01时间测量中随机误差的分布规律讲义
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表，频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。
实验器材及规格：秒表0.01s实验原理：1常用时间测量仪器的简要原理：机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置来连续调节。
电子节拍器：由石英晶体震荡器，计数器，译码器，电源，分档控制及显示部分组成。
按一定频率发出有规律的声音和闪光。
电子秒表：机心由CMOS集成电路组成，石英晶体震荡器做时标，一般用6位液晶数字显示。
连续累积时间59min,59.99s,分辨频率为0.01s。
V AFN多用数字测试仪：由PMOS集成元件和100kHs石英晶体震荡器构成。
可测量记数，震动，累计，速度，加速度，碰撞，频率，转速，角速，脉宽等。
时标由DC10集成电路和100kHs石英晶体震荡器构成。
2在不考虑系统误差的前提下，用时间测量仪器，测量同一时间N次，统计时间分布规律，并且分析误差。
当N趋于无穷时，各测量值出现的概率密度可用正态分布的概率密度函数表示：221()/21()niiX Xf x eσ=⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑=平均值计算公式：1/niiX X n==∑标准差计算公式：Xσ=（1）统计直方图方法在一组等精度测量的N个结果中，找出最大最小值，再有此得到极差max minR X X=-。
将极差分为K 个部分。
每个区间长度x ∆MAX MINX X R x K K-∆== 将落在每个区间的次数称为频数，i n N 称为频率。
最后以X 为横轴i nN为纵轴做图。
（2）密度分布曲线利用直方图中得到的概率密度值，以概率密度值为纵坐标，x 为横坐标可的密度分布曲线，数据处理:最小值min 1.76X s=最大值m a x 2.15X s=平均值 1.96X s =标准差0.072sσ=0.0051s Ua σ==因为人反应时间约为0.2s,秒表仪器误差约为0.01s,所以取 B 类不确定度B ∆0.95t =1.96 , 0.95k =1.96.误差合成：0.13s U ==P ≥0.95测量结果 ()1.960.13T s =± P ≥0.95图表统计如下:取区间数K=15，区间长0.028s 。
时间测量中随机误差的分布规律~
时间测量中随即误差的分布规律
生命科学院 PB05207009 王一莘
实验内容：
1． 时间间隔测量：用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期
2． 统计规律的研究
实验步骤：
将电子节拍器的声节拍频率设定为3个周期，旋紧发条。
实验组两位成员：一为手持秒表，从上一周期结束开始计时直至节拍器鸣响结束计时，将实验数据报告另一成员，由另一成员记录数据。
重复上述实验步骤200次。
数据处理：
做统计直方图，并对此图做高斯拟合。
5
注：区间长度经计算应取0.023s ，此直方图取0.025s
=)(σP 0.677
=)2(σP 0.940
=)3(σP 0.989
实验结论： 统计直方图与概率密度分布曲线拟合较好，测量值基本符合正态分布。
误差分析及思考题：
实验中，秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异都将引入误差特别是人为误差因人而已。
1． 答：主要误差为秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异
2． 答：基本符合正态分布规律。
01时间测量中随机误差的分布规律
实验报告：时间测量中随机误差的分布规律张贺PB07210001一、实验题目：时间测量中随机误差的分布规律二、实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器:电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1.常用时间测量仪表的简要原理：（1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。
（2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译码器、电源和分档控制及显示部分组成。
电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。
（3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。
分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。
（4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。
时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。
电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。
石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。
2. 统计分布规律的研究：假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示，]2)(exp[21)(22--=σπσx x x f （1）式中x 为测量的算术平均值，σ为测量列的标准差，nxx ni i∑==1（2）1)(12--=∑=n x x ni i σ （3）⎰-=aadx x f a P )()( （4）式中a=σ,2σ,3σ. （1） 统计直方图方法统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种直观的方法。
随机误差的统计规律
随机误差的统计规律实验目的(1) 通过一些简单测量，加深对随机误差统计规律的认识 (2) 学习正确估算随机误差、正确表达直接测量结果的一般方法 (3) 了解运用统计方法研究物理现象的简单过程实验方法原理对某一物理量在相同条件下进行n 次重复测量(n>100),得到n 个结果,,,,21n x x x 先找出它的最小值和最大值，然后确定一个区间[]x x ''',，使这个区间包含了全部测量数据。
将区间[]x x ''',分成若干个小区间，比如K个，则每个小区间的间隔∆为 Kx x '-''=∆，统计测量结果出现在各个小区间的次数M (称为频数)。
以测量数据为横坐标，只需标明各区间的中点值，以频数M 为纵坐标，画出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一组矩形图，这就是统计直方图。
直方图的包络表示频数的分布，它反映了测量数据的分布规律，也即随机误差的分布规律。
实验步骤(1) 用钢卷尺测量摆线长。
(2) 用游标卡尺测量摆球直径。
(3) 当摆长不变，摆角(小于5o)保持一定时，摆动的周期是一个恒量，用数字秒表测量单摆的周期至少100次，计算测量结果的平均值T 和算术平均值的标准差)(x S 。
(4) 保持摆长不变，一次测量20个以上全振动的时间间隔，算出振动周期。
数据处理990.0=l m 03364.0=d m 00682.12=+=dl L m2044.40='T s051.21001001==∑=i ixT s0067240110012.)()()(=--=∑=n n x xx S i is)01.005.2()(2±=±=x S T T s022.22044.40=='T s 222/2910.94s m L T g T ==π222/5594.94s m L T g T ='='π20/80891.9s m g =%28.5%1000=⨯-=g g g E T T%54.2%1000=⨯-='g g g E T T思考1. 什么是统计直方图? 什么是正态分布曲线?两者有何关系与区别?答：对某一物理量在相同条件下做n 次重复测量，得到一系列测量值，找出它的最大值和最小值，然后确定一个区间，使其包含全部测量数据，将区间分成若干小区间，统计测量结果出现在各小区间的频数M ，以测量数据为横坐标，以频数M 为纵坐标，划出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一个矩形图，即统计直方图。
物理实验技术中的常见测量问题与解决方法
物理实验技术中的常见测量问题与解决方法导言：在物理实验中，准确的测量是确保实验结果准确性和可靠性的重要环节。
然而，由于各种原因，常常会出现一些测量问题。
本文将围绕物理实验技术中的常见测量问题展开论述，并提出相应的解决方法，旨在帮助读者更好地开展物理实验。
一、仪器误差及校正1.1 仪器误差的概念物理实验中常用的测量仪器都存在着一定的误差，这是由仪器的制造工艺、测量原理的局限性以及外界干扰等因素导致的。
仪器误差分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差存在于每次测量中，且偏离真实值的方向固定；随机误差由测量条件、操作人员等因素引起，无法精确界定。
1.2 仪器误差的校正为了提高测量准确度，必须对仪器误差进行校正。
校正的基本原则是减小系统误差和随机误差。
首先，可以通过精确测量标准物体来校正系统误差；其次，使用稳定的环境条件、减少操作人员变动等方法可以降低随机误差。
二、温度测量误差及解决方法2.1 温度测量的常见误差物理实验中常涉及到温度的测量，然而温度测量易受到环境因素的干扰，例如热辐射、温度分布不均等，从而引起一定误差。
2.2 温度测量误差的解决方法为解决温度测量的误差，可以采取以下方法：使用高质量的温度计，如铂电阻温度计、热电偶等，提高测量的精度和可靠性；在测量过程中，保持温度计与被测体之间的热接触，减小热辐射的影响；同时，对温度梯度较大的区域进行分区测量，提高测量结果的精确性。
三、时间测量误差及解决方法3.1 时间测量的常见误差时间测量误差常常由于测量仪器的限制或人为因素引起。
测量仪器的固有时滞性、响应时间以及人的反应时间等都会对时间测量结果产生影响。
3.2 时间测量误差的解决方法为了减小时间测量误差，可以采取以下措施：使用高精度的计时器或计数器进行测量；尽可能提高测量仪器的响应速度；合理安排实验流程，减少实验时间测量的人为误差。
四、长度测量误差及解决方法4.1 长度测量的常见误差在物理实验中，长度测量是十分常见的实验操作，然而长度测量中常常会出现仪器精度不够、读数不准确等问题，导致测量结果产生误差。
时间测量中随机误差的分布规律
实验报告实验题目：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验原理：1. 常用时间测量仪表的简要原理(1) 机械节拍器 (2) 电子节拍器 (3) 电子秒表(4) V AFN 多用数字测试仪的性能2. 统计分布规律的研究在近似消除了系统误差的条件下，对某物理量进行等精度测量，当次数趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正交分布函数表示： 正态分布概率密度函数]2)x -(x ex p[-21)(22σπσ=x f （1） 其中 nxx n1i i∑== （2）1-n )x -(xn1i 2i∑==σ （3） ⎰=aa-f(x)dx P(a) （4） 式中a=σ，2σ，3σ(1) 统计直方图法在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出其最大值与最小值，并求出级差R=x max -x min ，由级差分为K 个小区间，每个小区域的间隔（△x ）的大小就等于Kx -x K R minmax =。
结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，则Nn i 为频率，N n i ∑为累计频率，x N n i ∆⋅称为频率密度。
(2) 利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
实验内容：1. 时间间隔测量：用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期或电子节拍器的周期。
2. 统计概率研究：时间测量均要求在相同条件下，重复测量200次以上。
（1）计算结果的x 和σ（2）计算各区中点的f （x ）（3）合理划分小区间数K ，并确定其间隔，计算各区间的频率、相对频率、相对频率密度和累计频率，以频率密度为纵坐标，测量值x 为横坐标，作统计直方图，并将f（x）—x中曲线绘在统计直方图中，检验测量值分布是否符合正态分布。
时间测量中随机误差的分布规律
实验报告实验名称 时间测量中随机误差的分布规律实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验仪器 机械节拍器，电子秒表。
实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理（1）机械节拍器（2）电子节拍器 （3）电子秒表（4）VAFN 多用数字测试仪用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为,分辨率为,平均日差。
2.统计分布规律的研究假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，]2)x -(x ex p[-21)(22σπσ=x f （1）其中nxx n1i i∑==（2）1-n )x -(xn1i 2i∑==σ（3）⎰=aa-f(x)dx P(a)（4）式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。
（1）统计直方图方法用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。
在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出它的最大值x max 与最小值x min ，并求出级差R=x max - x min ，由级差分为K 个小区间，每个小区域的间隔（△x ）的大小就等于Kx -x K R minmax =。
统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，Nni 为频率，Nni∑为累计频率，称为频率密度。
以测量值x 值为横坐标，以xN n i∆⋅为纵坐标，便可得到统计直方图。
（2）概率密度分布曲线利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
随机误差项
随机误差项
随机误差项是指在实验或调查中，由于不可避免的偶然因素导致的测量误差。
这些误差可能来自于仪器的精度、实验操作的不稳定性、被测量对象的不确定性等因素。
由于随机误差的存在，同一实验在不同时间或不同人员进行时，测量结果可能存在一定程度的差异。
随机误差通常是在大量重复实验中出现的，它们的分布是随机的，符合正态分布或类似正态分布的分布。
在统计学中，我们通常采用均值和标准差来描述随机误差的规律性。
当均值接近0时，说明随机误差的平均值为0，而标准差越小，说明随机误差越小，即实验结果越稳定。
为了减小随机误差的影响，我们可以采取多种方法，如增加数据量、提高实验设备的精度、改善实验操作等。
当然，我们也可以通过数据分析的方法来探究随机误差的影响，比如采用方差分析等方法，以便更好地理解实验结果的可靠性和精度。
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时间测量中随机误差的分布规律~~
时间测量中随机误差的分布规律~~PB05007302 地空学院杨柳春实验3.2.1实验题⽬: 时间测量中随机误差的分布规律实验⽬的:⽤常规仪器(如电⼦秒表,频率计等)测量时间间隔,通过对时间和频率测量的随机误差分布,学习⽤统计⽅法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律.实验原理:1.时间测量仪表的简要原理(1)机械节拍器由齿轮带动摆作周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节，其外部结构如图。
(2)电⼦秒表是兼有数种测时功能，便于携带和测量的常⽤电⼦计时器。
电⼦秒表机芯由表及⾥CMOS集成电路组成，⽤⽯英晶体振荡器作时标，⼀般⽤六位液晶数字显⽰，其累积时间数为59分59.59秒分辨率为0.01秒，平均⽇差0.5秒。
其外部结构如图2.假设在近似消除了系统误差(或系统误差很⼩,可忽略不计,或系统误差为⼀恒定值)的条件下,对某物理量x 进⾏N 次等精度测量.当测量值出现的概率分布可⽤正态分布的概率密度函数表⽰.式中为测量的算术平均值, σ为测量列的标准差P aaa实验仪器:机械节拍器(原理:由齿轮带动摆作周期性运动,摆动周期可通过改变摆锤的位置连续调节),秒表(精度:0.01秒)实验步骤:以2～3个周期为⼀次实验,重复做200～300次实验（这⾥取2个周期，300次实验）,记录每次秒表的⽰数,做出统计直⽅图和频数频率分布表实验结果和分析：222/)(21)(σσπx x e x x y --=-nx x ni i∑==11)(12--=∑=n x xni iσ1．由统计结果，和以下公式可得：平均值为 2.852s 测量列的标准差为 0.12 测量结果平均值的标准差为 0.007 2．机械节拍器的频数和频率的密度分布nxx ni i∑==11)(12--=∑=n x xni iσnn n x x u ni i A σ=--=∑=)1()(122．频率统计直⽅图（EXECEL && ORIGIN）01020304050607080n i3.若测量结果偏离正态分布，则产⽣这种偏离的原因可能是：①测量者的⼼理因素，测量时的反应程度，即测量者当时的状态使测量者对时间的记录产⽣误差；②测量的次数远远不够，理论上来说，只有当测量次数为⽆限多时，测量结果才是正态分布，⽽有限次的测量只可能近似符合正态分布；③测量仪器的陈旧或是其它原因使得节拍器的摆不做等周期运动，或者电⼦秒表测时不准也可能导致测量出现误差4．最后，可以得到测量结果的各项数据为(每两个同期)：平均值 2.852s测量列的标准差 0.12测量结果平均值的标准差0.007即测量结果的完整表达式为：2．852±0.007s P=0.68。
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
测量误差详解
测量误差详解测量精度是仪器最重要的参数指标之一，大部分的仪器精度基本都是百分之一、千分之一、部分可以达到万分之一，精度越高，代表测量的误差越小，那么误差是如何界定出来的呢？一、误差的基本概念及分析在系统测量中我们知道被测量的真实值称为真值。
在一定的时间和空间内，真值是一个客观存在的数值。
在测量过程中，即使选用精度最高的测量器具、测量仪器和仪表，并且没有人为的失误，要想测得真值也是不可能的。
况且由于人类对客观事物的认识的局限性、测量方法的不完善性以及测量工作中常有的各种失误等，更会使测量结果与真实值之间存在差别，这种差别就叫做测量误差。
图 1 测量误差二、测量误差分类测量误差按照其性质和特点，可分为系统误差、偶然误差（随机误差）和疏失误差三类。
◆系统误差在相同的测量条件下，多次测量同一个量时，误差的数值（大小和符号）均保持不变或按某种确定性的规律变化的误差称为系统误差。
系统误差通常是由于测量器具、测量仪器和仪表本身的误差产生的。
此外，由于测量方法的不完善性和测试者测试习惯产生的误差也称为系统误差。
系统误差的大小可以衡量测试数据与真值的偏离程度，即测量的准确度。
系统误差越小，测量的结果就越准确。
◆偶然误差在测试过程中，由于某些偶然因素而引起的误差称为偶然误差，也叫做随机误差。
比如：电磁场的微变、温度的起伏、空气扰动、大地的微震、测量人员的感官无规律的微小变化等。
这些变化是人们无法掌控的，是无规律的，这导致测量结果不可能完全相同，如果相同也只能说明仪器灵敏度不够。
虽然偶然误差是不能够被人们消除的，但是偶然误差是符合正态分布的。
即测量误差小的出现概率大，而误差相对大的出现概率小，并且大小相等的正负误差出现的概率也是相等的。
图 2 偶然误差的概率曲线◆ 疏失误差由于测量者的疏忽过失而造成的误差称为疏失误差。
它产生的原因主要有两点：其一是实验者本身造成的；其二是由于测量条件造成的。
在测试过程中，由于操作者的粗心或不正确操作，例如：读数或记录错误、操作方法不对、测量方法不合理等，这些测量值误差太大，一半被称为“坏值”，应该舍去。
随机误差PPT课件
x3 2000.60mm, sx3 0.10mm
求：各组测量结果的权、加权算术平均值、加权算术 平均值的实验标准偏差。
解：
111
1
1
1
p1 : p2 : p3 sx21 : sx22 : sx23 (0.05)2 : (0.20)2 : (0.10)2 16 : 1 : 4
综上所述： （1）算术平均值是处理等权测量数据的一个最佳估计量； （2）一般按贝塞尔公式计算 s 和 s(x) s / n，样本数 n 1 时 只能用最大误差法计算 s ； （3）算术平均值的极限误差一般按 tp (n 1)s(x) 确定。
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思考与练习题
3-1 如果测量完全正相关，以测量次数为2的简单情形，试 证明其算术平均值的标准差仍与单次测量的标准差相同。 3-2 什么是残差？常用什么符号表示？它与误差的定义有何 不同？试验证如下两条性质：（1）残差之和等于零；（2）
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3、小样本标准差已知的情形
置信区间半宽度为(单次测量)
(x) tp s
置信区间半宽度为(n次测量)
x ~ t( )
s
(x) tp s / n
▪自由度 n 1 ，n为样本容量
x ~ t( )
sn
▪ tp 值可通过查 t 分布表得到，p 为置信水平
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x
m
pi
v
2 xi
i 1
m
(m 1) pi
i 1
3 0.52 2 (0.4)2 5 (0.1)2 (3 1) (3 2 5)
0.24m
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第四节 置信区间
时间测量中随机误差的分布规律的几个问题(精)
“时间测量中随机误差的分布规律”的几个问题
1,在做这个实验时,数据的实际分布并不符合高斯分布.所以,不
以学生数据是否为高斯分布作为评分标准。
2, 把全部数据输入计算机（或计算器），用统计功能自动给出平均值和测量列的标准差。
然后，按照66页（1）正态分布的标准形式，计算各个区间的概率密度，然后手写作图。
该曲线并不一定是直方图的包络线。
3，不把全部数据输入计算机，只输入各个区间的中点值和相对频数，计算机自动给出直方图；在用高斯拟合，得到曲线。
注意，用其它拟合（如劳伦兹拟合）也可以，甚至相关系数更好。
我们只做高斯拟合。
4，计算机的高斯拟合是一级拟合，有常数项，所以形式发散（积分为无穷大）。
而高斯函数的标准形式是零级，没有常数项（见66页（1）或29页（5）），且收敛。
（4）两者对照如下：
()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+=22002exp 2/w x x w A
y y π 式中y 0
为直流偏置项，A 为曲线下与直流偏置项之间的总面积，0x 为峰值，即平均值，w = 2σ, 曲线半高宽的 0.849倍。
与标准形式比较须设
()()⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=-=22022002exp 212exp 2/1σπσπx x w x x w A y y z 这时候满足归一化条件。
2/w =σ。
关于单摆实验
单摆实验中内容3需要精确测量周期、摆角和线长，譬如采用数字毫秒计计时。
内容4，需要采用“气垫实验”中测量瞬时速度的装置，还要精确测量摆角。
这两部分内容不做。
2.1 随机误差
v
0.033 10
i
n ( n 1)
1.253
0.250 10 9
0.033 mm
0.0104 mm
别捷尔斯公式是贝塞尔公式的近似计算公式， 由于当时在计算天文数据的标准差，数据较 多，开平方根较麻烦，所以用残差绝对值的 和代替开平方根。
f(δ)
1
1 2 3
2
3
标准差计算公式
D ( X ) ( x ) 2 f ( x)dx
2
D( X )
要注意的是标准差σ不是测量列中任何一个具体测得值的随 机误差， σ值越大只说明在一定条件下等精度测量列随机 误差的概论分布情况。在该条件下，任一次测得值的随机误 差一般不等于σ，但认为这一系列测量中所有测得值都属同 样一个标准差σ的概率分布。在不同条件下，对同一被测量 进行两个系列的等精度测量，其标准差σ也不相同。
在n次测量服从正态分布且独立的条件下，有
(s)
s 1 M n2 n
( s)
s
1 M n2
估计标准差的相对误差，用百分数表示，该 百分数愈小，表示估计的信赖程度愈高。
适用的估计贝塞尔公式的相对误差的公式
(s)
s 1 2( n 1)
（二）测量列算术平均值的标准差
为测量总体的数学期望，如不计系统误 差，则 x 即为随机误差 为测量总体的标准差，是评价随机误差 的指标
分布的误差特性
（1）单峰性：小误差出现的 概率比大误差出现的概率大。 （2）对称性：正误差出现的 正态分布的这四个 概率与负误差出现的概率相等。 特点与误差大样本 下的统计特性相符。 （3）有界性：在一定条件下 但在理论上，正态 绝对值不会成功一定界限。 分布无界，这也是 （4）抵偿性：随测量次数增 正态分布与实际误 加，算术平均值趋于零。 差有界性不相符之
随机误差的分布规律
当u=±1,即X= μ ±σ区间测定值出现 的概率为68.3％， 当u=±2,即X= μ ± 2σ区间测定值出 现的概率为95.5％ 当u=±3,即X= μ ± 3σ区间测定值出 现的概率为99.7％。
即以标准偏差σ为单位来表示X与μ 的偏差。用u作为横坐标,概率密度Y
为纵坐标作图,就得到标准正态分布 曲线。
标准正态分布的均数为0, 标准偏差 为1,可用N(0,1)表示。用积分方法可以 计算出不同μ取值范围时曲线所包含的 面积,其面积相应于在此值范围内测定 值出现的概率。由于所有测定值出现 的总概率P=100%,所以标准正态分布曲 线与横坐标间包含的总面积等于1。由 计算结果可制成概率积分表查用。从 表中可查到:
第三节 随机误差的分布规律 一. 频率分布 例如,有一试样在相同条件下用分光光 度法测定其铁含量。20次重复测定结 果ω(Fe)×100%如下: 3.45, 3.28, 3.30, 3.20, 3.22, 3.17 3.06, 3.26, 3.14, 3.31, 3.18, 3.23 3.21, 3.23, 3.38, 3.33, 3.25, 3.12 3.26, 3.24。
首先将测定值依大小次序排列,算出 极差。极差为最大值与最小值之差。 将测定值分为8组, 组距为极差与组数 之商。每组中测定值出现的次数称为 频数。频数与测定总次数之比称为相 对频数,又称频率。编制频数、频率分 布表。以测定值为横坐标,频率为纵坐 标绘出频率分布直方图。
二. 正态分布 正态分布,又称高斯分布。其曲线 为对称钟形,两头小,中间大, 分布曲 线有最高点,如下图所示。
正态分布曲线的数学表达式为
1 2 2 Y e 2 μ和σ是正态分布两个基本参数, μ
X 2
和σ确定了,正态分布曲线也就确定
随机误差分布规律
随机误差分布规律
哎呀呀，啥是随机误差分布规律呀？这可把我这个小学生难住啦！
老师在课堂上讲这个的时候，我就感觉自己像掉进了一个大大的谜团里。
我瞪大眼睛，努力想听明白，可那些复杂的概念就像一群调皮的小精灵，在我脑袋里蹦来蹦去，就是不肯乖乖排好队。
我看看同桌，他也是一脸迷茫，好像在说：“这都是啥呀？”我悄悄问他：“你懂了吗？”他摇摇头，苦着脸回答：“完全不懂，感觉像在听外星人讲话。
”
后来老师举了个例子，说就像扔骰子，每次扔出的点数都是随机的，这就是一种随机现象。
可这和误差分布规律又有啥关系呢？我还是一头雾水。
再看看学霸小李，他倒是听得津津有味，还不停点头。
我心里那个羡慕呀，真想有他那样聪明的脑袋瓜。
回到家，我赶紧问爸爸妈妈。
爸爸摸着我的头说：“宝贝，别着急，咱们一起慢慢琢磨。
”妈妈也在旁边鼓励我：“只要你用心，一定能搞明白的。
”
于是，我们一家人围坐在一起，开始研究这个让人头疼的随机误差分布规律。
爸爸说：“这就好比抽奖，你不知道会抽到啥，但是抽到每个奖品都有一定的可能性。
”妈妈接着说：“对呀，就像天上的星星分布，看起来没有规律，其实也有某种潜在的规律呢。
”
我好像有点明白了，这不就是说，虽然有些事情看起来是随便发生的，但其实背后也有一定的模式和规律吗？
经过一番努力，我终于对随机误差分布规律有了一点点了解。
我发现，原来学习新知识就像爬山，虽然过程很辛苦，但当你爬到山顶，看到美丽的风景时，一切都值得啦！
我觉得呀，学习就是这样，只要不放弃，再难的知识也能被我们攻克！。
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实验报告：时间测量中随机误差的分布规律
张贺PB07210001
一、实验题目：
时间测量中随机误差的分布规律
二、实验目的：
用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器:
电子秒表、机械节拍器
四、实验原理：
1.常用时间测量仪表的简要原理：
（1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆
动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。
（2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译
码器、电源和分档控制及显示部分组成。
电子
节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪
光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为
39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。
（3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、
日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。
分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。
（4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和
100kHz 石英晶体振荡器构成。
可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。
时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。
电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。
石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。
2. 统计分布规律的研究：
假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示，
]2)(exp[21)(22--=σπ
σx x x f （1）
式中x 为测量的算术平均值，σ为测量列的标准差，
n
x
x n
i i
∑==
1
（2）
1
)(12
--=
∑=n x x n
i i σ （3）
⎰-=a
a
dx x f a P )()( （4）
式中a=σ,2σ,3σ. （1） 统计直方图方法
统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种直观的方法。
由于此法简便易行，直观清晰，因此在许多情况，特别是当我们对被研究对象的规律一无所知的情况下，不失为一种初步分析的手段。
在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，x 3，…，x N 中，先找出它的最小值x min 和最大值x max 。
由最大值和最小值之差可求得实验数据的极差R=x max-x min ，将极差分为K 个小区间，每个小区域的间隔（⊿x ）的大小就等于极差R 除以K
K
x x K R
x min max -=
=∆ （5）
统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，相对频数
N
n i
被称为测定值在该小
区域内出现的频率，相应地把N
n i ∑称为累计频率，而把
x
N n i
∆⋅称为频率密度。
若以n i 或
N
n i 或
x
N n i
∆⋅为纵坐标，测量值x 为横坐标，便可得到
统计直方图。
（2） 概率密度分布曲线
利用式（1）求出个小区域中点的正态分布的概率密度值f(x)，以f(x)为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
若此概率密度分布曲线与统计直方图上端相吻合，则可以认为测量只是基本符合正态分布的。
五、实验内容：
1.时间间隔测量
（1）用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期或电子节拍器的周期。
2.统计规律研究 在相同条件下，重复测量200次。
（1）利用公式（2）和式（3）计算测量结果的平均值
x和测量数据列的标准差σ值。
（2）利用式（1）计算各区中点值x中的f(x)值。
（3）根据测量结果的离散程度，极限差R的大小，合理划分小区间数K，用公式（5）确定小区间的间隔，计
算各区间的频率、相对频率、相对频率密度和累计频率。
以频率密度为纵坐标测量值x为横坐标，作统计直方图，
并将f(x)-x中曲线绘在统计直方图上，检验测量值的分布是
否符合正态分布。
（4）利用公式（4）计算测量列误差出现在σ
±、σ2
±和σ3
±范围内的概率。
（5）计算测量结果平均值的标准差，并正确的写出测量结果完整的表达式。
六、数据处理：
1.原始数据如下：（单位：s）
初步分析得
2.由公式（2）（3）计算得： （单位：s ） 平均值
3.57=x 标准差 160.06233543=σ
3.机械节拍器的频数和频率密度分布：
K=15
0.02273
/)(min max =-=∆K x x x （单位：s ）
4.x中与f(x)的值如下：
5.统计直方图和f(x)-x中图像：
6.测量列误差出现在σ±、σ2±和σ3±范围内的概率：
σ
±=a 时 ()635.0=a P σ
2±=a 时 ()96.0=a P σ3±=a 时
()1=a P
7.测量结果完整的表达式为： ()s x 12.057.3±= 七、思考题：
1.若测量结果偏离正态分布，试分析产生偏离的主要因素。
答：测量结果偏离正态分布，直方图中频率密度与f(x)上端中点不重合，偏离产生的主要因素有： （1）测试者的心理因素 （2）外界环境因素 （3）仪器系统误差
（4）测量次数为200次，不能达到无穷多 （5）不是等精度测量
2.在不考虑系统误差的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量时随机误差的分布有哪些特征？ 答：
（1）对称性：与平均值的差值的绝对值相等时，出现的概率大致相等
（2）有界性：在一定条件下，标准差的绝对值有一定限度
（3）抵偿性：标准差的算术平均值随着n ∞而趋于零。