分式裂项法
分数裂项法总结.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7 8
练习：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两 个分数单位的差，消去中间留下两边.
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1
(3n 2)(3n 1)
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
n n 1
习
练
题
1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋L ＋
1
1 2 23 3 4
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
n
1 1
n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
11 2 5 7 35
分式的方法与技巧
1、整体通分法
分析：像这样的，一个分式，后面是整式时，将后面的整式看作一个整体，来进行整体通分，可以简单求解。
2、逐项通分法
分析：通过观察各分母的特点，分母为整式时，想一想符合不符合乘法公式的运用特点，从左到右依次通分。
3、先约分，再通分
分析：像这样分子分母都是含有分母的整式时，想到能不能先约分，就要现将分子、分母先分解因式，能月份的先约分后再根据题目的特点进项必要的变化后求值。
4、裂项相消法
分析：通过观察，后两个分式的分母是两个因数的积，并且这两个因式相差1，而分子是一个还相同，这是就应该想到裂项法解题，就是将每一个分式拆成两项的差，前后抵消后再计算。
5、整体代入法
分析：先将条件进行整理，然后整体代入求代数式的值值。
6、公式法
分析：遇到这种特点的题目，先将条件式进行变形，利用完全平方公式再对要求的式子进行整理，然后代入求值。
7、设辅助参数法
分析：利用条件式设一个辅助参数，将一些代数式用所设的参数表示，然后再将这些代数式代入到所求的式子中去，起到化简的目的。
8、倒数变换法
分析：像这种分子比较简单，分母比较复杂事时，这时可以想到把条件式整体取倒数，使条件变简单，再求值。
9、特殊值法
分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入所求的式子求出结果。
这种方法多用在填空题、选择题中。
分数裂项法则
分数裂项法则分数裂项法则是数学中的一种运算法则，用于将一个分数拆分成若干个分数之和。
这个法则在分数的运算中起到了重要的作用，可以简化运算过程，方便计算。
下面我们来详细介绍一下分数裂项法则的原理和应用。
一、分数裂项法则的原理分数裂项法则是基于分数的加法和分数的乘法运算的基本性质推导出来的。
它的基本思想是将一个分数拆分成若干个部分，然后分别进行运算，最后再将结果相加。
具体来说，分数裂项法则可以分为以下几个步骤：1. 将分数的分子进行裂项，即将一个分数的分子拆分成两个部分。
2. 将分数的分母进行裂项，即将一个分数的分母拆分成两个部分。
3. 将裂项后的分子和分母进行分别相乘，得到两个新的分数。
4. 将两个新的分数相加，得到最终的结果。
分数裂项法则可以应用于各种分数的运算中，包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们以加法和乘法为例进行说明。
1. 加法运算：假设有一个分数 a/b，我们可以将其裂项为 (a+c)/b + (a-c)/b，其中 c 是一个任意的数。
然后将两个新的分数相加，得到结果为 2a/b。
这个过程中，我们通过裂项将一个分数拆分成了两个部分，然后再将两个部分相加，得到了原分数的两倍。
2. 乘法运算：假设有两个分数a/b 和c/d，我们可以将其裂项为(a+c)/(b+d)。
然后将新的分数相乘，得到结果为ac/(bd)。
这个过程中，我们通过裂项将两个分数的分子和分母分别相加，然后再将两个新的分数相乘，得到了原分数的乘积。
三、分数裂项法则的优点分数裂项法则的优点在于它可以简化分数的运算过程，使得计算更加方便快捷。
通过裂项，我们可以将一个复杂的分数拆分成若干个简单的分数之和或乘积，从而减少运算的复杂性。
同时，裂项还可以使得运算过程更加灵活，可以根据具体情况选择不同的裂项方式，以便于得到所需的结果。
四、分数裂项法则的应用举例下面我们通过几个具体的例子来展示分数裂项法则的应用。
1. 例题一：计算分数 3/4 + 5/6。
分数裂项的知识点总结
分数裂项的知识点总结一、分数裂项的定义在数学中，分数裂项指的是将一个分数表达成若干个较小的分数之和的形式。
通俗来讲，就是把一个分数分解成几个更小的分数相加的形式。
分数裂项有两种常见的形式，一种是分母为线性函数的形式，另一种是分母为二次函数的形式。
1. 分母为线性函数的分数裂项当分数的分母为线性函数的形式时，我们可以使用部分分式分解的方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行因式分解，得到一些线性因式和重数为1的线性因式。
然后，将这些线性因式和重数为1的线性因式分别拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{(x-1)(x-2)}$，我们可以进行部分分式分解，得到$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
2. 分母为二次函数的分数裂项当分数的分母为二次函数的形式时，我们可以使用平方配方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行平方配，得到一些平方项。
然后，将这些平方项拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{x^2-1}$，我们可以进行平方配，得到$\frac{1}{x^2-1} =\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
二、常见的分数裂项技巧在分数裂项的过程中，我们常常会遇到一些特殊的情况，这时需要灵活运用一些分数裂项的技巧来处理。
下面列举一些常见的分数裂项技巧：1. 使用齐次化简：当分母中含有根式或者复杂的二次函数时，我们可以使用齐次化简的方法，将其化为一般的二次函数，便于进行分数裂项。
2. 对待定系数进行适当取值：在进行部分分式分解时，我们可以通过适当取值来简化未知数的计算，例如取特殊值或者代入简单的方程组。
小学奥数教程：分数裂项计算 全国通用(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数裂项法总结
裂项法的注意事项
在使用裂项法时，需要注意以下几点：首先，要确保拆分 的分数是正确的，即拆分后的分数之差或商等于原分数； 其次，要注意运算的优先级，确保计算的准确性；最后， 要注意简化计算过程，尽可能减少计算的复杂度。
此外，对于一些特殊的分数，如分母为平方数或立方数的 分数，可以使用特定的裂项法进行计算，以简化计算过程 。
分数裂项法之立方差法
立方差法的概念
立方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个分数的立方差，可以简化计 算过程。
立方差法的应用
立方差法在数学和工程等领域中都有广泛的应用。例如，在解决几何问题时，立方差法可以帮助我们更好地理解和计 算立体图形的体积。
立方差法技巧
在使用立方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需要注意保持拆 分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
平方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个 分数的平方差，可以简化计算过程。
平方差法的应用
平方差法在数学和物理等领域中都有广泛的应用。例如，在解决代数问题时，平方差法可 以帮助我们更好地理解和计算表达式的值。
平方差法的技巧
在使用平方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需 要注意保持拆分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
分数裂项法在日常生活中的应用
在日常生活中，我们也会遇到许多涉及到分 数的问题，如时间、金钱等。通过运用分数 裂项法，我们可以更好地理解和处理这些问 题。
例如，在时间管理中，可以将一天的时间拆 分成小时、分钟等部分，以便更好地安排工 作和休息时间；在理财中，可以将一笔钱拆 分成不同的用途和投资方式，以便更好地实
六年级分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程;很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了;本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高;分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差;遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的;1对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1a b⨯形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即：知识点拨教学目标分数裂项计算1(1)(2)n n n ⨯+⨯+,1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的,我们有：裂差型裂项的三大关键特征：1分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是xx 为任意自然数的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算;2分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”3分母上几个因数间的差是一个定值;二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：111a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 22222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的;【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ; 考点分数裂项 难度2星 题型计算 关键词美国长岛,小学数学竞赛【解析】 原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以分母差分之一,如改为：111113355779+++⨯⨯⨯⨯,计算过程就要变为：111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭． 答案56考点分数裂项 难度2星 题型计算【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012=-+-++-=-=例题精讲答案112考点分数裂项 难度2星 题型计算【解析】 原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 答案715考点分数裂项 难度3星 题型计算 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题;此类问题需要从最简单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律;从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯,112(12)212232==+⨯+⨯,……, 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 答案991101考点分数裂项 难度2星 题型计算 答案50101【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++=⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭考点分数裂项 难度2星 题型计算 关键词2009年,迎春杯,初赛,六年级【解析】 原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++-⎪⎝⎭11251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225=⨯12=答案12考点分数裂项 难度2星 题型计算 关键词2008年,台湾,小学数学竞赛,初赛【解析】 原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭答案211532【巩固】 计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式1111111111111255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12= 答案12【例 2】 计算：11111111()1288244880120168224288+++++++⨯=考点分数裂项 难度2星 题型计算 关键词2008年,101中学【解析】原式1111128 2446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯（）答案4289【巩固】11111111 612203042567290+++++++=_______考点分数裂项难度2星题型计算关键词2008年,第六届,走美杯,初赛,六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为：答案25考点分数裂项难度6星题型计算关键词2008年,第6届,走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111212312341234567 =+++++++++++++++++答案74【巩固】计算：111111111 2612203042567290 --------＝考点分数裂项难度3星题型计算关键词2006年,第4届,走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111111 () 223344556677889910 =-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案110【巩固】11111104088154238++++= ;考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式11111 255881111141417 =++++⨯⨯⨯⨯⨯答案534【例 3】计算：1111 135357579200120032005 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考点分数裂项难度3星题型计算关键词2005年,第10届,华杯赛,总决赛,二试【解析】原式1111111 4133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦答案100400312048045考点分数裂项难度3星题型计算关键词2007年,仁华学校【解析】原式791611111 18290113355779 133 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯【例 4】 计算：11111123420261220420+++++ 考点分数裂项 难度3星 题型计算 关键词第五届,小数报,初赛【解析】 原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭答案2021021【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270++++= ; 考点分数裂项 难度2星 题型计算【解析】 原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 答案51005054【巩固】 计算：1122426153577++++= ____; 考点分数裂项 难度2星 题型计算答案11【巩固】 计算：1111111315356399143195++++++考点分数裂项 难度3星 题型计算 【解析】 分析这个算式各项的分母,可以发现它们可以表示为：232113=-=⨯,2154135=-=⨯,……,21951411315=-=⨯,所以原式11111111335577991111131315=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案715【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900+++++++= ． 考点分数裂项 难度3星 题型计算 关键词2008年,四中【解析】 原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案198100考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【巩固】 计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案494919800【巩固】 计算：1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式＝1135⨯⨯＋1357⨯⨯＋…+1192123⨯⨯+1246⨯⨯+…+1202224⨯⨯ ＝14113⨯－12123⨯＋14124⨯－12224⨯ ＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032答案38625340032 考点分数裂项 难度3星 题型计算 答案32009603考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 99123⨯⨯＝1001123-⨯⨯＝100123⨯⨯－123⨯＝100123⨯⨯－123⨯98234⨯⨯＝1002234-⨯⨯＝100234⨯⨯－2234⨯⨯＝100234⨯⨯－134⨯97345⨯⨯＝1003345-⨯⨯＝100345⨯⨯－3345⨯⨯＝100345⨯⨯－145⨯……199100101⨯⨯＝1009999100101-⨯⨯＝10099100101⨯⨯－9999100101⨯⨯＝10099100101⨯⨯－1100101⨯原式100100100100111...(...)123234345991001012334100101=++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案5124101考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++-⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭答案1192160考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式11111113[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案11396840【例 5】 计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．考点分数裂项 难度3星 题型计算 【解析】 如果式子中每一项的分子都相同,那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同,而是成等差数列,且等差数列的公差为2．相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列该数列的第n 个数恰好为n 的2倍,原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质,可知分子的通项公式为23n +,所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+,再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．答案2315【巩固】 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）考点分数裂项 难度3星 题型计算 关键词2009年,迎春杯,初赛,五年级 【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+,734=+,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所以所以原式31115565155=⨯=． 法二上面的方法是最直观的转化方法,但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列,而等差数列的通项公式为a nd +,其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式,再将a 与nd 分开,每一项都变成两个分数,接下来就可以裂项了．11223413112220311422055=-+-=-=, 所以原式31115565155=⨯=．法三本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式31115565155=⨯=． 法四对于这类变化较多的式子,最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：21(1)(2)n n a n n n +=++2n =,3,……,9如果将分子21n +分成2n 和1,就是上面的法二；如果将分子分成n 和1n +,就是上面的法一． 答案651【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考点分数裂项 难度3星 题型计算 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是5个连续自然数的乘积,所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方差公式：23154=⨯+,24264=⨯+,25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案75616考点分数裂项 难度4星 题型计算【解析】 原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案36287993628800考点分数裂项 难度4星 题型计算【解析】 原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案50395040【巩固】 计算：23993!4!100!+++= . 考点分数裂项 难度4星 题型计算 【解析】 原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然开朗了．原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案112100!-考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯＝11-13＋13-16＋16-110＋11225-11275＝12741275 答案12741275考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 2111(12)112=-⨯++,311(12)(123)12123=-+⨯+++++,……, 10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++,所以 原式1112100=-+++答案50495050考点分数裂项 难度2星 题型计算【解析】 原式234101()133********=-++++⨯⨯⨯⨯答案155【例 6】 22222211111131517191111131+++++=------ .考点分数裂项 难度3星 题型计算 关键词仁华学校 【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+,原式111111()()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案314【巩固】 计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-= 考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 2111131(1)(1)22222-=-⨯+=⨯,2111241(1)(1)33333-=-⨯+=⨯,……所以,原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯1502524949=⨯=答案2549【巩固】 计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯答案6364【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案9979971996【巩固】 计算：22222222222213243598100213141991++++++++=---- ．考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 2221310213+=-,2222420318+=-,22235344115+=-,……由于104233=,204288=,34421515=,可见原式222244442222213141991=++++----答案47511984950【巩固】 计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-,241-,261-,……,21001-,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所以可以先将原式乘以4后进行计算,得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭答案6312101考点分数裂项 难度3星 题型计算答案310考点分数裂项 难度3星 题型计算 关键词第三届,祖冲之杯,人大附中【解析】 原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4答案4巩固计算：1325791011193457820212435++++++++=考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++=答案5考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式12311111121133573445475667=++++++++++++答案334考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案127考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦答案10【巩固】 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式23344556677889910123344556677889910++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案35考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式111111112111453445355646=+++++++++++答案3考点分数裂项 难度3星 题型计算【解析】 原式1232341918192021919 (217362123431819201912020)=++++++++++=+⨯+= 答案193620考点分数裂项 难度4星 题型计算【解析】 原式=2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =1200820082008120072007(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =1111()2008200720072015028⨯+=答案12015028【例 7】 计算：11111123459899515299+++++++=⨯⨯⨯ 考点分数裂项 难度5星 题型计算【解析】 原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112241235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 111111111112412351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1111111111224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1111111111246354565025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11491502550=+-= 答案4950【例 8】 计算：24612335357357911++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考点分数裂项 难度4星 题型计算【解析】 原式31517113133535735791113----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 111111133535791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭【解析】 1135791113=-⨯⨯⨯⨯⨯ 135134135135=答案135134135135【例 9】 计算：28341112222221335571719135357171921⎛⎫++++-+++= ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭考点分数裂项 难度5星 题型计算【解析】 3411992222244221353571719211335355717191921+++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 所以原式889122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭921512133379192113399399-=-==⨯⨯ 答案379399。
分母裂项技巧公式
分母裂项技巧公式
分母裂项技巧公式是一种常用的数学技巧，用于将分母分解为两项，并通过组合重新组合以达到消去分母的目的。
通常用于代数、分数和整数等领域。
下面是三种常见的分母裂项技巧公式:
1. 分母裂项拆分万能公式:1/[n(n1)](1/n)-[1/(n1)]
该公式可以将分母分解为两项，并通过组合重新组合以达到消去分母的目的。
它的应用范围非常广泛，可以用于各种分母为 n 和 n1 的数列求和中。
具体来说，该公式可以用于等差数列、等比数列、斐波那契数列等各种类型的数列求和。
2. 分母裂项拆分万能公式:1/[(2n-1)(2n1)]1/2[1/(2n-1)-1/(2n1)]
该公式可以将分母分解为两项，并通过组合重新组合以达到消去分母的目的。
它的应用范围比第一种公式稍窄，只适用于分母为 (2n-1) 和 (2n1) 的数列求和。
3. 分母裂项拆分万能公式:1/[n(n1)(n2)]1/21/[n(n1)]-1/[(n1)(n2)]
该公式可以将分母分解为三项，并通过组合重新组合以达到消去分母的目的。
它的应用范围比前两种公式更窄，只适用于分母为 n、n1 和 n2 的数列求和。
除了上述三种公式外，还有许多其他的分母裂项技巧公式，但一般来说，其中最常见的就是上述三种。
在实际应用中，人们可以根据具体情况选择最合适的公式来进行计算。
裂项的计算方法
裂项的计算方法一、裂项是啥。
1.1裂项啊，就像是把一个复杂的式子拆成好几个简单的部分。
这就好比把一个大蛋糕切成好几块小蛋糕，每一块都好处理多了。
比如说分数的裂项，就是把一个分数拆成两个或者几个分数相加减的形式。
这可不是什么故弄玄虚的东西，而是实实在在能简化计算的妙招。
1.2咱们举个简单的例子，像1/(n(n + 1))这样的式子，就可以裂项成1/n 1/(n + 1)。
这就像把一个整体的任务分解成两个小任务，每个小任务都清晰明了。
这时候你可能会想，这有啥用呢？等你看到在计算一些求和式子的时候，就知道它的厉害了。
二、裂项在计算中的应用。
2.1求和计算。
比如说计算1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(99×100)。
要是直接计算，那可费劲了，就像摸着石头过河，一步一个坎。
但是用裂项的方法呢，就变成了(1 1/2)+(1/2 1/3)+(1/3 1/4)+…+(1/99 1/100)。
你看，这中间很多项都可以互相抵消，最后就只剩下1 1/100，简单得很，就像顺水推舟一样轻松。
2.2再比如说，对于式子1/(n(n + 2))，它可以裂项成1/2×(1/n 1/(n + 2))。
当我们计算1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+…+1/(99×101)的时候，利用这个裂项公式，就可以把式子转化为1/2×((1 1/3)+(1/3 1/5)+(1/5 1/7)+…+(1/99 1/101))。
这里面很多项相互抵消后，计算起来就不费吹灰之力了。
2.3还有更复杂一点的，像分母是三个连续自然数相乘的情况，比如1/(n(n + 1)(n + 2))，它可以裂项成1/2×[1/(n(n + 1))-1/((n + 1)(n + 2))]。
这就好比是把一个乱成一团麻的式子，梳理得井井有条。
裂项相消法例题
裂项相消法例题
裂项相消法是一种用于求解分式方程的方法，通过消去分式的分子或分母的某些项来简化方程。
下面是一个例题：
求解方程：\frac{a}{a+1} - \frac{2}{a} = \frac{1}{a-1} - \frac{4}{a}
我们可以将等式两边的分式通分，得到：
\frac{a}{a+1} - \frac{2}{a} = \frac{1}{a-1} - \frac{4}{a} = \frac{a \cdot a}{a(a+1)} - \frac{2(a+1)}{a(a+1)} =
\frac{a-1}{a-1} \cdot \frac{1}{a-1} - \frac{4(a+1)}{a(a+1)} = \frac{a^2 - 2(a+1)}{a(a+1)} = \frac{1}{a-1} -
\frac{4(a+1)}{a(a+1)}
接下来，我们可以使用裂项相消法来简化方程。
我们发现分式的分母中含有(a+1)和a，所以我们可以通过消去分子中的(a+1)和a来简化方程。
现在将等式两边的分子进行分解，得到：
a^2 - 2(a+1) = 1 - 4(a+1)
a^2 - 2a - 2 = 1 - 4a - 4
a^2 - 2a - 2 = -4a - 3
将方程整理为一元二次方程的标准形式，得到：
a^2 - 2a + 4a + 1 = 0
a^2 + 2a + 1 = 0
(a+1)^2 = 0
a+1 = 0
a = -1
方程的解为a = -1。
分数的裂项公式
分数的裂项公式分数的裂项公式是一种重要的数学公式，它可以将一个分数拆分成若干个分数的和，从而简化计算。
在学习和应用该公式时，需要理解其基本概念，掌握运用技巧，并注意一些常见的注意事项。
首先，我们来看一下裂项公式的基本概念。
裂项公式是指，对于任意一个分数a/b，可以将其拆分成若干个形如c/d的分数之和，即：a/b = c1/d1 + c2/d2 + … + cn/dn其中，c1、c2、…、cn和d1、d2、…、dn分别为分子和分母，它们满足以下条件：1. 所有的ci和di都应为正整数；2. 分子和分母的最大公约数为1，即gcd(ci, di) = 1；3. 所有的di均不为0。
其次，我们来讨论一下裂项公式的运用技巧。
在实际应用中，我们通常根据分母的因数来分解分数，具体步骤如下：1. 对于分数a/b，我们先找出它的一组互质的分母d1、d2、…、dn，使得d1 × d2 × … × dn = b；2. 根据这组分母，我们分别将a/b表示成如下形式：a/b = (a × d1)/(b × d1) + (a × d2)/(b × d2) + … + (a × dn)/(b × dn)3. 然后，我们对每个拆分分数进行简化，即求出它们的最简形式；4. 最后，将这些最简形式的分数相加，得到a/b的裂项表达式。
需要指出的是，裂项公式的应用不仅局限于分式的计算，还可以在一些数学问题中起到很好的辅助作用。
例如，在求解一些无理数的连分数表示时，就可以利用裂项公式将无理数拆分成分数的和，进而得到连分数的展开式。
最后，我们来谈一谈在应用裂项公式时需要注意的一些事项。
首先，要保证拆分的所有分数都是正整数，而且每个分数的分母都不为0。
其次，为了简化计算，应该选择一个合适的分母进行拆分，以尽量减小后续计算的难度和错误率。
此外，在进行裂项计算时，还应避免因未简化分数而造成计算错误，以及注意计算结果的范围是否正确。
三个分母的裂项相消公式
三个分母的裂项相消公式好的，以下是为您生成的一篇关于“三个分母的裂项相消公式”的文章：咱今儿就来好好唠唠这三个分母的裂项相消公式。
还记得我之前教过的一个学生小明，那孩子刚开始接触这部分知识的时候，简直是一头雾水。
有一次上课，我在黑板上写下了一道三个分母的裂项相消题目，小明瞪着眼睛看了半天，一脸迷茫地问我：“老师，这咋弄啊？”其实啊，三个分母的裂项相消公式并没有想象中那么难。
咱先来说说原理，就好比把一个大蛋糕分成几块，每一块都有它特定的大小和形状。
比如说有这样一个式子：1/(a×b) + 1/(b×c) + 1/(c×d) 。
这时候，咱们就得找到每个分式的规律。
假设可以把它们拆分成这样：A/(a×b) +B/(b×c) + C/(c×d) ，然后通过计算找到 A、B、C 的值。
举个具体的例子，比如 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) 。
我们来看看怎么裂项，1/(1×2) 可以写成 1 - 1/2 ，1/(2×3) 可以写成 1/2 - 1/3 ，1/(3×4) 可以写成 1/3 - 1/4 。
这样一来，原来的式子就变成了 (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) 。
您瞧瞧，中间的那些项是不是都能消掉？最后就剩下 1 - 1/4 = 3/4 。
咱再回来说说小明，经过我反复地举例讲解，他终于有点开窍了。
有一天他跑过来兴奋地跟我说：“老师，我用您教的方法做对了好几道题！” 看着他那高兴的样子，我心里也美滋滋的。
其实啊，学习三个分母的裂项相消公式，关键是要多练习，多观察式子的特点。
就像搭积木一样，一开始可能手忙脚乱，但熟悉了每一块积木的形状和位置，就能轻松搭出漂亮的城堡。
再比如这个式子：1/(2×4) + 1/(4×6) + 1/(6×8) 。
分母裂项法公式
分母裂项法公式
若分式表达式为P(x)/Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是多项式函数，而且 Q(x) 可以分解为多个互不相同、线性或二次式的乘积，即 Q(x) = (ax + b)(cx^2 + dx + e)(rx^2 + sx + t)，则 P(x)/Q(x) 可以表示为若干个形如 A/(ax + b) + B/(cx^2 + dx + e) + + N/(rx^2 + sx + t) 的简单分式之和的形式，其中 A、B、、N 是常数，而且可以通过等式两边通分、对比对应项系数等方式来求解。
分母裂项法公式的核心思想是将复杂的分式表达式转化为简单
的分式之和，从而方便进行计算和分析。
它在代数学、微积分学等数学领域中应用广泛，为解决实际问题提供了有力的工具和思路。
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分式不等式放缩、裂项、证明
分式不等式放缩、裂项、证明第一篇：分式不等式放缩、裂项、证明放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项（2）在分式中放大或缩小分子或分母。
（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。
（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。
（6）构造等比数列进行放缩。
（7）构造裂项条件进行放缩。
（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。
使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。
先介绍工具柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）均值不等式调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数绝对值三角不等式定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|．推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．常用放缩思想这几个务必牢记不常见不常用的不等式这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了下面就是常用思路了，主要就是裂项部分二项平方和f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于01.分式不等式中的典范，典范中的典范，放缩、裂项、去等，步步精彩解析：步步经典，用笔化化就能明白思想，换元或许更直观，即令t=1/（x+2）第一步意义--开不了方的，开方，并且可取等号第二步意义--开不了方的，开方，裂项，并且可取等号个人认为这俩个放缩，很犀利，没见过，看似难实则简单，看似简单实则难2.构造+三角形★★★★平面内三点A、B、C，连接三点，令AB=c，AC=b，BC=a，求解析：构造，主要就是构造，b/c就是很明显的提示。
分数裂项公式口诀
分数裂项公式口诀
什么是分数裂项公式？
一般来说，分数裂式公式是指一种可以用来简化含有分数的除法的公式。
它的概念是将除法中的分数分解成多项式的和，进而转化为乘法形式。
这样，原来复杂的除法运算就可以省去了，只需要用乘法运算计算出最终结果即可。
关于分数裂项公式，有一句口诀：“相同因数，放一边；相同指数，放一边；不同指数，全部分解。
”
这句口诀提出了一种可以应用于分数裂项公式的简单思路。
首先，当分子和分母中有相同的因数时，可以把它们放到一边去理解；其次，如果分子和分母中的指数相同，可以把它们相乘；最后，如果分子和分母中的指数不同，可以把它们全部分解。
上面的口诀只是一个概括，虽然可以帮助我们理解分数裂项公式的本质，但想要学好这门学科仍然需要大量的练习。
因此，学习分数裂项公式时，大家一定要多多练习，正确地灵活使用口诀才能把它搞懂。