江苏省启东中学2022届高三上学期第一次月考(10月)数学(文)试题 Word版含答案

江苏省启东中学2021-2022学年度第一学期第一次月考

高三数学试卷（文科） 命题人：施勇

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相．．．．应位置上．．．．

． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则 ▲ ． 2．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ▲ ．

3．设幂函数()f x kx =α

的图象经过点()4,2，则k +=α ▲

4．计算1

21lg lg 251004-⎛⎫

-÷= ⎪⎝⎭

▲ ．

5．若()(

)1

2

33,2,

log 1, 2.x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()2f f 的值为 ▲ 6.已知,x y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

若z ax y =+的最大值为4，则a 的值为 ▲ .

7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，2

53S a =，则

10a = ▲ ．

8．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x 上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为 ▲ ．

9．若正实数,x y 满足2

210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．

10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ . 11. 如图所示的梯形ABCD 中，,2,234,//MD AM CD AD AB CD AB ====，，

假如AD AB BM AC ⋅-=⋅则,3= ▲ .

12. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π

6

)－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间

[－π4，π

4

]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ . 13. 已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1＜x ≤1，

1－|x －2|，1＜x ≤3．

若函数y ＝f (x )－m |x|

恰有10个不同零点，则实数m 的取值范围为 ▲ . 14. 已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数

g (x )＝|e x －a |＋

a 2

2，当x ∈[0，ln3]时，函数g (x )的最

大值M 与最小值m 的差为3

2，则a 的值为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）

设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若)2

cos(sin B A -=π

,2,3==c a

（1）求AC AB ⋅的值；（2）求)2

3tan(B C

-+π的值为.

16.（本小题满分14分）

设p ：实数x 满足22

430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足3

02

x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.

17.（本小题满分14分）

小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从其次年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考

留意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．

3．答题时，必需用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为x -25万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.

（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？

（利润=累积收入+销售收入-总支出）

18.（本小题满分16分）

如图所示，某大路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．

（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；

（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．

19.（本小题满分16分）

设1a >,函数()

2(1)x f

x x e a =+-.

（1）证明()x f 在()

0,1a -上仅有一个零点；

（2）若曲线()x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原

点),证明:3

2

1m a e

≤

-

-

20.（本小题满分16分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足

1

11

()N n n n S a λ*++=∈，λ为常数． （1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由． （2）当1λ=时，求证：

1

111n n a a ++≥． （3）当1

2

λ=

时，求证：当3n ≥时，803n a <≤．