《高等数学》第八章复习要点

第八章 多元函数微分法及其应用 复习要点

多元函数的微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，深刻理解，融会贯通。

1. 会求多元函数的偏导数

对二元函数),(y x f z =， x y x f y x x f x z f x ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 01，y

y x f y y x f y z f y ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 02 因此求

x z ∂∂时，暂时将y 看作常数，对x 求导; 求y z ∂∂时，暂时将x 看作常数，对y 求导.

同理，会求三元函数的偏导数。

2. 会求多元函数的高阶偏导数

对二元函数),(y x f z =，有

)(2211x z x x z f ∂∂∂∂=∂∂=''， )(212x

z y y x z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(221y z x x y z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(2222y z y y

z f ∂∂∂∂=∂∂=''. 定理：x

y z y x z x y z y x z ∂∂∂∂∂∂⇔∂∂∂=∂∂∂2222, 连续 3. 会求多元函数的全微分

对二元函数),(y x f z =，dy y

z dx x z dz ∂∂+∂∂= 对三元函数),,(z y x f u =，dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=

4. 掌握多元复合函数的求导法则

设)],(),,([),(),,(),,(y x v y x u f z y x v v y x u u v u f z =⇒===

则 x

v f x u f x v v z x u u z x z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21

y

v f y u f y v v z y u u z y z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21 重点：会求复合函数的二阶偏导数。

5. 会求由方程0),,(=z y x F 确定隐函数),(y x z z =的偏导数，其中

z

y z x F F y z F F x z -=∂∂-=∂∂, 6. 会求多元函数的方向导数与梯度

二元函数),(y x f z =在点),(00y x P 处沿射线l 方向的方向导数：

ααsin ),(cos ),(0000y x f y x f l f y x +=∂∂（其中α为x 轴正向到射线l 的转角） 梯度 j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+= 梯度向量的方向为点),(00y x P 处方向导数取得最大值的方向，且

),(),(),(00200200max y x f y x f y x gradf l

f y x +==∂∂ 类似，可得三元函数的方向导数与梯度。

7. 掌握多元函数微分法在几何上的应用 (1) 空间曲线)(),(),(t z t y t x ωψϕ===在点),,(000z y x M 处的切线方程（其中M 点对应参数0t ）： )

()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='- 法平面方程：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ

(2) 曲面0),,(=z y x F 在点),,(000z y x M 处的切平面方程： 0)))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 法线方程 )

,,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 8. 会求二元函数的极值，其一般步骤为：

（1）令⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f y

x ，解得函数),(y x f 的驻点 （2）求出yy xy xx f f f ,,

（3）利用判别式2B AC -的符号判断驻点是否为极值点。