第三章 有界线性算子-黎永锦

第3章 有界线性算子

音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,

诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可 改善物质生活,但数学能给予以上的一切.

Klein F .(克萊恩) (1849-1925,德国数学家)

Banach S .在1922年建立了完备赋范线性空间的公理,证明了一些基本定理后,就讨论

了定义在一个完备赋范线性空间上而取值为另一个完备赋范线性空间的算子,在这类算子中最重要的是连续加法算子,所谓加法算子是指对所有x ,y ,都有Ty Tx y x T +=+)(.容易证明,T 是连续加法算子时,必有Tx x T αα=)(成立.Banach S .证明了若T 是连续的加法算子,则存在常数0>M ,使得||||||||x M Tx ≤.另外他还证明了若}{n T 是连续加法算子序列,T 也是加法算子,且对任意X x ∈,都有Tx x T n n =∞

→lim ,则T 也是连续的.

Hahn H .在1922年证明了,若X 是一个完备赋范空间,}{n f 为X 上的一列线性连续泛

函,且对任意X x ∈,)}({x f n 都有上界,则||}{||n f 一定是有界的.

Banach S .和Steinhaus H .在1927年证明了,若n T 为完备赋范空间X 到赋范空间Y

的线性连续算子,且对任意X x ∈,||}{||x T n 都有界,则||}{||n T 一定有界,这就是Banach 空间理论中最重要的定理之一,即一致有界原理.

Neumann Von J ..在1929年至1930年还引进并讨论了算子的几种收敛性.

在1932年,Banach S .出版了线性算子理论（aires e lin rations e op des orie e Th '''）一

书,书中包括了当时有关赋范线性空间的绝大部分结果,而非常著名闭图像定理就是该书中一个定理的推论.

3.1 有界线性算子

算子就是从一个空间到另一个空间映射,算子可分为线性算子与非线性算子.

定义3.1.1 设X 和Y 都是赋范空间,T 是从X 到Y 的算子,且满足

（1） Ty Tx y x T +=+)(, X y x ∈,任意； （2） Tx x T αα=)(, K X x ∈∈α,任意.

则称T 为X 到Y 的线性算子.

明显地,若Y 是数域K ,则X 到K 的线性算子就是线性泛函.

例 3.1.1 定义从∞l 到0c 算子

)2

()(i i i x

x T =

则对任意∈)(i x ∞l ,有0>M ,使得∞<≤M x i ||sup .故)0(02

|2|

→→≤i M x i i i .因此0)(c x T i ∈ ,即T 是∞l 到0c 的算子,并且

Ty Tx y x y x y x T i

i

i i i

i

i βαβαβαβα+=+=+=+)2()2(

)2(

)( 所以T 是∞l 到0c 的线性算子.

例 3.1.2 设T 是从0c 到n

R 的算子,且对任意0)(c x x i ∈=,定义)(i y Tx =,这里n i ≤时,i i x y =, n i >时,0=i y ,则T 是从0c 到n

R 的线性算子.

类似于线性连续泛函,对于线性连续算子,容易看出下面定理成立.

定理 3.1.1 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,则T 在X 上连续当且仅当T 在某个

X x ∈0处连续.

线性算子的连续与有界性有着密切的联系.

定义 3.1.2 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,若存在数0>M ,使得

||||||||x M Tx ≤,X x ∈对任意成立.

则称T 是有界线性算子,否则称为无界的.

类似于线性有界泛函,有下面的定理.

定理3.1.2 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,则T 是有界的当且仅当T 是连续的.

由上面定理可知,当T 是X 到Y 的线性连续算子时,必有0>M ,使得

||||||||x M Tx ≤

由此对0≠x ,有

+∞<≤M x Tx ||

||||

||. 定义3.1.3 若T 是X 到Y 的线性连续算子,则称

||

||||

||sup

||||0

x Tx T x ≠= 为T 的范数.

容易看出,||||sup ||||sup ||||sup ||||1

||||1

||||1

||||Tx Tx Tx T x x x <≤====.

例 3.1.3 设X 是赋范空间,I 是X 到X 的恒等算子,则I 是连续的,且

1||||sup ||||sup ||||1

||||1

||||=====x Ix I x x .

有限维赋范空间上的线性算子的连续性显得特别简单明了.

定理 3.1.3 若X 是有限维赋范空间,Y 是任意赋范空间,则X 到Y 的任意线性算子T 都是连续的.

证明 设X 是n 维赋范空间,},,{1n e e 是X 的Schauder 基,则对任意X x ∈,有

∑==n

i i i e x 1

α.

由于T 是线性的,故

∑==n

i i i Te Tx 1

α

).||||}(

max{||||||||||||

||||1

1

1

∑∑∑===≤≤

=n

i i

i i n

i i

n

i i

i Te Te Te

Tx α

α

α

对任意X x ∈,定义∑==n

i i

x 1

1||||||α

,则1||||⋅是X 上的范数,因此1||||⋅与||||⋅等价,

即存在0>C ,使得

||||||||||11

x C x n

i i

≤=∑=α

令||}m ax {||i Te C M =,则

||||||||x M Tx ≤

所以,T 是X 到Y 的连续线性算子.

若用),(Y X L 记所有从赋范空间X 到赋范空间Y 的线性连续算子,则),(Y X L 在线性运算x T x T x T T 2121)(βαβα+=+下是一个线性空间,在空间),(Y X L 中,由算子范数的定义有

||||||||||||2121T T T T +≤+和||||||||||T T λλ=,以及0||||=T 时0=T 成立.因此),(Y X L 在

算子范数||||⋅下是一个赋范空间,并且当Y 是Banach 空间时,),(Y X L 也是Banach 空间.

定理 3.1.4 设X 是赋范空间,Y 是Banach 空间,则),(Y X L 是Banach 空间. 证明 设}{n T 为),(Y X L 的Cauchy 列,因此对任意0>ε,存在N ,使得N n m >,时

ε<-||||n m T T

对任意X x ∈,有

||||||||||||||)(||||||x x T T x T T x T x T n m n m n m ε<⋅-≤-=-

因此}{x T n 为Y 中的Cauchy 列,由Y 的完备性质可知,存在Y y ∈,使得

y x T n n =∞

→lim

定义X 到Y 的算子, x T y Tx n n ∞

→==lim ,易知T 是线性的.

由于0||||||||||||||→-≤-n m n m T T T T ,因此||}{||n T 为R 中的Cauchy 列,从而存在

0>M ,使得.,||||都成立对任意N n M T n ∈≤故||||||||lim ||||x M x T Tx n m ≤=∞

→,从而T 是X 到Y