高二空间向量法知识点梳理
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b存在实数λ，使a＝λb 。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点一、空间向量的概念与表示空间向量是指具有大小、方向和作用线的量，可以用一个有向线段来表示。
设 A、B 是空间中的两点，用线段 AB 表示的向量称为向量AB，记作⃗AB 或 AB。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的和，记作⃗AB + ⃗BC = ⃗AC。
2. 向量的减法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的差，记作⃗AB - ⃗BC = ⃗AC。
三、数量积与向量积1. 数量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量 ⃗b = (x₂, y₂, z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的数量积为 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
2. 数量积的性质：- 交换律：⃗a·⃗b = ⃗b·⃗a- 结合律：(k⃗a)·⃗b = k(⃗a·⃗b) = ⃗a·(k⃗b) (k 为常数)- 分配律：⃗a·(⃗b + ⃗c) = ⃗a·⃗b + ⃗a·⃗c- ⃗a·⃗a ≥ 0，当且仅当⃗a = ⃗0 时，⃗a·⃗a = 03. 向量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量⃗b = (x₂, y₂,z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的向量积为⃗a × ⃗b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)。
4. 向量积的性质：- ⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a- (k⃗a) × ⃗b = ⃗a × (k⃗b) = k(⃗a × ⃗b) (k 为常数)- ⃗a × ⃗b = ⃗0，当且仅当⃗a 与 ⃗b 共线或其中一个为⃗0 时，⃗a × ⃗b = ⃗0四、平面与空间向量的关系1. 平面方程的向量表示：设平面过点 A(x₁, y₁, z₁)，且法向量为 ⃗n = (A, B, C)，则平面上任意一点 M(x, y, z) 满足向量⃗AM·⃗n = 0。
高中数学知识点总结：空间向量
高中数学知识点总结：空间向量1、空间向量的概念：（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．（2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （3）向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ．（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． （5）与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． （6）方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a O A =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C A P =A B +A ；或对空间任一定点O ，有x y C O P =O A +AB +A；或若四点P，A，B，C共面，则()1x y z C x y z O P =O A +O B +O ++=． 9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．10、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作ab⊥．11、已知两个非零向量a和b，则c o s ,a b a b 〈〉称为a，b的数量积，记作a b⋅．即c o s ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积．13若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，aa a =⋅；()4cos ,ab a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．14量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅； ()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； ()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．16、三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．17、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．18、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则（1）()121212,,a b x x y y z z +=+++． （2）()121212,,a b x x y y z z -=---． （3）()111,,a x y z λλλλ=．（4）121212a bx x y y z z ⋅=++．（5）若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．（6）若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．（7）21a a a x y =⋅=+（8）21cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+（9）()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =19、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．20、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．21、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O与向量a ，b 就确定了平面α的位置．22、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 23、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．24、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．25、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．26、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．27、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．28、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．29、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 30、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l的向量为n，则定点A 到直线l的距离为cos ,nd n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．31、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．。
空间向量免费知识点总结
空间向量免费知识点总结一、基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指n维实数空间中的元素，通常以n维列向量的形式表示。
例如，在三维空间中，一个向量可以表示为\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]2. 向量的模长向量的模长也叫向量的长度，表示向量的大小。
在三维空间中，向量\[ \mathbf{v} =\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]的模长可以表示为\[ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]3. 向量的方向向量的方向是指向量的指向。
在三维空间中，向量\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]的方向可以表示为\[ \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \frac{1}{|\mathbf{v}|} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]4. 向量的标准化将向量沿着其方向进行缩放，使得其模长等于1。
这样的向量称为单位向量。
5. 向量的相等两个向量相等，当且仅当它们的对应分量都相等。
6. 向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，在空间中表示为\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos{\theta} \]其中\[ \theta \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]之间的夹角。
7. 向量的叉积向量的叉积也称为矢量积或外积，在空间中表示为\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta} \mathbf{n} \]其中\[ \theta \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]之间的夹角，\[ \mathbf{n} \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]的方向向量。
高二数学空间向量知识点总结归纳
高二数学空间向量知识点总结归纳数学中的空间向量是指存在于三维空间中的有方向和大小的物理量。
在高二数学中，我们学习了关于空间向量的各种性质和运算法则，以及与之相关的应用。
本文将对高二数学空间向量的知识点进行总结和归纳。
一、空间向量的定义与表示方法在空间中，向量可以用有序数对或有序三元组表示。
通常，我们用大写字母表示向量，如AB、CD等。
表示向量的有序数组称为坐标，常用小写字母表示，如a、b、c等。
假设向量AB的坐标为(a₁, a₂,a₃)，则可表示为AB = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量。
二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，然后以这条连线为对角线构建平行四边形，向量的和为平行四边形的对角线向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B = A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
所以，向量A减去向量B，可以先求出B的反向量，再用向量的加法进行计算。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号·表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的数量积为A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号×表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的向量积为A×B = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k。
三、空间向量的性质与定理1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。
平行向量的数量积为零。
2. 垂直向量如果两个向量的数量积为零，则它们被称为垂直向量。
垂直向量的叉积也为零。
3. 向量共面如果三个向量可以放在同一个平面上，则它们被称为共面向量。
高二空间向量法知识点归纳
高二空间向量法知识点归纳空间向量法是数学中的一种重要工具，广泛应用于几何、物理等领域。
在高中数学的教学中，空间向量法也是一个重要的知识点。
本文将对高二空间向量法的相关知识进行归纳总结。
一、空间向量的定义和表示方法空间中的向量是有大小和方向的，它可以用坐标来表示。
三维空间中，向量通常用三个有序实数构成的有序三元组表示，记作：AB→=A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)。
该向量的坐标表示为：(x2-x1, y2-y1, z2-z1)。
二、向量的共线和共面判定1. 共线判定设有向量AB→和CD→，如果它们的坐标比例相等，则两个向量共线，即(x2-x1)/a=(y2-y1)/b=(z2-z1)/c。
2. 共面判定设有三个向量AB→，AC→和AD→，如果它们的混合积为0，则三个向量共面，即[(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)]a+[(y2-y1)(z3-z1)-(y3-y1)(z2-z1)]b+[(x2-x1)(z3-z1)-(x3-x1)(z2-z1)]c=0。
三、向量的数量积和数量积的性质1. 数量积的定义设有向量AB→和CD→，数量积定义为：AB→·CD→=|AB→|·|CD→|·cosθ，其中θ为AB→和CD→之间的夹角。
2. 数量积的性质- 交换律：AB→·CD→=CD→·AB→- 结合律：(AB→+CD→)·EF→=AB→·EF→+CD→·EF→- 数量积与向量共线：若AB→·CD→=0，则向量AB→和CD→垂直或其中一个向量为零向量。
四、向量的向量积和向量积的性质1. 向量积的定义设有向量AB→和CD→，向量积定义为：AB→×CD→=|AB→|·|CD→|·sinθ·n→，其中θ为AB→和CD→之间的夹角，n→为满足右手定则的单位向量。
空间向量及其运算知识总结
共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些
向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可
能是同一直线，也可能是平行直线． 6． 共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在 实数λ，使＝λ.
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于 任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式
， ，， ，， ． （2）若，，则． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的 坐标减去起点的坐标
4
模长公式：若，， 则，． 5．夹角公式：． 6．两点间的距离公式：若，， 则，或
空间向量应用
一、直线的方向向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在 空间直角坐标系中，由与确定直线的方向向量是.
当法向量、同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为； 当法向量、一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的 大小为.
五、距离
1．点点距离：设，，
2．点面距离：为平面任一点，已知为平面的一条 斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连 结则为斜线和平面所成的角，记为易得
.
3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量 的正射影性质直接计算.设两条异面直线、的公垂线 的方向向量为, 这时分别在、上任取、两点，则向 量在上的正射影长就是两条异面直线、的距离.即两 异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点 的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值.直线、的距离. 4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条 直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到 这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点 到平面的距离. 5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做 两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面 间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的 长度叫做两个平行平面间的距离.
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。
接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
它与平面向量类似，但存在于三维空间中。
一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。
零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。
单位向量：长度为\（1\）的向量。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。
若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。
空间向量(知识点梳理)
-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。
高中空间向量知识点高三网
高中空间向量知识点高三网高中空间向量知识点一、基本概念空间向量是指具有大小和方向的量，在三维空间中可以用有序三元组表示。
常用的表示方法有点向式、坐标式和混合式。
二、向量运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的数乘向量的数乘即对向量的每个分量进行相同的乘法运算。
3. 向量的数量积（点乘）数量积的结果是标量，满足交换律和数量积的分配律。
4. 向量的向量积（叉乘）向量积的结果是向量，满足右手定则、分配律和反分配律。
三、空间向量的表示1. 点向式表示点向式表示是用空间中的两个点表示向量，如向量AB以A为始点，B为终点。
2. 坐标式表示坐标式表示是用坐标表示向量，如向量AB可以表示为(3, 2, -1)。
3. 混合式表示混合式表示是将坐标式和点向式结合起来表示向量，如向量AB可以表示为向量a，其中a的始点为原点，a的终点为点B。
四、空间向量的性质1. 共线性若两个非零向量共线，则存在一个实数k，使得两向量满足比例关系。
2. 共面性若三个非零向量共面，则可以由其中两个向量的线性组合表示第三个向量。
3. 垂直若两个向量的数量积为0，则两向量垂直。
五、空间直线与平面1. 空间直线的方程确定一条空间直线需要一点和一向量。
直线的方程有参数方程和一般方程两种形式。
2. 空间平面的方程确定一个平面需要平面上的一点和一个法向量。
平面的方程有点法式方程和一般方程两种形式。
六、空间向量的应用1. 几何问题的解法空间向量可以用来解决几何问题，如判断点是否在直线或平面上，计算线段的长度和夹角等。
2. 物理问题的计算空间向量在物理学中有广泛应用，如力的合成、速度的分解等。
七、习题1. 设直线l过点A(1, 2, 3)，且与向量a(2, -1, -2)平行，求直线l的参数方程。
解：由于直线l与向量a平行，所以直线l的方向向量可以取为向量a。
(完整版)高二空间向量知识点归纳总结
一．知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
b a B A OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则 3. 共线向量： （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>OB y OA x OC +=，其中1=+y x（4）与a 共线的单位向量为||a a ±4. 共面向量 ： （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使。
b y a x p += （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>OC z OB y OA x OP ++=，其中1=++z y x5. 空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使c z b y a x p ++=。
若三向量c b a ,,不共面，我们{}c b a ,,把叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量高考知识点总结
空间向量高考知识点总结一、空间向量的定义与性质1. 空间向量的定义：空间中的向量是指有大小和方向的线段，可以用有向线段来表示，通常用小写字母表示。
2. 空间向量的性质：空间中的向量满足向量的相等、相反、共线和共面的性质。
3. 空间向量的运算：空间向量的加法、数量乘法、内积和叉乘等运算。
二、空间向量的坐标表示1. 空间向量的坐标表示：空间中的向量可以用坐标表示，一般用三元组表示。
2. 空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算包括向量相加、数量乘法和点积等运算。
三、空间向量的数量积1. 空间向量的数量积定义：两个向量的数量积又称内积，记作a·b，表示为|a||b|cosθ，其中θ为a、b之间的夹角。
2. 空间向量的数量积的性质：数量积具有对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。
3. 空间向量的数量积的几何意义：数量积可以用来计算向量的夹角、向量的投影以及向量的长度等。
4. 空间向量的数量积的应用：数量积可以用来解决空间中的几何问题，如判断两个向量的方向、判断点的位置、计算三角形的面积等。
四、空间向量的叉积1. 空间向量的叉积定义：两个向量的叉积，记作a×b，是另一个向量c，其大小等于以a、b为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所在的平面。
2. 空间向量的叉积的性质：叉积具有反对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。
3. 空间向量的叉积的几何意义：叉积可以用来计算平行四边形的面积、判断向量的方向以及判断向量的共线性等。
4. 空间向量的叉积的应用：叉积可以用来计算平行四边形和平行六面体的体积、判断三角形的面积、判断四边形的面积等。
五、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：空间向量可以用来解决空间中的共线、共面、投影、距离、面积、体积等几何问题。
2. 空间向量在物理中的应用：空间向量可以用来描述力的合成、速度的方向、加速度的方向、质心的位置等物理问题。
3. 空间向量在工程中的应用：空间向量可以用来解决工程中的坐标系、平面构图、体积计算、力矩计算等问题。
空间向量关键知识点总结
空间向量关键知识点总结1. 空间向量的基本概念空间向量是用来表示空间中的位移、力、速度等物理量的，它由大小和方向两个要素组成。
空间向量可以看作是一个有序数对或是坐标形式的表示，通常表示为(a，b，c)。
其中，a、b、c分别代表向量在x轴、y轴和z轴上的投影。
2. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指两个向量相加或相减的运算。
对于两个向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的和c=a+b的表示为(c1, c2, c3)=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)，而它们的差d=a-b的表示为(d1, d2, d3)=(a1-b1, a2-b2, a3-b3)。
从几何上看，向量的加法和减法实际上就是平行四边形法则的应用，可以通过平移一个向量来得到另一个向量的和或差。
3. 向量的数乘运算向量的数乘运算指的是一个向量乘以一个标量。
设有向量a=(a1, a2, a3)和实数k，则它们的数乘ka=(ka1, ka2, ka3)。
这个运算实际上就是将向量a的大小变为原来的k倍，方向不变。
4. 向量的点乘向量的点乘也称为内积，它是两个向量的乘积，结果是一个标量。
设有向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，则它们的点乘运算表示为a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
从几何上来看，两个向量的点乘等于它们的长度乘积与夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为外积，它是两个向量的乘积，结果是一个向量。
设有向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，则它们的叉乘运算表示为a×b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。
从几何上来看，两个向量的叉乘的方向垂直于这两个向量所张成的平面，并且大小等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。
6. 空间向量的线性相关性和线性无关性在空间中，多个向量如果存在一组不全为零的标量使得它们的线性组合等于零向量，则称这些向量是线性相关的。
高二数学空间向量笔记
空间向量笔记一、向量的概念与表示1.向量：既有大小又有方向的量。
在数学中，我们用有向线段来表示向量。
2.向量的模：向量的大小或长度，记作|a|。
计算公式为：|a| = √(x^2 + y^2+ z^2)。
3.向量的坐标表示：在直角坐标系中，向量a = (x, y, z)表示a的三个分量。
4.向量的数量积：两个向量的点乘，记作a ·b。
计算公式为：a ·b = |a| ×|b| × cosθ，其中θ是两向量的夹角。
二、向量的基本定理1.三个向量i, j, k满足i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1)，它们相互独立，可以表示空间中的任意向量。
2.任意向量a可以表示为i、j、k的线性组合，即：a = xi + yj + zk。
三、向量的运算1.向量的加法：平行四边形法则。
2.向量的数乘：标量与向量的乘法，满足分配律。
3.向量的减法：减法可以转换为加法，a - b = a + (-b)。
4.向量的向量积：定义了两个向量a和b的向量积为一个新向量c，记作c =a × b。
向量积满足反交换律，即a ×b = -b × a。
5.向量的混合积：三个向量的混合积定义为(a, b, c)，计算公式为：(a, b, c) =a · (b × c)。
混合积满足反交换律和分配律。
四、向量的应用1.向量在速度和加速度的研究中的应用：通过研究速度和加速度的向量性质，可以深入理解物体运动的过程。
2.向量在力的合成与分解中的应用：在物理学中，力可以视为向量，通过向量的合成与分解可以研究力的作用效果。
3.向量在解决实际问题的应用：例如，在物理、工程、航天等领域，可以使用向量来解决很多实际问题。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。
下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。
3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。
4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。
若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。
二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。
2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。
当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。
空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a//b 存在实数λ，使a＝λb。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量的知识点归纳的总结
a b a1b1 a2b2 a3b3 ，
a // b a1 b1, a2 b2, a3 b3 ( R) ，
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 。
②若 A( x1, y1, z1) ， B( x2 , y2, z2 ) ，则 AB ( x2 x1, y2 y1, z2 z1) 。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1，这个基底叫单位正交基底，用
{ i , j ,k} 表示。
（ 3）空间向量的直角坐标运算律：
①若 a (a1, a2, a3 ) ， b (b1, b2, b3) ，则 a b (a1 b1, a2 b2 ,a3 b3) ，
a b (a1 b1, a2 b2,a3 b3 ) ， a ( a1 , a2, a3 )( R) ，
精彩文档
实用标准文案
例 4. 如图，在空间四边形 OABC中， OA 8， AB 6 ， AC 4 ，BC 5 ， OAC 45 ，
OAB 60 ，求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。
O
A
C
说明：由图形知向量的夹角易出错，如
B OA, AC 135 易错写成 OA, AC 45 ，
切记！
例 5. 长方体 ABCD 与 B1C 的交点，又 AF
r
r
rr
a Pb a b(b 0) ；
a b ab 0
x1 , y2 y1, z2 z1) . x1 x2 y1 y2 z1z2 0 .
4. 夹角公式 设 a ＝ (a1, a2,a3) ，b ＝ (b1,b2,b3) ，则 cos , a b
ab11 a2b2 a3b3
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高二空间向量法知识点梳理
介绍：
在高中数学中，空间向量法是一个重要的概念。
它为我们解决
空间中的几何问题提供了一个有力的工具。
本文将对高二空间向
量法的知识点进行梳理和总结，以帮助读者更好地理解和运用这
一方法。
一、向量及其运算
1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2. 向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用字母表示。
3. 向量的运算：包括加法、减法和数乘。
4. 向量的性质：零向量、单位向量等。
二、向量的模和方向角
1. 向量的模：向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理求得。
2. 向量的方向角：向量的方向角是指与某一基准轴之间的夹角。
三、向量的共线与垂直
1. 向量共线的判定：如果两个向量的夹角为0度或180度，则
它们共线。
2. 向量垂直的判定：如果两个向量的内积为0，则它们垂直。
四、空间平面与直线的向量方程
1. 空间平面的向量方程：可以通过平面上一点和法向量表示。
2. 直线的向量方程：可以通过直线上一点和方向向量表示。
五、向量的数量积与向量积
1. 向量的数量积：也称为内积，表示两个向量之间的相似程度。
2. 向量的数量积的性质：包括交换律、分配律等。
3. 向量的向量积：也称为叉乘，表示两个向量所确定的平行四
边形的面积与方向。
4. 向量的向量积的性质：包括分配律、反交换律等。
六、空间向量的线性运算与共面问题
1. 空间向量的线性运算：包括向量的线性组合和线性相关性。
2. 共面向量的判定：如果三个向量在同一平面内，则它们共面。
七、空间直线与平面的位置关系
1. 空间直线与平面的位置关系：包括平行、垂直和相交等情况。
总结：
空间向量法是解决几何问题的重要方法，具有广泛的应用范围。
通过对高二空间向量法知识点的梳理和总结，我们可以更好地掌
握和运用这一方法。
希望本文对你在学习空间向量法时有所帮助！。