66定积分的应用
课程思政之定积分的应用教学设计
课程思政之定积分的应用教学设计作者：***来源：《现代商贸工业》2021年第35期摘要：本文对课程思政之定积分的应用进行了教学设计，并通过案例进行了分析。
关键词：课程思政;定积分的应用;教学设计中图分类号：G4文献标识码：Adoi：10.19311/ki.1672-3198.2021.35.069定积分的应用（一）教学目的、要求：（1）巩固定积分的几何意义及计算;（2）掌握用定积分（微元法）求直角坐标系下平面图形面积的方法;（3）综合运用知识分析解决问题，培养学生思维能力和应用数学的能力;（4）通过引导学生观察、思考、总结，培养学生的数学思维及逻辑推理能力，进一步提高学生的数学素养，提高学生利用数学解决实际问题的能力。
教学重点：（1）微元法的基本思想和步骤;（2）利用定积分求解平面图形的面积。
教学难点：（1）微元法的理解;（2）适当选择积分变量利用定积分求解平面图形的面积。
教学方法：分组讨论法、讲练结合法、行为引导法、分层教学法。
课前准备：学习通上上传数学家牛顿、莱布尼兹等数学家的简介及在微积分领域、微元法的研究和贡献。
课堂教学程序：（1）分组讨论线上预习视频：数学家莱布尼兹和牛顿的在微积分中的研究简介、微元法简介;（2）介绍用定积分的几何意义、微元法求解求平面图形面积的方法及公式;（3）举例;（4）课堂讨论、小结;（5）线上线下作业布置。
1分组讨论预习内容同学们分组讨论学习通中观看视频会对微积分、微元法的理解，以及对两位数学家的评价。
课程思政元素：莱布尼茨与牛顿流数术的运动背景不同，莱布尼茨对微积分的研究是从几何方面进行的，他在研究不规则曲线的切线和不规则曲线所围的面积时开始了对微积分的研究。
我们现在使用的积分符号就是求和“sum”的首写字母“S”拉长后得到的。
除此之外，还有很多数学符号都是莱布尼茨引入的，如微积分中的dx、dy等符号，这些符号简洁、方便，一直沿用至今。
尽管牛顿与莱布尼茨各自从不同的方向创立了微积分但殊途同归，他们对微积分的创立和现代数学的发展做出了巨大的贡献，在优先权问题上我们不做过多评价和论述，我们认为他们的贡献是相同的。
定积分的几何应用例题与习题(学生用)电子教案
定积分的几何应用例题与习题11cos ,(0),24L ππρθθθΓ=+≤≤=Γ、曲线的极坐标方程求该曲线在所对应的点处的切线的直角坐标方程，并求曲线、切线L 与x 轴所围图形的面积。
212122,1,1(1)2y ax y x S x S a a S S x ===<+、设直线与抛物线所围成的面积为它们与直线所围成的面积为并且试确定的值，使达到最小，并求出最小值；（）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。
{}03(,)01,01:(0)(),()(0)xxoy D x y x y L x y t t S t D l S t dt x =≤≤≤≤+=≥≥⎰、设平面上有正方形及直线若表示正方形位于直线左下部分的面积试求4、0)x y ex x -=≥求由曲线与轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积V332cos (0,)42sin 11)5x a ta t y a t a πππ⎧=⎪>≤≤⎨=⎪⎩5、求由曲线与直线y=x 及y 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得立体的全表面积。
(S=(6.0,(0)02(),()()()()(1)(2)lim()()()()2,lim 1()()x xt t e e y x x t t y x V t S t x t F t S t S t V t F t S t S t V t F t -→+∞→+∞+===>=====曲线与直线及围成一曲边梯形，该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为侧面积为，在处的底面积为求的值；计算极限22333(sin )(1cos )3,(2)5,(3)6x y a t t a t a V a V a ππππ--≤≤===7、求由摆线x=,y=的一拱(0t 2)与横轴所围成的平面图形的面积，及该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积。
（1）A 22222223A x y x y x A x V ππ+≤≥==-8、设平面图形由及所确定，求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积。
定积分的应用ppt 人教课标版
A
2
3 yx 6 x
课题：定积分的应用
例题研究
(三)利用定积分求曲边旋转体的体积
例2:求由曲线 y 4x, x1所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。 y 分析： y2 4x （1）分割; (2)以直代曲； o x=1 x （3）求和； (4)逼近。
2
V ＝ 4x dx 2
0
3 yx 6 x
A x 6) xd x 2 (x
2 3 0
3
于是所求面积
0 3
A A A 1 2
2
3
2 3 ( x x 6 x ) dx A ( x 6 x x ) dx 0 2
253 . 12
说明：
A
1
y x2
注意各积分区间上被积函数的形式．
C o O
3 1
y x2
1 2 3 x 2 S= ( x-x ) d x x . 0 3 0 3 3
x d x x d x
2 0 0
1
1
D
2 y xx
A
1
2
练习 2
计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
y 2x
围成的图形的面积.
例题研究
例1、求曲线 x轴所围成的图形面积。
2 2 x 0 , x , y sin x x [ 0 , ] 与直线 3 3
略解：根据定积分的 几何意义所求面积为
2 2 3 3 3 S ＝ sin xdx cos x | o 0 2
课题：定积分的应用
x
2
x 3 32 S ＝ （ 2 x ＋ 3 － x ) dx （ x 3 x ) | 1 1 3 3
定积分、不定积分的概念和基本积分公式-导教方案
定积分的概念和计算公式、不定积分的概念和基本积分公式—导教方案学习情境——积分学及其应用学习任务——定积分概念、计算公式；不定积分概念、基本积分公式. 学习重点：定积分定义；定积分的计算公式；原函数的概念和不定积分定义；基本积分公式；定积分的值与积分变量符号的无关性.学习难点：定积分和不定积分的存在性；微分运算和积分运算的互逆性. 能力目标:1．培养学生归结实际问题为数学问题的能力. 2．培养学生的逻辑思维能力. 知识目标:1．知道定积分定义的含义、定积分的值与积分变量符号无关及定积分的存在性.. 2. 知道原函数、不定积分定义的含义.3. 知道定积分计算公式、基本积分公式的含义. 教学资源：1．教材：《精编高等数学》李启培、董春芳、石德刚、周静主编 清华大学出版社. 2．学银在线：《高等数学》（济南工程职业技术学院）. 学习过程：教师用引导文教学法指导学生自主阅读学习：第4章 定积分与不定积分在第3章中学习了微分学，本章将要学习的积分学与微分学有着密切的联系，它们共同组成了高等数学的主要部分——微积分学.积分学包括定积分和不定积分.通过对定积分计算公式的研讨导入了微积分学基本公式，并引入了原函数（不定积分），从而将原本各自独立的积分与微分联系起来，使微分学与积分学成为一个统一的整体——微积分学.4. 1 定积分4．1．1 定积分的定义定积分与导数一样，也是在解决一系列实际问题的过程中逐渐形成的数学概念.这些问题尽管实质不同，但解决它们的方法与计算的步骤及所得的数学模型却完全一样，所求量最后都归结为求形如式（2.1-4）、（2.1-5）的和式的极限.这就是定积分产生的实际背景. 1引例、曲边梯形的面积在平面几何中，经常会遇到计算曲边梯形面积的问题.在平面直角坐标系中，由连续曲线()(()0)y f x f x =≥、x 轴与直线a x =、b x =所围成的封闭图形就是一个曲边梯形（图2.1-3）.下面讨论如何求曲边梯形的面积.如能设法将计算曲边梯形面积问题转化成计算直边图形面积问题来研究，问题会变得简单.但是曲边终究是曲边，不可能把曲边变直.由变速直线运动的路程问题的求解得到启示，可以通过局部的“以直代曲”求曲边梯形的面积.在开区间(,)a b 内任意插入1-n 个分点1x ，2x ，3x ，…，1n x -，满足012a x x x =<<<<…11(1,2,,)i i n n x x x x b i n --<<<<==……，从而将闭区间[,]a b 分成n 个小闭区间011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x --……，记小闭区间的长度为1(1,2,,)i i i x x x i n -∆=-=….再过各分点作垂直于x 轴的直线(1,2,,1)i x x i n ==-…，则原曲边梯形被分成n 个以小闭区间1[,](1,2,,)i i x x i n -=…为底边的小曲边梯形，记小曲边梯形的面积为(1,2,,)i S i n ∆=….在小闭区间1[,](1,2,,)i i x x i n -=…上任取一点i ξ1()i i i x x ξ-≤≤.当小闭区间1[,]i i x x -的长度i x ∆很小时，因曲线()y f x =是连续变化的，故函数()f x 在小闭区间1[,]i i x x -上的值的变化也很小.因而可以用()i f ξ近似代替函数()f x 在小闭区间1[,]i i x x -上的值，进而可以用以()i f ξ为高，以i x ∆为宽的小矩形的面积近似代替以小闭区间1[,]i i x x -为底的小曲边梯形的面积，从而小曲边梯面积i S ∆的近似值为()(1,2,,)i i i S f x i n ξ∆≈∆=….将n 个小曲边梯形面积的近似值相加，即得所求曲边梯形面积S 的近似值，即图2.1-311()n ni i i i i S S f x ξ===∆≈∆∑∑.（2.1-5） 可以看出，小区间1[,]i i x x -的长度(1,2,,)i x i n ∆=…取得越小，小曲边梯形的个数就越多，闭区间[,]a b 分得就越细，式（2.1-5）近似代替所求曲边梯形面积的近似程度就越高.因此，无论采用何种具体的分割方式，只要能满足使各个小闭区间长度的最大值1max{}i i nx λ≤≤=∆无限趋近于零，也就可以保证每个小闭区间的长度都无限趋近于零，此时式（2.1-5）则终将无限趋近于所求曲边梯形的面积.求解曲边梯形的面积，也就是求当λ无限趋近于零时，式（2.1-5）所无限趋近的数，即其变化的终极目标.本节介绍的两类典型问题，涉及了微积分学中两大类问题：微分学和积分学，而这两类问题的解决都涉及“无限趋近”的问题，亦即极限理论的问题.极限论不仅是解决这些问题的工具，而且是微积分学的基石.2. 定积分定义4.1-1设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义.在开区间(,)a b 内任意地插入1-n 个分点：012a x x x =<<<11i i n n x x x x b --<<<<<=L L ，将闭区间[,]a b 划分成n 个小闭区间 0112[,],[,],x x x x 11,[,],,[,]i i n n x x x x --L L ，各个小闭区间的长度依次为011x x x -=∆，122x x x -=∆，…，1--=∆i i i x x x ，…，1n n n x x x -∆=-.在每个小闭区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ，作乘积()(1,2,,)i i f x i n ξ∆=L ，并作和式（该和式称为积分和）1()niii f x ξ=∆∑.若不论将闭区间[,]a b 怎样划分成小闭区间1[,]i i x x -，也不论在小闭区间1[,]i i x x -上的点i ξ怎样选取，当各个小闭区间长度的最大值1(max{})i i nx λλ≤≤=∆趋于零时，和式1()ni i i f x ξ=∆∑都趋于同一个确定的常数（即极限值），则称函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，且将此极限值称为函数()f x 在闭区间[,]a b 上的定积分，记作()b af x dx⎰，即()b af x dx =⎰1lim ()ni i i f x λξ→=∆∑.其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，闭区间[,]a b 称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限，“⎰”称为积分号.因为定积分()b af x dx ⎰是和式的极限，所以当定积分()baf x dx ⎰存在时，其值是一个确定的常数.因此，定积分()b af x dx ⎰的值只与被积函数()f x 及积分区间[,]a b 有关，而与积分变量用什么字母表示无关，从而将积分变量换成其他的字母时并不改变定积分的值，即()()()b bbaaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰.教师用引导文教学法指导学生自主阅读学习： 4．1．4 定积分的计算公式用定积分定义求定积分的值不仅是很繁琐的，而且有时是很困难的，甚至可能根本无法求得定积分的值.因此必须寻找一个具有普遍性且行之有效的计算定积分的方法，否则就会影响定积分的实用价值.根据定积分的定义，以连续函数()v t 为瞬时速度做变速直线运动的质点，从时刻a t =到时刻b t =这一时间间隔内所经过的路程为()b av t dt ⎰.这段路程又等于路程函数()s t 在闭区间[,]a b 上的增量()()s b s a -，因此有()()()bav t dt s b s a =-⎰.由于()()v t s t '=，从而若求定积分()b av t dt ⎰的值，就只需求满足()()s t v t '=的函数()s t 在闭区间[,]a b 上的增量()()s b s a -.上面得出的结果是否具有普遍性呢？即一般地，定积分()b af x dx ⎰的值是否等于满足()()F x f x '=的函数()F x 在闭区间[,]a b 上的增量()()F b F a -呢？若结论正确，则大大地简化了定积分的计算，为计算定积分提供了一种非常有效的方法.牛顿（Newton ）和莱布尼茨（Leibniz ）证明了上面得出的结果具有一般性，并建立了下面的微积分学基本公式.定理4.1-5（牛顿—莱布尼茨公式设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且在闭区间[,]a b 上有()()F x f x '=，则()()()()b ba af x dx F x F b F a ==-⎰（4.1-2）. 牛顿—莱布尼茨公式阐明了函数()f x 在闭区间[,]a b 上的定积分()b af x dx ⎰与函数()F x 之间的密切关系：函数()f x 在闭区间[,]a b 上的定积分()b af x dx ⎰的值等于函数()F x 在积分上限b 与积分下限a 处的函数值之差()()F b F a -.这样，就将求繁重的和式极限问题转化为求函数()F x 的问题.使定积分计算这个难题获得了突破性进展，成为计算定积分的强有力工具.教师用引导文教学法指导学生自主阅读学习：4. 2 原函数与不定积分4．2．1 原函数及其性质鉴于牛顿——莱布尼茨公式中的函数()F x 对计算定积分的重要性，引入一个新的概念——原函数.定义 4.2-1 若在某一区间I 上，函数()f x 与函数()F x 满足关系式()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，则称函数()F x 为函数()f x 在区间I 上的一个原函数.凡说到原函数，都是指在某一区间上而言的.为了叙述方便，今后讨论原函数时，在不至于发生混淆的情况下，不再指明相关区间.若函数()F x 是函数()f x 的一个原函数，由[()]()()F x C F x f x ''+==（其中C 是任意常数，即可取任何一个确定的常数）和定义 4.2-1知，函数()F x C +也是函数()f x 的一个原函数.这就说明，若函数()f x 存在原函数，则其原函数会有无穷多个.更重要的事实是，下面的定理4.2-2表明：除函数()F x C +外，函数()f x 无其它形式的原函数.定理4.2-2若函数()F x 是函数()f x 的一个原函数，则函数()F x C +表示 函数()f x 的任意一个原函数，其中C 是任意常数.定理4.2-2表明，函数()f x 的任意一个原函数都可以表示成()F x C +，即函数()f x 的所有原函数都可以写成()F x C +的形式，函数()F x C +是函数()f x 的原函数的一般表达式.定理 4.2-2同时指出了函数()f x 的原函数的特征：若函数()f x 存在一个原函数，则其就有无穷多个原函数存在，且函数()f x 的任意两个原函数之间仅相差一个常数，即()()G x F'x '=⇔()()G x F x C -=.教师用引导文教学法指导学生自主阅读学习： 4．2．2 不定积分与基本积分公式定义4.2-2函数()f x 的任意一个原函数()F x C +称为函数()f x 的不定积分， 记作()f x dx ⎰，即()()f x dx F x C =+⎰，这里C 是任意一个常数，且()()F x f x '=.定义4.2-2中各符号的涵义与定义4.1-1中一致.由定义4.2-2知，求函数()f x 的不定积分()f x dx ⎰，只需求出函数()f x 的一个原函数()F x 后再加上任意常数C 即可.求导数与求不定积分由等价事实联系着：()()()()F x f x f x dx F x C '=⇔=+⎰（4.2-3）.式（4.2-3）表明，借助于由“⇔”号联系着的上述关系，可以将有关导数的公式与法则“逆转”到不定积分里来，从而得到相应的不定积分的公式与法则.对应于基本初等函数的导数公式，有如下的基本积分公式（以下各积分公式中的C 均表示任意常数）：（1）0dx C =⎰；（2）kdx kx C =+⎰（k（4）1ln dx x C x =+⎰（3）(0ln xx a a dx C a a =+>⎰且1a ≠特别地，有x xe dx e C =+⎰（5）1(1)1x x dx C αααα+=+≠-+⎰特别地，有211dx C x x=-+⎰C =+（6）sin cos xdx x C =-+⎰（7）cos sin xdx x C =+⎰（8）221sec tan cos dx xdx x C x==+⎰⎰（9）221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰（11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰（12）arcsinarccos (0)x xC C a a a=+=-+>，特别地，有arcsin arccos x C x C =+=-+（13）22111arctan arccot (0)x x dx C C a a x a a a a =+=-+>+⎰特别地，有21arctan arccot 1dx x C x C x =+=-++⎰（14*）ln (0)x C a =>特别地，有ln x C =+作业：4.1 定积分一、填空题：1、设函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，则()bad f x dx dx ⎰=____________. 2、31'dx ⎰=____________.二、选择题：3、设()F x '=()f x ，则定积分()baf x dx ⎰是（ ）.A 函数()F xB 函数()F xC + C 确定常数D 任意常数4、定积分的值与（ ）无关.A 被积函数B 积分区间的长度C 积分区间D 积分变量。
定积分的概念 课件
(1)求定积分时，灵活利用其性质进行转化是必须掌握的 解 解题技巧. 题 (2)当被积函数是奇、偶函数时，要特别注意积分区间是 启 否关于原点对称，以便灵活应用定积分的几何意义解题. 示 (3)f(x)＞0时积分为面积值，而f(x)＜0时积分为面积的相
反数，解题时要注意转化.
其中a＜c＜b).
1.如何根据定积分的几何意义计算定积分？
提示：定积分的几何意义是曲边梯形的面积，可以利用几何知
识求出该平面图形的面积，作为所求定积分的值.
2.由正切曲线y=tanx，直线x=0和x= ，x轴所围成的平面区域
4
的面积用定积分表示为__________.
【解析】由定积分的几何意义可知应表示为
=
b a
f1
x
dx
b a
f
2
x
dx
b a
f
n
x
dx；
(2)
b
f
x dx
=
c1 f x dx
c2 f x dx
b f x dx
a
a
c1
cn
(其中a＜c1＜c2＜…<cn＜b,n∈N*).
(关键词：应用定积分的性质)
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解)
1.直线x=1，x=-1，y=0及曲线y=x3+sinx围成的平面图形的面
∵y=sinx为奇函数，
∴
2
②
sinxd.x… …0 ……………………………………6分
2
如图，利用定积分的几何意义得
0
2
3x
=1
dx
×2=7 -81③，……………………………8分
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
积分是数学中一个非常重要的概念。
它在几何学和物理学中都有重要的应用。
首先，在几何学中，积分可以用来表示曲线下面积和表面积，通过计算曲线或曲面的积分，我们可以求出它们的面积。
比如说，我们可以使用椭圆的一类函数积分来计算两条椭圆之间的Group重叠面积。
同样，在物理学中，积分也有很多用处。
比如，有一些物理量，比如力，可以用积分的方法来计算它们在不同空间点所引起的效应。
比如说，如果我们想要计算一个球在特定空间点上产生的力，我们可以通过对球的各个点的力进行积分来得到这个力的大小。
综上所述，积分在几何学和物理学中都有广泛的应用，它可以帮助我们计算出面积，也可以帮助我们计算力的大小，它是一个非常重要的概念。
定积分的四则运算公式
定积分的四则运算公式定积分是微积分中的一个重要概念，而定积分的四则运算公式则像是我们在数学海洋中航行的有力工具。
先来说说定积分的加法运算公式。
假设函数 f(x) 和 g(x) 在区间 [a, b] 上可积，那么它们的定积分之和就等于这两个函数相加之后的定积分，即∫(a 到b) [f(x) + g(x)]dx = ∫(a 到b) f(x)dx + ∫(a 到 b) g(x)dx 。
就像上次我给学生们讲这个知识点的时候，我拿了一个装着不同颜色糖果的盒子举例。
假设盒子里红色糖果的数量与位置可以用函数 f(x) 表示，蓝色糖果的数量与位置用函数 g(x) 表示。
那么整个盒子里糖果的总数，就相当于把红色糖果和蓝色糖果分别计算数量然后加起来，这就和定积分的加法运算一个道理。
再看定积分的减法运算公式。
同样地，如果函数 f(x) 和 g(x) 在区间[a, b] 上可积，那么它们的定积分之差就等于这两个函数相减之后的定积分，即∫(a 到 b) [f(x) - g(x)]dx = ∫(a 到 b) f(x)dx - ∫(a 到 b) g(x)dx 。
这就好比是两个班的同学参加考试，一班同学的平均成绩用 f(x) 表示，二班同学的平均成绩用 g(x) ，那么一班比二班平均成绩高多少，就是用一班的平均成绩减去二班的平均成绩，和定积分的减法运算如出一辙。
接着是定积分的数乘运算公式。
若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可积，k 为常数，那么 k 乘以 f(x) 的定积分就等于 k 乘以 f(x) 的定积分，即∫(a到b) kf(x)dx = k∫(a 到 b) f(x)dx 。
比如说，一个工人每天能生产 f(x) 个零件，工资按件计算，某天老板决定给他的工资加倍，那这天他的总收入就是原来的两倍，这就类似于定积分的数乘运算。
最后是定积分的乘法运算公式。
这个相对复杂一些，但我们可以通过具体的例子来理解。
假设函数 f(x) 和 g(x) 在区间 [a, b] 上可积，那么它们的乘积的定积分一般不能简单地表示为两个定积分的乘积。
六 西 格 玛 算 法
解析Monte-Carlo算法(基本原理,理论基础,应用实践)自己看了下，觉得很好，所以转在这里哈！！！最近在和同学讨论研究Six Sigma（六西格玛）软件开发方法及CMMI相关问题时，遇到了需要使用Monte-Carlo算法模拟分布未知的多元一次概率密度分布问题。
于是花了几天时间，通过查询相关文献资料，深入研究了一下Monte-Carlo算法，并以实际应用为背景进行了一些实验。
? 在研究和实验过程中，发现Monte-Carlo算法是一个非常有用的算法，在许多实际问题中，都有用武之地。
目前，这个算法已经在金融学、经济学、工程学、物理学、计算科学及计算机科学等多个领域广泛应用。
而且这个算法本身并不复杂，只要掌握概率论及数理统计的基本知识，就可以学会并加以应用。
由于这种算法与传统的确定性算法在解决问题的思路方面截然不同，作为计算机科学与技术相关人员以及程序员，掌握此算法，可以开阔思维，为解决问题增加一条新的思路。
? 基于以上原因，我有了写这篇文章的打算，一是回顾总结这几天的研究和实验，加深印象，二是和朋友们分享此算法以及我的一些经验。
? 这篇文章将首先从直观的角度，介绍Monte-Carlo算法，然后介绍算法基本原理及数理基础，最后将会和大家分享几个基于Monte-Carlo方法的有意思的实验。
所以程序将使用C#实现。
? 阅读本文需要有一些概率论、数理统计、微积分和计算复杂性的基本知识，不过不用太担心，我将尽量避免过多的数学描述，并在适当的地方对于用到的数学知识进行简要的说明。
Monte-Carlo算法引导首先，我们来看一个有意思的问题：在一个1平方米的正方形木板上，随意画一个圈，求这个圈的面积。
? 我们知道，如果圆圈是标准的，我们可以通过测量半径r，然后用 S = pi * r^2 来求出面积。
可是，我们画的圈一般是不标准的，有时还特别不规则，如下图是我画的巨难看的圆圈。
图1、不规则圆圈显然，这个图形不太可能有面积公式可以套用，也不太可能用解析的方法给出准确解。
数学分析之定积分的应用
第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数：10学时§ 1 平面图形的面积（ 2 时）教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积一、组织教学：二、讲授新课：（一）直角坐标系下平面图形的面积：型平面图形 .1.简单图形：型和2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.求由曲线围成的平面图形的面积.例1例2求由抛物线与直线所围平面图形的面上的曲边（二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间梯形的曲边由方程给出 .又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程.,亦即.具体计算时常利用图形的几何特征 .求由摆线的一拱与轴例3所围平面图形的面积.例4 极坐标下平面图形的面积:推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式. (简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为,的扇形面积为 . )顶角为例5求由双纽线所围平面图形的面积 .解或. ( 可见图形夹在过极点,的两条直线之间 ) . 以代方程不变,倾角为图形关于因此.三、小结：§ 2 由平行截面面积求体积（ 2 时）教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积.（一）已知截面面积的立体的体积:设立体之截面面积为推导出该立体之体积.祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 )例1求由两个圆柱面和所围立体体积 .P244 例1 ( )例2 计算由椭球面所围立体 (椭球 )的体积 .[1] P244例2 ( )（二）旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式..例3 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式.例4 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积.绕轴一周所得旋转体体积.( 1000)例5 求由圆§ 3 曲线的弧长( 1 时 )教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。
定积分的概念,几何意义及其运算
1.运算方法： ①几何意义法： ②基本定理法：
2.运算性质：
一、积分的概念： 1.不定积分： ① 若 F / (x) f (x) ,则称 F (x)是 f (x) 的一个原函数 ② f (x) 的全体原函数，称 f (x) 的不定积分
记作： f (x)dx F (x) C
故，原式= 2 2 cos2 tdt
2 (1 cos 2t)dt
0
0
2
作业：
1.课本P：55 A组 Ex2
2.课本P：66 A组 Ex14
3.若
1 f (x)dx 2 ，则
1
[2
f
(x) 3x]dx ［1 2f 0
x
3］dx
______
0
0
4.将图中阴影部分的面积S 用定积分表示出来： (不要求计算)
预习：
定积分的应用
y0 f (x0 )
二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
导数法判定单调性
第一确定定义域 三解不等得结论
②
注1：最终结果要显然
第二求导到显然 ①
书写格式要简明 ③
乘积配方与○比
注2：增大减小○驻点 等号问题待大学 含参反用必须等 其他情况暂忽略
注3：书写格式要简明
①当f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
y f前(x)
y f后(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
y f后(x)
y f前(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
S299大学高数6(2)
5 2a3 .
26
定积分在几何学上的应用
绕 y轴旋转的旋转体体积
摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
可看作平面图OABC与OBC
y
分别绕 y轴旋转构成的旋转
2aC
B x x2( y)
体的体积之差.
Vy
2a(B)
x
2
2
(
y
)dy
2a(B)
x
2
1
(
y
)dy
oO
x
x1
( y) a
y
0
作变量代换
x a(t sin t)
dx a(1 cost)dt O
x 0 t 0; x 2a t 2.
A
2a 0
ydx 2a(1 0
cos
t )a(1
cos t ) dt
3a2
2a x
11
定积分在几何学上的应用
2.极坐标下平面图形的面积
由极坐标方程 r r( )
给出的平面曲线 和射线
y y
sin x cos x
( 4
,
2 ), ( 5 ,
24
2 )
2O
2
4
A (sin x cos x) dx 4(cos x sin x)dx
0
0
5 4
2 x
y sin x
5
2
4
(sin
x
cos
x)dx
5 (cos x sin x)dx
4
4
4 2
9
定积分在几何学上的应用
b 0)
之间图形面积.
解 对称性 所求面积A为在第一象限中
高中数学选修2-2同步练习题库：定积分的简单应用(填空题：容易)
定积分的简单应用（填空题：容易）1、若，则实数的值是 .2、由曲线所围成的封闭图形的面积为________3、如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为___________.4、已知，则函数的单调递减区间是______.5、定积分的值为．6、_____________．7、曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 .8、曲线与所围成的封闭图形的面积s=9、已知，则．10、曲线和曲线围成的图形面积是11、的值等于 .12、曲线与直线围成的封闭图形的面积是 .13、在平面直角坐标系内，由曲线所围成的封闭图形的面积为．14、二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为．15、．16、由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为______________．17、定积分．18、计算定积分：．19、已知函数，则。
20、= ．21、计算= ．22、计算：= .23、等于．24、________.25、定积分___________;26、＝。
27、求曲线，所围成图形的面积.28、由曲线，直线所围图形面积S= .29、定积分= .30、定积分的值为____________.31、计算定积分(x2+sinx)dx=.32、求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为_______。
33、已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为________．34、dx + .35、曲线＝x与y＝围成的图形的面积为______________．36、＝________________。
37、设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.38、一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.39、由直线，，曲线及轴所围成的图形的面积是．40、计算定积分 .41、已知求 .42、曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．43、在的展开式中的常数项为p，则 .44、设＝，则二项式展开式中含项的系数是。
高等数学定积分及其应用.pptx
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
第37页/共113页
内容小结
则有
1. 微积分基本公式
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
第38页/共113页
备用题
1.
设
求
第39页/共113页
二、定积分的分部积分法
不定积分
一、定积分的换元法
换元积分法
定积分的演示
背景来源——面积的计算
！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积
？一般图形的面积是什么
我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转）
“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分
第1页/共113页
两个实际问题
的面积 .
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
第62页/共113页
解
先求两曲线的交点。
第63页/共113页
例3. 求椭圆
解: 利用对称性 ,
所围图形的面积 .
有
利用椭圆的参数方程
应用定积分换元法得
当 a = b 时得圆面积公式
第64页/共113页
曲边扇形面积元素
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
第30页/共113页
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
牛顿 – 莱布尼兹公式
4(1)定积分的概念与性质
(1) 当a b时,
b
f ( x)dx 0
a
(2) 当a b时,
b
a
f ( x)dx f ( x)dx
a
b
说明 在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小．
18
定积分的概念与性质
性质1 设f (x)和g(x)在a,b上可积,则f (x) g(x)也在a,b上可积.
12
定积分的概念与性质
3、定积分的几何意义和物理意义
(1). 几何意义
f ( x) 0,
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积
a
f ( x) 0, b f ( x)dx A 曲边梯形的面积
a
y
的负值
f (x)
A1
a
A2 O
A3
bx
b
a f ( x)dx A1 A2 A3
13
定积分的概念与性质
即小区间的最大长度 max{x1,x2,xn}
趋近于零 ( 0) 时，取极限, 极限值就是曲边梯
形的面积:
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
7
定积分的概念与性质
思想 以不变代变
(2).求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 v v(t)
是时间间隔 [T1,T2 ]上t 的一个连续函数,且v(t) 0, 求物体在这段时间内所经过的路程. 思路 把整段时间分割成若干小段, 每小段上 速度看作不变, 求出各小段的路程再相加, 便 得到路程的近似值, 最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值．
第四章 一元函数积分
定积分和不定积分是积分学的两个 主要组成部分.
定积分的简单应用+平面图形的面积
定积分的简单应用+平面图形的面积课时目标 进一步理解定积分的概念和性质，能用定积分求简单的平面曲线围成图形的面积；了解定积分在旋转体体积方面的应用．平面图形的面积表示一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则________________________．一、选择题1．将由y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围图形的面积写成定积分形式为( ) A ．ʃπ0cos x d xB ．⎰20πcos x d x ＋|⎰ππ2cos x d x | C ．ʃπ02sin x d x D ．ʃπ02|cos x |d x 2．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积为( ) A.154 B.174 C.12ln2 D ．2ln2 3．由曲线y ＝x 3、直线x ＝－2、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( ) A ． ⎰-22x 3d x B ．| ⎰-22x 3d x | C ．⎰-22|x 3|d xD ．⎰20x 3d x ＋⎰-02x 3d x4．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A ．ʃ20(x 2－1)d xB ．|ʃ20(x 2－1)d x |C ．ʃ20|x 2－1|d xD ．ʃ10(x 2－1)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x5．由y ＝x 2，x ＝0和y ＝1所围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积可以表示为( )A ．V ＝πʃ10(y )2d y ＝π2B ．V ＝πʃ10[12－(x 2)2]d x ＝45π C ．V ＝πʃ10(x 2)2d y ＝π5D ．V ＝πʃ10(12－x 2)d x ＝45π 二、解答题6．求由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积．7．已知直线x＝k平分由y＝x2，y＝0，x＝1所围图形的面积，求k的值．8．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．9.求由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积。
新课标高中一轮总复习
在区间［a,b］上的定积分，
记作：b f(x)dx,即
b f(x)dx=②
lim
n
n i1
b
n
a(i ).a
a
a
与b分别叫做积分下限与积分上限，区间
［a,b］叫做积分区间，函数f(x)叫做被积
3.求定积分的方法
(1)定义法：
(ⅰ)分割：n等分区间［a,b］；
(ⅱ)近似代替：取点ξi∈［xi-1,xi］，用
f(ξi)近似地代替f(x)在［xi-1,xi］上的函数值;
n
(ⅲ)求和
b
i1 n
(ⅳ)取极限: ab
a
f(ξi); f(x)dx=
lim
n
n
i1
b
n
a
f(ξi).
(2)利用微积分基本定理求定积分
=
1 0
(t2-4t+3)dt-
1
3
(t2-4t+3)dt+
3
4
(t2-4t+3)dt
=4(m).
即在t=4 s时运动的路程为4 m.
点评 因为位置决定于位移，所以
它 是 v(t) 在 [0,4] 上 的 定 积 分 ， 而 路 程是位移的绝对值之和，因此需判 断在[0,4]上，哪些时间段的位移为 负值.
0
3
3
x2
-1
3
x3
)1 0
=2
3
-1
3
=1
3
.
例4 一点在直线上从时刻t=0(s)开
始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动，求：
运筹学毕业论文选题【范本模板】
运筹学毕业论文选题1。
最大程度解决某某城市光棍们的单身最小化问题。
2。
非线性连续型效用函数的构造方法及其应用3。
信息管理系统的规划与实现4.运筹学的一些方法在(某某）管理中的应用5.建立关于全球气候变暖的原因及未来气候预测的数学模型6.向量均衡问题解的性质及最优性条件7.某某公司仓库布局设计与优化8。
某某物流园区设施布局优化设计9。
某某厂某某生产流水线的优化与设计10。
某某企业采购管理中的问题分析及对策研究11。
某某企业客户分类研究及营销方案策划12。
某某连锁超市配送中心的选址与网点布局设计13。
一个课堂教学成绩评分系统的设计与开发14.基于时间竞争的考试评分方案设计15。
某某企业生产计划与控制系统设计16。
某企业质量管理信息系统的分析与设计17.线性规划及其对偶理论在工业工程与管理中的应用18。
设备可靠性与维护策略研究19。
某某（120）服务质量及其应用20.模糊矩阵在环境评估中的初步应用21。
模糊评判在电脑中的初步应用22.考虑市场预期的供求关系模型23.用风险预算进行资产配置24。
模糊规划及其在金融分析中的应用25。
在混合分数债券市场中的套利与马尔科夫问题26。
城市表层土壤重金属污染优化处理27。
城市交警（120/119）服务平台的设置与调度问题28。
城市交巡警(120/119）平台设置与调度模型29.大学生数学建模社会实践教育平台30铜仁烟厂合理安排生产及调度问题31.运筹学在生活中的指导与应用32.网络计划技术及其应用33.淘宝买家购物11-11决策分析34.铜仁市大兴区高新技术产业灰色关联度分析35.购买彩票中的概率分析36。
中心极限定理的探究37。
死亡率差异对纯保费的影响38。
关于随机变量概念的研究39.利用药物动力学房室模型分析饮酒（疲劳）驾车问题40。
对现在铜仁市市场上一些易拉罐情况调查设计与优化设计41。
B—S期权定价及基本假设的探究42。
利用LINGO解决运输成本优化问题43.市场的波动性及信息不对称性分析44。
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例7 设某种产品生产Q单位时的边际成本和边际收益分别为 C(Q) 3 1 Q 与 R(Q) 6 Q 2
(1) 当固定成本C(0) 2 时, 求出成本、收益、利润;
解:
(1)
C
Q
Q
0
C
t
dt
C
0
Q 0
3
t 2
dt
2
3Q
Q2 4
2,
2020/5/24
微积分II 第六章定积分
9
(2) 当产量从10增加到100时, 求成本的增量.
第六节、定积分的应用
一、平面图形的面积 二、定积分在经济分析中的应用
一、平面图形的面积
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线x a 、
x b所围成。
oa
A
b
a
f
(
x)dx
y f (x)
bx
2020/5/24
微积分II 第六章定积分
为
R Per t
若t年以后得到R人民币, 则现值 (现在需要存入银行的金额)为
P Rer t
我们设在时间区间[0, T]内t时刻的单位时间收入为R(t), 称此为
线的交点, 为此解方程组
y2 2x x 2 x 8
y
x
4
y
2
,
y
4
S S1 S2
y
y2 2x
(8,4)
o S1
S2
(2,– 2)x
2
0 [
2x (
8
2x)]dx2 [
2x (x 4)]dx
– 4 y=x–4
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
2
且 L(Q) R(Q) C(Q) 3 Q2 3Q 2 4
L(2) 3 22 3 2 2 1. 4
练习：P185 ,4.
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微积分II 第六章定积分
10
4.设商品的需求函数 Q 100 5P（, Q为需求,P为价格） 边际成本函数 C '(Q) 15 0.05Q且C(0) 12.5
C 100 C(10) 3100 1 1002 2 (310 1 102 2)
4
4
2745.
(3) 当产量为多少时？利润可以达到最大？最大利润又是多少？
(3) 由 L(Q) RQ CQ 3 3 Q 0, 得 Q 2
2
因为 L(Q) 3 0且驻点唯一, 所以当Q=2时, 利润达到最大, 2
得Q
100 7
.
Q Q 100 5P, p 120 此时利润最大，最大值是
7
L( 100 ) 7
7 40
100 2 72
5
100 7
12.5
325 14
.
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微积分II 第六章定积分
11
2.资本现值和将来值
资本现值是这样一笔款项，设有 P元钱人民币，把它存入
可获利息的银行，若以连续利率r记息，t年以后的将来值
在一定条件下, 也可用定积分来进行计算.
由牛顿——莱布尼兹公式知：若 f (x) 连续，则
x
0 f (t)dt f ( x) f (0)
即
x
f ( x) f (0) 0 f '(t)dt
……(1)
(1) 总成本函数
已知边际成本函数C(Q), 则 C0 C(0) 为固定成本, 从而总
成本函数 C(Q)为
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微积分II 第六章定积分
4
1,(1)由曲线 y x2 3 在区间[0,1]上的曲边梯形的面积
解：作图
S
1
(
x2
3)dx
0
(1 3
x3
3x)
|10
(1 3) 3
10 . 3
y
3
0
1x
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微积分II 第六章定积分
5
例2计算由抛物线 y2 2x与直线 y = x - 4 所围成图形的面积. 解 为了定出图形所在范围, 应先求出抛物线和直
y
a
a
b
a [ f (x) g(x)]dx
S
y g(x)
Oa
bx
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微积分II 第六章定积分
3
例 1 计算由曲线 y2 x, y x2所围成图形的面积.
解：为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形.
为了定出图形的所在范围,应先求出这
两条曲线的交点，为此解方程组 y
y2 x
Q
C(Q) 0 C(t)dt C(0).
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微积分II 第六章定积分
8
(2) 总收益函数
已知边际收益函数 R(Q), 则产品未销售前的收益 R0 R(0) 0,
从而总收益函数
R(Q)
Q
0 R'(Q)dQ.
(3) 总利润函数
总利润函数 L(Q) 为 L(Q) R(Q) C(Q).
2
2 x1/2dx
8
(
2x1/2 x 4)dx
2
2
01 11/
2
2
x11/ 2
|02
(2 2 3
x3/2
1 2
x2
4x) |82
18.
练习：P184 ,1(2).
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微积分II 第六章定积分
6
计算xy=1及直线y=x，y=3所围图形的面积。
解：作图
3
(1 ,3) 3
S
(3, 3)
xy 1 x 1
y
x
y
1
(1,1)
S S1 S2
1
1
3
(3 )dx (3 x)dxΒιβλιοθήκη 1/ 3x1
(3x
ln
|
x
|)
|1
1/ 3
(3x
1 2
x2 ) |13
4 ln3.
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微积分II 第六章定积分
7
二、定积分在经济分析中的应用
1.已知边际函数求总函数.
在经济问题中, 经常都要涉及到各种经济量的总量. 这些总量,
2
一般地由曲线所围成的平面图形的面积 计算可分为：
1. 若平面图形 D 由两条曲线 y = ƒ(x)和 y =
g(x) ( ƒ(x)≥g(x) ）和两条直线 x = a与 x = b 所
围成图形的面积为
S
b
a [
f
(x)
g( x)]dx
证明：S S1 S2
y f (x)
b
b
f (x)dx g(x)dx
y
x2
x 0
y
0
,
x 1
y
1
y2 x
(1,1) y x y x2
即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及 (1, 1). 从而知道所求图形在 直线 x = 0 及 x = 1 之间.
o x x+dx 1 x
则
S
1
(
x
x2 )dx
[2
3
x2
x3
]
1
1
.
0
3
3 0 3 练习：P184 ,1(1).
求当价格P为什么值时，利润最大，并求最大利润.
解
L(Q) R(Q) C(Q) PQ (
Q
C '(t)dt C(0))
(20 1 Q)Q (
0 Q
(15 0.05t)dt 12.5)
7
5 Q2
0
5Q 12.5
40
L'(Q) 7 Q 5 20
令
L'(Q)
7 20
Q
5
0,