对数函数知识点及典型例题讲解

对数函数知识点及典型例题讲解

1．对数：

(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称 为 ，记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数.

① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．

② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：

① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：

① log a (MN)＝___________________________； ② log a N

M ＝____________________________；

③ log a M n

＝ (n ∈R).

④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)

⑤ log m n

a a n

b b m = .

2．对数函数：

① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；

4) 函数x y a log =与函数

)1,0(≠>=a a a y x

且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当10<a 时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：

例1 计算：（1）)32(log

3

2-+

（2）2(lg 2)2

+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2

+-;

（3）21lg

4932-3

4

lg 8+lg 245. 解：（1）方法一

设)32(log

3

2-+=x,(2+3)x

=2-3=

3

21+=（2+3）-1

,∴x=-1.

方法二

)32(log 32-+=32log +

3

21+=3

2log

+(2+3)-1

=-1.

（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2

+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1.

（3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821

+2

1

lg245

=21

(5lg2-2lg7)-34×2lg 23+2

1 (2lg7+lg5)

=2

5lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+2

1lg5

=21lg(2×5)= 21lg10=2

1.

变式训练1：化简求值. （1）log 2

48

7

+log 212-21log 242-1;

（2）(lg2)2

+lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).

解：(1)原式=log 2

48

7+log 212-log 242-log 22=log 2

.

2

32

log 2

21log 2

42481272

322

-===⨯⨯⨯-

（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=(

.4

5

2lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 例2 比较下列各组数的大小. （1）log 33

2与log 55

6;

2）log 1.10.7与log 1.20.7;

（3）已知log 2

1

b ＜log 2

1a ＜log 2

1c,比较2b

,2a

,2c

的大小关系.

解：（1）∵log 33

2＜log 31=0,而log 55

6＞log 51=0,∴log 33

2＜log 55

6.

(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>,

∴

2

.1log 11

.1log 17.07.0<

,

即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.

方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.

如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 2

1log 为减函数，且c a b 2

12

12

1

log log log <<,

∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c

.

变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a b

b b

b

a

1log ,log ,1的大小关系是 （ ）

A.log a b

b b

b

a

1log log 1<< B.b

b

b b

a

a 1

log 1log log <<

C.b b b a b

a

1log 1log

log << D.b b

b a a b log 1

log 1log << 解： C

例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.

解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3.

因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3.

当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+

∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，

+

|f(x)|=-f(x)≥-log a 3.

因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+

只要-log a 3≥

1

∴log a 3≤-1=log a a

1,即

a 1≤3,∴3

1

≤a ＜ 1.

综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［3

1

，1）. 变式训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2

-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围

.

解：令g(x)=x 2

-ax-a,

则g(x)=（x-2

a ）2

-a-42a ,

由以上知g(x ）的图象关于直线x=

2

a

对称且此抛物线开口向上

.

因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数，

所以g(x)=x 2

-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.

∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩

⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312

a a a g a ，即

解得2-23≤a ＜

2.