(浙江专用)2021高考数学二轮复习专题二立体几何第2讲立体几何中的空间角问题学案

第2讲立体几何中的空间角问题

高考定位以空间几何体为载体考察空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进展考察，高考注重以传统方法解决空间角问题，但也可利用空间向量来求解.

真题感悟

(2021·浙江卷)如图，多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，

∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.

(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；

(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.

法一(1)证明由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB得AB1＝A1B1

＝22，所以A1B21＋AB21＝AA21，

所以AB1⊥A1B1.

由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC得B1C1＝5，

由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°得AC＝23，

由CC1⊥AC，得AC1＝13，所以AB21＋B1C21＝AC21，

故AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1＝B1，

因此AB1⊥平面A1B1C1.

(2)解如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.

由AB1⊥平面A1B1C1，AB1平面ABB1，得

平面A1B1C1⊥平面ABB1，

由C1D⊥A1B1得C1D⊥平面ABB1，

所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.

由B1C1＝5，A1B1＝22，A1C1＝21得cos∠C1A1B1＝6

7

，sin∠C1A1B1＝

1

7

，

所以C1D＝3，故sin∠C1AD＝C1D

AC1

＝

39

13

.

因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是

39 13

.

法二(1)证明如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意知各点坐标如下：

A (0，－3，0)，

B (1，0，0)，A 1(0，－3，4)，B 1(1，0，2)，

C 1(0，3，1).

因此AB 1→＝(1，3，2)，A 1B 1→＝(1，3，－2)，A 1C 1→

＝(0，23，－3). 由AB 1→·A 1B 1→

＝0得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1→·A 1C 1→

＝0得AB 1⊥A 1C 1. 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.

(2)解 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ.

由(1)可知AC 1→＝(0，23，1)，AB →＝(1，3，0)，BB 1→

＝(0，0，2). 设平面ABB 1的法向量n ＝(x ，y ，z ).

由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，

2z ＝0，

可取n ＝(－3，1，0).

所以sin θ＝|cos 〈AC 1→

，n 〉|＝|AC 1→

·n ||AC 1→|·|n |

＝39

13.

因此，直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是

3913

. 考 点 整 合

方法一：几何法.用几何法求两条异面直线所成角的步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.

a ，

b 所成角θ的步骤为：①求出直线a ，b 的方向向量，分别记为m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝

m ·n

|m ||n |

；③利用cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|，以及θ∈(0°，90°]，求出角θ.

l 与平面α所成角的步骤为：①找出直线l 在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求

的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.

AB 与平面α所成角θ的步骤为：①求出平面α的法向量n 与直线AB 的方向向量AB →

；②

计算cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |；③利用sin θ＝|cos 〈AB →

，n 〉|，以及θ∈[0°，90°]，

求出角θ.

α-l-β的平面角θ的步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，

在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.

αlβ的平面角θ的步骤为：①求两个半平面α，β的法向量m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉

＝

m ·n

|m ||n |

；③根据图形和计算结果判断θ是锐角、直角，还是钝角，从而得出θ与〈m ，n 〉是相等关系还是互补关系.

热点一 求线线角

【例1】 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PCAB ＝2，AD ＝22，PA ＝2，求异面直线BC 与AE 所成角的大小. 解 法一 如图1，取PB 的中点F ，连接EF ，AF ，那么EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角.在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，AE ＝2，知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π

4.因此，异面直线BC 与AE

所成角的大小是π

4

.

图1 图2

法二 如图2，建立空间直角坐标系，那么B (2，0，0)，C (2，22，0)，E (1，2，1)，AE →

＝(1，2，1)，BC →

＝(0，22，0).

设AE →与BC →

的夹角为θ，那么cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4.由此可知，异

面直线BC 与AE 所成角的大小是π

4

.

探究提高 求异面直线所成的角，可以应用向量法，也可以应用异面直线的定义求解. 【训练1】 (1)(2021·浙江卷)四棱锥SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点).设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角SABC 的平面角为θ3，那么( ) A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1 C.θ1≤θ3≤θ2

D.θ2≤θ3≤θ1