第45讲 解析几何的三角形、四边形面积问题及面积比问题(解析版)

第45讲 解析几何的三角形、四边形面积问题及面积比问题参考答案与试题解析一．解答题（共24小题）1．（2021•常熟市校级期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，焦点到相应准线的距离为1．椭圆上有两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称 （1）求椭圆C 的方程； （2）求实数m 的取值范围；（3）求AOB ∆面积的最大值(O 为坐标原点）．【解答】解：（1）离心率ce a ==，焦点到相应准线的距离为21b c=，所以a ，1b c ==，故椭圆的方程为：2212x y +=，（2）直线AB 的方程为：y kx n =+，联立解方程组2212y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(12)4220k x knx n +++-=， △2222164(12)(22)0k n k n =-+->， 2212k n ∴+>设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以122412knx x k -+=+，21222212n x x k -=+，所以线段AB 的中点22(12kn G k -+，2)12n k +，代入直线12y mx =+，注意其中1k m=-， 得2122k n +=-，结合2212k n +>，得(2)0n n +<，即20n -<<， 20124k <+<，得232k <，所以223m >，故m >m <，（3）12|||AB x x=-==，O 到AB 的距离d =1||2S AB d ===20n -<<，故max S =2．（2021•扶沟县校级模拟）设椭圆中心在坐标原点，(2,0)A ，(0,1)B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题设得2a =，1b =，∴椭圆的方程为2214x y +=，直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 如图，设0(D x ，0)kx ，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ， 其中12x x <，且1x ，2x 满足方程22(14)4k x +=， 故21x x =-． ①由6ED DF =，知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+=由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． ∴212k =+2242560k k -+=， 解得23k =或38k =； （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为1h =，2h =．又||AB ==∴四边形AEBF 的面积为12114(12||()5225(14k S AB h h k +=+==+222==，当21k =，即当12k =时，上式取等号．S ∴的最大值为解法二：由题设，||1BO =，||2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为222BEF AEF S S S x y ∆∆=+=+2222(x +，当222x y =时，上式取等号．S ∴的最大值为3．（2021•江北区校级模拟）过抛物线22(0)y Px P =>的对称轴上一点(A a ，0)(0)a >的直线与抛物线相交于M ，N 两点，自M ，N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为1M ，1N ． （1）当2Pa =时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1AMM ∆，△11AM N ，1ANN ∆的面积分别为1S ，2S ，3S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，均有2213S S S λ=⋅成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当2p a =时，如图所示设211(,)2y M y p ，222(,)2y N y p ．则11(,)2p M y -，12(,)2PN y -，(,0)2pA ． 则11(AM AN p ⋅=-，1)(y p ⋅-，2212)y p y y =+．(*)设直线MN 的方程为2p my x +=，联立222p my xy px⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化为2220y pmx p --=． ∴212y y p =-．代入(*)可得22110AM AN p p ⋅=-=． 11AM AN ∴⊥；（2）假设存在λ，使得对任意的0a >，均有2213S S S λ=⋅成立． 设211(,)2y M y p ，222(,)2y N y p．则11(,)M a y -，12(,)N a y -，不妨设10y >．设直线:MN my a x +=，联立22x my a y px=+⎧⎨=⎩，化为2220y pmy pa --=．△0>成立，122y y pm ∴+=，122y y pa =-．21111111||()222y S MM y a y p==+，同理22321()()22y S a y p =+-，21212||2S a y y =⨯⨯-． 22222222222222121213121212221124()()()[()][(44)](2)422442442y y y y a pa p a a S S y y a a y y y y a p m pa a pa pm a p p p p p p∴=-++=-+++=+++=+．2222222221212[()4](48)4(2)S a y y y y a p m pa pa pm a =+-=+=+，22224(2)(2)pa pm a pa pm a λ∴+=+，解得4λ=．故存在4λ=，使得对任意的0a >，均有2213S S S λ=⋅成立．4．（2021春•武陵区校级月考）如图，已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ∆的重心G 在x 轴上，直线AC交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧．记AFG ∆，CQG ∆的面积为1S ，2S ． （1）若直线AB，求以线段AB 为直径的圆的面积； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【解答】解：（1）由题意可得12p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =， 由已知设直线AB的方程为1)y x =-， 与抛物线24y x =联立可得，21410x x -+=，所以1214x x +=，则线段12||216AB x x =++=，则以线段AB 为直径的圆的半径为8，故圆的面积为64π； （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(C C x ，)C y ，重心0(G x ，0)y ，令12y t =，0t ≠，则21x t =，由直线AB 过点F ，故直线AB 的方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，可得222(1)40t y y t---=，所以224ty =-，即22y t =-，所以212(,)B t t-，又由于0121()3C x x x x =++，0121()3C y y y y =++，重心G 在x 轴上，故220C t y t-+=，所以211((),2())C t t t t--，422222(,0)3t t G t -+，所以直线AC 的方程为222()y t t x t -=-，可得2(1Q t -，0)， 由于点Q 在焦点F 的右侧，故22t >，故4242212142442222221|1||2|||||223221222211|||||1||2|23Ct t t FG y S t t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅--====--+----⋅-，令22m t =-，则0m >，所以1221222134342S m S m m m m m =-=--=+++++ 当且仅当3m m=，即m 时，12S S 取得最小值1+(2,0)G ．5．（2021•上城区校级期中）如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ∆的重心G 在x 轴上． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求证：直线OA 与直线BC 的倾斜角互补； （3）当(1,2)A x ∈时，求ABC ∆面积的最大值．【解答】解：（1）点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，即12p=，即2p =， 抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-；（2）证明：设过F 的直线方程为(1)y k x =-，0k ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)C m n ，即有2114y x =，2224y x =，24n m =， 联立直线(1)y k x =-和抛物线24y x =可得2440ky y k --=， 可得124y y k+=，124y y =-， 则12121212124()44()OA BC y n y n y y k k x m x y n y y n y -+++=+=+=-++， 由ABC ∆的重心G在x 轴上，可得1203n y y ++=，即120n y y ++=， 即有0OA BC k k +=，当直线AB 的斜率不存在时，求得A ，B ，C 的坐标，可得0OA BC k k +=． 则直线OA 与直线BC 的倾斜角互补；（3）由（2）可得21212()116y y x x ==，12122422y y x x k k++=+=+，可得1211452(2,)2x x k +=+∈，解得2(8,)k ∈+∞， 由抛物线的定义可得1224||24AB x x k =++=+， 由120n y y ++=，即40n k +=，即4n k=-，2244n m k ==， C 的坐标为24(k ，4)k-， C 到直线0kx y k --=的距离为448||||k k d +--=，可得ABC ∆的面积为222228||11418||(4)2||221k k k k S d AB k k kk -+-==+=+，由28k >，可得228(1)S k =-， 设4t t =<<，则22(98)S t t =-， 由218480S t '=-<，则S 在递减， 可得2S <；当直线AB 的斜率不存在时，设(1,2)A ，(1,2)B -，可得(0,0)C ， ABC ∆的面积为14122⨯⨯=，可得ABC ∆的面积的最大值为2．6．（2021•浙江月考）如图，已知抛物线21:C y x =与圆2222:(1)(0)C x y r r -+=>有四个不同的公共点A ，B ，C ，D ． （Ⅰ）求r 的取值范围；（Ⅱ）求四边形ABCD 面积的最大值．【解答】解（Ⅰ）联立2222(1)y xx y r⎧=⎨-+=⎩，得2210x x r -+-=． 由题可知，2210x x r -+-=在(0,)+∞上有两个不同的解， ∴2214(1)010r r ⎧=-->⎨->⎩，得2314r <<，∴r ∈；（Ⅱ）设1(,A x ，1(D x ，2(,B x ，2(C x ， 由韦达定理可知，121x x +=，2121x x r =-，||||AD BC +=，又212()1x x =+++21||x x -=，∴211(||||)||2ABCD S AD BC x x =+-=．令t =1(0,)2t ∈，此时ABCD S =．记232()(12)(14)8421f t t t t t t =+-=--++，1(0,)2t ∈．2()24822(21)(61)f t t t t t '=--+=-+-．当()0f t '>时，1(0,)6t ∈，当()0f t '<时，11(,)62t ∈．()y f t ∴=在1(0,)6上单调递增，在11(,)62单调递减．∴132()()627max f t f ==，得四边形ABCD ．7．（2021春•浙江期中）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆1C 的上顶点与抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点F 重合，且抛物线2C 经过点(2,1)P ，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆1C 和抛物线2C 的标准方程；（Ⅱ）已知直线:(0)l y kx m m =+≠与抛物线交于A 、B 两点，与椭圆1C 交于C 、D 两点，且直线PF 平分APB ∠，求首尾顺次连结O 、C 、P 、D 四点所得图形的面积的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线2C 经过点(2,1)P ，可得42p =，解得2p =， 故抛物线2C 的标准方程为24x y =； 所以抛物线22:4C x y =的焦点为(0,1)F ， 则1b =，又椭圆1C的离心率c e a ===，解得2a =，所以椭圆1C 的标准方程为2214x y +=．（Ⅱ）将直线l 的方程y kx m =+代入24x y =，消去y 并整理可得2440x kx m --=， 由题意知，△216160k m =+>，即2m k >-， 设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ， 因为直线PF 平分APB ∠，所以120k k +=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则121211022y y x x --+=--，2114x y =，2224x y =， 则22121212114440224x x x x x x --+++==--， 解得124x x +=-， 故12121214AB y y x x k x x -+===--， 所以直线:l y x m =-+且1m >-，联立方程组2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 并整理可得2258440x mx m -+-=， 依题意，△2226420(44)16(5)0m m m =--=->，解得m <，所以1m -<<0m ≠， 设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，则3485mx x +=，234445m x x -=，则||AB且P 、O 到l 的距离分别P d ，O d ，当10m -<<时，1||()2OCPD P O S AB d d =⨯⨯-当0m <<1||()2OCPD P O S AB d d =⨯⨯+=综上所述，OCPD S ． 8．（2021•麒麟区校级模拟）已知椭圆2212:1(0)4x y C b b+=>的短轴端点与抛物线22:2(0)C x py p =>的交点重合，椭圆1C ． （1）求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）设P 是抛物线2C 准线上的一个动点，过P 作抛物线2C 的切线PA ，PB ，A ，B 为切点．（ⅰ）求证：直线AB 经过一个顶点；（ⅱ）若直线AB 与椭圆1C 交于M ，N 两点，椭圆的下顶点为D ，求MDN ∆面积的最大值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率c e a ==2a =，则c =，所以2221b a c =-=， 由抛物线22:2C x py =的焦点为(0,)2p ，则12p=，则2p =，所以椭圆方程为2214x y +=，抛物线方程为24x y =；（2）（ⅰ）证明：抛物线的准线为1y =-，设(,1)P t -，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2114x y =，2224x y =，由214y x =，求导12y x '=， 则112PA k x =，所以PA 的方程为21111122y x x x y =-+，将2114x y =代入可得PA 的方程：1112y x x y =-， PA 过点(,1)P t -，代入得11220tx y -+=，由PB 过点(,1)P t -，同理可得，22220tx y -+=， 则直线:220AB tx y -+=， 故直线AB 恒过定点(0,1)；（ⅱ）由题意得直线AB 斜率存在且不为0，设直线:1AB y kx =+，代入椭圆2214x y +=，得22(41)80k x kx ++=，所以0x =或2841kx k =-+，则△0>， 即有21882||21241|4|MON k S k k k∆=⨯⨯-=++， 当12k =±时，MDN S ∆取得最大值，所以，MDN ∆面积的最大值2，此时直线AB 的斜率12k =±，AB 的方程为112y x =±+．9．（2021•浙江模拟）已知椭圆221:12x C y +=和抛物线22:2(0)C x py p =>，点Q 为第一象限中抛物线2C 上的动点，过Q 作抛物线2C 的切线l 分别交y 轴、x 轴于点A 、B ，F 为抛物线2C 的焦点．（Ⅰ）求证：FB 平分AFQ ∠；（Ⅱ）若直线l 与椭圆1C 相切于点P ，求APF ∆面积的最小值及此时p 的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：设(0,)A A y ，(B B x ，0)，(p P x ，)p y ，(Q Q x ，)Q y ，:l y kx b =+， l 与抛物线2C 联立得：2220x pkx pb --=，由题意知△0=，即220pk b +=． 而Q 的横坐标Q x pk =，B 的横坐标2B b pkx k =-=， 所以B 为AQ 的中点，由Q 到焦点的距离等于Q 到准线的距离可知，||||||||22Q A p pFQ y y FA =+=+=， 所以FB 平分AFQ ∠．（Ⅱ）直线l 与椭圆1C 联立得：222(12)4220k x kbx b +++-=，由条件知△0=，即2221k b +=，由（1）知220pk b +=，可得：240pb b p +-=， 又因为0b <，所以b =， P的横坐标222,21p kb kx k k b =-=-=+， 所以APF ∆ 面积112|||||()()|222APF F A p p kS y y x b b∆=-⋅=--(2p ==令42t， 2)APFS ∆==，（当4t = 即p =时取等）， 所以APF ∆ 面积的最小值是2，此时p = 10．（2021•菏泽二模）已知椭圆C 1：+＝1（a ＞b ＞0）的离心率为e ＝，且过点（1，）．抛物线C 2：x 2＝﹣2py （p ＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．（Ⅰ）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（Ⅱ）若点M 是直线l ：2x ﹣4y +3＝0上的动点，过点M 作抛物线C 2的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 交椭圆C 1于P ，Q 两点． （i ）求证直线AB 过定点，并求出该定点坐标； （ii ）当△OPQ 的面积取最大值时，求直线AB 的方程．【解答】解：（I ）由于椭圆C 1中，，则设其方程为，由于点在椭圆上，故代入得λ＝1．故椭圆C1的方程为．抛物线C2中，∵抛物线C2：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣），∴，故p＝1，从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x2＝﹣2y．（II）（i）证明：∵x2＝﹣2y，∴y＝﹣，∴y′＝﹣x，设点M（x0，y0），且满足2x0﹣4y0+3＝0，点A（x1，y1），B（x2，y2），则切线MA的斜率为﹣x1，从而MA的方程为y＝﹣x1（x﹣x1）+y1，考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+y1＝0，同理切线MB的方程为x2x+y+y2＝0，由于切线MA，MB同过点M，从而有，由此点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x0x+y+y0＝0上．又点M在直线2x﹣4y+3＝0上，则2x0﹣4y0+3＝0，故直线AB的方程为（4y0﹣3）x+2y+2y0＝0，即y0（4x+2）+（2y﹣3x）＝0，∴直线AB过定点．（ii）解：设P（x3，y3），Q（x4，y4），考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0＝0，则联立方程，消去y 并简化得，从而，，，从而，点O 到PQ 的距离，从而＝，当且仅当，即，又由于2x 0﹣4y 0+3＝0， 从而消去x 0得，即，解得，从而或，∴所求的直线为x +2y +2＝0或x ﹣14y ﹣10＝0．11．（2021•安徽）如图，已知两条抛物线2111:2(0)E y p x p =>和2222:2(0)E y p x p =>，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与1E ，2E 分别交于1A 、2A 两点，2l 与1E 、2E 分别交于1B 、2B 两点．（Ⅰ）证明：1122//A B A B ；（Ⅱ）过O 作直线l （异于1l ，2)l 与1E 、2E 分别交于1C 、2C 两点．记△111A B C 与△222A B C的面积分别为1S 与2S ，求12S S 的值．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，1l 和2l 的斜率存在且不为0， 设11:l y k x =，22:l y k x =．联立1212y k x y p x =⎧⎨=⎩，解得11121122(,)p p A k k ．联立1222y k x y p x=⎧⎨=⎩，解得22221122(,)p pA k k ．联立2212y k x y p x =⎧⎨=⎩，解得11122222(,)p pB k k ．联立2222y k x y p x=⎧⎨=⎩，解得22222222(,)p pB k k ．∴11122212111112(,)A B p k k k k =--， 22222212111112(,)A B p k k k k =--． 111222p A B A B p =， 1122//A B A B ∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1122//A B A B ， 同（Ⅰ）可证1122//B C B C ，1122//AC A C ．∴△111A B C ∽△222A B C ，因此2111222||()||S A B S A B=， 又111222p A B A B p =，∴111222||||A B p p A B =． 故211222S p S p =． 12．（2021•柯桥区期末）如图，1F ，2F 为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点．点Q 满足：延长1QF ，2QF 分别交椭圆E 于M ，N 两点，且QMN ∆的重心P 在椭圆E ．直线1F P 交QN 于点S ．（1）若1A ，2A 是椭圆长轴的两个端点，求直线1PA ，2PA 的斜率之积； （2）设△1QF P ，PSN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意可知1(2,0)A -，2(2,0)A ， 则12,22PA PA y yk k x x ==+-，12224PA PA y k k x ⋅=-，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） 因为(,)P x y 在椭圆22:143x y E +=，所以223(4)4y x =--，所以12223(4)3444PA PA x k k x --⋅==--．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）（2）1()3QP QM QN =+，设1,QF xQM QS yQN ==，又因为1F ，P ，S 三点共线， 故可知11()(1)(1)3QP QM QN QF QS xQM λλλλ=+=+-=+-，∴131(1)3x yλλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴113x y +=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）因为点P 为QMN ∆的重心，所以QMP QNP S S ∆∆=，12,1QMPQPNS S x y S S ∆∆==-，∴12(31)121S x x x S y x -==--，令21(0,1)t x =-∈，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）∴12(1)(31)113(34)1442S t t t S t t ++==+++，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分） 当且仅当12t x =时，取得最小值．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（15分）13．（2021•浙江模拟）已知点F 为抛物线21:4C y x =的焦点，点(0,4)D ，点A 为抛物线C 上的动点，直线:l y t =截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值． （Ⅰ）求t 的值；（Ⅱ）如图，直线l 交y 轴于点E ，抛物线C 上的点B 满足AB 的中垂线过点D 且直线AB 不与x 轴平行，求ABE ∆的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）()202000440,4,,,,,2422x x x D A x AD C r ⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭设点的中点为，设截得的弦为GH ，圆心C 到弦的距离为d ． 则22220002222(4)4144||()442x x x GH r d t +-+=-=--， 22200112||4(2)3444t GH x t x t -⎛⎫=-++--⇒= ⎪⎝⎭与无关． （Ⅱ）由上题可得(0,3)E ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 线段AB 中点为G ，直线AB 的斜率存在且不等于0， 设直线:AB y kx m =+，联立直线与抛物线方程得：224404y kx mx kx m x y=+⎧⇒--=⎨=⎩，△()222121212016160:4,4,422,2k m x x k x x m y y k m AB G k k m >⇒+>+==-+=+⇒+由韦达定理可得的中点为，∴()()()22122,0,422AB y k m x k D m k k-+=--⇒=-的中垂线为代入，12||||4E AB AB x x d -=-==，∴2 11||(42|3|2|21|22S AB d m k=⋅⋅=⋅=-=+=记2t k=，2()(2)(12)f t t t=-+，()(76)(12)f t t t'=-+，7(0,)6t∈时，()f t单调递增，7(,2)6t∈时，()f t单调递减，277,66t k k==⇒=即时，ABES∆．此时13m=->满足，ABES∆∴14．（2021•闵行区校级模拟）已知点F为抛物线21:4C y x=的焦点，点(0,4)D，点A为抛物线C上的动点，直线:(l y t t=为常数）截以AD为直径的圆所得的弦长为定值．（1）求焦点F的坐标；（2）求实数t的值；（3）若点(0,3)E，过点A的直线y x m=+交抛物线于另一点B，AB的中垂线过点D，求m的值和ABE∆的面积．【解答】解：（1）抛物线21:4C y x=，即24x y=，(0,1)F∴．（2）设点2(,)4xA x，AD的中点为244(,)22xxC+，直径2r AD==设截得得弦为GH，圆心C到弦的距离为d，则2222002222(4)4144(||)()242x xxGH r d t+-+=-=--，得22213||444tGH x t t-=+-与x无关，所以3t=．（3）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，线段AB的中点为G，联立224404y x mx x mx y=+⎧⇒--=⎨=⎩，△0161601m m>∴+>∴>-，124x x+=，124x x m=-，1242y y m+=+，(2,2)G m∴+，∴2102DG m k m -==-⇒=符合1m >-，12|||AB x x =-==，点E 到AB =∴162ABE S ∆=⋅=． 15．（2021•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△12AF F 的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标．【解答】解：（1）由椭圆的标准方程可知，24a =，23b =，2221c a b =-=， 所以△12AF F 的周长226a c =+=．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，则直线AP 方程为32()1y x t t =--，椭圆的右准线为：24a x c==，所以直线AP 与右准线的交点为34(4,)21tQ t--， (OP QP t =，0)(4t -，22340)4(2)4421tt t t t--=-=----， 当2t =时，()4min OP QP =-．（3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111||||22AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯，即213d d =，3(1,)2A ，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为3(1)4y x =+，即3430x y -+=，所以135d =，295d =， 由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，95=，即6m =-或12， 当6m =-时，直线l 为3460x y --=，即3(2)4y x =-，联立223(2)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得(2)(72)0x x -+=，即20M N x y =⎧⎨=⎩或27127M Mx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以(2,0)M 或2(7-，12)7-．当12m =时，直线l 为34120x y -+=，即3(4)4y x =+，联立223(4)4143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得221182404x x ++=，△9(3656)0=⨯-<，所以无解， 综上所述，M 点坐标为(2,0)或2(7-，12)7-．16．（2021•广东月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求四边形ABCD 的面积．【解答】解：（1，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，所以222221c a b a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =， 所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）因为椭圆C 的方程为2214x y +=，所以(2,0)A -，(0,1)B -， 设(M m ，)(0n m >，0)n >，则2214m n +=，即2244m n +=，则直线BM 的方程为11n y x m+=-， 令0y =，得1C m x n =+， 同理，直线AM 的方程为(2)2ny x m =++， 令0x =，得22D ny m =+， 所以()()21121(22)212212221ABCDm n m n S AC BD n m m n ++=⋅=⋅+⋅+=⋅++++四边形 22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++， 所以四边形ABCD 的面积为定值2．17．（2021•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【解答】解：（1）证明：22x y =的导数为y x '=，设切点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，即有2112x y =，2222x y =，切线DA 的方程为111()y y x x x -=-，即为2112x y x x =-，切线DB 的方程为2222x y x x =-，联立两切线方程可得121()2x x x =+，可得121122y x x ==-，即121x x =-， 直线AB 的方程为2112112()2x y y y x x x x --=--， 即为211211()()22x y x x x x -=+-，可化为1211()22y x x x =++，可得AB 恒过定点1(0,)2；（2）法一：设直线AB 的方程为12y kx =+， 由（1）可得122x x k +=，121x x =-， AB 中点21(,)2H k k +，由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为||EH ，15||-= 解得0k =或1k =±， 即有直线AB 的方程为12y =或12y x =±+， 由12y =可得||2AB =，四边形ADBE 的面积为12(12)32ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯+=； 由12y x =±+，可得||1444AB =+=，此时1(1,)2D ±-到直线AB11|1|++= 5(0,)2E 到直线AB15||-=则四边形ADBE的面积为142ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯=；法二：（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是122x x t +=，121x x =-，21212()121y y t x x t +=++=+，212|||2(1)AB x x t =-=+．设1d ，2d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则1d =2d =因此，四边形ADBE的面积2121||()(2S AB d d t =+=+． 设M 为线段AB 的中点，则21(,)2M t t +．由于EM AB ⊥，而2(,2)EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=．解得0t =或1t =±．当0t =时，3S =；当1t =±时，S = 综上，四边形ADBE 的面积为3或18．（2021•浙江模拟）已知椭圆221:12y C x +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点(1,0)A -，斜率为k 的直线1l 交抛物线于B 、C 两点，且12AC CB =，经过点C 的斜率为12k -的直线2l 与椭圆相交于P 、Q 两点．（1）若抛物线的准线经过点A ，求抛物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在p ，使得四边形APBQ 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及p 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线的准线方程2p x =-，焦点坐标(,0)2p， 则1,22p p -=-=，抛物线的标准方程为24y x =，焦点(1,0)． （2）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，3(P x ，3)y ，4(Q x ，4)y ，由12AC CB =，得点(1,0)A -在直线1l 上，且1211121312y y y ==+， 且四边形的面积33||2APQ S S PQ d ∆==． 1233:(1),:()2kl y k x l y x x y =+=--+，由2(1)2y k x y px =+⎧⎨=⎩，得2220p y y p k -+=，则222480,2p p p k k =-><，12122,2py y y y p k+==， 因为123y y =，所以22222222222232113,,(,),,3233822y y y p y p x C y k p p x ======，由1l ，2l 的斜率分别为1,2k k -，由图知2l 必过点(3,0)，可设2:(3)2kl y x =--，且2231413AC y y k k ===+，故直线223:(3)8y l y x =--，令283t y =-， 则直线2:3l xty =+，代入椭圆方程2212y x +=，得22(12)12160t y ty +++=， 2343422121616(4)0,,1212t t y y y y t t =->+=-=++，34||||PQ y y -=， 点A 到2l的距离d =四边形的面积1226S ==⨯= 当且仅当21764,251t p ==时，面积最大为 19．（2021春•浙江月考）如图，已知抛物线2y x =，过点(1,0)M 作斜率为(0)k k >的直线l 交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，过点A 作抛物线的切线与x 轴相交于点P ，直线PB 交抛物线另一点为C ，线段AC 交x 轴于点N ．记APC ∆，AMN ∆的面积分别为1S ，2S ．（Ⅰ）若1k =，求||AB ； （Ⅱ）求12S S 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）直线AB 的方程为1y x =-，代入抛物线方程2y x =， 得2310x x -+=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则123xx +=，121x x =，12|||AB x x -=，（Ⅱ）设直线AB 的方程为1x my =+， 代入抛物线方程2y x =得，210y my --=．设2(A a ，)a ，1B a y ⋅=-，1B y a=-，点B 的坐标为211(,)a a -．设切线PA 的方程为2()x a m y a -=-，代入抛物线方程2y x =，得220y my ma a -+-=， △22244(2)0m ma a m a =-+=-=，得2m a =， 令0y =，得2x a =-， 所以点P 的坐标为2(a -，0)． 设直线PB 的方程为2x a ty =-+，代入抛物线方程2y x =得，220y ty a -+=，21()c y a a-⋅=，3c y a =-，6c x a =，所以点C 的坐标为6(a ，3)a -， 直线AC 的方程为3226()a a y a x a a a+-=--， 即221()(1)y a x a a a -=--， 令0y =，得4x a =， 所以点N 的坐标为4(a ，0)． 322111||||(1)22A C S PN y y a a =-=+，4211|||1|22A S MN y a a ==-， 由0k >，知1a >，3222212421(1)(1)211|1|2a a S a a S a a a ++==--， 令21u a =-，则21a u =+，0u >，12(1)(2)23223S u u uS u u++==+++，当且仅当u ，即21a =时取等号， 所以12S S 的最小值为3． 20．（2021•浙江月考）设抛物线24y x =的焦点为F ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 为抛物线上的两点(AB 不经过焦点)F ，且直线AB 斜率存在，若AB 的中垂线恰好经过(5,0)P ． （Ⅰ）求12x x +的值；（Ⅱ）若AB 的中垂线交y 轴于C 点，求ABC ∆面积与FAB ∆面积之和的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设直线AB 的方程为(0,1)x my n m n =+≠≠， 联立抛物线的方程，消去x 得2440y my n --=， 所以124y y m +=，124y y n =-，则AB 的中点M 的坐标为2(2m n +，2)m ，AB 的中垂线方程为322y mx m mn m =-+++． 将点(5,0)P 代入AB 的中垂线方程， 得3230m mn m +-=， 即223m n +=，所以21212()2426x x m y y n m n +=++=+=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB 的中垂线方程为5y mx m =-+，所以点(0,5)C m ． 设ABC ∆的面积为1S ，FAB ∆的面积为2S ，由（Ⅰ）可得12|||AB y y =-=点C 到AB 2F 到AB ，所以2122|5|2|1|S S m n n +=+-． 由20m n +>及223m n +=得，33n -<<且1n ≠，所以12(1532|1|S S n n +=--①当13n <<时，12(13S S n +=-,t t =∈， 则212(162)S S t t +=-，令函数2()(162),f t t t t =-∈， 则2()166f t t '=-，所以当t ∈时，()f t 单调递增；当t ∈时，()f t 单调递减，所以()f t 的最大值为f =②当31n -<<时，12(175S S n +=-,x x ∈， 则212(3210)S S x x +=-．令函数2()(3210),g x x x x =-∈， 则2()3230g x x '=-，所以当x ∈时，()g x 单调递增；当x ∈时，()g x 单调递减，所以()g x 的最大值为g =>所以12S S +即ABC ∆和FAB ∆21．（2021•温州模拟）如图，过点(1,0)F 和点(4,0)E 的两条平行线1l 和2l 分别交抛物线24y x =于A ，B 和C ，D （其中A ，C 在x 轴的上方），AD 交x 轴于点G ． （Ⅰ）求证：点C 、点D 的纵坐标乘积为定值； （Ⅱ）分别记ABG ∆和CDG ∆的面积为1S 和2S ，当1214S S =时，求直线AD 的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：设直线1l 的方程为1(1)y k x =-，2l 的方程为1(4)y k x =-， 所以联立12(4)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得214160y y k --=，所以16C D y y =-，所以点C 、点D 的纵坐标乘积为定值16-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知16C Dy y -=， 联立12(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得21440x y y --=，所以4A B y y =-，即4B Ay y =-， 因为12//l l ，所以BAD CDA ∠=∠，又因为AGF DGE ∠=∠， 所以AGF DGE ∆∆∽，所以AG GFGD GE=， 过点A ，D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ， 所以AGM DGN ∠=∠，AMG BNG ∠=∠， 所以GAM GDN ∆∆∽， 所以||||A D y AGy GD =， 所以||||A D y GFy GE =， 因为1214S S =， 所以1||()1214||()2A B C D FG y y GE y y ⋅-=⋅-， 所以()1()4A AB DCD y y y y y y --=-，所以4(())1164()A A AD D Dy y y y y y ---=--， 所以12A D y y =-，①所以12FG GE =， 又因为413FG GE +=-=， 所以1FG =，2GE =， 所以(2,0)G ，设直线AD 的方程为3(2)y k x =-， 联立32(2)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得23480y y k --=，所以8A D y y =-，②联立①②，解得2A y =，4D y =-， 所以(1,2)A ，将(1,2)A 代入3(2)y k x =-得32k =-， 所以直线AD 的方程为24y x =-+．22．（2021•浙江模拟）如图，已知椭圆2222:1x y E a b+=，，1(F 0)，2F 0)为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一动点，Q 为△12PF F 的内心，连接P ，Q 延长交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设△1F QM ，△2F QP 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【解答】解：()I，故c a =，又因为12(F F 为椭圆的左右焦点，故2,1c a b ==，所以椭圆22:14x E y +=．（Ⅱ）因为Q 为△12PF F 的内心，故Q 为△12PF F 各内角角平分线交点， 故根据角平分线定理可知，11PF PQ QM F M =，22PF PQ QM F M=，∴1212121222PF PF PF PF PQ a a QM F M F M F M F M c c +======+ 设△1F QM ，△2F QP 以PQ ，QM 为底边的高为1h ，2h ，11122221212QM h S QM h S PQ h PQ h ⋅⋅===⋅⋅121212h F M PF h F M PF ==， 设0(P x ，010)y PF a ex ∴=+，20PF a ex =-，∴0012224(1S S -++===-+， P 为椭圆上一动点，且构成三角形，故0(2,2)x ∈-，∴12(16)S S -+∈-． 23．（2012秋•三元区校级月考）已知椭圆222:1(1)x E y a a+=>的离心率e ，直线2(0)x t t =>与椭圆E 交于不同的两点M 、N ，以线段MN 为直径作圆C ，圆心为C（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）当圆C 与y 轴相切的时候，求t 的值； （Ⅲ）若O 为坐标原点，求OMN ∆面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆E的离心率e =，∴= 解得2a =，故椭圆E 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）联立方程22142x y x t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得2x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩即M ，N的坐标分别为(2t，(2,t ， 圆C 的直径为MN ，且与y 轴相切，2t ∴=0t >，t ∴ （Ⅲ）由（Ⅱ）得OMN ∆的面积2221122122t t S t +-=⨯⨯⨯=，当且仅当t =t =故OMN ∆的面积的最大值为1．24．（2021•绍兴期中）已知椭圆221:12x C y +=和抛物线22:2(0)C y px p =>，点F 为1C 的左焦点，点E 为2C 的焦点．（Ⅰ）过点F 的直线与2C 相切于点P，若||PF =2C 的方程．（Ⅱ）过点E 的直线l 交2C 于P ，Q 两点，点M 满足4(OQ OM O =-为坐标原点），且点M在线段1()22x y =-<<上．记PQM ∆的面积为1S ，EFP ∆的面积为2S ，求12S S 的取值范围．【解答】解：()I 由题可知：(1,0)F -设直线l 的方程为：(1)y k x =+， 联立2(1)2y k x y px=+⎧⎨=⎩可得：2222(22)0k x k p x k +-+=．则△22422(22)4840k p k k p p =--=-+=，故22p k =且221p k px k -=-=，即点(1,P ．故||PF =12p =，抛物线2C 的方程：2y x =． 【其他方法也可：设点2(2P pt ，2)pt ，则2C 在点P 处的切线方程为22222pt xpty p +=，即222ty pt x =+，由于该切线经过点(1,0)F -，故2021pt =-，即212t p=，故(1,P，||PF =】 ()II 设点200(,)2y Q y p ，直线PQ 方程为：2px ty =+， 联立222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得：2220y pty p --=．故22,P Q P Q y y pt y y p +==-，从而22P Q p p y y y --==， 又4QO OM =，则2001111,4844M Q M Q y x x y y y p =-=-=-=-=-， 从而208y p =，且22M y <<，则01p <<， 从而221000551558||||44221616||OPQP Q p p p p S Sy y p y p y y +==⨯⨯⨯-=--=， 22200111|||||1|||(2)2224||P p p p S FE y p y y -==⨯+⨯=+，由此可得2012205816||585615(1)(,5)142424(2)4||p ppy S p p S p p p y ++===+∈+++．。