=-=++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号．因此函数41y x x =++的最小值为3．故选：A ．5．C 【分析】利用倍角公式，以及同角三角函数关系，整理化简即可求得正切值.【详解】因为21sin 2712sin αα+=-()()()22222sin sin 2sin cos cos sin tan 1cos sin cos sin cos sin cos sin 1tan cos cos αααααααααααααααααα+++++====-+---，即tan 171tan αα+=-，解得3tan 4α=.故选：C.6．D 【分析】根据函数()f x 在R 上的单调递增，可知()2401427a a a a ->⎧⎪>⎪⎨⎪-⨯+≤⎪⎩，由此即可求出结果.【详解】因为函数()()47,2,2x a x x f x a x ⎧-+≤⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的增函数，所以()2401427a a a a ->⎧⎪>⎪⎨⎪-⨯+≤⎪⎩，解得[)3,4a ∈.故选：D.7．B 【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是；②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值为正数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值为负数，故第三个图象满足；③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足；④2x y x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选：B ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．D 【分析】将函数的零点问题转化为log a y x =的图象与函数{}1y x =-的图象有且仅有3个交点的问题，根据高斯函数的定义，求出{}1y x =-的解析式，作出其图象，数形结合即可得参数的取值范围．【详解】函数{}1log a y x x =-+有且仅有3个零点，即log a y x =的图象与函数{}1y x =-的图象有且仅有3个交点．而{}[]1,012,12113,234,34x x x x y x x x x x x x -<<⎧⎪-≤<⎪⎪=-=+-=-≤<⎨⎪-≤<⎪⋅⋅⋅⎪⎩，画出函数{}1y x =-的图象，易知当01a <<时，log a y x =与{}1y x =-的图象最多有1个交点，故1a >，作出函数log a y x =的大致图象，结合题意可得log 31log 41a a≤⎧⎨>⎩，解得：34a ≤<，所以实数a 的取值范围是[)3,4，故选：D．9．ABD 【分析】根据不等式22,R,2a b a b ab ∈+≥可推出()2222a b a b++≥，由此可判断A;利用基本不等式可判断B;举例可判断C ；利用不等式的性质可判断D.【详解】a 、b 、c 、d 均为非零实数,则222a b ab +≥，故222222()2()a b a b ab a b +≥++=+，即()2222a b a b++≥，故A 正确；由题意可知||0a >，故1||2||a a +≥，当且仅当1||||a a =，即1a =±时取等号，故B 正确；若11a b>，比如a=1，b=-1，则a b <不成立，故C 错误；若0a b <<，0c d <<，则若0a b ->->，0c d ->->，故ac bd >，故D 正确，故选：ABD 10．AB 【解析】利用正切函数的知识逐一判断即可.【详解】()tan 2f x x =的最小正周期为π2T =，故选项A 正确；由π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选项B 正确；因为函数()tan 2f x x =不存在对称轴，故选项C 错误；因为ππ,22x ⎛⎫∈- ⎝⎭，所以()2π,πx ∈-，此区间不是函数tan y x =的单调递增区间，故选项D错误；故选：AB ．11．AC 【分析】求出摩天轮的周期，设出时间，求出点P 上升的高度，求出点P 距离地面的高度，再逐个分析判断即可【详解】解： 摩天轮20min 转一圈，∴在(min)t 内转过的角度为22010t t ππ= ，建立平面直角坐标系，如图，设(02)ϕϕπ是以x 轴正半轴为始边，00(OP P 表示点P 的起始位置)为终边的角，以x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角为()10t πϕ+，即点P 的纵坐标为40sin()10t πϕ+，又由题知，P 点起始位置在最高点处，∴2ϕπ=P ∴点距地面高度h 关于旋转时间t 的函数关系式为：5040sin()102h t ππ=++即5040cos10h tπ=+当10min t =时，10h =，故A 正确；若摩天轮转速减半，40T =，则其周期变为原来的2倍，故B 错误；第17min P 点距安地面的高度为173(17)40cos5040cos 501010h ππ=+=+第20min P 点距离地面的高度为433(43)40cos5040cos 501010h ππ=+=+第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同，故C 正确；摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m ，即40cos 507010t π+ ，即1cos102t π ，020t ，得0210t ππ，∴0103t ππ或52310t πππ ，解得1003t 或50203t ，共20min 3，故D 错误．故选：AC ．12．BCD 【分析】对A ：取1n =，易得()sin cos f x x x =+不是奇函数，从而即可判断；对B ：利用诱导公式计算()()2f x f x π-=即可判断；对C ：利用三角函数的知识即可求解；对D ：4n =时，利用三角恒等变换化简解析式得13()cos444f x x =+，从而即可求解.【详解】解：对A ：取1n =，则()sin cos f x x x =+，此时(0)10f =≠，所以()f x 不是奇函数，故选项A 错误；对B ：因为()sin ()cos ()cos sin ()222n n n nf x x x x x f x πππ-=-+-=+=，所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，故选项B 正确；对C ：当1n =时，()sin cos sin 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为22x ππ-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤，所以sin 14πx ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以14x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-，故选项C 正确；对D ：当4n =时，4422222211cos 413()sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 21cos 42444x f x x x x x x x x x -=+=+-=-=-=+，由242,k x k k Z πππ-≤≤∈，可得,()422k k x k Z πππ-+≤≤∈，则()f x 的递增区间为,()422k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选项D 正确．故选：BCD.13．34π【解析】设扇形圆心角的弧度数是α，利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形圆心角的弧度数是α，由扇形的面积公式可得：231182πα=⨯，解得：34πα=，故答案为：34π.14．12-【分析】利用对数的运算性质及指数幂的运算性质即可求解.【详解】解：原式222031332595311log 3log sin log 3log 5sin 811211ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦23235311lg 3lg 544lg 111log 3log 5112225lg 3⨯⎛⎫⎛⎫⋅+-=-=- ⎪ ⎪+⎭=⎝⨯⎝⎭，故答案为：12-.15．4-【解析】先利用诱导公式化简求得1sin 4α=，再结合角所在的象限，利用同角三角函数的平方关系求余弦即可.【详解】依题意3cos 2sin()24παπα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭可得，3cos 2sin 24παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即3sin 2sin 4αα+=，解得1sin 4α=，又α为第二象限角，22sin cos 1αα+=，则cos 0α<，cos α=-故答案为：4-.16．27[,]36ππ【分析】根据题意分析可得2a π>，从而确定11M =，则2M ≤，再结合三角函数的性质即可求得答案.【详解】函数()sin f x x =在区间[]0,a 和[],2a a 上的最大值分别记为1M 和2M ，则121,1M M ≤≤，若π2a =，则121M M ==,122M ≥矛盾；若2a π<，则21M =,则11M ≥>，与11M ≤题意矛盾；故2a π>，则11M =，则2M ≤，则sin 222a a ≤≤，而2a π>，故23223a a πππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，即27,36a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为：27[,]36ππ17．（1）{3x x ≤或5}x >；（2）1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得集合A ，进而可得U C A ，当1a =，可得集合B ，根据并集的运算法则，即可求得答案；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件等价于B A ⊆，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求得答案.【详解】（1）集合{}{}265015A xx x x x =-+≤=≤≤∣∣，所以{1U C A x x =<或5}x >，当1a =时，集合{}13B xx =≤≤∣，所以(){3U C A B x x ⋃=≤或5}x >；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件等价于B 是A 真子集，因为B ≠∅，所以21215221a a a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤+⎩，解得113a ≤≤，所以实数a 的取值范围为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】解题的关键是根据题意，可得B A ⊆，再根据集合的包含关系，即可求得答案，易错点为，要注意集合B 中左右边界的大小关系，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.18．(1)6π(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意，sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0ϕπ<<，从而即可求解；（2）由三角函数的图象变换可得()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由0,4x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，即可求解函数()g x 的值域.(1)解：因为函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以sin 2sin 012126f πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又0ϕπ<<，所以6π=ϕ；(2)解：由（1）知()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，将()y f x =的图象向右平移6π个单位得sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变）得()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为04x π≤≤，所以54666x πππ-≤-≤，所以1sin 4126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.19．(1)1,2a b =-=(2)答案见解析【分析】（1）由题意可知方程2220ax bx b a ++-=的两根，利用根与系数的关系即可求得答案；（2）利用（1）的结果整理不等式为2(2)20x c x c ---<，求出其两根，分类讨论可得结果.(1)由题意可知：()2220f x ax bx b a =++-=的两根为1,3-，故21323ba b a a⎧-=-+⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，即得12a b =-⎧⎨=⎩,即1,2a b =-=；(2)由（1）可知：()()220R ax b c x c c +-+>∈，即2(2)20x c x c ---<，解方程2(2)20x c x c ---=得两根为122,x x c ==-，当2c ->，即2c <-时，2(2)20x c x c ---<解集为{|2}x x c <<-；当2c -=，即2c =-时，2(2)20x c x c ---<解集为∅；当2c -<，即2c >-时，2(2)20x c x c ---<解集为{|2}x c x -<<；故2c <-时，解集为{|2}x x c <<-；2c =-时，解集为∅；2c >-时，解集为{|2}x c x -<<.20．(1)[,]63ππ【分析】（1）利用两角和、差的余弦公式和正弦公式将()2cos cos 13f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化为只含有一个三角函数的形式，根据正弦函数的性质求得答案；（2）根据11126f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭求得1sin(233πα+=，结合,123ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求得cos(2)33πα+=-，再利用拆角的方法求得答案.(1)()22cos cos 1cos cos 13f x x x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭133sin 2cos 2sin(2)22262x x x π=++++;当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52[,]666x πππ+∈-，当52[,626x πππ+∈即[,]63x ππ∈时，()f x 单调递减，故()f x 的单调递减区间为[,]63ππ；(2)11126f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin(2)33πα+=，,,2(,)12332ππππααπ⎛⎫∈+∈⎪⎝⎭，故cos(2)33πα+=-，所以11sin 2sin[(233323ππαα=+-=⨯+=21．(1)①())12xS f x ==，（02x <<）；②()()11sin cos sin cos 2S g θθθθθ==+++，（0θπ<<）.(2)E 位于半圆上，且4COE π∠=时，三角形木块EFG 的面积34S +=最大.【解析】(1)①设CD EF Q = ，则DQ x =（02x <<），所以1OQ x =-,EQ =11EF EQ =+=,所以())1122xS f x EF DQ ==⨯⨯=，（02x <<）.即())12xS f x ==，（02x <<）.②设CD EF Q = ，设EOC θ∠=，（0θπ<<），所以cos OQ θ=,sin EQ θ=,1sin 1EF EQ θ=+=+,1cos 1DQ OQ θ=+=+所以()()111sin 1cos 22S EF DQ θθ=⨯⨯=++，（0θπ<<）.所以()()11sin cos sin cos 2S g θθθθθ==+++，（0θπ<<）.(2)选择函数②：()()11sin cos sin cos 2S g θθθθθ==+++.令(sin cos sin 1,4t πθθ⎫=+=+∈-⎪⎭，则()221111224t t S t +⎛⎫-=++= ⎪⎝⎭，在(-上单调递增，所以当t =，即4πθ=时，34S +=最大.此时E 位于半圆上，且4COE π∠=.22．（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取特殊值123x =，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数2x 能满足22sin()sin 1434x ππ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；（2）当(]0,2x ∈时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当()2,x ∈+∞时，证明()h x 在()2,+∞上没有零点，再化简0sin 4x g π⎛⎫ ⎪⎝⎭，转化为证明不等式00156x x -<.【详解】解：（1）若()sin4f x x π=是“圆满函数”.取123x =，存在2x R ∈，使得()()121f x f x =，即2sinsin 164x ππ⋅=，整理得2sin 24x π=，但是2sin 14x π≤，矛盾，所以()y f x =不是“圆满函数”.（2）易知函数()2log sin4h x x x π=+的图象在()0+∞，上连续不断.①当(]0,2x ∈时，因为2log y x =与sin 4y x π=在(]0,2上单调递增，所以()h x 在(]0,2上单调递增.因为222222122log sin log log 0336323h π⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭，()1sin 04h π=>，所以()2103h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭.根据函数零点存在定理，存在02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，所以()h x 在(]0,2上有且只有一个零点0x .②当()2,x ∈+∞时，因为2log y x =单调递增，所以22log log 21y x =>=，因为sin 14y x π=≥-.所以()110h x >-=，所以()h x 在()2,+∞上没有零点.综上：()h x 有且只有一个零点0x .因为()0020log sin04x h x x π=+=，即020sinlog 4x x π=-，所以()2020log log 020001sinlog 224x x x g g x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为1y x x =-在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以001325236x x -<-=，所以05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在，并且存在02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，再利用020sin log 4x x π=-，化简()020sin log 4x g g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用函数的最值证明不等式..。
江苏省无锡市高一下学期数学期末考试试卷
江苏省无锡市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2020高一上·天门月考) 若a，b，，且，则下列不等式一定成立的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·哈尔滨模拟) 阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为，则判断框中的条件不可能是（）A .B .C .D .3. （2分）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对，再统计其中能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m，最后根据统计个数m估计的值.如果统计结果是，那么可以估计的值为（）A .B .C .D .4. （2分）某产品在某零售摊位上的零售价x(元)与每天的销售量y(个)统计如下表：据上表可得回归直线方程中的b＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，销售量为（）x16171819y50344131A . 48B . 49C . 50D . 515. （2分）统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（）A . 20%B . 25%C . 6%D . 80%6. （2分）各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，成等差数列，则 =（）A .B .C .D .7. （2分）(2020高一下·武汉期中) 已知的内角的对边分别为，且，，，则（）A .B . 1C .D .8. （2分） (2017高二下·牡丹江期末) 若正实数满足，则的最小值是（）A . 12B . 6C . 16D . 8二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）(2020·盐城模拟) 已知集合，集合，则 ________.10. （1分） (2019高一下·西城期末) 从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．11. （1分） (2016高二上·弋阳期中) 如图方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为l5，乙组数据的平均数为16.8，则x+y的值为________．12. （1分）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%．现采取随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机数模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮有两次命中的概率为________．13. （1分）(2017·石景山模拟) 在数列{an}中，a1=1，an•an+1=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于________．14. （1分） (2016高一下·溧水期中) 不等式﹣6x2+2＜x的解集是________．三、解答题 (共4题；共40分)15. （10分） (2019高二上·辽宁月考) 在中，内角，，所对的边分别为，， .已知，， .（1）求的值；（2）求的值.16. （10分） (2016高一下·海珠期末) 一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表：原料磷酸盐（单位：吨）硝酸盐（单位：吨）种类甲420乙220现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料．（1）设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？17. （10分） (2020高二下·化州月考) 已知数列的前项和为，点在直线上，（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和。
江苏省无锡市2021-2021学年高一下学期期末数学试卷
江苏省无锡市2021-2021学年高一下学期期末数学试卷一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分。
请将答案填在答题卡对应的横线上。
1．不等式x（x��1）＞0的解集是．2．在△ABC中，a=3，b=2，A=30°，则cosB=．3．△ABC的三边长分别为2，3，，则最大内角为．4．在等比数列{an}中，若a5=8，a8=1，则a1=．5．某个算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果为．6．用系统抽样的方法从某校400名学生中抽取容量为20的一个样本，将400名学生随机编为1��400号，按编号顺序平均分为20各组（1��20号，21��40号，…381��400号），若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为12，则第14组抽取的号码为．7．如图是某个学生历次数学小练习的成绩的茎叶图，这组数的平均数为．8．如图，在一个等腰三角形ABC内以A为圆心，腰AC长为半径画弧交底边AB于D，已知AC=1，∠A=30°，现向△ABC内任投一点，该点落在图中阴影部分的概率为．9．如图，一物体在水平面内的三个力F1、F2、F3的作用下保持平衡，如果F1=5N，F2=7N，∠α=120°，则F3=N．10．已知实数x，y满足．则x+3y的最大值是．11．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a7+a8��a7=0（a7≠0），则S13=．12．数列{an}满足a1=，an+1=an+an（n∈N），则13．若正数x，y满足xy+2x+y=8，则x+y的最小值等于．14．在数列{an}中，a1=2，a6=64，anan+2=an+1（n∈N），把数列的各项按如下方法进行分组：（a1），（a2，a3，a4），（a5，a6，a7，a8，a9），…，记A（m，n）为第m组的第n个数（从前到后），则当m≥3时，A（m，1）+A（m，2）+…+A（m，n）的值为（用含m的式子表示）．二、解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏省无锡市天一中学2024届数学高一下期末复习检测模拟试题含解析
江苏省无锡市天一中学2024届数学高一下期末复习检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若0a b >>，下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b <B ．2a ab <C ．11a b< D ．1b a< 2．两数1，25的等差中项为（ ） A ．1B ．13C ．5D ．5-3．已知直线l 经过点(1,2)P -，且倾斜角为45，则直线l 的方程为（ ） A ．30x y --= B ．10x y --= C ．30x y -+=D ．30x y +-=4．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．5618-B ．55-C ．65D ．2555．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ）A ．9B ．3C ．1D ．276．直线20x y +-=与圆()()22121x y -+-=相交于,A B 两点，则弦长AB =（ ） A ．22B ．32C ．3D ．27．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的余弦值为（ ）A ．25B ．35C ．12D ．348．已知向量(1,3),(2,0)a b ==，则|2|a b -=（ ） A ．12B ．22C ．23D ．89．从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A 2πB ．2πC 6πD ．4π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年江苏省无锡市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 复数52−i 的共轭复数是( )A. 2+iB. −2+iC. −2−iD. 2−i2. 为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A. 简单的随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样3. 设四边形ABCD 为平行四边形，若点M ，N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =−13，y =14 B. x =14，y =13 C. x =13，y =−14D. x =13，y =144. 已知一个半径为R 的半球，其体积为V 1，一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积为V 2，下列说法正确的是( )A. V 1>V 2B. V 1=V 2C. V 1<V 2D. 不确定5. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若C =π3，c =√3，则2a+b2sinA+sinB 的值为( )A. 2B. 2√3C. 6D. 6√36. 设平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=12，b ⃗ =(2,√5)，a ⃗ ⋅b ⃗ =18，则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影向量为( ) A. 12b ⃗B. 18b ⃗C. 12a⃗ D. 18a⃗ 7. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是( )A. 若m ⊥α，m//n ，n//β，则α⊥βB. 若α//β，m ⊂α，则m//βC. 若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD. 若m//n ，α//β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanB=2tanC，b=1，则△ABC面积的最大值为()A. 38B. 14C. √64D. 34二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面向上”，事件B=“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是()A. A与B互为对立事件B. A与B为相互独立事件C. A与B相等D. P(A)=P(B)10.下面四个命题中，真命题为()A. 若复数z满足−z∈R，则z∈RB. 若复数z满足z2∈R，则z∈RC. 若复数|z1|=|z2|，则z1⋅z1−=z2⋅z2−D. 若复数|z1|=|z2|，则z1=±z211.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677下列说法中正确的是()A. 甲、乙这次射击成绩的极差相同B. 甲、乙这次射击成绩的平均值相同C. 这次射击中乙比甲的成绩稳定D. 甲的射击成绩的第60百分位数为7.512.设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E为线段A1D1的中点，F为线段CC1上的一个动点，则()A. 存在点F，使B1D⊥EFB. 直线AF与平面A1ADD1所成角为定值C. 平面AEF截正方体的截面可能是五边形D. 当点F与点C1重合时，平面AEF截正方体的截面面积为8√6三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数m(3+i)−(2+i)(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围为______．14.若平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗两两的夹角相等，且|a⃗|=1，|b⃗ |=1，|c⃗|=3，则|a⃗+b⃗ −c⃗|=______．15.立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度，具体步骤如下：①设旗杆与地面交于O点，②在O点的正西方A点测得旗杆顶端P的仰角为45°，③在O点南偏东60°的B点处测得点P的仰角为60°，④测得A，B两点处的距离为4√21米．则该旗杆顶端距离地面的高度为______米．16.已知一个底面边长为4√3，侧棱长为6的正三棱锥．则此三棱锥的侧面与底面所成二面角的余弦值为______，此三棱锥内切球的半径为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X.用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据(单位：吨)，并根据获得的数据制作了频率分布表：(1)求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；(2)若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．18.已知△ABC的内角ABC所对的边分别为a，b，c，平面向量m⃗⃗⃗ =(a+c,b)，n⃗=(a−c,b−√2a)，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗．(1)求角C的大小；(2)现给出三个条件：①c=4；②(2c−a)cosB=bcosA；③a2+bccosA−accosB=24.请从中选择两个条件求出△ABC的面积．19.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥平面PAD，AB//CD，PD=AD，E是线AB，PH⊥AD，且PH∩AD=H．段PB中点，F是线段DC上的点，且DF=12(1)证明：EF//平面PAD；(2)比较∠PBH与∠PBA的大小，并说明理由．20.设z1是虚数，z2=z1+4是实数，且−2<z2≤1．z1(1)求z1的实部的取值范围；(2)若ω=z1−2，求z2−ω2的最小值．z1+221.有甲、乙、丙、丁四支足球队到某地集训，该地只有一块训练场地，商定摸球决定哪支球队先使用场地．摸球办法如下：盒中共放有大小形状相同的四个球，其中有三个白球、一个黑球．进行不放回的摸球，直到摸到黑球为止．若第一次摸到黑球，则甲队先使用；第二次摸到黑球，则乙队先使用；第三次摸到黑球，则丙队先使用；最后一次才摸到黑球，则丁队先使用．(1)这种摸球办法是否公平？请说明理由；(2)若改为放回摸球，是否公平？请说明理由．22.已知在直四棱柱ABCD−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，AD=4，AB=2，∠BCD=135°，BB1=2.E，F分别是线段AB，BC的中点．(1)求证：平面A1BD⊥平面A1AF；(2)棱AA1上是否存在点G，使EG//平面A1FD，若存在，确定点G的位置．若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵52−i =5(2+i)(2−i)(2+i)=5(2+i)5=2+i ，∴复数52−i 的共轭复数是2−i ． 故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.【答案】C【解析】 【分析】本题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属于基本题．若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式比较合理． 故选：C ．3.【答案】A【解析】解：∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =−13，y =14， 故选：A ．利用平面向量的线性运算和及平面向量基本定理得到MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再与已知对比即可求解．本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：如图所示，根据题意知，①半球的半径为R，体积为V1=2πR33，②底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，所以剩余几何体的体积为V2=πR2⋅R−13πR2⋅R=2πR33，由①②知，V1=V2．故选：B．根据题意求出半径为R的半球的体积V1，底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，剩余几何体的体积V2，比较大小即可．本题考查了旋转体的结构特征与体积计算问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：由正弦定理得：asinA =bsinB=√3sinπ3=√3√32=2．所以a=2sinA，b=2sinB，所以2a+b2sinA+sinB =4sinA+2sinB2sinA+sinB=2．故选：A．根据正弦定理可以推知a=2sinA，b=2sinB，代入求值即可．本题考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：b⃗ 在a⃗方向上的投影向量=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅a⃗|a⃗ |=1812⋅112⋅a⃗=18a⃗．故选：D．根据已知条件，运用向量的投影公式，即可求解．本题考查了向量的投影公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：若m⊥α，m//n，则n⊥α，又n//β，∴α⊥β，故A正确；若α//β，则α与β无公共点，又m⊂α，则m与β无公共点，可得m//β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α//β或α与β相交，相交也不一定垂直，故C错误；由m//n，得m、n与α成等角，又α//β，则m、n与β成等角，则m与α所成的角和n 与β所成的角相等，故D正确．.故选：C．由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断A与C；由面面平行与线面平行的定义判断B；由直线与平面所成角的定义判断D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.【答案】A【解析】解：∵tanB=2tanC，∴sinBcosB =2⋅sinCcosC，即sinBcosC=2cosBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=3cosBsinC，∴sin(B+C)=sinA=3cosBsinC，由正弦定理知，asinA =csinC，∴a=3ccosB，即cosB=a3c，∴sinB=√1−cos2B=√1−a29c2，由余弦定理知，cosB=a2+c2−b22ac =a3c，化简得3c2=3b2−a2=3−a2，∴△ABC面积S=12acsinB=12ac⋅√1−a29c2=12√3a2⋅3c2−a49=12√3a2(3−a2)−a49=16√−4a4+9a2，当a2=98时，S有最大值为38．故选：A．结合同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式，推出sinA=3cosBsinC，再由正弦定理化角为边，表示出cos B和sin B，然后通过余弦定理得到关系式3c2=3−a2，最后acsinB，并结合二次函数的性质，求出△ABC面积的最大值．由S=12本题主要考查解三角形，利用二次函数解决最值问题，考查转化与化归思想和运算能力，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：因为事件A，B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，则不是对立事件，故选项A错误；由相互独立事件的定义可知，事件A与B相互独立，故选项B正确；事件A与事件B不相等，故选项C错误；，故选项D正确．由题意可知，P(A)=P(B)=12故选：BD．利用互斥事件、对立事件、相互独立事件、相等事件的定义判断选项A，B，C，由古典概率的概率求出P(A)，P(B)，即可判断选项D．本题考查了互斥事件、对立事件、相互独立事件、相等事件的定义，概率的求解，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，对于A，因为−z∈R，所以b=0，所以z∈R，正确；对于B，因为z2=(a+bi)2=a2−b2+2abi∈R，所以ab=0，即a=0或b=0，所以z不一定满足z∈R，错误；对于C，取z1=m+ni，z2=p+qi，因为|z1|=|z2|，即m2+n2=p2+q2，此时z1⋅z1−=m2+n2，z2⋅z2−=p2+q2，所以z1⋅z1−=z2⋅z2−，正确；对于D，取z1=6+8i，z2=−6+8i，很明显不满足z1=±z2，错误．故选：AC．利用复数及复数模的相关概念进行判断即可．本题考查复数的基本概念的应用，命题的真假的判断，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：甲的极差为6，乙的极差为4，故选项A 错误； 甲的平均数为7，乙的平均数为7，故选项B 正确；因为甲的方差为4，乙的方差为1，2，所以乙比甲的成绩稳定，故选项C 正确； 由于10×60%=6，将甲的成绩从小到大排列后的第6和7个数的平均数为7.5，故甲的第60百分位数为7.5，故选项D 正确． 故选：BCD ．利用题中的数据，分别求出两人的极差、平均值、方差以及百分位数，由此判断四个选项即可．本题考查了特征数的求解与应用，解题的关键是掌握极差、平均值、方差以及百分位数的求解方法，考查了运算能力，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A ，如图1，以D 原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0，0)，B 1(4,4，4)，E(2,0，4)，F(0,4，ℎ)，其中0≤ℎ≤4， ∵DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，ℎ=2∈[0,4]符合题意，故A 正确；对于B ，如图1，令F 在平面A 1ADD 1所的射影为M ，连接AM ，则∠FAM 直线AF 与平面A 1ADD 1所成角，因为FM 为定值，AF 是变化的，故直线AF 与平面A 1ADD 1所成角不为定值，故错；对于C ，当F 为CC 1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形，故C 正确； 对于D ，当点F 与点C 1重合时，平面α截正方体的截面为边长为√42+22=2√5的菱形，如图3，cos∠AEF =√5)2√5)2√3)22×2√5×2√5=−15，∴sin∠ AEF =2√65，所以截面的面积为2√5×2√5×2√65=8√6，故正确．故选：ACD ．A ，以D 原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，利用DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可判断；B ，令F 在平面A 1ADD 1所的射影为M ，连接AM ，则∠FAM 直线AF 与平面A 1ADD 1所成角，利用AF 是变化的，即可判断；C ，当F 为CC 1的中点时，画出截面，即可判断；D ，当点F 与点C 1重合时，平面α截正方体的截面为边长为√42+22=2√5的菱形，利用平行四边形面积公式即可判断．本题考查正方体的截面问题，考查空间想象能力和推理能力，运算能力，属于中档题．13.【答案】(23,1)【解析】解：复数m(3+i)−(2+i)(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限，则{3m −2>0m −1<0 23<m <1 故答案为：(23,1)依题意，复数的实部大于0，虚部小于0，求解即可． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．14.【答案】4或1【解析】解：当平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 两两的所夹角为0°时， ∵|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=1，|c⃗ |=3，∴|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |=|c ⃗ |−|a ⃗ |−|b ⃗ |=3−1−1=1， 当平面向量a⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 两两的所夹角为120°时， (a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+c ⃗ 2+2a ⃗ b ⃗ −2a ⃗ c ⃗ −2b ⃗ c ⃗=1+1+9+2×1×1×(−12) −2×1×3×(−12)−2×1×3×(−12)=16，∴|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |=4． 故答案为：1或4．根据已知条件，分平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 两两的所夹角为0°时、平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 两两的所夹角为120°时两种情况讨论，即可求解．本题考查了向量的数量积关系、考查了分类讨论的思想方法，属于中档题．15.【答案】12【解析】解：由题意做出图形如图：PO ⊥平面AOB ，∠AOB =90°+60°=150°，∠PAO =45°，故△PAO ，△POB 为直角三角形， 设PO =x ，则在△PAO 中，OA =x ，在Rt △POB 中，∠PBO =60°，所以OB =POtan60∘=x √3，所以在△AOB 中，由余弦定理得：AB 2=OA 2+OB 2−2OA ⋅OB ⋅cos∠AOB ， 即(4√21)2=x 2+13x 2+x 2=73x 2，解得x =12． 故答案为：12米．由题意做出图形，然后设出旗杆的高度为x ，利用直角三角形结合三角函数的定义，表示出底面三角形的两边，最后利用余弦定理列出关于x 的方程求解． 本题考查解三角形的知识方法在实际问题中的应用，属于中档题．16.【答案】√66 2√30−2√55【解析】解：如图所示，正三棱锥P −ABC 中，底面边长为4√3，侧棱长为6，顶点P在底面ABC内的射影为O，则O为底面ABC的重心，取AB的中点D，连结OD，PD，则OD⊥AB，PD⊥AB，所以∠PDO即为所求二面角的平面角，因为OD=13CD=2，PD=2√6，所以cos∠PDO=ODPD =2√6=√66，故此三棱锥的侧面与底面所成二面角的余弦值为√66；设∠PDO的平分线交PO于点G，则点G即为正三棱锥内切球的球心，由角平分线定理可知，OGOP =ODOD+PD，所以OG=OP⋅ODOD+PD =√52+3√6=2√30−2√55，则三棱锥内切球的半径为2√30−2√55．故答案为：√66,2√30−2√55．作出正三棱锥P−ABC的图象，顶点P在底面ABC内的射影为O，取AB的中点D，连结OD，PD，由二面角的平面角的定义可知，∠PDO即为所求二面角的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可；设∠PDO的平分线交PO于点G，则点G即为正三棱锥内切球的球心，利用角平分线定理求解OG，即可得到答案．本题考查了正三棱锥的几何性质的运用，二面角的求解以及内切球半径的求解，求解内切球或时外接球问题，关键是确定球心的位置，考查了逻辑推理能力与空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意可得，m=4000×(0.046×10)=1840，n=0.046×10=0.46，p=0.018÷10=0.0018，q=4000×0.006=24，所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.018+0.012+0.006=0.036．(2)用分层抽样的方法在第4、5、6组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，设上述6户为a，b，c，d.e，f(其中“月均用水量不低于50吨”的1户为f)，在这6户中任选2户进行采访，该实验的样本空间有15个样本点，具体为：Ω={(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)}，记这两户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”为事件A，因为A={(a,f)，(b,f)，(c,f)，(d,f)，(e,f)}，所以P(A)=n(A)n(Ω)=515=13．【解析】(1)利用频率、频数、样本容量之间的关系进行分析求解即可；(2)先利用分层抽样方法，求出在第4、5、6组随机抽取6户做回访调查的人数，然后利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查了频率分布表以及古典概型概率问题，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵平面向量m⃗⃗⃗ =(a+c,b)，n⃗=(a−c,b−√2a)，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(a+c)(a−c)+b(b−√2a)=a2−c2+b2−√2ab=2abcosC−√2ab=0，∴cosC=√22，∴C=π4．(2)若选择：①c=4；②(2c−a)cosB=bcosA，则(2sinC−sinA)cosB=sinBcosA，即2sinCcosB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，∴cosB=12，∴B=π3．由bsinB =csinC，得b=2√6．∵A=π−B−C=512π，∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2√6×√6+√24=6+2√3．若选择：①c=4；③a2+bccosA−accosB=24，则a2+4bcosA−4acosB=a2+4b×b2+c2−a22bc −4a×a2+c2−b22ac=24，解得b=2√6，∴由csinC =bsinB，得4sinπ4=2√6sinB，解得sinB=√32，∴B=π3，∵A=π−B−C=512π，∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2√6×√6+√24=6+2√3．若选择②(2c−a)cosB=bcosA；③a2+bccosA−accosB=24，则(2sinC−sinA)cosB=sinBcosA，即2sinCcosB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，∴cosB=12，∴B=π3，由题意a2+4bcosA−4acosB=a2+4b×b2+c2−a22bc −4a×a2+c2−b22ac=24，解得b=2√6，∴由csinC =bsinB，可得 c√22=2√6√32，可得c=4，∵A=π−B−C=512π，∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2√6×√6+√24=6+2√3．【解析】(1)由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得cos C的值，可得C的值．(2)若选择①②，利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得A的值，根据S=12bc⋅sinA，可得△ABC的面积；若选择：①③，利用余弦定理可求b的值，利用正弦定理可求sin B的值，进而可求B，利用三角形内角和定理可求A，根据三角形的面积公式即可求解；若选择②③，利用正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得cosB=12，进而可求B的值，利用余弦定理可求b的值，根据正弦定理可求c的值，利用三角形内角和定理可求A的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：取PA中点M，连接DM，EM，∵E是PB的中点，∴EM//AB，且EM=12AB，又AB//CD，且DF=12AB，∴EM//DF，且EM=DF，∴四边形EFDM为平行四边形，∴EF//DM，又DM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF//平面PAD；(2)∵AB⊥平面PAD，PH⊂面PAD，∴PH⊥AB，又PH⊥AD，AB∩AD=A，∴PH⊥平面ABCD，即∠PBH为直线PB与平面ABCD所成的角，∵AB⊥平面PAD，∴PA⊥AB，即cos∠PBA=ABPB，∵cos∠PBH=BHPB，在△PDA中，PD=AD，∴H与A不重合，在△ABH中，AB<BH，∴∠PBA>∠PBH．【解析】(1)取PA中点M，连接DM，EM，证明四边形EFDM为平行四边形，得出EF//DM，从而证明EF//平面PAD；(2)利用线面垂直的性质和判定可证PA⊥AB，可得cos∠PBA=ABPB ，cos∠PBH=BHPB，由PD=AD，AB<BH，可得∠PBA>∠PBH．本题考查了直线与平面平行的判定定理，线面垂直的性质和判定，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)设z1=a+bi，(a,b∈R,b≠0)，则z2=z1+4z1=(a+4aa2+b2)+(b−4ba2+b2)i，∵z2是实数，∴b=4ba2+b2，即a2+b2=4，∴z2=2a，∵−2<z2≤1，∴−2<2a≤1，即−1<a≤12，z1的实部的取值范围为(−1,12].(2)ω=z1−2z1+2=a−2+bia+2+bi=a2−4+b2+4bi(a+2)2+b2=4bi8+4a=bi2+a，z2−ω=2a−(bi2+a)2=2a−−b2(a+2)2，∵a2+b2=4，∴z2−ω2=2a+4−a2(2+a)2=2a+2−a2+a=42+a+2(a+2)−5．∵a ∈(−1,12],∴a +2>0，∴当42+a =2(a +2)，即a =−2+√2时，z 2−ω2取到最小值4√2−5．【解析】(1))设z 1=a +bi ，(a,b ∈R,b ≠0)，则z 2=z 1+4z 1=(a +4a a 2+b 2)+(b −4ba 2+b 2)i ，由于z 2是实数，可得b =4ba 2+b 2，即a 2+b 2=4，z 2=2a ，结合z 2的取值范围，即可求解．(2)z 2−ω2=2a +4−a 2(2+a)2=2a +2−a2+a =42+a +2(a +2)−5，根据a 的取值范围，结合均值不等式，即可求解．本题考查复数的基本知识、复数的概念的应用，以及均值不等式，属于中档题．21.【答案】解：(1)设事件A 表示不放回摸球中第i(1≤i ≤4,i ∈N)次摸到黑球，P(A 1)=14，P(A 2)=(1−14)×13=14，P(A 3)=(1−14)×(1−13)×12=14，P(A 4)=(1−14)×(1−13)×(1−12)=14， ∴四次摸到黑球的概率相等，是公平的．(2)设事件B 表示有放回摸球中第i(1≤i ≤4,i ∈N)次摸至黑球， P(B 1)14，P(B 2)=(1−14)×14=316， P(B 3)=(1−14)2×14=964， P(B 4)=(1−14)3×14=27256，∴四次摸球的概率不相等，是不公平的．【解析】(1)设事件A 表示不放回摸球中第i(1≤i ≤4,i ∈N)次摸到黑球，利用相互独立事件概率乘法公式求出P(A i )，由此能求出四次摸到黑球的概率相等，是公平的． (2)设事件B 表示有放回摸球中第i(1≤i ≤4,i ∈N)次摸至黑球，利用相互独立事件概率乘法公式求出P(B i )，由此能求出四次摸到黑球的概率不相等，是公平的．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.【答案】证明：(1)在直角梯形ABCD中，过点C作CH⊥AD于H．由AD⊥AB，AD=4，AB=2，∠BCD=135°．得△CHD为等腰直角三角形，所以ABCH为正方形．所以BF=1，△DAB～△ABF，所以∠BAF=∠AOB．所以∠BAF+∠ABD=∠ADB+∠ABD=π2．从而得到DB⊥AF．在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD，DB⊂面ABCD，所以DB⊥AA1.又因为AF∩AA1=A，所以DB⊥面AA1F.因为BD⊂面A1BD，所以平面A1BD⊥平面AA1F.(2)存在点G，且AG=34,使得EG//平面A1FD．则在AD上取点M，使AM=38AD=32，此时tan∠AME=tan∠ADF，所以EM//DF．在平面ADD1A1中，AG AA1=AMAD，所以MG//A1D此时由EM//DF，DF⊂平面A1FD，EM⊄平面A1FD，得EM//平面A1FD，由MG//A1D，MG⊄平面A1FD，得MG//平面A1FD，又MG∩EM=M，所以平面EMG//平面A1FD，故EG//平面A1FD．【解析】(1)过点C作CH⊥AD于H.推出DB⊥AF.DB⊥AA1.证明DB⊥面AA1F.然后证明平面A1BD⊥平面AA1F.(2)存在点G，且AG=34,使得EG//平面A1FD.在AD上取点M，使AM=38AD=32，证明EM//DF.MG//A1D，推出EM//平面A1FD，MG//平面A1FD，即可证明平面EMG//平面A1FD，推出EG//平面A1FD．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，平面与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题．。
江苏省无锡市普通高中2024届数学高一第二学期期末统考试题含解析
江苏省无锡市普通高中2024届数学高一第二学期期末统考试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为 A ．B ．C ．D ．2．要得到函数()cos f x x =的图象，只需将函数()1cos 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移13个单位 D ．向右平移13个单位 3．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③4．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1 C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切5．过两点A (2,)m -，B(m ，4)的直线倾斜角是045，则m 的值是（ ） A ．1- B ．3 C ．1 D ．3- 6．直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120°的等腰三角形，若过该圆锥顶点S 的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为A 3πB ．3πC ．163π D ．4π8． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A ．32 B 322 C ．1252D ．12729．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=（ ） A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1--C ．{}0,1D ．{}1,0-10．已知实数x ，y 满足约束条件20103x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数2z x y =-的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．72D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届江苏省无锡市第一中学数学高一下期末综合测试模拟试题含解析
2024届江苏省无锡市第一中学数学高一下期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知角A 、B 是ABC 的内角，则“A B <”是“sin sin A B <”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数[]()3sin 20,6y x x ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．某中学高一年级甲班有7名学生，乙班有8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是82，若从成绩在[80,90)的学生中随机抽取两名学生，则两名学生的成绩都高于82分的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．155．若实数x ，y 满足约束条件40,250,270,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩则12y z x -=-的取值范围为( )A ．[]2,0-B ．(],2-∞-C ．[)2,0-D ．()0,∞+6．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．直线与圆交于不同的两点，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为( )A ．19533分B ．110522分 C ．211513分 D ．512506分 9．直线x ﹣y+2＝0与圆x 2+（y ﹣1）2＝4的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定10．某产品的广告费用x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一数学下学期期末考试试题含解析试题_3
天一大联考2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将角度制转化为弧度制即可.详解：由角度制与弧度制的转化公式可知：.此题选择B选项.点睛：此题主要考察角度值转化为弧度制的方法，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.2. 以下选项里面,与向量垂直的单位向量为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意逐一考察所给的选项即可.详解：逐一考察所给的选项：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，且，选项D正确；点睛：此题主要考察向量垂直的充分必要条件，单位向量的概念及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.3. 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,以下判断正确的有〔〕①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③【答案】B【解析】分析：由题意逐一考察所给的说法是否正确即可.详解：逐一考察所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不合适用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③.点睛：此题主要考察分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.4. 将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如下图,那么这些数据的中位数是〔〕........................【答案】D【解析】分析：由题意结合茎叶图首先写出所有数据，然后求解中位数即可.详解：由茎叶图可知，小王6次数学考试的成绩为：，那么这些数据的中位数是.此题选择D选项.点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶〞的位置只有一个数字，而“茎〞的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶〞的位置的数据．5. 一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，那么以下选项里面两个事件互斥而不对立的是〔〕A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 乙和丁【答案】B【解析】分析：由题意逐一考察事件之间的关系即可.详解：由题意逐一考察所给的两个事件之间的关系：A.甲和乙既不互斥也不对立；B.甲和丙互斥而不对立；C.乙和丙互斥且对立；D.乙和丁既不互斥也不对立；此题选择B选项.点睛：“互斥事件〞与“对立事件〞的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥〞是“对立〞的必要不充分条件.6. 在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，那么该月牙形图形的面积大约是〔〕【答案】C【解析】分析：由题意结合蒙特卡洛模拟的方法整理计算即可求得最终结果.详解：设该月牙形图形的面积大约是，由题意结合蒙特卡洛模拟方法可知：，解得：.此题选择C选项.点睛：此题主要考察几何概型的应用，古典概型的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.7. 假设锐角满足，那么〔〕A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：由题意结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由同角三角函数根本关系可知：结合题意可得：.此题选择A选项.点睛：此题主要考察切化弦的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.8. 满足 (其中是常数)，那么的形状一定是〔〕A. 正三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】分析：由题意结合向量的运算法那么和平面几何的结论确定△ABC的形状即可.详解：如下图，在边(或者取延长线)上取点，使得，在边(或者取延长线)上取点，使得，由题意结合平面向量的运算法那么可知：，，而，据此可得：，从而：，结合平面几何知识可知：，而，故.即△ABC为等腰三角形.此题选择C选项.点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对详细的题目选择适宜的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用的垂直关系，或者使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．9. 如下图的程序框图，假设输入的的值是，那么输出〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图分类讨论输出的值即可.详解：结合流程图分类讨论：假设，那么，输出值，假设，那么，输出值，即输出值为：.此题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序构造、条件构造和循环构造．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10. 函数在区间上的所有零点之和等于〔〕A. -2B. 0C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.详解：函数的零点满足：，解得：，取可得函数在区间上的零点为：，那么所有零点之和为.此题选择C选项.点睛：此题主要考察三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.11. 设非零向量夹角为，假设，且不等式对任意恒成立，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先利用平面向量数量积的运算法那么进展化简，然后结合一次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：不等式等价于：，即，①其中，，将其代入①式整理可得：，由于是非零向量，故：恒成立，将其看作关于的一次不等式恒成立的问题，由于，故：，解得：；且：，解得：；综上可得，实数的取值范围为.此题选择A选项.点睛：此题主要考察平面向量数量积的运算法那么，恒成立问题的处理，函数思想的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.12.A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：.点睛：此题主要考察两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.二、填空题：此题一共4小题,每一小题5分,一共20分13. 从这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为__________．【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由质数的定义可知：这十个自然数中的质数有：等4个数，结合古典概型计算公式可知该数为质数的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出根本领件总数和所求事件包含的根本领件数．(1)根本领件总数较少时，用列举法把所有根本领件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图〞列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.14. 数据，，…，的平均数是3，方差是1，那么数据，，…，的平均数和方差之和是__________．【答案】3【解析】分析：由题意结合平均数、方差的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合平均数和方差的性质可知：数据，，…，的平均数为：，方差为：，那么平均数和方差之和是.点睛：此题主要考察均值的性质、方差的性质等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.15. 以下图是出租汽车计价器的程序框图，其中表示乘车里程(单位：)，表示应支付的出租汽车费用(单位：元).有以下表述：①在里程不超过的情况下，出租车费为8元；②假设乘车，需支付出租车费20元；③乘车的出租车费为④乘车与出租车费的关系如下图：那么正确表述的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：结合流程图逐一考察所给的说法是否正确即可.详解：逐一考察所给的说法：①在里程不超过的情况下，，那么，即出租车费为8元，该说法正确；②由流程图可知，超出的局部的计费方式为向上取整后每公里元，假设乘车，，需支付出租车费为：元，该说法正确.当乘车里程为和时，出租车车费均为元，据此可知说法③④错误.综上可得，正确表述的序号是①②.点睛：此题主要考察流程图知识的应用，生活实际问题解决方案的选择等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.16. 如图为函数的局部图象，对于任意的，，假设，都有，那么等于__________．【答案】【解析】分析：由题意结合三角函数的性质和函数图象的对称性整理计算即可求得最终结果.详解：由三角函数的最大值可知，不妨设，那么，由三角函数的性质可知：，那么：，那么，结合，故.点睛：此题主要考察三角函数图象的对称性，诱导公式及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17. 向量，.(1)假设实数满足，求的值；(2)假设，务实数的值.【答案】〔1〕2；〔2〕【解析】分析：(1)由题意得，据此求解关于m,n的方程组有所以.(2)由题意可得，，结合向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程可知.详解：(1)由题意得所以解得所以.(2)，，·因为，所以解得.点睛：此题主要考察平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.18. 某企业根据供销合同消费某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间内，那么为一等品；假设长度在或者内，那么为二等品；否那么为不合格产品.现从消费出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如下图.(1)试估计该样本的平均数；(2)根据合同，企业消费的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，假设用样本估计总体，试估算该企业消费这批零件所获得的利润.【答案】〔1〕100.68；〔2〕68万元【解析】分析：(1)由频率分布直方图结合平均数计算公式可估计该样本的平均数为100.68.万元.详解：(1)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02. 平均数估计值是.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件. 故该企业消费这批零件预计可获利润万元.点睛：频率分布直方图问题需要注意：在频率分布直方图中，小矩形的高表示，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心〞，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19. 某中学每周定期举办一次数学沙龙，前5周每周参加沙龙的人数如下表：周序号 1 2 3 4 5参加人数12 17 15 21 25(1)假设与线性相关，求关于的回归直线方程；〔2〕根据(1)中的方程预测第8周参加数学沙龙的人数.附：对于线性相关的一组数据，其回归方程为.其中，.【答案】〔1〕；〔2〕33【解析】分析：(1)由题意结合回归方程计算公式可得，，那么线性回归方程为.(2)利用(1)中求得的回归方程结合回归方程的预测作用可得第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.详解：(1)，，所以关于的回归直线方程是.(2)当时，由回归方程可得，即第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进展统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否那么，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进展预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20. 函数的最小正周期为，点为其图象上一个最高点.〔1〕求的解析式；〔2〕将函数图象上所有点都向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域【答案】〔1〕；〔2〕【解析】分析：(1)由最小正周期公式可得.由最大值可知，结合三角函数的性质可得，那么.(2)由题意得，结合三角函数的性质可知函数在区间上的值域为.详解：(1)因为最小正周期为，得，.点为其图象上一个最高点，得，，又因为，所以.所以.(2)由题意得，当时，.因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，所以在区间上的值域为.点睛：此题主要考察三角函数解析式的求解，函数的平移变换，三角函数值域的求解等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.21. 甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字一样那么为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，假设他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，那么甲获胜，否那么乙获胜.请问：这个规那么公平吗，为什么？【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】分析：(1)由题意列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可知甲获胜的概率为.(2)由古典概型计算公式可知甲获胜的概率为，那么乙获胜的概率为，那么这个规那么不公平.详解：(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，，，一共36种，其中事件“甲获胜〞包含的结果为：，有15种.所以甲获胜的概率为.(2)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，一共25种.其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：，一共13种.根据规那么，甲获胜的概率为，那么乙获胜的概率为，所以这个规那么不公平.点睛：此题主要考察古典概型计算公式及其应用，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.22. 如下图，扇形中，，，矩形内接于扇形.点为的中点，设，矩形的面积为.〔1〕假设，求；〔2〕求的最大值.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】分析：(1)设与，分别交于，两点，由几何关系可得，.由矩形面积公式可得，结合三角函数的性质可知时，.(2)结合(1)中矩形的面积表达式可知当时，获得最大值.详解：(1)如下图，设与，分别交于，两点，由得，.，，所以.故，所以，当时，.(2)因为，所以，当且仅当，即时，获得最大值.点睛：此题主要考察三角函数的应用，三角函数的性质，利用三角函数求最值等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高一数学下学期期末考试联考试题含解析 试题
2021～2021学年度高一年级第二学期期末考试数学试卷本套试卷分第一卷〔1~2页，选择题〕和第二卷〔3~8页，非选择题〕两局部．一共150分，考试用时120分钟．第一卷〔选择题，一共60分〕考前须知：1．答第一卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、试卷科目需要用2B 铅笔涂写在答题卡上．2．每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案，不能答在试卷上．3．在在考试完毕之后以后，监考人员将本套试卷和答题卡一并收回．一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.集合{}250A x x x =-<，{}240B x x =+>，那么A B =〔 〕A. ()0,5B. ()2,5-C. ()2,5D. ()(),25,-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，可得出集合A B .【详解】{}()2500,5A x x x =-<=，{}240B x x R =+>=，因此，()0,5A B =，应选：A.【点睛】此题考察集合的交集运算，解题的关键在于解出两个集合，考察计算才能，属于中等题.2.以下说法正确的选项是〔 〕 A. 假设a b >，那么ac bc > B. 假设a b >，c d >，那么ac bd > C. 假设a b >，那么22a b >D. 假设a b >，c d >，那么a cb d +>+【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质或者举反例的方法来判断各选项里面不等式的正误. 【详解】对于A 选项，假设0c <且a b >，那么ac bc <，该选项错误；对于B 选项，取2a =，1b =-，1c =-，2d =-，那么a b >，c d >均满足，但ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，取1a =，2b =-，那么a b >满足，但22a b <，C 选项错误； 对于D 选项，由不等式的性质可知该选项正确，应选：D.【点睛】此题考察不等式正误的判断，常用不等式的性质以及举反例的方法来进展验证，考察推理才能，属于根底题.3.在等比数列{}n a 中，212a =，68a =，那么4a =〔 〕 A. 4 B. 2 C. 4± D. 2±【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的定义知4a 与2a 同号，再利用等比中项的性质可求出4a 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，那么2420a q a =>，2102a =>，40a ∴>.由等比中项的性质可得24261842a a a ==⨯=，因此，42a =，应选：B. 【点睛】此题考察等比中项性质的应用，同时也要利用等比数列的定义判断出项的符号，考察运算求解才能，属于中等题.4.在ABC ∆中，3AB =，3C π=，O 为ABC ∆的外接圆的圆心，那么CO =〔 〕A. 3B. 23C. 3D. 6【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可求出ABC ∆的外接圆半径CO .【详解】由正弦定理可得3223sin 32AB CO C ===，因此，3CO =，应选：A. 【点睛】此题考察利用正弦定理求三角形外接圆的半径，考察计算才能，属于根底题.5.七巧板是古代中国劳动人民的创造，到了明代根本定型．清陆以湉在?冷庐杂识?中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，那么该点取自图中阴影局部的概率是〔 〕A. 116B. 18C. 38D. 316【答案】B 【解析】 【分析】设阴影局部正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】如下图，设阴影局部正方形的边长为a，那么七巧板所在正方形的边长为， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，那么该点取自图中阴影局部的概率()2218a =，应选：B. 【点睛】此题考察几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考察分析问题和计算才能，属于中等题.6.某型号汽车使用年限x 与年维修费y 〔单位：万元〕的统计数据如下表，由最小二乘法求得回归方程0.10.2y x =+．现发现表中有一个数据看不清，推测该数据的值是〔 〕A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.7【答案】C 【解析】 【分析】设所求数据为a ，计算出x 和y ，然后将点(),x y 代入回归直线方程可求出a 的值. 【详解】设所求数据为a，那么1234535x ++++==，0.20.50.40.8 1.955a a y +++++==，由于回归直线0.10.2y x =+过样本的中心点 1.93,5a +⎛⎫⎪⎝⎭，那么有1.930.120.55a +=⨯+=，解得0.6a =，应选：C.【点睛】此题考察利用回归直线计算原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点(),x y 〞这一结论的应用，考察运算求解才能，属于根底题.7.设x 、y 满足约束条件20x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =+的最大值为〔 〕A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线2z x y =+在x 轴上的截距最大时对应的最优解，再将最优解代入目的函数可得出结果.【详解】作出不等式组20x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如以下图中的阴影局部区域表示：联立2x y y x+=⎧⎨=⎩，得1x y ==，可得点A 的坐标为()1,1.平移直线2z x y =+，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线2z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 2113z =⨯+=，应选：C.【点睛】此题考察简单线性规划问题，一般作出可行域，利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值来获得，考察数形结合思想的应用，属于中等题.8.执行如下的程序框图，那么输出的S 是〔 〕A. 36B. 45C. 36-D. 45-【答案】A 【解析】 【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值是36，应选：A.【点睛】此题考察算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考察分析问题和计算才能，属于中等题.9.在ABC ∆中，根据以下条件解三角形，其中有一解的是〔 〕 A. 7a =，3b =，30B =B. 6b =，c =45B =C. 10a =，15b =，120A =D. 6b =，c =60C = 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项里面对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项.【详解】对于A 选项，17sin 722a B =⨯=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解；对于B 选项，sin 52c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =，那么A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.应选：D.【点睛】此题考察三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考察推理才能，属于中等题.10.数列{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 是等比数列，110=>a b ，440a b =>，那么以下说法正确的选项是〔 〕 A. 2323a a b b +>+ B. 2323a a b b +<+C. 2323a a b b +=+D. 23a a +与23b b +的大小不确定【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列{}n b 的公比为q ，结合题中条件得出0q >且1q ≠，将1b 、2b 、3b 、4b 用1b 与q 表示，利用因式分解思想以及根本不等式可得出23b b +与14b b +的不等关系，并结合等差数列下标和性质可得出23a a +与23b b +的大小关系.【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由于等差数列{}n a 是公差不为零，那么14a a ≠，从而1q ≠，且3410b q b =>，得0q >，()2231111b b b q b q b q q +=+=+，()()()()()33214111111111b b b b q b q b q q q b q q+=+=+=+-+>+()11b q q =+，即1423b b b b +>+，另一方面，由等差数列的性质可得141423b b a a a a +=+=+，因此，2323a a b b +>+， 应选：A.【点睛】此题考察等差数列和等比数列性质的应用，解题的关键在于将等比中的项利用首项和公比表示，并进展因式分解，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.11.以下有四个说法：①假设A 、B 为互斥事件，那么()()1P A P B +<； ②在ABC ∆中，a b >，那么cos cos A B <； ③98和189的最大公约数是7；④周长为P 的扇形，其面积的最大值为28P ；其中说法正确的个数是〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】设A 、B 为对立事件可得出命题①的正误；利用大边对大角定理和余弦函数在()0,π上的单调性可判断出命题②的正误；列出98和189各自的约数，可找出两个数的最大公约数，从而可判断出命题③的正误；设扇形的半径为r ，再利用根本不等式可得出扇形面积的最大值，从而判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，假设A 、B 为对立事件，那么A 、B 互斥，那么()()1P A P B +=，命题①错误；对于命题②，由大边对大角定理知，A B >，且0B A π<<<，函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以，cos cos A B <，命题②正确；对于命题③，98的约数有1、2、7、14、49、98，189的约数有1、3、7、9、21、27、63、189，那么98和189的最大公约数是7，命题③正确；对于命题④，设扇形的半径为r ，那么扇形的弧长为2P r -，扇形的面积为()1222P S r P r r r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由根本不等式得222216P r r P S ⎛⎫+- ⎪≤= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当2P r r =-，即当4P r =时，等号成立，所以，扇形面积的最大值为216P ，命题④错误.应选：C.【点睛】此题考察命题真假的判断，涉及互斥事件的概率、三角形边角关系、公约数以及扇形面积的最值，判断时要结合这些知识点的根本概念来理解，考察推理才能，属于中等题.12.一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，那么该三角形的最小角的余弦值是〔 〕 A.45B.34C.18D.7【答案】B 【解析】 【分析】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，由二倍角公式sin sin 22sin cos B C C C ==，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于a 的方程，求出a 的值，可得出cos C 的值.【详解】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-， 由题意得出2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，所以，2cos b c C =，即2cos b C c =，即222b a b c c ab+-=， 将1b a =+，1c a =-代入222b a b c c ab+-=得1411a a a a ++=-+，解得5a =，6b ∴=，4c =， 那么63cos 284b Cc ===，应选：B. 【点睛】此题考察利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进展转化是解此题的关键，综合性较强.第二卷〔非选择题，一共90分〕考前须知：1.第二卷一共6页，用钢笔或者圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂.2.答卷前将密封线内的工程填写上清楚.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填写上在题中横线上〕〔2〕化为十进制数是______．【答案】15. 【解析】 【分析】由二进制数的定义可将()21111化为十进制数.【详解】由二进制数的定义可得()3210211111212121215=⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：15. 【点睛】此题考察二进制数化十进制数，考察二进制数的定义，考察计算才能，属于根底题.14.某公司当月购进A 、B 、C 三种产品，数量分别为2000、3000、5000，现用分层抽样的方法从A 、B 、C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，假设样本中A 型产品有20件，那么n 的值是_______． 【答案】100.【解析】 【分析】利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出n 的值.【详解】在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，那么有202000200030005000n=++， 解得100n =，故答案为：100.【点睛】此题考察分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考察运算求解才能，属于根底题.15.正数x 、y 满足21x y +=，那么()()12x y xy++的最小值是________．【答案】25. 【解析】 【分析】利用等式21x y +=得()()12361x y xyxy++=++，将代数式36x y +与代数式2x y +相乘，利用根本不等式求出36x y +的最小值，由此可得出()()12x y xy++的最小值.【详解】21x y +=，所以()()()12222223611x y x y x y xy x y xyxyxyxy++++++++==+=++，由根本不等式可得()()()12223636112x y xy x y x y xyxyxyxy ++⎛⎫+++==++=+++⎪⎝⎭312131325y x x y =++≥+=， 当且仅当1y 22x ==时，等号成立，因此，()()12x y xy ++的最小值是25，故答案为：25.【点睛】此题考察利用根本不等式求最值，解题时要对代数式进展合理配凑，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.16.在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，1n n a a n --=．那么数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和是_____. 【答案】21nn + 【解析】 【分析】先利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，然后将数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项裂开，利用裂项求和法求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】当2n ≥时，1n n a a n --=．所以，212a a -=，323a a -=，434a a -=，，1n n a a n --=.上述等式全部相加得1234n a a n -=++++，()112342n n n a n +∴=+++++=. ()122211n a n n n n ∴==-++， 因此， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为22222222122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+，故答案为：21n n +. 【点睛】此题考察累加法求数列通项和裂项法求和，解题时要注意累加法求通项和裂项法求和对数列递推公式和通项公式的要求，考察运算求解才能，属于中等题.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17.某校进展学业程度模拟测试，随机抽取了100名学生的数学成绩〔满分是100分〕，绘制频率分布直方图，成绩不．低于80分的评定为“优秀〞．〔1〕从该校随机选取一名学生，其数学成绩评定为“优秀〞的概率； 〔2〕估计该校数学平均分〔同一组数据用该组区间的中点值作代表〕． 【答案】〔1〕0.35；〔2〕该校数学平均分为76.5. 【解析】 【分析】〔1〕计算后两个矩形的面积之和，可得出结果；〔2〕将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，再将这些积相加可得出该校数学平均分. 【详解】〔1〕从该校随机选取一名学生，成绩不．低于80分的评定为“优秀〞的频率为()0.0250.010100.35+⨯=，所以，数学成绩评定为“优秀〞的概率为0.35； 〔2〕估计该校数学平均分()550.005650.020750.040850.025950.011076.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．【点睛】此题考察频率分布直方图频率和平均数的计算，解题时要熟悉频率和平均数的计算原那么，考察计算才能，属于根底题.18.如图，为了测量河对岸A 、B 两点的间隔 ，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B 、C ．并测量得到以下数据，105DCA ∠=，30ADC ∠=，90BCE ∠=，60ACB CEB ∠=∠=，2002DC =1003CE =米．求A 、B 两点的间隔 ．【答案】1007AB =米 【解析】 【分析】在ACD ∆中，求出DAC ∠，利用正弦定理求出AC ，然后在Rt BCE ∆中利用锐角三角函数定义求出BC ，最后在ABC ∆中，利用余弦定理求出AB . 【详解】由题意可知，在ACD ∆中，45DAC ∠=，由正弦定理得sin sin AC DCADC DAC =∠∠，所以sin 200sin DC ADC AC DAC⨯∠==∠米， 在Rt BCE ∆中，10033300BC ==米， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222212cos602003002200300700002AB AC BC AC BC =⨯⨯=⨯⨯⨯=+-+-，所以，1007AB =米.【点睛】此题考察利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合元素类型选择正弦、余弦定理解三角形，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.19.在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥．〔1〕求数列{}n a 的通项公式n a ；〔2〕令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕29n a n =-；〔2〕()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【解析】 【分析】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，可得出450a a ≤⎧⎨≥⎩，可得出d 的取值范围，结合d Z ∈，可求出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出n a ； 〔2〕将数列{}n b 的通项公式表示为分段形式，即(),4,5n n n n a n b a n N a n *-≤⎧==∈⎨≥⎩，于是得出()4,42,,5n n n n S n T n N S S a n *-≤⎧=∈⎨-≥⎩可得出n T 的表达式. 【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，那么d Z ∈， 由题意知，{}n S 的最小值为4S ，那么450a a ≤⎧⎨≥⎩， 17a =-，所以370470d d -≤⎧⎨-≥⎩，解得7743d ≤≤，d Z ∈，2d ∴=，因此，()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-； 〔2〕29n n b a n ==-.当4n ≤时，0n a <，那么n n n b a a ==-，()272982n n n n T S n n -+-∴=-=-=-+；当5n ≥时，0n a >，那么n n n b a a ==，()22428216832n n T S S n n n n ∴=-=--⨯-=-+. 综上所述：()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【点睛】此题考察等差数列通项公式以及绝对值分段求和，解题的关键在于将n S 的最小值转化为与项相关的不等式组进展求解，考察化归与转化数学思想，属于中等题.20.2019年3月22日是第二十七届“世界水日〞，3月22~28日是第三十二届“中国水周〞．我国纪念2019年“世界水日〞和“中国水周〞活动的宣传主题为“坚持节水优先，强化水资源管理〞．某中学课题小组抽取A、B两个小区各20户家庭，记录他们4月份的用水量〔单位：t〕如下表：〔1〕根据两组数据完成下面的茎叶图，从茎叶图看，哪个小区居民节水意识更好？〔2〕从用水量不．少于30t的家庭中，A、B两个小区各随机抽取一户，求A小区家庭的用水量低．于B小区的概率．【答案】〔1〕见解析〔2〕3 8【解析】【分析】〔1〕根据表格中的数据绘制出茎叶图，并结合茎叶图中数据的分布可比拟出两个小区居民节水意识；〔2〕列举出所有的根本领件，确定所有的根本领件数，然后确定事件“A 小区家庭的用水量低．于B 小区〞所包含的根本领件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件“A 小区家庭的用水量低．于B 小区〞的概率. 【详解】〔1〕绘制如下茎叶图：60556898552211223467899877654332245675210312A B由以上茎叶图可以看出，A 小区月用水量有710的叶集中在茎2、3上，而B 小区月用水量有710的叶集中在茎0、1上，由此可看出B 小区居民节水意识更好； 〔2〕从用水量不少于30t 的家庭中，A 、B 两个小区各随机抽取一户的结果：()35,31、()35,32、()32,31、()32,32、()31,31、()31,32、()30,31、()30,32，一共8个根本领件，A 小区家庭的用水量低于B 小区的的结果：()31,32、()30,31、()30,32，一共3个根本领件．所以，A 小区家庭的用水量低．于B 小区的概率是38． 【点睛】此题考察茎叶图的绘制与应用，以及利用古典概型计算事件的概率，考察搜集数据与处理数据的才能，考察计算才能，属于中等题.21.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、ccos c C -=．〔1〕求角A 的大小； 〔2〕假设a =b 的最大值及相应的角B 的余弦值.【答案】〔1〕4A π=〔2〕b +的最大值为cos 5B =【解析】 【分析】〔1〕由正弦定理边角互化思想结合内角和定理、诱导公式可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的大小；〔2〕由正弦定理得出2sin b B =，()2sin 2sin c C A B ==+，然后利用三角恒等变换思想将b +转化为关于角B 的三角函数，可得出b 的值，并求出cos B 的值.【详解】〔1sin cos B C A C -=，()sin cos A C C A C +-=，cos sin sin cos A C A C C A C -=，sin sin 0A C C -=，由sin 0C >得cos A = 因为0A π<<，所以4A π=；〔2〕由正弦定理可知，2sin sin sin a b cA B C===， 那么有2sin b B =，2sin 2sin 4c C B π⎛⎫==+⎪⎝⎭，2sin 2sin 422b B B B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()4sin 2cos B B B θ=+=+，其中sin cos θθ==因为304B π<<，所以34B πθθθ<+<+，所以当2B πθ+=时，b +获得最大值此时cos cos sin 25B πθθ⎛⎫=-==⎪⎝⎭，所以，b +的最大值为cos 5B =． 【点睛】此题考察正弦定理边角互化思想的应用，考察内角和定理、诱导公式，以及三角形中最值的求解，求解时常利用正弦定理将边转化为角的三角函数来求解，解题时要充分利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考察运算求解才能，属于中等题.22.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()2n n S a n n N *=-∈．〔1〕求证：数列{}1n a +是等比数列； 〔2〕求证：121111122n na a a -<+++<． 【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析. 【解析】 【分析】〔1〕令1n =，由11a S =求出1a 的值，再令2n ≥，由2n n S a n =-得()1121n n S a n --=--，将两式相减并整理得121n n a a -=+，计算出111n n a a -++为非零常数可证明出数列{}1n a +为等比数列；〔2〕由〔1〕得出12nn a +=，可得出121n n a =-，利用放缩法得出111122n n n a -<≤，利用等比数列求和公式分别求出数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和112n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，从而可证明出所证不等式成立.【详解】〔1〕当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a n =-得()1121n n S a n --=--，上述两式相减得11221n n n n n a S S a a --=-=--，整理得121n n a a -=+.那么111122211n n n n a a a a ---++==++，且112a +=. 所以，数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列；〔2〕由〔1〕可知11222n nn a -+=⨯=，那么21n n a =-．因为111212n nn a =>-， 所以212111111112222n nn a a a +++>+++=-.又因为()1111111212222n n n n n a ---==≤--， 所以1112111111122222n n n a a a --+++≤+++=-<． 综上，121111122n na a a -<+++<． 【点睛】此题考察利用前n 项和求数列通项，考察等比数列的定义以及放缩法证明数列不等式，解题时要根据数列递推公式或者通项公式的构造选择适宜的方法进展求解，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.。
2019-2020学年无锡市锡山区天一中学高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年无锡市锡山区天一中学高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共11小题，共55.0分）1.已知倾斜角为α的直线l与直线x−2y+2=0平行，则cosα的值为()A. −√55B. −2√55C. √55D. 2√552.设i为虚数单位，则1+i+i2+i3+⋯+i10=()A. iB. −iC. 2iD. −2i3.椭圆x210−m +y2m−2=1的焦点在y轴上，焦距为4，则m的值为()A. 4B. 8C. 16D. 94.已知在空间中，下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线共面；③过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 45.直线x−√3y+a=0与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，则a=()A. ±1B. ±√2C. ±√3D. ±26.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm2)是()A. 16B. 32C. 44D. 647.不等式x2>a2等价于()A. x≥±aB. −a<x<aC. x<−a或x>aD. x<−|a|或x>|a|8.我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．通过普通高中课程实验教科书《数学》2−1第二章《圆锥曲线与方程》章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆．实际上，设圆锥母线，与轴所成角为α，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为θ.当θ=π2截口曲线为圆，当α<θ<π时，截口曲线为椭圆；当0≤θ<α时，2截口曲线为双曲线；当θ=α时，截口曲线为抛物线；如图，正方体ABCD−A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是()A. 一段双曲线弧B. 一段椭圆弧C. 一段圆弧D. 一段抛物线弧9.若双曲线x2−y2=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2√2，则该双曲线的焦距为()b2A. 3B. 6C. 2√2D. 4√210.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=()A. B. C. D.11.平行于直线x+2y+1=0，且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A. x+2y+√5=0或x+2y−√5=0B. x−2y+√5=0或x−2y−√5=0C. x+2y+5=0或x+2y−5=0D. x−2y+5=0或x−2y−5=0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）12.顶点在单位圆上的△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2+c2=5，sinA=√3，2则S△ABC=______．13.三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P—ABC的体积等于________．14.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)设点A(x1,y1)，B(x1,y1)(y1≤0,i=1,2)是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程．15.设数列{a n}满足a1+2a2+22a3+⋯+2n−1a n=n2(n∈N∗).则数列{a n}的通项a n=______．2三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√3c=2asinC．(1)确定角A的大小；(2)若a=√7，且b+c=5，求△ABC的面积．17.在直平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA1=1．(Ⅰ)求证：OC1//平面AB1D1(Ⅱ)求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1(Ⅲ)求三棱锥A1−AB1D1的体积．18.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足：①f(x)不恒为零；②对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)．(Ⅰ)若f(2)=1，求f(√2)的值；(Ⅱ)求证：方程f(x)=0有且只有一个实数根；)|，求证：3<m< (Ⅲ)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，且m>n>0时，有|f(m)|=|f(n)|=2|f(m+n2 2+√2．19.如图，三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=√3，CA=CB=√2，AC⊥BC．(1)证明：面PAB⊥面ABC；(2)求二面角C−PA−B的余弦值．20.已知圆F1：(x+1)2+y2=8，点F2(1,0)，点Q在圆F1上运动QF2的垂直平分线交QF1于点P (1)求动点P的轨迹C的方程；)的动直线l交曲线C于A、B两点，求证：以AB为直径的圆恒过定点T(0,1)．(2)过点S(0,−13)2⋅a n(n∈N∗)21.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2(n+1n}是等比数列，并求其通项公式；(1)求证：数列{a nn2)−26，求数列{|b n|}的前n项和T n．(2)设b n=3log2(a nn2【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵直线x−2y+2=0的斜率为12，且倾斜角为α的直线l与直线x−2y+2=0平行，∴tanα=12，∵0<α<π，∴cosα=2√55，故选D．由题意可得tanα=12，由同角三角函数关系可得cosα的值．本题考查直线的一般式方程和平行关系，考查同角三角函数关系，属基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查等比数列的前n项和，考查计算能力，是基础题．按数列求和求出1+i+i2+i3+⋯+i10，然后用i的幂运算求解，把复数化简为a+bi(a,b∈R)的形式．解：由1+i+i2+i3+⋯+i10=1×(1−i11)1−i =1+i1−i=i，故选A．3.答案：B解析：解：∵椭圆x210−m +y2m−2=1的焦点在y轴上，且焦距为4，c=2；∴m−2>10−m>0，可得c2=a2−b2，即m−2−(10−m)=4，解得m=8．故选：B．利用已知条件列出方程，求解即可．本题考查椭圆的方程的特征性质的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．在①中，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面；在②中，平行于同一平面的两条直线相交、平行或异面；由平面公理三得③正确；由面面平行的判定定理得④正确．解：在①中，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故①错误；在②中，平行于同一平面的两条直线相交、平行或异面，故②错误；在③中，由平面公理三得过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内，故③正确；在④中，由面面平行的判定定理得垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故④正确．故选：B．5.答案：D解析：解：如图，|OA|=|OB|=√2，∵OA⊥OB，∴O到AB的距离为1，则√12+(−√3)2=|a|2=1，即a=±2．故选：D．由题意画出图形，结合已知可得O到直线AB的距离为1，再由点到直线的距离公式列式求得a值．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础的计算题．6.答案：B解析：本题考查由三视图求面积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC.然后由直角三角形面积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，BC⊥AC，PA⊥底面ABC．又BC⊂底面ABC，故PA⊥BC，∵AC∩PA=A，AC，PA⊂面PAC，∴BC⊥面PAC，又PC⊂面PAC，则BC⊥PC．(3×4+5×4+3×4+4×5)=32．∴该几何体的表面积S=12故选：B．7.答案：D解析：解：不等式x2>a2⇔|x|>|a|⇔x<−|a|或x>|a|，故选：D．根据绝对值的性质即可求出不等式的解集．本题考查不等关系与不等式，关键在于合理转化属于基础题8.答案：A解析：本题考查正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线的轨迹，考查分析运算能力，属于难题．以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得A，C′，M等点的坐标，从而可求得cos∠MAC′，设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，继而可求得cosθ，比较θ与∠MAC′的大小，利用材料内容：圆锥被与中心轴成θ的平面所截曲线的性质结论，即可得到答案．解：P点的轨迹实际是一个正圆锥面和平面的交线，这个正圆锥面的中心轴即为AC′，顶点为A，顶角的一半即为∠MAC′，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为1，则A(0,0，1)，C′(1,1，0)，M(12,1，1)， ∴AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1，0)， ∵cos∠MAC′=|cos <AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >| =|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×12+1×1√3×√14+1=√155，设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ， 取底面A′B′C′D′的法向量为AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 则sinθ=|cos <AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >| =|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3=√33， ∴cosθ=√63=√15015>√13515=√155=cos∠MAC′，∴θ<∠MAC′，∴该正圆锥面和底面A′B′C′D′的交线是双曲线弧， 故选A ．9.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．求出双曲线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式列出方程求解b ，然后求解2c 即可． 解：双曲线x 2−y 2b 2=1的一个焦点(√1+b 2,0)到一条渐近线bx +y =0的距离为2√2，可得：b√1+b 2√1+b 2=2√2，解得b =2√2，则c =√1+8=3，则该双曲线的焦距为6． 故选B ．解析：本题考查余弦定理、等差数列的性质及三角形的面积公式，先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2−2ac，又∵△ABC的面积为32，∠B=30°，故由S△ABC=12acsinB=12acsin30°=14ac=32，得ac=6．∴a2+c2=4b2−12．由余弦定理，得cosB=a2+c2−b22ac =4b2−12−b22×6=b2−44=√32，解得b2=4+2√3．又b为边长，∴b=1+√3．故选B.11.答案：C解析：解：∵直线和直线x+2y+1=0平行，∴设切线方程为即x+2y+b=0，圆心坐标为(0,0)，半径R=√5，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=√5=√5，解得b=5或b=−5，故切线方程为x+2y+5=0或x+2y−5=0；利用直线平行的关系设切线方程为x+2y+b=0，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线平行的关系以及直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．12.答案：√32解析：本题考查了正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的灵活应用，注意边角关系，属于中档题．由题意和正弦定理求出边a，结合条件和三边关系判断出角A是锐角，由余弦定理求出bc的值，代入三角形面积公式求出S△ABC的值．解：由题意得，△ABC外接圆的半径是1，∵sinA=√32，∴由正弦定理得asinA=2，则a=√3，∵b2+c2=5，∴b2+c2−a2=3>0，则A是锐角，且A=60°，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，则3=5−bc，得bc=2，∴三角形的面积S△ABC=12bcsinA=√32，故答案为：√32．13.答案：解析：由题意，V P−ABC=·S△ABC·PA=，故三棱锥P−ABC的体积等于．14.答案：解：(I)∵|PF|=4，∴x P+p2=4，∴P点的坐标是(4−p2,4)，∴有16=2P(4−p2)⇒p=4，∴抛物线方程是y2=8x．(II)由(I)知点P的坐标为(2,4)，∵∠APB的角平分线与x轴垂直，∴PA、PB的倾斜角互补，即PA、PB的斜率互为相反数，设PA 的斜率为k ，则PA ：y −4=k(x −2)，k ≠0 与抛物线方程联立，可得y 2−8k y −16+32k=0，方程的解为4、y 1，由韦达定理得：y 1+4=8k ，即y 1=8k −4，同理y 2=−8k −4，又y 12=8x 1，y 22=8x 2，∴k AB ═−1，设AB ：y =−x +b ，与抛物线方程联立可得y 2+8y −8b =0， 由韦达定理得：y 1+y 2=−8，y 1y 2=−8b ，|AB|=√1+1|y 1−y 2|=8√b +2，点P 到直线AB 的距离d =√2，S △ABP =2√2×√(b +2)(6−b)2，设b +2=t则(b +2)(b 2−12b +36)=t 3−32t −64−(3t −8)(t −8)，∵△=64+32b >0⇒b >−2，y 1⋅y 2=−8b ≥0⇒b ≤0，∴−2<b ≤0， 设t =b +2∈(0,2]，则(b +2)(b 2−12b +36)=t 3−16t 2+64t =f(t)， f′(t)=3t 2−32t −64=(3t −8)(t −8)， 由t ∈(0,2]知f′(t)>0，∴f(t)在(0,2]上为增函数， ∴f(t)最大=f(2)=72，∴△PAB 的面积的最大值为2√2×√72=24， 此时b =0，直线AB 的方程为x +y =0．解析：(I)根据抛物线的定义，利用|PF|=4，求得P 即可；(II)根据条件判定直线PA 、PB 的斜率关系，求出直线AB 的斜率，再设出直线AB 的方程，根据三角形PAB 面积最大时的条件，求出三角形PAB 面积的最大值，及最大值时直线AB 的方程． 本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．15.答案：(n −12)⋅12n−1解析：本题考查数列的通项公式的求法，考查计算能力，属于基础题．由数列{a n }满足：a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−1a n =n 22(n ∈N ∗)，①，当n ≥2时，a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)22，②，作差即可求出数列{a n }的通项a n ．解：∵数列{a n }满足：a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−1a n =n 22(n ∈N ∗)，①∴当n ≥2时，a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)22，②①−②得2n−1a n =n 22−(n−1)22=n −12，∴a n =(n −12)⋅12n−1， 当n =1时，a 1=12也成立． 故答案为(n −12)⋅12n−1．16.答案：解：(1)由正弦定理：a =2RsinA ，c =2RsinC ，又√3c =2asinC ， ∴√3sinC =2sinAsinC ， ∴sinA =√32， ∵锐角三角形中，A 为锐角， ∴A =60°；(2)∵a =√7，cosA =12，∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即7=b 2+c 2−bc①， ∵b +c =5，∴(b +c)2=b 2+c 2+2bc =25②， 联立①②，得到bc =6， 则S △ABC =12bcsinA =12×6sin60°=3√32． 解析：(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后求出sin A 的值，即可确定出A 的度数；(2)利用余弦定理列出关系式，将a ，cos A 的值代入得到关系式，再将b +c =5两边平方得到关系式，联立求出bc 的值，再由sin A 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积． 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．17.答案：证明：(I)设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，连接AO 1．因为AA1//CC1且AA1=CC1所以四边形AA1C1C是平行四边形．所以A1C1//AC且A1C1=AC．因为底面ABCD是菱形，所以O1C1//AO且O1C1=AO．所以四边形AOC1O1是平行四边形．所以AO1//OC1．因为AO1⊂平面AB1D1，OC1⊄平面AB1D1所以OC1//平面AB1D1．(II)因为AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以B1D1⊥AA1．因为底面ABCD是菱形，所以B1D1⊥A1C1，又因为AA1∩A1C1=A1，所以B1D1⊥平面ACC1A1.因为B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1⊥平面ACC1A1．(III)由题意可知，AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1为三棱锥A−A1B1D1的高．因为V A1−AB1D1=V A−A1B1D1=13S△A1B1D1⋅AA1=13×12×1×√32×1=√312．所以三棱锥A1−AB1D1的体积为√312．解析：(I)由直平行六面体的结构特征可知AO1−//OC1，于是OC1//平面AB1D1；(II)由线面垂直的性质得AA1⊥B1D1，由菱形的性质得A1C1⊥B1D1，故而B1D1⊥平面ACC1A1，于是平面AB1D1⊥平面ACC1A1；(III)以△A1B1D1为棱锥的底面，AA1为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可．本题考查了线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)∵对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)，令x=2，则f(2a)=af(2)，∵f(2)=1，∴f(2a)=a，∴f(√2)=f(212)=12；(Ⅱ)证明：∵对任意x∈R+，a∈R都有f(x a)=af(x)，∴令x=1则f(1)=af(1)，若a=1，则恒成立，若a≠1，则f(1)=0，∴f(x)=0有一个根为1，如果还有一个根设为m，m>0且m≠1，那么f(m)=0，f(m a)=af(m)，即有f(m a)=0，由于a为任意实数，m>0且m≠1，则由指数函数的值域得，m a>0，这与①f(x)不恒为零矛盾，所以f(m)=0不成立，故方程f(x)=0有且只有一个实数根；(Ⅲ)证明：由|f(m)|=|f(n)|推出f(m)=f(n)或f(m)=−f(n)，∵f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴f(m)=f(n)推出m=n，这与m>n>0矛盾，∴f(m)=−f(n)，∵f(x a)=af(x)，∴f(m)=f(n−1)，∴m=n−1，即n=1m，由于m>n>0，所以m>1，f(m)>f(1)=0，∵m+n2>√mn=1，∴f(m+n2)>0，又|f(m)|=2|f(m+n2)|，∴f(m)=2f(m+n2)=f(m2+n2+2mn4)，即有m=m2+n2+2mn4，即m2+m−2−2=4(m−1)，∴(m−1m )2=4(m−1)，即(m−1)(m+1)2m2=4即m3−3m2−m−1=0，令f(m)=m3−3m2−m−1，由于f(3)=27−27−3−1<0，f(2+√2)=(6+4√2)(√2−1)−3−√2=√2−1>0，由零点存在定理得，3<m<2+√2．解析：(Ⅰ)运用赋值法，令x=2，由f(2)=1，得f(2a)=a，再令a=12，即可求出f(√2)；(Ⅱ)运用赋值令x=1，得到f(1)=0，如果还有一个根设为m，m>0且m≠1，推出f(m a)=0，由a为任意实数，得到与①f(x)不恒为零矛盾，故结论得证；(Ⅲ)由|f(m)|=|f(n)|推出mn=1，由f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(m)>0，f(m+n2)>0，由|f(m)|=2|f(m+n2)|推出m3−3m2−m−1=0，令f(m)=m3−3m2−m−1，运用零点存在定理，求出f(3)<0，f(2+√2)>0，故结论成立．本题主要考查解决抽象函数常用方法：赋值法，准确赋值是迅速解题的关键，同时考查函数的单调性在比较大小和去绝对值方面的运用，本题有一定的难度．19.答案：(1)证明：由AC⊥BC，得△ABC是以AB为斜边的直角三角形，取AB的中点O，则O为△ABC的外心，连接PO，∵PA=PB=PC，可得△POA≌△POB≌△POC，可得∠POA=∠POB=∠POC=90°，则PO⊥AB，PO⊥OC，又AB∩OC=O，∴PO⊥底面ABC，而PO⊂平面PAB，则面PAB⊥面ABC；(2)解：在平面PAB内，过O作OE⊥PA，垂足为E，连接EC，∵面PAB⊥面ABC，面PAB∩面ABC=AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB，得OC⊥PA，∵OE∩OC=O，∴PA⊥平面OEC，则PA⊥EC．即∠OEC为二面角C−PA−B的平面角．在Rt△ACB中，由CA=CB=√2，得OC=1，在Rt△POA中，由PA=√3，OA=1，PO=√2，求得OE=√63，在等腰三角形PAC中，由PA=PC=√3，AC=√2，求得EC=√153．由余弦定理可得：cos∠OEC=23+53−12×√63×√153=√105．∴二面角C−PA−B的余弦值为√105．解析：(1)由已知可得三角形ABC为直角三角形，取AB中点O，再由PA=PB=PC，可得PO⊥底面ABC，从而得到面PAB⊥面ABC；(2)在平面PAB内，过O作OE⊥PA，垂足为E，连接EC，由平面与平面垂直的性质证明OC⊥PA，进一步得到PA⊥EC，可得∠OEC为二面角C−PA−B的平面角，然后求解三角形得答案．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的求法，是中档题．20.答案：解：(1)∵QF2的垂直平分线交QF1于点P，∴|PF2|=|PQ|，从而|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=|F1Q|=2√2>|F1F2|=2，∴动点P 的轨迹C 是以点F 1、F 2为焦点的椭圆． 设椭圆的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，则2a =2√2，2c =2，∴a =√2，c =1，b 2=a 2−c 2=1， 故动点P 的轨迹C 的方程为x 22+y 2=1；(2)设直线l 的方程为y =kx −13，则由{y =kx −13x 22+y 2=1，得9(2k 2+1)x 2−12kx −16=0，由题意知，点S(0,−13)在椭圆C 的内部，∴直线l 与椭圆C 必有两个交点，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k3(2k 2+1),x 1x 2=−169(2k 2+1)．假设在y 轴上存在定点T(0,m)满足题设，则TA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−m),TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−m)， ∵以AB 为直径的圆恒过点T ，∴TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−m)⋅(x 2,y 2−m)=0， 即x 1x 2+(y 1−m)(y 2−m)=0(∗)， ∵y 1=kx 1−13,y 2=kx 2−13，∴(∗)可化为x 1x 2+y 1y 2−m(y 1+y 2)+m 2=(k 2+1)x 1x 2−k(m +13)(x 1+x 2)+m 2+23m +19=−16(k 2+1)9(2k 2+1)−k(m +13)⋅4k 3(2k 2+1)+m 2+23m +19=18(m 2−1)k 2+3(3m 2+2m−5)9(2k 2+1)．由于对于任意的k ∈R ，TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0恒成立，故{ m 2−1=03m 2+2m −5=0，解得m =1． 因此，在y 轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1)．解析：(1)由已知可得|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ|=|F 1Q|=2√2>|F 1F 2|=2，结合椭圆定义可得动点P 的轨迹C 是以点F 1、F 2为焦点的椭圆，分别求出a 与c 的值，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)设直线l 的方程为y =kx −13，与椭圆方程联立，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，利用根与系数的关系结合TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−m)⋅(x 2,y 2−m)=0求解m ，可得在y 轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1)．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：(1)证明：∵a 1=2，a n+1=2(1+1n )2⋅a n (n ∈N ∗)，∴a n+1(n+1)2=2⋅a nn 2，n∈N ∗，∴{an n 2}为等比数列，公比为2． ∴ann 2=a 112×2n−1=2n ．∴a n =n 2⋅2n ．(2)∵b n =3log 2(ann )−26=3log 22n−26=3n −26，∴b 1=−23．当n ≤8时，b n =3n −26<0，当n ≥9时，b n =3n −26>0． 设数列{b n }的前n 项和为S n ，则当n ≤8时，T n =|b 1|+|b 2|+⋯+|b n |=(−b 1)+(−b 2)+⋯(−b n )=−(b 1+b 2+⋯b n )=−S n ∴T n =−(b 1+b n )⋅n2=−(−23+3n−26)2=49n−3n 22，当n ≥9时，T n =|b 1|+|b 2|+⋯|b 8|+|b 9|+⋯|b n |=(−b 1)+(−b 2)+⋯(−b 8)+b 9+⋯+b n =−(b 1+b 2+⋯+b 8)+(b 9+⋯+b n )=−S 8+(S n −S 8)=S n −2S 8∴T n =(b 1+b n )⋅n2−2⋅(b 1+b 8)×82=(−23+3n−26)⋅n2+200=3n 2−49n+4002综上，T n ={49n−3n 22(n ≤8)3n 2−49n+4002(n ≥9)．解析：(1)由a 1=2，a n+1=2(1+1n )2⋅a n (n ∈N ∗)，变形为a n+1(n+1)2=2⋅a nn 2，n ∈N ∗，利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．(2)由b n =3n −26，可得b 1=−23.当n ≤8时，b n <0，当n ≥9时，b n >0.对n 分类讨论，去掉绝对值符号，利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式、对数运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
高一数学下学期期末考试试题含解析_00011
锡山区天一中学2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12题，一共60分〕50x +-=的倾斜角为〔 〕A. -30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线方程求斜率，再求倾斜角.【详解】因为50x -=，所以斜率为-150°,选D. 【点睛】此题考察直线斜率倾斜角，考察根本转化求解才能，属根底题.{}n a 的前n 项和为n S ，假设230a S +=，那么公比q =〔 〕A. 1-B. 1C. 2-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】将230a S +=转化为关于q 的方程，解方程可得q 的值． 【详解】∵()2311230a S a a a a +=+++=，∴()()221231121210a a a a q q a q ++=++=+=，又10a ≠， ∴1q =-． 应选A ．【点睛】此题考察等比数列的根本运算，等比数列中一共有1,,,,n n a q n a S 五个量，其中1,a q 是根本量，这五个量可“知三求二〞，求解的本质是解方程或者解方程组．(5,)m 和(,8)m 的直线的斜率大于1，那么m 的取值范围是〔 〕A. (5,8)B. (8,)+∞C. 13(,8)2D. 13(5,)2【答案】D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式解分式不等式。
【详解】由题意得815m m ->-，即21305m m ->-，解得1352m <<.应选D. 【点睛】直线斜率两种计算方法：1、斜率的两点坐标公式；2、直线斜率等于直线倾斜角的正切。
,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是〔 〕A. 假设m n n α∥，∥，那么m nB. 假设m n αβαα⊂⊂∥，，，那么m nC. 假设m n n m αβα=⊂⊥，，，那么n β⊥D. 假设m m n n αβ⊥⊂，∥，，那么αβ⊥ 【答案】D【解析】 【分析】根据线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的性质、面面垂直的断定定理对四个选项，逐一判断，最后选出正确答案.【详解】选项A ：直线m ，n 还可以异面、相交，故本命题是假命题； 选项B ：直线m ，n 可以是异面直线，故本命题是假命题；选项C:当αβ⊥时，假设m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，才能推出n β⊥，故本命题是假命题；选项D ：因为m α⊥，//m n ，所以n α⊥，而n β⊂，所以有αβ⊥，故本命题是真命题，因此此题选D.【点睛】此题考察了线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的断定与性质，考察了空间想象才能.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b c a bc +=+．假设2 sin B sinC sin A ⋅=，那么ABC ∆的形状是〔 〕A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．那么：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π， 故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 应选：C ．【点睛】此题考察了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，那么41a b+的最小值是〔 〕 A. 9 B. 4C.12D.14【答案】A 【解析】圆22x y 2x 4y 10++-+=的HY 方程为：〔x+1〕2+〔y ﹣2〕2 =4， 它表示以〔﹣1，2〕为圆心、半径等于2的圆； 设弦心距为d ，由题意可得 22+d 2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a ﹣2b+2=0， 即a+b=1，再由a ＞0，b ＞0，可得41a b +=〔41a b + 〕〔a+b 〕=5+4b a a b +9= 当且仅当4b a =a b 时取等号，∴41a b+的最小值是9． 应选：A ．点睛：此题主要考察根本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用根本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或者积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，获得最值.7.圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为A. B. 12πC.D. 10π【答案】B 【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的外表积.详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，的圆，且高为，所以其外表积为22212S πππ=+=，应选B.点睛：该题考察的是有关圆柱的外表积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的外表积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，那么k 的取值范围是〔 〕A. 01k ≤≤B. 01k <≤C. k 0<或者1k >D. 0k ≤或者1k【答案】A 【解析】 【分析】按0k =，0k >，k 0<分类讨论.【详解】当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，假设不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 那么2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。
2021-2022学年江苏省无锡市普通高中高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省无锡市普通高中高一下学期期末数学试题一、单选题1．复数满足，则（ ）z i 1i ⋅=-+z ||z =A B C ．1D ．2B【分析】先求出复数，再求出其模z 【详解】因为，i 1i ⋅=-+z 所以，21i i i 1ii i z -++===+，=故选：B2．若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）l αl α⊂/A ．内的所有直线与是异面直线B ．内的所有直线与都相交αl αl C ．内存在唯一一条直线与相交D ．内存在无数条直线与相交αl αl D【分析】根据直线与平面、直线与直线的位置关系判断．【详解】由已知直线与平交，设交点为，则平面内过的所有直线与相交，l αP αP l 不过的直线与异面．只有D 正确．P l 故选：D3．已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ）(1,0)a = (1,1)b = a b λ+ a b λ+ λA ．B ．1C ．D ．01-±1C【分析】根据向量共线的坐标表示计算．【详解】由已知，，(1,)a b λλλ+=+(1,1)a b λλ+=+ 又与共线，所以，解得．a b λ+ a b λ+(1)(1)0λλλ+-+=1λ=±故选：C ．4．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过A =B =3”，则事件与事件的关系为（ ）A B A ．相互独立B ．互斥C ．互为对立D ．相等【分析】根据是否相等判断独立性，由互斥、对立及相等事件的定(),()()P A B P A P B ⋂义判断B 、C 、D.【详解】由题意，，且，即，1()2P A =1()2P B =1()4P A B ⋂=()()()P A B P A P B ⋂=而事件可以同时发生，故它们不互斥，更不相等；,A B 由于“第一枚出现偶数点”， “第二枚出现点数超过3”，则不是对立事件；A =B =,A B 综上，A 正确，B 、C 、D 错误.故选：A5．某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：毕业生123456789101112起始月薪285029503050288027552710289031302940332529202880则第85百分位数是（ ）A ．3325B ．3130C ．3050D ．2950B【分析】将这12个数从小到大的顺序排列，再找到第，即第 11个数1285%10.20⨯=即可.【详解】解：将这12个数从小到大的顺序排列：2710，2755，2850，2880，2880，2890， 2920，2940，2950，3050，3130，3325.又因为第，1285%10.20⨯=所以第第85百分位数是第11个数据，为3130.故选：B.6．一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为（ ）A ．B ．C D ．4π23π【分析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和【详解】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，所以所形成的几何体的表面积为，12212π⨯⨯⨯=故选：D7．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向ABC O 2AO AB AC =+ ||||OA AB = BA量上的投影向量为（ ）BCA ．BC ．D ．14BC12BCBC A【分析】由，得是中点，从而得出，，作2AO AB AC =+O BC 60B ∠=︒30C ∠=︒于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，AH BC ⊥H BHBA BC AB a =BH 后可得结论．|BC 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，，2AO AB AC =+O BC BC O 90BAC ∠=︒又，所以是等边三角形，，||||OA AB = OAB 60B ∠=︒30C ∠=︒设，AB a=则，作于，则，所以，2BC a=AH BC ⊥H 30BAH ∠=︒12BH AB a ==即为向量在向量上的投影向量，．BH BA BC 14BH BC=故选：A ．8．设内角，，所对的边分别为，，.若，，则ABC A B C a b c 2b =2sin 6sin a C A =面积的最大值为（ ）ABC ABCD ．3B【分析】由结合正弦定理可得，再利用余弦定理可求得2sin 6sin aC A =6ac =，则可得，从而可求出面积的最大值2cos 3B ≥sin B ≤ABC 【详解】因为，2sin 6sin a C A =所以由正弦定理可得，得，26=a c a 6ac =由余弦定理得，，2222cos b a c ac B =+-22412cos acB =+-所以，当且仅当时取等号，22412cos 212B a cac +=+≥=a c=所以，2cos 3B ≥所以sinB==所以时取等号，11sin 622ac B ≤⨯=a c =所以ABC 故选：B 二、多选题9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，1x 2x n x 1x 2x n x ，其中，则（ ）x 11nii x x n ==∑A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同AD【分析】根据平均数、方差公式判断数据添加后新的平均数、方差变化情况，由中x 位数、极差定义判断中位数、极差的变化情况.【详解】新数据的平均数，故两组数据平均数相同，A 正确；11)1(ni i x x x x n ==++=∑若为偶数且两组数据1到n 或(n +1)依次从小到大排序后，则原数据中位数，n 1222n nx x ++而新数据中位数为，不一定相等，B 错误；12nx +原数据方差，而新数据方差22111)(ni i s x x n ==-∑，故标准差不一定相同，C 错误；122221211[)(()11](nn i i i i x x s x x x x n n ===-+--++=∑∑由必大于原数据中的最小值，而小于最大值，所以两组数据的极差相等，D 正确.x 故选：AD10．的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ）ABC A B C a b c A ．若，则sin sin A B >A B>B ．若，则是锐角三角形2220a b c +->ABC C ．若，则是等腰三角形cos cos a B b A a +=ABC D ．若，则是等边三角形sin cos cos a b cA B C ==ABC AC【分析】A 由正弦定理及大边对大角判断；B 由余弦定理知为锐角；C 正弦边角关C 系及三角形内角和性质得；D 由正弦定理及三角形内角性质得.A C =45B C ==︒【详解】A ：由及正弦定理知：，根据大边对大角有，正确；sin sin A B >a b >A B >B ：由余弦定理，只能说明为锐角，但不能确定是锐角222cos 02a b c C ab +-=>C ABC 三角形，错误；C ：，则，故是等腰三角sin cos sin cos sin()sin sin A B B A A B C A +=+==a c =ABC 形，正确；D ：由，则，且sin cos cos sin sin a b c b cA B C B C ====sin cos ,sin cos B B C C ==，故，即是等腰直角三角形，错误.0,,A B C π<<45B C ==︒ABC 故选：AC 11．四棱台的底面是正方形，平面，1111ABCD A B C D -ABCD 1A A ⊥ABCD ，则下列说法正确的有（ ）111222===AB AA A B A ．直线与直线异面B ．平面平面1B B 1D D 11BB D D ⊥11AA C CC ．直线与直线所成角的大小为D ．该四棱台的体积为11B D CD 45︒73BCD【分析】根据棱台的性质判断A ，根据面面垂直判定定理判断B ，根据异面直线的夹角的定义判断C ，根据台体体积公式判断D.【详解】如图：由棱台的性质可得，直线与直线相交与点，所以直线与1B B 1D D S 1B B 直线不异面，A 错，1D D 因为四边形是正方形，所以，ABCD BD AC ⊥因为平面，平面，1A A ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，又，平面，1BD AA ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂，11AA C C 所以平面，又平面，BD ⊥11AA C C BD ⊂11BB D D 所以平面平面，B 对，11BB D D ⊥11AA C C 因为，所以为直线与直线所成角，11//C D CD 111B D C ∠11B D CD 因为四边形为正方形，所以，1111A B C D 11145B D C ∠= 所以直线与直线所成角的大小为，C 对，11B D CD 45︒设正方形的面积为，正方形的面积为，棱台的高为，棱台的体1111A B C D 1S ABCD 2S h 积为，V 因为平面，所以棱台的高，1A A ⊥ABCD 1h A A =又，，(1213V S S h =+⋅121,4,1S S h ===所以，D 对，()17142133V =⨯++⨯=故选：BCD.12．一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为，，，则（ ）1P 2P3P A ．B ．C ．D ．12P P <13P P <23P P >12332++=P P P ABD【分析】根据题意分别求，，，方案一：直接求解即可；方案二：选到3号球1P 2P3P 有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次2号球，第二次1号球；方案三：根据古典概型利用列举法理解运算．【详解】方案一：“选到3号球”的概率113P =方案二：“选到3号球”的概率22111132322P =⨯+⨯=方案三：同时摸出两个球共有：共3个基本事件，“选到3号球”包含{}{}{}1,2,1,3,2,3共2个基本事件，“选到3号球”的概率{}{}1,3,2,3323P =∴，，，，ABD 正确，C 错误12P P <13P P <32P P <12332++=P P P 故选：ABD ．三、填空题13．已知，，且，互斥，则___________.()0.5P A =()0.4P B =A B ()P AB =【分析】根据互斥事件的概念即可得结果.【详解】由于，互斥，即不可能同时发生，A B 所以，()0P AB =故0.14．的内角，，所对边分别为，，，已知，ABC A B C a b c 60C =︒，___________.1a =c =b =3【分析】利用余弦定理求解即可【详解】因为在中，，，ABC 60C =︒1a =c =所以由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-所以，，2712cos 60bb =+-︒260b b --=，(2)(3)0b b +-=得（舍去），或，2b =-3b =故315．点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小P ABC ||PA PB PC ++值为___________.【分析】构建直角坐标系，设且，应用向量的坐(1,0),(1,0)A B C -(1))P x x +标运算求坐标，应用坐标公式求模即可.PA PB PC ++【详解】不妨假设在上且，如下图示，P AB (1,0),(1,0)A B C -所以，在且，设，P 1)y x +10x -≤≤(1))P x x +则，，，(,)PA x =- (1,1))PB x x =--+ (1,1))PC x x =-+所以，(3,PA PB PC x ++=---故，||PA PB PC ++==当时，12x =-||PA PB PC ++四、双空题16．四面体的四个顶点都在球的球面上，和是边长为2的等边ABCD O ABC ADC三角形，，则球的体积为___________；若，分别为线段，的BD =O P Q AO BC 中点，则___________.PQ =【分析】由条件确定球心的位置及球的半径，由此求出球的体积，再证明O O ，由此可求.OA OQ ⊥PQ 【详解】因为和是边长为2的等边三角形，ABC ADC 所以，，2CD CB ==2AD AB ==又BD =所以，，222BD CB CD =+222BD AB AD =+所以，为以为斜边的直角三角形，DCB DAB DB设的中点为，则，DB O '12O A O B O C O D DB ''''====故四面体的外接球的球心为，ABCD O '又为四面体的外接球的球心，O ABCD所以为的中点，且球O BD O所以球的体积O 343V π=⨯=因为，OA OB ==2AB =所以，222OA OB AB +=所以，同理，OA OB ⊥OA OC ⊥又，平面，OC OB O = ,OC OB ⊂COB 所以平面，又平面，OA ⊥COB OQ ⊂COB所以，OA OQ ⊥所以，PQ =因为，所以为直角三角形，OC OB ==2BC =COB 又为线段的中点， 所以，Q BC 1OQ =又12OP OA ==所以，PQ =五、解答题17．已知复数，.112i z =+234i z =-(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；12+z z λλ(2)若复数为纯虚数，求的虚部.()12()=⋅+∈z z z μμR z (1)13λ<-(2)20-【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点12+z z λ的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可λμ求的虚部.z 【详解】(1)，1212i (34i)(13)(24)i +=++-=++-z z λλλλ在复平面内对应的点在第二象限，则12+z z λ.113013240132λλλλλ⎧<-⎪+<⎧⎪⇒⇒<-⎨⎨->⎩⎪<⎪⎩所以实数的取值范围为；λ1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2).()12(12i)(34i)38[2(3)4]i=⋅+=+⨯+-=++++-z z z μμμμ为纯虚数，则且，z 380μ++=220μ+≠所以，11μ=-此时，所以的虚部为.20i =-z z 20-18．猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.n (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.2225n (1)；1325(2).10n =【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.n 【详解】(1)设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一A =B =C =道灯谜丙猜对”.则，，，故，，123()205P A ==82()205P B ==()20=n P C 2()5P A =3()5P B =.()120=-nP C “甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.AB AB =⋃AB AB 每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.A B A B A B A B 所以.332213()(()()()()()555525=+=+=⨯+⨯=P AB AB P AB P AB P A P B P A P B 答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.1325(2)设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.D =D ABC =所以.2322()1()1(1((()11552025⎛⎫=-=-=-=-⨯⨯-=⎪⎝⎭n P D P D P ABC P A P B P C 解得.10n =19．平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，为两个夹角成的单位向量，O 1e2e 60︒，.123OA e e =+ 125OB e e =+(1)求；||AB (2)设，问是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，1OC te =t ABC AB 求的值；若不存在，请说明理由.t(1)(2)存在，4t =【分析】(1)根据复数的模的性质结合数量积公式求解即可；(2)根据向量垂直的性质列方程求的值.t 【详解】(1)，1242AB OB OA e e =-=-||AB ∴==.==(2)，，12(1)3AC OC OA t e e =-=-- 12(5)BC OC OB t e e =-=--若是以为斜边的直角三角形，则，ABC AB 0AC BC ⋅= 1212(1)3(5)AC BC t e e t e e ⎡⎤⎡⎤⋅=--⋅--⎣⎦⎣⎦，12(1)(5)3[(1)3(5)]0t t t t e e =--+--+-⋅=化简得：，解得.28160t t -+=4t =存在满足条件.∴4t =20．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数3m 据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.为了鼓[0,4)[4,8)[32,36)励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元/收费，第二阶梯为超过但不超过的320m 3m 320m 328m 部分按5元/收费，第三阶梯为超过的部分按8元/收费.3m 328m 3m（1）求直方图中的值；a （2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由；（3）该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？3m （1）0.0375a =（2），理由见解析146000（3）现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到329m【分析】（1）频率分布直方图中的所有矩形的面积之和为1建立关于的方程，求出a 的值；a （2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过”，320m 算出频率，得出全市7320万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数；（3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为，所以现行收费328m 0.940.95<标准不符合要求. 抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为1，现行收费标332m 准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到.329m 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得.(0.0100.0200.0500.0650.0150.0100.005)41++++++++⨯=a a 0.0375a =（2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过”，320m 则100户居民中有，由此可以估计(0.0100.0200.03750.0500.065)410073++++⨯⨯=全市7320万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数为.73200000146000100⨯=（3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为：328m ，(0.0100.0200.03750.0500.0650.3750.015)40.94++++++⨯=，所以现行收费标准不符合要求.0.940.95<抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为：332m ，(0.0100.0200.03750.0500.0650.3750.0150.010)40.98+++++++⨯=，0.950.94(3228)10.980.94-⨯-=-现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到.329m 21．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD ，为中点，为中点，为线段上一点.2PA AB ==E PB M AD F BC(1)若为中点，求证：平面；F BC //PM AEF (2)设直线与底面所成角的大小为，二面角的大小为，若EF ABCD αE AF B --β，求的长度.tan =βαBF (1)证明见解析；(2)或1.2【分析】（1）连接交于点，连接，易得为平行四边形，即为BM AF O OE ABFM O 中点，可得，再由线面平行的判定证结论.BM //EO PM （2）取中点，连接，由中点及线面垂直的性质得底面，则AB H FH EH ⊥ABCD 为直线与底面所成角，过作于，连接，，利EFH ∠EF ABCD H ⊥HN AF N EH EN 用线面垂直的判定及性质得，则为二面角的平面角，用线AF EN ⊥ENH ∠E AF B --段表示出，结合求的长度.tan ,tan βα222AF AB BF =+BF 【详解】(1)连接交于点，连接，BM AF O OE底面为正方形，为中点，ABCD F BC 且，//AM BF ∴AM BF =四边形为平行四边形.∴ABFM 为中点，又为中点，O ∴BM E PB ，又平面，平面，//EO PM ∴PM ⊄AEF EO ⊂AEF 平面.//PM ∴AEF (2)取中点，连接.AB H FH 为线段中点，E PB 且，又底面，//EH PA ∴112EH PA ==PA ⊥ABCD 底面，EH ∴⊥ABCD 为斜线在平面内的射影，HF ∴EF ABCD 则为直线与底面所成角，即，.EFH ∠EF ABCD ∠=EFH α1tan ==EH HF HF α过作于，连接，.H ⊥HN AF N EH EN 底面，底面，⊥ EH ABCD AF ⊂ABCD ，又，，面，∴⊥EH AF ⊥HN AF = HN EH H ,HN EH ⊂EHN 平面，平面，AF ∴⊥EHN EN ⊂EHN ，∴⊥AF EN 综上，为二面角的平面角，即，.ENH ∠E AF B --∠=ENH β1tan==EH NH NH β由，知.tan=βα1=NH=HF 设，，则，0⎛=≤≤ ⎝NH t t=HF=AN 3=NF t =BF 由得：，222AF AB BF =+)22232+=+t化简得，解得或，则或1.4210710-+=t t 212t =152BF =22．中，已知，为上一点，，.ABC 1AB =BC =D AC 2AD DC =AB BD ⊥(1)求的长度；BD (2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.P ABD △2+PB PD(2).【分析】（1）设，，在与中应用余弦定理，结合BD x =CD y =ABD △CBD 可得，再由有求出.πADB CDB ∠+∠=2225x y +=AB BD ⊥2214+=x y BD （2）由（1）易知为外接圆的直径，讨论的位置，利用正余弦定理、三AD ABD △P 角恒等变换及三角函数的性质求的最大值.2+PB PD 【详解】(1)设，，则.BD x =CD y =2=AD y 在与中，由余弦定理知：ABD △CBD ，即，2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅⋅∠2244cos 1+-∠=x y xy ADB ，即.2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠222cos 7+-∠=x y xy ADB ，ADB CDB π∠+∠= ，可得.cos cos 0ADB CDB ∴∠+∠=2225x y +=，AB BD ⊥，即.解得.222AD AB BD ∴=+2214+=x y x =1y =BD ∴=(2)由（1）知：中，，，为外接圆的直径.ABD △2ABD π∠=2AD =AD ABD △为外接圆上任意一点，P ABD △当在点时，P B 22+==PB PD PD当在点时，P D 2+==PB PD PB 当在优弧上时，，P BAD 3π∠=∠=BPD BAD 设，则.203π⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭PBD θθ23π∠=-PDB θ中，由正弦定理知，.PBD △22sin 3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭PB θ2sin =PD θ22222sin 4sin 2sin cos cos sin 4sin 333πππ⎛⎫⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PB PD θθθθθ，5sin )tan 2⎛⎫=+=+=<< ⎪ ⎪⎝⎭πθθθϕϕϕ当时，的最大值为2πθϕ+=2+PB PD 当在劣弧上时，，P BD 23π∠=π-∠=BPD BAD 设，则.03π⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭PBD θθ3π∠=-PDB θ中，由正弦定理知，.PBD △2sin 3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭PB θ2sin =PD θ22sin 4sin 2sin cos cos sin 4sin 333ππ⎛⎫⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PB PDπθθθθθ.3sin 6π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭θθθ当时，的最大值为62ππθ+=2+PBPD 综上，的最大值为2+PB PD 关键点点睛：第二问，注意讨论的位置，综合运用正余弦定理、三角恒等变换及正P 弦型函数的性质求对应最值.。
2020年江苏省无锡市天一中学高一数学理测试题含解析
2020年江苏省无锡市天一中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是( )A．a＞2 B．0＜a＜1 C．2＜a＜3 D．a＞3参考答案：C【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】利用底数大于0小于1时指数函数为减函数，直接求a的取值范围．【解答】解：∵指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数∴0＜a﹣2＜1?2＜a＜3故答案为：（2，3）．故选C．【点评】本题考查指数函数的单调性．指数函数的单调性与底数的取值有关，当底数大于1时指数函数为增函数，当底数大于0小于1时指数函数为减函数．2. （3分）在△ABC中，点D在线段BC上，且=，点O在线段DC上（与点C，D不重合）若=x y，则x﹣y的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣）C．（﹣2，﹣1） D．（﹣，﹣1）参考答案：B考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的三分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．解答：∵==﹣m=﹣m（﹣）=m+（1﹣m），∵=，点O在线段DC上（与点C，D不重合），∴m∈（0，），∵=x y，∴x=m，y=1﹣m，∴x﹣y=m﹣（1﹣m）=﹣1+2m，∴x﹣y∈（﹣1，﹣）故选：B点评：本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点．3. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A． B．C． D．2参考答案：C略4. 设，则下列关系式中一定成立的是（）A B C D参考答案：D略5. 若0＜a＜1，则不等式>0的解集是A．(a，) B．(，a)C．(－∞，)∪(，+∞) D．(－∞，)∪(a，+ ∞)参考答案：C6. ，则( )A． B．C．D．参考答案：B7. 已知直线∥平面，，那么过点且平行于的直线( )A.只有一条，不在平面内B.只有一条，在平面内C. 有两条，不一定都在平面内D.有无数条，不一定都在内参考答案：B8. 已知数列为等差数列，且，则（▲）A．11 B．12 C．17 D．20参考答案：A略9. （5分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交参考答案：D考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：把两圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出两圆的圆心距，根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，判断两圆相交．[来源:学,科,网]解答：解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0 即（x+1）2+（y+4）2=25，表示以A（﹣1，﹣4）为圆心，以5为半径的圆．C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0 即（x﹣2）2+（y+2）2=10，表示以A（2，﹣2）为圆心，以为半径的圆．两圆的圆心距d==，大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选 D．点评：本题考查两圆的位置关系，利用两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交．10. 不等式的解集为（）A．或B．C．或D．参考答案：B结合二次函数的图象解不等式得，∴不等式的解集为．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列为等差数列，前九项和=18，则=_________．参考答案：2略12. 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______．参考答案：2【分析】由已知可得f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，结合f(x)-g(x)=x3+x2+2，可得f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，代入x=-1即可求解．【详解】f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，∵f(x)-g(x)=x3+x2+2，∴f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，则f(1)+g(1)=-1+1+2=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数定义求解函数值，属于基础试题．13. 棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有a m3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为h m （如图1）；当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则a=___；h= _____．参考答案：【分析】利用体积相等得出，进而算出，进而得出，通过面积的比值，进而求出的值，得到答案．【详解】由题意，正三棱柱的棱长均为，所以，由题意可得，又由得，∴，∴∵，∴，∴在等边中，边上的高为因为，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，合理利用椎体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键，着重考查了空间想象能，以及推理与运算能力，属于中档试题．14. （5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为[0，1]；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为．参考答案：④考点：根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．解答：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0；当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=；当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，故f（x）的图象不会是一条曲线，且 f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，此时，，故④正确，故答案为：④．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．15. 求函数取最大值时自变量的取值集合_______________________.参考答案：16. 若函数，则= ．参考答案：略17. ．设，若时均有，则_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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江苏省天一中学2020-2021学年第二学期期末考试高一数学学科（平行班）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设向量()1,0a =，11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A.a b = B.22a b ⋅= C.()a b b -⊥ D.//a b2.已知复数531i z i+=-，则下列说法正确的是（ ） A.z 的虚部为4iB.z 在复平面内对应的点在第二象限C.5z =D.z 的共轭复数为14i -3.从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（ ）A.至少有一名男同学与都是男同学B.至少有一名男同学与都是女同学C.恰有一名男同学与恰有两名男同学D.至少有一名男同学与至少有一名女同学4.在ABC △中，80a =，100b =，45A =°，则此三角形解的情况是（ ）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解5.如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A.310B.15C.110D.3206.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）A.若//m α，//m β，则//αβB.若//m α，//m n ，则//n αC.若m α⊥，//m β，则αβ⊥D.若//m α，n α⊂，则//m n7.如图，点M 是正方体1111ABCD A BC D -的棱CD 的中点，则异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值是（ ）A.5B.5C.5D.108.若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ）2 4 C.1:2 4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）A.平均数为3B.标准差为85C.众数为2和3D.85%分位数为4.510.下列说法正确的是（ ）A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B.若A ，B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B =+，()0P AB =C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是23 11.下列结论正确的是（ ）A.在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >B.在ABC △中，若2220b c a +->，则ABC △是锐角三角形C.若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D.在锐角三角形ABC 中，sin sin cos cos A B A B +>+12.对于给定的ABC △，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的有（ ） A.212AO AB AB ⋅= B.OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C.过点G 的直线l 交AB ，AC 于E ，F ，若AB AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D.AH 与cos cos ABACAB B AC C +共线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在ABC △中，2AB =，3AC =，2cos 3A =，则其外接圆的面积为______. 14.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，1AD =，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.15.某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >，则m n +的值是______. 16.如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=°，90BAD ∠=°，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列判断正确的是______（写出所有正确的序号）①平面ABD ⊥平面ABC②直线BC 与平面ABD 所成角是45°③平面ACD ⊥平面ABC④二面角C AB D --四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC x y =-+，()4,1OD =--.（1）若四边形ABCD 是平行四边形，求x ，y 的值（2）若ABC △为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求x ，y 的值.18.（12分）已知复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，且满足2240ωω++=. （1）求复数ω；（2）设复数z x yi =+（,x y R ∈）满足：z ω⋅为纯虚数，2z =，求x y ⋅的值.19.（12分）在ABC △中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知()cos23cos 1A B C -+=.（1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.20.（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200kW h ⋅的部分按0.5元/kW h ⋅收费，超过200kW h ⋅但不超过400kW h ⋅的部分按0.8元/kW h ⋅收费，超过400kW h ⋅的部分按1.0元/kW h ⋅收费.（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：kW h ⋅）的函数解析式（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数.21.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点.（1）求证：11//B C 平面1A DE ；（2）若平面1A DE ⊥平面11ABB A ，求证：AB DE ⊥. 22.（12分）夜晚，在侨中D 栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事.完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑.某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度，如图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点A ，B ，其中AB 指向正西方向.首先利用百度地图测距功能测出AB 长度为2km ，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的C ，D 两点，测得30BCA ∠=°，45ACD ∠=°，60BDC ∠=°，30ADB ∠=°，学习小组根据上述条件计算出CD 长度，并将其与CD 的实际长度284km 进行比较，若误差介于20-米~20米之间，则认为百度地图测距是准确的.（1 1.414≈）（2）如图（2），小组在A 处测得完美大厦主楼楼顶M 在西偏北θ方向上，在B 处测得楼顶M 在西偏北ϕ方向上，且仰角45MBN ∠=°；通过计算得sin 3sin 4θϕ=，cos 11cos 4θϕ=，tan 450.0793≈°，若百度地图测出的2km AB =是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）.江苏省天一中学2020-2021学年第二学期期末考试高一数学学科（平行班）答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】C解：对于A ，1a =，11442b +==，故A 选项错误； 对于B ，12a b ⋅=，故B 选项错误；对于C ，()1111,,02222a b b ⎛⎫⎛⎫=-⋅= ⎪ -⋅⎪⎝⎭⎝⎭，所以()a b b -⊥，故C 选项正确； 对于D ，111022⨯≠⨯，所以两个向量()1,0a =，11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭不平行，故D 选项错误， 故选C.2.【答案】D 解：∵()()()()5315328141112i i i i z i i i i ++++====+--+， A.z 的虚部为4，故A 错误；B.14z i =+对应的点为()1,4，在第一象限，故B 错误；C.z ==C 错误；D.z 的共轭复数为14i -，故D 正确；故选D.3.【答案】C解：从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，在A 中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；在B 中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故B 错误；在C 中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥面不对立的事件，故C 正确；在D 中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故D 错误.故选：C.4.【答案】B 解：由正弦定理得：sin sin a b A B =，则2002sin 808B ==sin A >=，且b a >，所以B 可以为锐角也可以为钝角， 因此三角形解的情况是两解.故选B.5.【答案】B解：由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为2606-=.从1，2，3，4，5中任取两个数字，基本事件总数为：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共10个，设事件A =“取出的两个数字之和为6”，则事件A 包含的基本事件有：()1,5，()2,4，共2个， 因此该图形为“和谐图形”的概率为21105=，故选B. 6.【答案】C 解：A.若//m α，//m β，则//αβ；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故A 不正确；B.若//m α，//m n ，则//n α或n α⊂，故B 不正确；C.若m α⊥，//m β，则αβ⊥；此命题正确，因为//m β，则一定存在直线n 在β，使得//m n ，又m α⊥可得出n α⊥，由面面垂直的判定定理知，αβ⊥，故C 正确；D.若//m α，n α⊂，则//m n 或m ，n 异面，故D 不正确.故选C.7.【答案】A解：如图，连接1AD ，∵11AB C D =，11//AB C D ，∴四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，则1D AM ∠为异面直线AM 与1BC 所成角，连接1D M .设正方体的棱长为2，则1AD =1AM D M =∴2221cos 5D AM +-∠==即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值是5. 故选A.8.【答案】A解：设球的半径为r ，所以球的体积为343r π. 设圆锥的高为h ，因为圆锥与球的体积相等，∴()2341233r r h ππ=，∴h r =.=，球的表面积为：24r π.圆锥的侧面积为：2142r r π⨯=2. 故选A. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.【答案】AC解：平均数为5543332221310+++++++++=，故A 正确；5=，故B 错误； 观察数据可得众数为2和3，故C 正确；将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.则85108.5100i =⨯=，∴第85百分位数为5，故D 错误. 故选AC.10.【答案】BCD 解：对于A ，∵他们各自解出的概率分别是12，14，则此题不能解出的概率为 11311248⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则此题能解出的概率为35188-=，故A 错； 对于B ，若A ，B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B =+，()0P AB =，故B 正确； 对于C ，高级教师应抽取5020%10⨯=人，故C 正确；对于D ，由列举法可知，两位女生相邻的概率是23，故D 正确. 故选CD.11.【答案】AD解：A.在ABC △中，由2sin 2sin sin sin a b R A R B A B A B ⇒>⇒>⇒>>，故A 正确. B.若2220b c a +->，则222cos 02b c a A bc +-=>，又因为0A π<<， 所以A 为锐角，但ABC △不一定为锐角三角形，故B 错误.C.∵sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，所以三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；D.在锐角三角形ABC 中，∵2A B π+>，∴sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即sin sin A B >，同理：sin cos B A >，∴sin sin cos cos A B A B +>+，故D 正确， 故选AD.12.【答案】ACD解：对于A ，由垂径定理可知，外心O 在AB 上的射影为线段AB 的中点， 所以212AO AB AB ⋅=，故A 正确； 对于B ，若OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅，由OA OB OA OC ⋅=⋅，则()0OA OB OC ⋅-=，即0OA CB ⋅=， 同理0OB CA ⋅=，0OC AB ⋅=，即点O 为ABC △的垂心.又H 为ABC △的垂心，则有0HA BC HB AC HC AB ⋅=⋅=⋅=，故B 不正确；对于C ，因为G 、E 、F 三点共线，故存在实数t ，使得()()11AG t AE t AF t AB t AC λμ=+-=+-，又G 为ABC △的重心，故1133AG AB AC =+， 所以()13113t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则113λμ+=，故C 正确； 对于D ，因为0cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC BC BC AB B AC C AB AC C θ⎛⎫⋅⋅ ⎪+-=+=-+= ⎪⎝⎭， 所以cos cos AB AC AB B AC C +与BC 垂直，又H 为ABC △的垂心，则AH 与BC 垂直，所以AH 与cos cos ABACAB B AC C +共线，故D 正确，故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】94π 解：在ABC △中，2AB =，3AC =，故sin A ==，由余弦定理可得，BC = 则利用正弦定理可得：ABC △3=，可得： ABC △的外接圆的半径为32，故ABC △的外接圆的面积为94π，故答案为：94π. 2cos 3A =，则其外接圆的面积为______. 14.【答案】3；9π解：如图所示：易知该“阳马”的侧棱长为3PC ==，PB ==PD ，故最长的侧棱为3，由条件易得：阳马P ABCD -的外接球印是以PA 、AB 、AD 为棱长的长方体的外接球.设其半径为R ，则()222229R PA AB AD =++=，解得32R =， 所以外接球表面积249S R ππ==，故答案为3；9π.15.【答案】34解：由题知三个社团都能进入的概率为124，即1113248m n m n ⨯⨯=⇒⨯=， 又因为至少进入一个社团的概率为34，即一个社团都没能进入的概率为31144-=. 即()()213111348m n m n m n -⨯⨯-=⇒--+⨯=，整理得34m n +=. 故答案为34. 16.【答案】②③④解：在四边形ABCD 中，由已知可得45DBC ∠=°，假设平面ABD ⊥平面ABC ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BDC BC =，可得BC ⊥平面ABD ，有90DBC ∠=°，与45DBC ∠=°矛盾，则假设错误，故①错误；在四边形ABCD 中，由已知可得BD DC ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BDC BC =，则DC ⊥平面ABD ， DBC ∠为直线BC 与平面ABD 所成角是45°，故②正确；由判断②时可知，DC ⊥平面ABD ，则DC AB ⊥，又AB AD ⊥，AD DC D =，则AB ⊥平面ADC ，而AB ⊂平面ABC ，则平面ACD ⊥平面ABC ，故③正确；由判断③时可知，AB ⊥平面ADC ，则DAC ∠为二面角C AB D --的平面角，设1AD AB ==，则BD DC ==由DC AD ⊥，得AC =cos AD DAC AC ∠==. 故答案为：②③④.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC x y =-+，()4,1OD =--，所以()1,5AD OD OA =-=--，()1,BC OC OB x y =-=+，由AD BC =，得2x =-，5y =-.………………5分（2）因为()3,1AB =--，()1,BC x y =+，B ∠为直角，所以AB BC ⊥，()310AB BC x y ⋅=-+-=. 又AB BC =，所以()22110x y ++=. 联立()()22310110x y x y -+-=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩.………………10分 18.解：（1）∵2240ωω++=，∴1ω=-，又复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，∴1ω=-+；…………4分（2）∵z x yi =+（,x y R ∈），∴()())1z x yi x y i ω⋅=-++=-+-， ∵z ω⋅为纯虚数，∴0x -=0y -≠，由2z =，得224x y +=，联立可得x =1y =或x =1y =-，∴xy =…………12分19.解：（1）由()cos23cos 1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=， 即()()2cos 1cos 20A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）. 因为0A π<<，所以3A π=.………………6分（2）由1sin 2S bc A ===，得到20bc =，又5b =，解得4c =， 由余弦定理得2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=，故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.…………12分 20.解：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-；当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-.所以y 与x 之间的函数解析式为0.5,0200,0.860,200400,140,400.x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩…………4分（2）由（1）可知，当260y =时，400x =，即用电量低于400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知0.00110021000.0031000.8,1000.00051000.2.b a ⨯+⨯+⨯=+⨯=⎧⎨⎩解得0.0015a =，0.0020b =.…………8分（3）设75%分位数为m ，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为()0.0010.0020.00310060%++⨯=，用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数m 在[)300,400内，所以()0.63000.0020.75m +-⨯=，解得375m =，即用电量的75%分位数为375千瓦时.…………12分21.证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 是平行四边形，所以11//B C BC .在ABC △中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，故//BC DE ，所以11//B C DE .又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ， 所以11//B C 平面1A DE .…………6分（2）如图，在平面11ABB A 内，过A 作1AF A D ⊥于F ，因为平面1A DE ⊥平面11A ABB ，平面1A DE 平面111A ABB A D =，AF ⊂平面11A ABB ，又DE ⊂平面1A DE ，所以AF DE ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ， 所以1A A DE ⊥.因为1AF A A A =，AF ⊂平面11A ABB ，1A A ⊂平面11A ABB ，所以DE ⊥平面11A ABB .因为AB ⊂平面11A ABB ，所以DE AB ⊥.…………12分22.【答案】解：（1）设km CD a =，等腰Rt ACD △中，km AC =，在BCD △中，30BCA ∠=°，45ACD ∠=°，60BDC ∠=°，可得45CBD ∠=°.由正弦定理得sin 60sin 45BC a =°°，解得BC a =；在ABC △中，由余弦定理得2AB a ==，∵2km AB =，∴2828m a =≈， ∵2828284020m -<，∴百度地图测距是准确的.…………4分（2）由已知sin 3sin 4θϕ=，在ABN △中，()sin 3sin 4BN AN θπϕ==-， 设3BN x =，4AN x =， 由余弦定理得，2222216947cos 1616x x x x x θ+-+==，2222921647cos 1616x x x ABN x x+--∠==， ()cos cos cos ABN πϕϕ∠=-=-， 故cos cos 11cos cos 4ABN θθϕ=-=-∠，解得1x =，所以3BN =，4AN =， 在Rt MBN △中，tan MN MBN BN ∠=， 故tan 3tan 4.530.07930.238MN BN MBN =∠=⨯≈⨯=°，故测算完美大厦主楼的高度约为238m .…………12分。