《空间中直线、平面垂直的性质》教案
直线与平面垂直的性质 说课稿 教案 教学设计
直线与平面垂直的性质一、教材分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用.二、教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互关系.2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.三、教学重点与难点直线与平面垂直的性质定理及其应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图1如图1，表示方法为：a⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：⎭⎬⎫⊥⊂ααb a ⇒b⊥a.（二）导入新课思路1.(情境导入)大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图2（三）推进新课、新知探究、提出问题①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理. ⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图3③如图4，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图4 图5棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒b∥a.直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.（四）应用示例思路1例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行.解:已知a⊥α,b⊥α. 求证：a∥b.图6证明：（反证法）如图6，假定a 与b 不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O ∈b′,a∥b′. 直线b′与直线b 确定平面β，设α∩β=c,则O ∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O ∈b′,bβ,b′β, a∥b′显然不可能，因此b∥a.例2 如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,aα,a⊥AB.求证:a∥l.图7证明：⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥EB l EA l l EB EA βαβα,⇒l⊥平面EAB.又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA. 又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB. ∴a∥l.思路2例1 如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，aα.求证：a∥α.图8证明：在直线a 上取一点A ，过A 作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B ，过相交直线a 、b′作平面β，设α∩β=a′,∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b, ∴b′⊥α.又∵a′α,∴b′⊥a′.由a ，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.例2 如图9，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.图9证明：(1)取PD 中点E,又N 为PC 中点,连接NE,则NE∥CD,NE=21CD. 又∵AM∥CD,AM=21CD, ∴AMNE.∴四边形AMNE 为平行四边形. ∴MN∥AE.∵⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA 平面平面平面平面⇒CD⊥AE.(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD 为等腰直角三角形, 则AE⊥PD.又MN∥AE, ∴MN⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN⊥平面PCD. 变式训练已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和平面α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角.求证：l⊥α.证明：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO=BO=CO.设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA、△POB、△POC 中，∵PO=PO=PO，AO=BO=CO ，∠POA=∠POB=∠POC， ∴△POA≌△POB≌△POC. ∴PA=PB=PC.取AB 的中点D, 连接OD 、PD ，则OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD. ∵PO 平面POD,∴PO⊥AB. 同理,可证PO⊥BC.∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.若l 不经过点O 时，可经过点O 作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α， ∴l⊥α.（五）知能训练如图10，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a,（1）求证：BD 1⊥平面B 1AC; （2）求B 到平面B 1AC 的距离.图10（1）证明：∵AB⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C,∴B 1C⊥面ABC 1D 1. 又BD 1面ABC 1D 1,∴B 1C⊥BD 1. ∵B 1B⊥AC，BD⊥AC,∴AC⊥面BB 1D 1D.又BD 1面BB 1D 1D,∴AC⊥BD 1. ∴BD 1⊥平面B 1AC.（2）解:∵O∈BD,∴连接OB 1交BD 1于E. 又O ∈AC ，∴OB 1面B 1AC. ∴BE⊥OE，且BE 即为所求距离. ∵1BD BD OB BE =,∴BE=1BD BD·OB=a a a a 332232=•.（六）拓展提升已知在梯形ABCD 中，AB∥CD，CD 在平面α内，AB∶CD=4∶6，AB 到α的距离为10 cm ，求梯形对角线的交点O 到α的距离.图11解：如图所示，过B 作BE⊥α交α于点E ，连接DE,过O 作OF⊥DE 交DE 于点F,∵AB∥C D ，ABα，CDα，∴AB∥α.又BE⊥α, ∴BE 即为AB 到α的距离，BE=10 cm 且∠BED=90°. ∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得BDODBE OF =. ∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.∴46==AB CD OB OD ，得53106==BD OD . 又BD OD BE OF =，BE=10 cm, ∴OF=53×10=6（cm ）.∵OF∥BE，BE⊥α.∴OF⊥α，即OF 即为所求距离为6 cm.（七）课堂小结。
直线平面垂直的判定及其性质教学案
直线、平面垂直的判定及其性质考纲要求1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果直线l 和平面α内的__________一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作__________．(2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面内的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．②结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒__________.(3)直线与平面垂直的性质：①由直线和平面垂直的定义知：直线垂直于平面内的__________直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒__________.③垂直于同一直线的两平面平行，即a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.(4)斜线与平面所成的角．斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做斜线和平面所成的角． 2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”，记为：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βl ⊂α⇒__________. (3)平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l m ⊂αm ⊥l⇒__________.1．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则AC 的长为( )．A.2aB.22aC.32a D ．a3．(2012北京模拟)已知如图，六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( )．A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD4．设α，β，γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号)．5．在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°，求证：CD⊥平面A1ABB1.一、直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.方法提炼证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理；(2)利用面面垂直的性质定理；(3)利用结论：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(4)利用结论：a⊥α，α∥β⇒a⊥β.请做演练巩固提升1,3二、平面与平面垂直的判定与性质【例2】 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P MAB 与四棱锥P ABCD 的体积之比． 方法提炼1．证明平面与平面垂直，主要方法是判定定理，通过证明线面垂直来实现，从而把问题再转化成证明线线垂直加以解决．2．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想，其中线线垂直是最基本的，在转化过程中起穿针引线的作用，线面垂直是纽带，可以把线线垂直与面面垂直联系起来．请做演练巩固提升2要善于挖掘图形中存在的关系及添加辅助线【典例】 (12分)(2012课标全国高考)如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 规范解答：(1)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2分)又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC . 由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°， 所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .(4分) 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(6分) (2)设棱锥B DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12.(8分)又三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V ＝1，(10分) 所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.(12分)答题指导：解决垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面； (2)对几何体体积、面积及线面角的计算不准确；(3)不善于挖掘图形中存在的关系，缺乏通过添加辅助线解题的能力．另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达．1．已知α，β为不重合的两个平面，直线m α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．下列命题中错误的是( )．A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β3．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF ＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.4．(2012北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.图1 图2(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)任意l⊥α(2)①相交直线②b⊥α(3)①任意一条②a∥b2．(1)直二面角(2)垂线α⊥β(3)m⊥β基础自测1．B2．D 解析：取BD的中点E，连接AE，EC，则BD⊥AE，BD⊥EC，∠AEC是直二面角的平面角，即∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，AE＝EC＝2a2，于是AC＝AE2＋EC2＝a.3．D 解析：A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.4．①②解析：③中l∥α也满足；④中α与β可能相交．5．证明：连接A1E，EC，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 2.设AD＝x，则BD＝22－x，∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(22－x)2，A1E2＝(22)2＋1.∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝ 2.∴D为AB的中点．∴CD⊥AB.又AA1⊥CD，且AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1.考点探究突破【例1】证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.①又由∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，得PA＝AC.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD.∴AE⊥PD.②由①②，得PD⊥平面ABE.【例2】 (1)证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，得PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，因此BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G ，F 分别为PB ，PC 的中点， 所以GF ∥BC ，因此GF ⊥平面PDC . 又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .(2)解：因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1， 则PD ＝AD ＝2，所以V P ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83.由于DA ⊥面MAB ，且PD ∥MA ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，V P MAB ＝13×12×1×2×2＝23，所以V P MAB ∶V P ABCD ＝1∶4. 演练巩固提升1．A 解析：根据面面垂直的判定定理可知若m ⊂α，m ⊥β⇒α⊥β，反之则不一定成立．2．D 解析：对于命题A ，在平面α内存在直线l 平行于平面α与平面β的交线，则l 平行于平面β，故命题A 正确．对于命题B ，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B 正确．对于命题C ，设α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，在平面γ内取一点P 不在l 上，过P 作直线a ，b ，使a ⊥m ，b ⊥n .∵γ⊥α，a ⊥m ，则a ⊥α，∴a ⊥l ，同理有b ⊥l .又a ∩b ＝P ，a ⊂γ，b ⊂γ， ∴l ⊥γ.故命题C 正确．对于命题D ，设α∩β＝l ，则l ⊂α，但l ⊂β. 故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D 错误． 3．证明：(1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE . (2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1， 所以四边形CEFG 为菱形． 所以CF ⊥EG .所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.4．解：(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP. 所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。
《空间中的垂直关系：直线与平面垂直》参考教案
βαm la αaα 1.2.3 直线与平面垂直教学目的：1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 .教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α.2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知1.观察实例,发现新知现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。
2.实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案要求：1. 学生年级：高中数学或几何学课程2. 课时：1课时3. 主题：直线与平面垂直的性质教学目标：1. 了解什么是直线与平面垂直的几何关系；2. 掌握直线与平面垂直的判定条件；3. 能够解答直线与平面垂直相关的数学问题。
教学准备：1. 平面几何教材；2. 黑板、白板或投影设备；3. 教学PPT或展示素材。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入问题：什么是直线与平面垂直的几何关系？- 引导学生回顾直线与平面的定义，根据直观经验，直线与平面垂直表示什么意思？2. 探究（10分钟）- 提示学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直？- 引导学生尝试给出判定准则，并解释其原理。
- 让学生讨论并交流，引导他们总结判定直线与平面垂直的条件。
3. 讲解（15分钟）- 结合学生的讨论结果，给出判定直线与平面垂直的条件，并用几何公式或示意图进行解释。
- 强调判定条件的重要性并给出几个典型的示例。
4. 示例分析（10分钟）- 提供一些例题或实际问题，让学生运用所学的知识判定直线与平面之间的垂直关系。
- 引导学生分析和解答问题，让他们积极思考并应用所学知识。
5. 拓展应用（10分钟）- 提供一些更复杂或具有挑战性的问题，让学生应用所学知识解决。
- 引导学生思考解决问题的方法和步骤，并鼓励他们进行讨论和合作。
6. 小结（5分钟）- 总结本节课所学的内容和思考问题，并强调直线与平面垂直的判定条件。
- 提醒学生复习和巩固所学的知识，并鼓励他们提出对直线与平面垂直性质的理解和感悟。
教学延伸：如果时间允许，可以让学生进行实践活动或小组讨论，进一步探究直线与平面垂直性质的应用。
可以使用动画或虚拟现实技术来展示直线与平面垂直的几何关系，以增加学生的兴趣和参与度。
直线与平面垂直的教案
8.6.2 直线与平面垂直——直线与平面垂直的判定一、教学目标1.探索直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“化繁为简”的转化思想.二、教学重难点重点：直线与平面垂直的判定定理的理解难点：直线和平面垂直的判定定理及其应用三、教学过程1.复习回顾直线与平面垂直的定义：一般地，如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α．直线l 叫做平面α的垂线，平面α 叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足．注：通过解读直线与平面垂直的定义，得出下面这个结论：,.l a l a αα⊥⊂⇒⊥简记为：线面垂直，则线线垂直.2.探究新知下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件．根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．那么，有没有可行的方法？【探究活动】引导学生动手操作；如图准备一块三角形纸片ABC，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，并请学生思考;（1）折痕AD与桌面垂直吗？不一定（2）如何翻折才能得到使折痕AD与桌面垂直？为什么？折痕AD是BC边上的高根据基本事实推论2可知：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面。
猜想：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，这条直线就和这个平面垂直.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．图形语言：符号语言：简记为：线线垂直⇒线面垂直思考 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？平面内的两条相交直线代表两个不共线向量，而平面内的任意向量都可以以它们为基底进行线性表示，从而平面内的两条相交直线可以“代表”这个平面上的任意一条直线；而两条平行直线所表示的向量是共线的，它们不能作为平面内的任意向量的基底，用它们不能“代表”这个平面上的任意一条直线．如果将上述问题中的“”两条相交直线“”改为“无数条直线”的话，答案也是否定的。
《直线与垂直平面垂直的性质》教学设计
《直线与垂直平面垂直的性质》教学设计直线与垂直平面垂直的性质教学设计教学目标- 了解直线与垂直平面之间的垂直关系- 能够判断直线与垂直平面之间是否垂直- 能够应用垂直关系解决几何问题教学内容1. 介绍直线与垂直平面的定义和性质2. 讨论直线与垂直平面垂直的条件3. 提供实际生活中的例子，展示垂直关系的应用4. 解决几何问题，强化学生对垂直关系的理解教学步骤1. 引入直线与垂直平面的概念，并给出示意图，让学生对垂直关系有一个初步的了解。
2. 通过示例讲解直线与垂直平面垂直的条件，例如两条直线的斜率相乘为-1，或者两条直线的方向向量垂直。
3. 与学生一起探讨垂直关系在实际生活中的应用，例如建筑物的垂直墙面、垂直树干等。
4. 给学生提供一些几何问题，要求他们判断直线与垂直平面之间的垂直关系，并解决问题。
这样可以让学生通过实际操作巩固所学知识。
教学资源- PowerPoint演示文稿：包括直线与垂直平面的定义、性质以及示例图片- 实物例子：例如直线、垂直平面的示意图、建筑物或物体的照片等- 练题：包括判断直线与垂直平面垂直关系的题目和解答教学评估1. 在课堂上观察学生对直线与垂直平面垂直关系的理解情况，并提供即时反馈和指导。
2. 给学生布置作业，包括判断直线与垂直平面垂直关系的问题，并要求他们解答并解释答案的依据。
3. 对学生的作业进行评分和讲评，以评估他们对垂直关系的掌握程度。
教学延伸- 引导学生观察并发现更多实际生活中的垂直关系的例子。
- 引导学生自己设计问题，并交换解答，以提高他们对垂直关系的应用能力。
参考资料- 高中数学教材- 几何学相关参考书籍。
2.3.直线与平面垂直的性质-人教A版必修二教案
2.3 直线与平面垂直的性质-人教A版必修二教案背景直线与平面是空间中常见的几何学概念。
在立体几何学中，直线与平面之间的关系是非常重要的性质。
垂直是基础的几何学概念之一，直线与平面的垂直关系也是很重要的。
目标1.学习直线与平面相交的情况；2.理解直线与平面垂直的概念；3.学会利用向量法、坐标法和公式法判定直线与平面的垂直关系。
活动1.学生通过阅读教材，回答下列问题：•直线与平面重合一定垂直？•直线与平面垂直，必然相交吗？•直线与平面相交，是否就一定垂直？2.教师向学生介绍直线与平面垂直的定义及性质，引导学生理解该概念。
3.教师使用向量法、坐标法和公式法分别说明怎样判断直线与平面的垂直关系，并且通过实例引导学生解决相关问题。
例如，对于以下直线和平面：直线 l: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, -1, 1)平面 A: 2x + y - z = 3通过向量法，我们可以求出直线 l 的方向向量为 (1, -1, 1)，平面A 的法向量为(2, 1, -1)。
由于这两个向量的点积为 0，所以直线 l 与平面 A 垂直。
通过坐标法，我们可以将直线上的点代入平面的方程，计算得到一个数值，如果该值为 0，则直线与平面垂直；反之，则不垂直。
通过公式法，我们可以利用直线和平面的法向量计算它们之间的夹角，并判断垂直关系。
4.学生独立完成练习题，巩固所学知识。
总结通过本课程的学习，学生了解了直线与平面的基本概念和垂直关系，并掌握了判断直线与平面垂直关系的方法和技巧。
在实际应用中，这些知识和方法将发挥重要作用。
《直线与平面垂直的性质》教学设计
《直线与平面垂直的性质》教学设计一、教学内容解析1、教学地位与作用本课内容处于人教A版必修2《点、直线、平面之间的位置关系》这一章末尾，是作为直线与平面垂直的定义和判定后的一节性质课，是完美结束本章的一节内容.通过本节的学习，既巩固了直线与平面垂直的判定，又能探究发现直线与平面垂直的性质，更能让学生遵循“直观感知——操作确认——思辨论证——度量计算”的认识过程展开学习，突出了立体几何性学习的本质特点.2、教学内容分析1、本节课在课堂引入过程中，涉及到了直线与平面垂直的定义和判定相关知识，要求对这些内容熟练掌握.2、新课探究过程中涉及了直线与平面垂直的性质1和性质2，性质2的证明是本课重点内容之一.3、在方法上，本课需要理解反证法及其实施步骤.在应用上，有两个性质的简单应用.二、教学目标（一）知识目标：1、理解和掌握直线和平面垂直的性质定理.2、应用性质定理推理论证，通过把线面垂直问题化为线线平行问题，体会复杂位置关系转化为简单位置关系的化归的解题意识.（二）能力目标：通过探索发现线面垂直的性质规律，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力、发散思维和类比思维能力. （三）情感目标：鼓励学生充分利用手中工具、教室环境进行操作演示，让学生参与到教学活动中来，在探究学习中获得成功的喜悦和认同，激发学生的学习热情.三、教学重难点（一）教学重点：直线和平面垂直的性质及其应用（二）教学难点：直线和平面垂直的性质的探求证明、反证法的理解和应用四、学生学情分析我所在的学校是省一级重点中学，学生学情较好，数学基础比较扎实.在知识方面，对《点、直线、平面之间的位置关系》这章知识已经基本熟练掌握，通过前期对数学旧知，追溯归纳，促使思辨；在技能方面，有较强的动手操作能力、分析问题能力、抽象概括能力和空间想象能力；在情感方面，求知的欲望强烈，爱好探求真理，具有积极的情感态度，具备良好的师生关系. 五、教学过程教学环节教学内容设计意图引入问题一直线与平面垂直的定义是什么？师生活动：教师：提出问题.学生：回忆上节课内容，并回答，与平面α内的任意一条直线垂直，那么称直线l与平面α垂直.记作α⊥l.问题二反过来，如果直线l垂直于平面α,则可以得到什么结论？师生活动：教师：提出问题学生：利用手中的笔和桌面进行探究，猜想结果.复习上一节课学习的直线与平面垂直的定义，并引出线面垂直的性质定理1.由直观感知到动手操作中.新课研修教学内容一线面垂直的性质定理1如果直线l垂直于平面α，那么直线l与平面α内的任意一条直线都垂直.师生活动：教师：提问能否给出定理1的符号语言.学生回答：教学内容二线面垂直性质定理21、问题三两条直线垂直于同一个平面，你又能得到什么结论？师生活动：教师：引导学生利用手中笔和桌面，或者是教室内的线和面，探索问题.学生：全体学生以2人为单位，利用笔和桌面探究讨论，猜想结论：这两条直线是平行的.2、回顾平面和空间中，证明两直线平行的方法.通过对问题二的探究，自然地得到性质定理1，让学生感受到成功的喜悦，为接下去的探究做好心理铺垫.由一条线到两条线，是一种问题由浅入深的铺设.让学生动手操作，体会立体几何学习的基本过程.alal⊥⇒⊂⊥αα,师生活动： 教师：提出问题.学生：思考，并得到如下几种方法：（1）在初中，有“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等、两直线平行”等定理；（2）直线与平面平行、平面与平面平行性质定理.（3）公理4. 3、反证法由于无法利用上述方法证明猜想，引出利用反证法证明. 师生活动：师生一起回顾反证法概念和实施步骤：（1） 反证法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证.（2） 操作步骤：否定结论、正确推理、导出矛盾、肯定结论. 4、证明猜想如图，已知直线b a 、垂直于平面α，求证：b a //. 师生活动：在教师引导下，学生自主探究，共同完成证明过程. 5、定理2研讨线面垂直的性质定理2 垂直于同一个平面的两条直线平行. 师生活动：教师：问能否给出定理1的符号语言. 学生回答： 教师：该定理的作用是：判断线线平行. 教学内容三 课堂练习 练习：判断下列命题是否正确.1、垂直于同一条直线的两个平面互相平行.2、垂直于同一个平面的两条直线互相平行.3、一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.4、如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面. 师生活动：反证法的回顾，是直接证明受挫后的自然想法，培养学生正难则反的思想.利用反证法证明性质定理2，分类讨论思想的应用.让学生体会推理论证的严密性.使学生进一步熟悉空间直线与平面垂直的性质.及时巩固和理解性质.b a b a //,⇒⊥⊥αα教师：引导 学生：回答.教学内容四 例题讲解例1 如图所示 平面γβα、、两两相交与OP OR OQ 、、,已知OQ OP 、 垂直于平面γβ，，直线β⊂AQ 且PQ AQ ⊥. 求证：QR AQ //.例 2 如图所示 在正方体1111D C B A ABCD -中，M 是AB 上一点，N 是C A 1中点，MN 垂直于平面DC A 1.求证：1//AD MN熟练两个性质定理，培养学生的数学思维能力和问题解决能力.小结回顾 师生共同回顾总结： 1、直线与平面垂直的两个性质. 2、反证法原理和实施步骤. 课 后 拓 展 1、课本P71练习 2 2、课本P71探究直线与平面垂直的性质。
空间直线平面的垂直教案
空间直线平面的垂直教案主题：空间直线平面的垂直关系教学目标：1. 理解空间中直线、平面的定义及其特点。
2. 理解什么是直线与平面的垂直关系。
3. 能够判断直线与平面是否垂直，并举例说明。
教学重点：1. 直线与平面的定义及特点。
2. 直线与平面的垂直关系。
教学难点：1. 判断直线与平面是否垂直。
教学准备：1. 教师准备黑板、彩色粉笔或白板、标杆等教具。
教学过程：Step 1：导入新知识教师可以利用日常生活中的实例，引导学生思考两个平面相交于一根直线的情况，并提问学生如何判断这根直线与两个平面的关系。
Step 2：直线与平面的定义及特点教师简单明了地给出直线与平面的定义，并介绍直线与平面的特点，如直线无始无终、平面无边无角等。
Step 3：直线与平面的垂直关系教师引导学生思考直线与平面的垂直关系，并给出垂直的定义。
然后从两者的定义入手，解释直线与平面垂直的条件。
Step 4：判断直线与平面的垂直关系教师通过具体的实例，展示判断直线与平面垂直关系的方法。
同时，引导学生参与讨论，并解答他们的疑问。
Step 5：例题练习教师以练习题的形式进行针对直线与平面垂直关系的测试。
鼓励学生积极思考，独立完成。
Step 6：总结归纳教师对直线与平面的垂直关系进行总结归纳，并强调学生在实际问题中的应用。
Step 7：拓展延伸根据学生的学习情况，教师可以引导学生思考直线与平面的垂直关系在实际生活中的应用，如建筑、几何建模等领域。
Step 8：作业布置教师布置相关的习题作为课后作业，鼓励学生独立解答，并批改作业，及时给予反馈。
教学资源：黑板、彩色粉笔或白板、标杆等教具。
评估方式：教师通过观察学生的回答、讨论和作业的完成情况，评估学生对于直线与平面垂直关系的理解与应用能力。
延伸活动：教师可以组织学生进行小组讨论，挑选一些实际问题，引导他们应用直线与平面垂直关系的知识，一起尝试解决问题。
注意事项：在教学过程中，教师需要引导学生思考，并鼓励他们提出问题和分享观点。
直线、平面垂直的判定与性质教案
课时计划课题： 9.4 直线与平面垂直的判定与性质课型：综合课教学目标：（一）知识与技能1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中直线与平面垂直的判定和性质.2.能运用直线与平面垂直的判定定理、性质定理和已经获得的结论证明一些空间图形中的垂直关系的简单命题。
（二）过程与方法通过对实例的分析及练习的巩固，理解线面垂直的判定与性质，掌握线面垂直关系的综合应用。
（三）情感、态度与价值观学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.培养学生善于和他人合作的精神.体会数学知识与现实世界的联系。
通过线面垂直的判定与性质的应用及线面垂直关系的综合的应用，培养逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养。
教学重、难点及解决办法：重点：直线与平面垂直的判定和性质难点：运用直线与平面垂直的判定定理、性质定理教具准备：缺勤登记：板书设计纲要一、基础知识1．直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言 图形语言 符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a 、b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥al ⊥b⇒l ⊥α 推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 3．直线与平面垂直的性质定理文字语言 图形语言 符号语言 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 二、考点考向例1、如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，PD 垂直平面ABCD ，F 为PD 中点， 求证：⊥AC 平面PBD例2、正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点．求证：11B D AE ⊥例3、如图,已知PA ⊥圆O 所在平面,AB 为圆O 的直径,C 是圆周上的任意一点,过点A 作AE ⊥PC 于点E.求证:AE ⊥平面PBC.FPCABDA1D 1C 1B 1A E D CB解：因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.因为AC⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE.又因为PC⊥AE,BC∩PC=C,PC⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC.例4、如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.解：(1)∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,又∵AC⊥CD,且PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD,而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD,且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.三、课堂小结1、直线与平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质,证题时常用它作为性质使用,即“如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线”,在证明线面垂直时,要注意此性质的应用.2、证明线面垂直的常用方法:(1)利用勾股定理的逆定理.(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线.(3)利用线面垂直的定义.(4)利用平行转化,即a∥b,b⊥c,则a⊥c.四、课后作业1、如图,在四棱锥E-ABCD中,AD⊥CD,DA=DC=DE=2,EA=EC=2,M是EA的中点.证明:AE⊥平面MCD.解：(1)因为AD⊥CD,DA=DC=2,所以AC=2,又因为EA=EC=2,所以△AEC为等边三角形,又因为M是EA的中点,所以AE⊥DM,AE⊥MC,又因为DM∩MC=M,DM,MC⊂平面MDC,所以AE⊥平面MCD.2、如图,在四棱锥P-ABCD中, AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC 的中点. 求证:(1)AP∥平面BEF; (2)BE⊥平面PAC.解：(1)设AC∩BE=O,连接OF,EC,如图所示.因为E为AD的中点,AB=BC=1/2AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC 的中点,因此在△PAC中,可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC,ED=BC.所以四边形BCDE为平行四边形,因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,所以BE⊥平面PAC.五、教学反思。
《空间中直线平面的垂直关系》教学设计
课 题：6.2.3 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 教 材：湘教版高中数学·必修3【教学内容解析】本节课是湘教版教材必修3中第六章第二节的内容，属于新授性质原理课.其中直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质的形成是教学重点.以上结构图反应出了直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质在本节中的位置.是在学生掌握了线面垂直、面面垂直的判定之后紧接着研究的其性质.线面平行、面面平行研究了性质定理，为本节课提供了研究方法上的范式.线面、面面垂直是线线垂直的拓展，又是空间垂直的基础，且后续内容如：空间的角和距离等又都借助垂直来构建，在空间几何中起着承上启下的作用.通过本节课的学习研究，可进一步完善空间垂直与平行的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象、推理能力，体会由特殊到一般、正难则反、类比、归纳、转化等数学思想方法．因此，学习这部分知识有着非常重要的意义．【教学目标设置】1.学生通过对生活视频、实验操作的观察、直观感知、发现、猜想、归纳直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质定理．2.在性质的探究活动中，学生通过独立思考与合作交流，直观感知、发展类比、归纳等培养学生合情推理能力、逻辑思维能力和空间想象能力．3.学生运用特殊化、类比、正难则反、转化等数学思想，体验了研究空间位置关系的一般方法.4.在探究线面垂直的性质、面面垂直的性质的过程中，体会数学的严谨、简洁之美，体验探究发现的乐趣，培养善于实验观察、勇于探索的良好习惯.【学生学情分析】1.学生已有的认知基础学生能够感知生活中有大量的线面、面面垂直关系，已经掌握了线线、线面、面面平行的判定和性质以及线面、面面垂直的判定的相关知识，从而具备了研究空间位置关系的经验，也体会了立体几何中转化、类比的数学思想方法.2.达成目标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，还需要整体上把握本节课的研究内容、方法和途径，能运用转化、类比等数学思想，同时具备较好地观察发现、直观感知、空间想象、合情推理、抽象概括等能力，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.我校为全市二类重点高中，招收的学生相当部分基础薄弱，自主学习能力差.进入高二，虽然能领悟一些基本的数学思想与方法，但还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养.3.重难点及突破策略重难点：1.运用转化、正难则反、特殊到一般、类比等数学思想方法来研究直线与平面、平面与平面垂直的性质，提高学生从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力.2.探究实验、归纳猜想、推理论证直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，突破“空间向平面”、“平行与垂直”、“线面与面面”的转化.突破策略：1.启发学生明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段．2.引导学生经过“直观感知⇒操作确认⇒推理论证”的学习过程形成线面垂直、面面垂直的性质定理.3.发动学生通过问题串交流、汇报、展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用教法和学法如下：怎样快速判断旗杆与地面的垂直关系？旨在让学生直观感知，借助生活现象形成关于同垂直一个平面的多条直线平行的直观感，可以帮助学既真实又有效. 并引导学生进一步概括直线与平面垂直的性质定理本质.。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质【教学目标】（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.【教学重难点】重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
【教学过程】（一） 复习引入师：判断直线和平面垂直的方法有几种？师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？ 判断下列命题是否正确：1.在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2.在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
3.垂直于同一平面的两直线互相平行。
4.垂直于同一直线的两平面互相平行。
师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？（二） 创设情景如图，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？（三）讲解新课例1 已知：a α⊥，b α⊥。
求证：b ∥a师：此问题是在a α⊥，b α⊥的条件下，研究a 和b 是否平行，若从正面去证明b ∥a ，则较困难。
而利用反证法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出,这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知道下,学生尝试证明,稍后教师指正.生:证明:假定b 不平行于a,设O b =⋂α, b’是经过点O 的两直线a 平行的直线.a ∥b’, a α⊥,∴ b’ α⊥即经过同一点O 的两直线b ,b’都与α垂直,这是不可能的,因此b ∥a.有了上述证明,师生可共同得到结论.:直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.利用三种形式去描述它//.=== // ////= //l l a l A lB A a b B l B c l l a l cl a l ca c a c ab a b A αββαβαγββγβγαγββββαβ⊥⊥∈⊂∈∴⊥∴⊥⊥⊥⊥∴⊄⊂∴∴例2.已知，，求证证明：设，在内过点取两条直线和且与相交，设，同理在平面中：，又，，同理又 下列命题中错误的是（C ） A.若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案：直线与平面垂直的性质一、教学目标1.知识目标：了解直线与平面的垂直关系，并掌握直线与平面垂直的性质。
2.能力目标：能够判断直线与平面是否垂直，并能够运用垂直的性质解决问题。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学习的主动性。
二、教学重点三、教学难点如何判断直线与平面是否垂直。
四、教学准备教师准备：教学课件、黑板、白板、绘图工具等。
学生准备：课本、笔记本等。
五、教学过程Step1：导入新知1.通过引入两个概念：“直线”和“平面”，并介绍其定义、性质和符号表示。
2.通过实际示例，引导学生思考并提出问题：“直线与平面之间是否存在一种特殊的关系？”“你认为直线与平面有什么样的垂直关系？”3.引导学生观察周围环境中直线与平面的垂直关系，并与学生一起讨论。
Step2：理论讲解1.引入直线与平面垂直的定义：“如果直线与平面上的任意一条直线都垂直相交，那么称这条直线与这个平面垂直。
”2.讲解直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直的定理：在同一个平面内，如果一条直线与另一条直线垂直相交，则它们与该平面垂直。
（2）直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面垂直的充分必要条件是这条直线上有一点在这个平面上，且在这个平面上有一般的直线与这条直线垂直。
3.讲解直线飞平面垂直的表示方法：以垂直符号“⊥”表示。
Step3：示例演练1.给出一些具体问题，引导学生分析并判断直线与平面是否垂直，并用判定定理进行解答。
例如：过一个点作平面外的一条直线，该直线与这个平面有什么样的关系？2.引导学生根据给定的条件使用垂直的性质进行证明，以锻炼思维能力。
Step4：归纳总结1.让学生复习并总结判定直线与平面垂直的方法和性质。
2.强化学生对垂直符号“⊥”的理解和应用。
Step5：拓展应用将所学的直线与平面垂直的知识应用到实际问题中，例如建筑工程、地理测量等领域，培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
直线、平面垂直的判定及其性质教案
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质（教案）考纲要求1．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题． 考情分析直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．命题角度高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个命题角度：(1)同真假命题的判断相结合考查；(2)以多面体为载体，证明线面垂直问题；(3)以多面体为载体，考查与线面垂直有关的探索性问题．[例1] (2013·浙江高考)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β解析：设直线a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝A ，∵m ⊥α，∴m ⊥a ，m ⊥b .又n ∥m ，∴n ⊥a ，n ⊥b ，∴n ⊥α.答案：C[例2] (2013·广东高考)如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22. ①证明：DE ∥平面BCF ；②证明：CF ⊥平面ABF ；③当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .证明：（1）在等边三角形ABC 中，AB ＝AC .∵AD ＝AE ，∴AD DB ＝AE EC，∴DE ∥BC ，∴DG ∥BF ，又BF ⊂平面BCF ， DG 平面BCF ，∴DG ∥平面BCF .同理可证GE ∥平面BCF .∵DG ∩GE ＝G ，∴平面GDE ∥平面BCF ，又DE ⊂平面GDE ，∴DE ∥平面BCF .（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，∴AF ⊥CF ，∴BF ＝FC ＝12BC ＝12. 在图2中，∵BC ＝22，∴BC 2＝BF 2＋FC 2， ∴∠BFC ＝90°，∴CF ⊥BF .∵BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴CF ⊥平面ABF .（3）∵AD ＝23，∴BD ＝13，AD ∶DB ＝2∶1， 在图2中，AF ⊥FC ，AF ⊥BF ，又BF ∩FC ＝F ，∴AF ⊥平面BCF ，由（1）知平面GDE ∥平面BCF ，∴AF ⊥平面GDE .在等边三角形ABC 中，AF ＝32AB ＝32， ∴FG ＝13AF ＝36，DG ＝23BF ＝23×12＝13＝GE ， ∴S △DGE ＝12DG ·EG ＝118， ∴V F -DGE ＝13S △DGE ·FG ＝3324.线面垂直问题的常见类型及解题策略(1) 与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．(2) 线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3) 线面垂直的探索性问题．此类问题的解决方法同“线面平行的探索性问题”的求解方法．课堂练习如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，P A ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC的值． 解：(1)证明：设点O 为AC ，BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线．所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又AC ∩P A ＝A ，AC ⊂平面APC ，P A ⊂平面APC ，所以BD ⊥平面APC .(2)连接OG .因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG .在Rt △P AC 中，得PC ＝15.所以GC ＝AC ·OC PC ＝2155.从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32. 方法与技巧证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直α⊥a ；（3）判定定理2：b a //，α⊥a ⇒ α⊥b ；（4）面面平行的性质：βα//，α⊥a ⇒ βα⊥；（5）面面垂直的性质：α⊥a ，l =βα ，α⊂a ，l a ⊥ ⇒βα⊥. 失误与防范1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.2. 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据. 我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中，作交线的垂线即可;,,:1)2(αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⊂l n l m l A n m n m 、 判定定理。
《直线,平面垂直的判定及其性质》教案(新人教必修)
§2.3.1直线与平面垂直的判定一、教案目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）通过教案活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教案重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教案设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。
然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
空间直线、平面的垂直教案
空间直线、平面的垂直【第一课时】【教学目标】1．会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角2．理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题【教学重难点】1．异面直线所成的角2．直线与平面垂直的定义3．直线与平面垂直的判定定理【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？二、基础知识1．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．（3）范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°．[名师点拨]当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°．注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直记法l ⊥α有关概念直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P 叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直名师点拨（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．（2）注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．三、合作探究异面直线所成的角如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：（1）BE与CG所成的角；（2）FO与BD所成的角．【解】（1）如图，因为CG∥BF．所以∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°．（2）连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°．1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF（或其补角）为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°．2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39．2°，求AM和BN所成的角．解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF═∥CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM（或其补角）是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG（或其补角）是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39．2°，所以∠AMG＝101．6°，所以AM和BN所成的角为78．4°．[规律方法]求异面直线所成的角的步骤（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ．若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°．直线与平面垂直的定义（1）直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（）A．平行．相交C．异面．垂直（2）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解析】（1）因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m．故l与m不可能平行．（2）对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】（1）A（2）B[规律方法]对线面垂直定义的理解（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．（2）由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b．直线与平面垂直的判定如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．（1）求证：PC⊥平面AEF；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．【证明】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC．又AB⊥BC，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC．又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC．又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF．（2）由（1）知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面P AD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD．1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH．证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ，因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又FH ⊂平面PAC ，所以BD ⊥FH ．2．[变条件]若本例中PA ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG ．证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥P A ，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，所以DC ⊥平面P AD ，又AG ⊂平面PAD ，所以AG ⊥DC ，因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ，所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ，又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ，所以PC ⊥平面AFG ．3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD ．证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG ．因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF ．因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，易知CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD ．因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD ．（1）线线垂直和线面垂直的相互转化（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直（无论它们是异面还是共面），通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．【课堂检测】1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是（）A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C．过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c．因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c．因为b∥c，所以a⊥b．当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（）A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：选B．因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1．3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线（）A．相交且垂直B．不相交也不垂直C．相交不垂直D．不相交但垂直解析：选D．如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD．4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°．答案：60°【第二课时】【教学目标】1．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法2．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【教学重难点】1．直线与平面所成的角2．直线与平面垂直的性质【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象、逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．直线与平面所成的角的定义是什么？2．直线与平面所成的角的范围是什么？3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4．如何求直线到平面的距离？5．如何求两个平行平面间的距离？二、基础知识1．直线与平面所成的角（1）定义：如图，一条直线P A和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°．（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．名师点拨把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．⇒a∥b名师点拨（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．3．线面距与面面距（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．三、合作探究直线与平面所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解】取AA1的中点M，连接EM，BM．因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3．于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为2 3．[规律方法]线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．【证明】（1）如图，连接A1C1．因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．（2）如图，连接B1A，AD1．因为B1C1═∥AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．[规律方法]（1）若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．（2）直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．求点到平面的距离如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．【解】（1）证明：如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ．因为四边形ABCD 为矩形，所以点O 为BD 的中点．又点E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．（2）V ＝16AP ·AB ·AD ＝36AB ．由V ＝34，可得AB ＝32．作AH ⊥PB 于点H ．由题设知BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ，即AH 的长就是点A 到平面PBC 的距离．因为PB ＝AP 2＋AB 2＝132，所以AH ＝AP ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313．[规律方法]从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．【课堂检测】1．若斜线段AB 是它在平面α内射影长的2倍，则AB 与平面α所成角的大小为（）A．60°B．45°C．30°D．90°解析：选A．斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段与平面所成的角．又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝OBAB＝12，所以∠ABO＝60°．2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是（）A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD解析：选C．P A⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确；P A⊥平面ABCD⇒PA⊥BCABCD为矩形⇒AB⊥BC⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB．故A正确；同理B正确；C不正确．3．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条解析：选A．显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l ⊥B1C1，l⊥AB．又AB∥C1D1，则l⊥C1D1．又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1．同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1．又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．4．如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG．求证：BC∥FG．证明：连接DE．因为AD⊥AB，AD⊥AC，所以AD⊥平面ABC．又BC⊂平面ABC，所以AD⊥BC．又AE⊥BC，所以BC⊥平面ADE．因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG．同理ED⊥FG．又AD∩ED＝D，所以FG⊥平面ADE．所以BC∥FG．【第三课时】【学习目标】1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小2．理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理3．理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【学习重难点】1．二面角2．平面与平面垂直的判定定理3．平面与平面垂直的性质定理【核心素养】1．直观想象、数学运算2．直观想象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．二面角的定义是什么？2．如何表示二面角？3．二面角的平面角的定义是什么？4．二面角的范围是什么？5．面面垂直是怎样定义的？6．面面垂直的判定定理的内容是什么？7．面面垂直的性质定理的内容是什么？二、基础知识1．二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．（2）图形和记法图形：记作：二面角αAB β或二面角αl β或二面角P AB Q 或二面角P l Q ．2．二面角的平面角（1）定义：在二面角αl β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．（2）图形、符号及范围图形：符号：α∩β＝l ，O ∈OA ⊂α，OB ⊂OA ⊥l ，OB ⊥∠AOB 是二面角的平面角．范围：0°≤∠AOB ≤180°．（3）规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．名师点拨（1）二面角的大小与垂足O 在l 上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．（2）构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．3．平面与平面垂直（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．名师点拨定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．⊥名师点拨对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．三、合作探究二面角的概念及其大小的计算（1）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成锐二面角A 1BD A 的正切值为（）A ．32B ．22C ．2D ．3（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定【解析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD．又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1BDA的平面角．设AA1＝1，则AO＝22．所以tan∠A1OA＝122＝2．（2）反例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角DAA1E与二面角B1ABC的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．【答案】（1）C（2）D（1）求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．（2）作出二面角的平面角的方法方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角ABCD的平面角．方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB 为二面角αl β的平面角．[提醒]二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．平面与平面垂直的判定角度一利用定义证明平面与平面垂直如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ．求证：平面ABD ⊥平面BCD ．【证明】因为△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，所以取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，BD⊥CE ．在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，所以AE ＝AB 2－BE 2＝22a ．同理CE ＝22，在△AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ．由于AC 2＝AE 2＋CE 2，所以AE ⊥CE ，∠AEC 是二面角A BD C 的平面角，又因为∠AEC ＝90°，所以二面角A BD C 为直二面角，所以平面ABD ⊥平面BCD ．角度二利用判定定理证明平面与平面垂直如图，在四棱锥P ABCD 中，若P A ⊥平面ABCD 且四边形ABCD 是菱形．求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【证明】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ．因为四边形ABCD 是菱形，又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．[规律方法]证明平面与平面垂直的两种常用方法（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：面面垂直的性质定理的应用已知P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，因为AD ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥AC ．[反思归纳]利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．垂直关系的综合问题如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA ．【证明】（1）如图，取EC 的中点F ，连接DF ．因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EC ⊥BC ．同理可得BD ⊥AB ，易知DF ∥BC ，所以DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，因为EF ＝12EC ，EC ＝2BD ，所以EF ＝BD ．又FD ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA ．（2）取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC ．因为EC ∥BD ，BD ＝12EC ，所以MN 綊BD ，所以N点在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN．又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA．因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA．（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA．又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．[规律方法]垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：【课堂检测】1．给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直．A．4B．3C．2D．1解析：选B．①②④正确．①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理．2．在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中，正确的是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α解析：选B．A项中l与α可以平行或斜交，A项错．B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．C项中，l可在α内，C项错．D项中，l可在α内，D项错．3．在三棱锥PABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角PABC的大小为Ｗ．解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角PABC的平面角．在△PAB中，PM＝22－（3）2＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°．答案：60°4．已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β．其中正确的说法序号为Ｗ．解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．答案：④5．如图，四边形ABCD，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．求证：AB⊥DE．证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD．又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD．因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE．。
优秀教案17-直线与平面垂直的性质
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3 直线与平面垂直的性质教材分析本节内容是数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系直线、平面垂直的判定及其性质的第三课时．本节课是在学习了直线、平面的位置关系及相关定理后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是空间中线线垂直、面面垂直关系的一个交汇点．空间中直线与平面垂直的性质定理不仅将线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，在教材中起着连接线线垂直和面面垂直、以及衔接平面几何和立体几何的重要作用．课时分配本节内容用1课时的时间完成,主要讲解直线与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理的综合应用,通过学习更全面地把握空间中直线、平面的位置关系．教学目标重点：探究、发现直线与平面垂直的性质定理及性质定理的简单应用．难点：直线与平面垂直的性质定理的推导证明以及灵活运用．知识点：直线与平面垂直的性质定理．能力点：能利用直线与平面垂直的性质定理解决简单的数学问题，通过直观感知、操作确认归纳线面垂直的性质定理,提高学生的空间想象能力、几何直观能力和等价转化能力．教育点：通过观察、操作确认,让学生获得对性质定理正确性的认识,培养学生的空间概念和应用意识；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神，自主探究点：直线与平面垂直的性质定理的探究发现与证明．考试点:直线与平面垂直的性质定理．易错易混点：对定理理解不到位,应用不熟练，自创定理、结论．拓展点：通过课外思考探究距离、角度问题，培养学生的空间想象能力，体会空间中的垂直、平行关系．教具准备多媒体课件、三角板、长方体模型课堂模式学案导学一、引入新课知识回顾：(教师出示多媒体课件并提出问题）问题1：直线与平面垂直的定义是什么？如何判断直线和平面垂直？问题2：如果一条直线垂直于一个平面，能得到什么结论？【师生活动】教师展示课件、提出问题，学生思考并回答问题． 教师根据学生回答进行适当板书． 【设计意图】通过知识回顾为学习新内容作好知识上的准备,更为学生自主探究铺平道路． 问题3：如果有两条、三条或更多直线垂直于一个平面，则这些直线之间又有什么位置关系呢? 【师生活动】学生思考、讨论问题，教师点出本节课的主题．【设计意图】复习巩固，以旧带新． 简单的知识回顾，能唤起学生的记忆，引发学生探究新知识的的学习兴趣和学习热情，并自然导入新课．二、探究新知(一)归纳定理情境1：（课件展示）师:教师展示课件，并重申问题：垂直于同一个平面的直线之间具有怎样的位置关系？观察图片，你能得到什么启发．生：独立思考、分组讨论，同学间交流各自的意见,最终分析得出猜想结论：垂直于同一个平面的直线互相平行．【设计意图】通过熟悉生活情境进行引入，引发学生探究知识的兴趣，培养学生发现、归纳、概括数学问 题的能力．情境2：如图,长方体ABCD A B C D ''''-中,棱,,,AA BB CC DD ''''所在直线都与底面ABCD 垂直，各侧棱之间具有什么位置关系？ 师：提出问题，引导学生分组讨论问题．生：认真观察、思考得出结论:因为棱,,,AA BB CC DD ''''所在直线都垂直于平面ABCD ,所以//////AA BB CC DD ''''．【设计意图】借助学生最熟悉的长方体模型和生活中的简单经验，引导学生分析,将“垂直问题”逐步转化为“平行问题",以此为基础，进行合情推理，验证猜想，使学生的思维更加顺畅；让学生在发现定理的过程中，不仅有直观上的感知，提高几何直观能力,而且通过理性的说理，增强加逻辑思维能力．【设计说明】在直观感知、操作确认的基础上，使学生经历从实际背景中抽象出几何结论的全过程,从而形成完整和正确的概念，这种立足于感性认识的归纳过程，既有助于学生对知识本质的理解,又使学生的抽象思维得到发展，在培养学生的几何直观能力同时，也勇于探索的科学精神．经过师生对话猜想结论进行完善,并引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的性质定理． 生：学生自主完成．师：巡视课堂,对学生的完成情况进行个别指导． 师：板书定理文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行． 符号语言：//a b a b αβ⊥⊥⇒， 图形语言:生：校对答案，完善自己作品．【设计意图】通过板书加深学生对所学知识的印象,达到巩固新知的目的；通过三种语言间的转化，加深学生对定理的认识与记忆，培养学生的数形结合能力、转化化归能力和书写表达能力．（二)证明定理已知:a b αβ⊥⊥， 求证：//a b ．师：怎样证明两条直线平行？ 生：思考回答判定线线平行的方法．师:由于无法把两条直线a 、b 归入到一个平面内，无法应用平行直线的判定知识,也无法应用公理4,在这种情况下，我们常采用“反证法"． 证明：假定a b 与不平行，设a b O =．过点O 作直线//b a '，//,a b a α'⊥b α'∴⊥即经过一点O 的存在两条直线,b b '都与α垂直这是不可能的．∴假设不成立，即://a b ．【设计意图】通过证明,加深对定理的理解和记忆，教师板书示范，让学生体会反证法的证明步骤．三、理解新知1．师：你是怎样理解直线与平面垂直的性质定理的，定理的实质是什么？性质定理有什么作用呢? 生:通过合作交流，分组讨论,得出结论：(1)直线与平面垂直的性质定理的实质是：线面垂直⇒线线平行; (2）利用直线与平面垂直的性质定理可以证明直线与直线平行．师：对完善学生的结论给予肯定，并进行完善总结． 直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系．【设计意图】通过学生独立思考、师生共同总结加强对性质定理的理解，正确认识定理、记忆定理，学会学习；进而培养学生的口头表达能力和归纳概括能力． 2．师：判断下列命题的正误（1)平行于同一直线的两条直线互相平行． （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行． (3)平行于同一平面的两条直线互相平行． (4)垂直于同一平面的两条直线互相平行．生：独立思考，并请一名同学起立回答；若有不足,再找学生点评完善． 答案:(1)√；（2) ×；(3） ×；(4） √． 【设计意图】为准确地运用新知作必要的铺垫．四、运用新知例1（教材71P 探究） 设直线a b ，分别在正方体ABCD A B C D ''''-中两个不同的平面内,欲使//a b ,则a b ，应满足什么条件？分析:运用两条直线平行的判定方法，如：直线与平面垂直的性质定理,直线与平面平行的性质定理，平面与平面平行的性质定理,平行性公理、线线平行的定义等等,充分考虑a b ，所能满足的条件． 师:引导学生分析问题，为问题的解决点明方向． 生：思考问题，小组交流后解决问题．解:a b ，满足下面条件中的任何一个，都能使//a b ： （1）a b ，同垂直于正方体一个面；(2）a b ，分别在正方体两个相对的面内且共面； （3)a b ，平行于同一条棱；（4),,E F M 分别为,,AA BB CC '''的中点，ED 所在的直线 为a ，FC 或B M '所在直线为b ．[设计意图]巩固所学知识，提高学生分析问题、解决问题的能力；通过问题分析，重现证明线线平行各种方法,通过方法探究，一问多解，发散思维，有益于沟通知识和方法,开拓解题思路． 例2． 已知l α⊥，l β⊥,求证：//αβ．分析：要证明面面平行，根据面面平行的判定定理，只需 证一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行． 根据已 知条件首先利用线面垂直的性质，将线面垂直转化为线线 垂直，进而转化为线线平行，再由线面平行得到面面平行．师生共同分析问题,师板书示范． 证明：设==lA lB αβ，在平面内α过点A 作两条直线,a b 则直线a 与点B 确定一个平面，设为γ,B B γβ∈∈，βγ∴与相交设c βγ=l α⊥，a α⊂，l a ∴⊥同理可证：l c ⊥,a c γγ⊂⊂,//a c ∴又,c a ββ⊂⊄,//a β∴同理可证：//b β又直线,a b 在平面内α且过点A ∴//αβ［设计意图]此题是线面垂直、线线平行、线面平行以及面面平行相互转化的问题，通过对问题的分析、解决过程，培养学生综合分析问题和转化化归的能力．通过教师板书，规范学生的证明过程和解题步骤． 练习：（教材71P 练习2变式) 已知直线a b ⊥，b α⊥a α⊄,求证://a α．请一名学生到黑板板演证明过程．师生共同批阅证明过程，探讨解题中出现的问题和解题的关键点，纠正问题,完善证明,并校对自己的答案． [设计意图] 通过练习，便于及时发现为题、解决问题，并规范学生的解题步骤；通过对答案的批改、校对，培养学生反思、总结的习惯．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生总结：1．知识点:直线与平面垂直的性质定理2．思 想:由特殊到一般的思想（定理的猜想、证明）;等价转化的思想(由空间到平面,由垂直到平行）； 反证法的思想（性质定理的证明)．教师强调: 1．线面垂直性质定理的实质：线面垂直⇒线线平行； 2．反证法的证明思路：反设→归谬→结论； 3．两直线平行的判定方法．．［设计意图] 通过学生总结，培养学生的口头表达能力、归纳概括能力,教会学生学习方法,让学生再次回顾本节课的活动过程、重点、难点所在，再次对线面垂直的性质定理加以思考延伸．使学生对本节课所学知识结构有一个清晰的认识,形成知识体系．六、布置作业1．书面作业必做题: 71P 练习 1;自主学习 148P 1，3,4，5． 选做题:1．下列说法不正确的是A ．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直2．已知,m n 是两条相交直线，12,l l 是与,m n 都垂直 的两条直线,且直线l 与12,l l 都相交． 求证：12∠=∠．答案：1．D ． 2．课外思考思考1:已知在梯形ABCD 中，//AB CD ，CD 在平面α内，23AB CD =,AB 到α的距离为10 cm ，求梯形对角线的交点O 到α的距离．思考2:对于一个三角形，它的三条高线总相交于—点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于一点呢？若不总相交于一点,则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢？[设计意图］书面作业的布置,以不同层次出现，对不同层次学生有不同的要求,体现了分层教学的教学思想．设置“必做题”是为了进一步巩固所学，加强学生学习的自信心；课外思考探究活动进一步激励学生学习的热情,培养学生的空间想象能力．七、教后反思本节课在设计上注重课堂的开放性，力求充满生命活力，在学习过程中让学生主动参与，使学生在参与活动过程中感受体验由空间物体到平面图形的相互转换．教学中使用了大量图片、多媒体课件和实物直观，使学生感知、猜想出线面垂直的性质定理，通过学生的观察思考,动手实践,实现从感性认识到理性认识的飞跃，培养学生的空间想象能力，几何直观能力．把学习的主动权还给学生，让学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学习过程,使数学课堂生动起来．在例题讲解过程中，还是老师讲的多，可以尝试让学生分析讲解，老师补充完善,这样更有益于学生学习兴趣和学习积极性的培养．八、板书设计。
直线与平面垂直的性质教案、反思.docx
直线与平面垂直的性质学习目标：探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力; 掌握性质定理的应用，提高逻辑推理能力。
重点、难点：直线与平面垂直的性质定理及其应用知识储备（判断正误）（1）已知平面a,点A 和直线m 在a 内，过点A 作直线m 的垂线只能作一条。
（）⑵已知直线a 在平面a 内，直线m 不在a 内，若m 丄a,贝!j m 丄a 。
（）二. 猜想、论证 1 •注意观察下图，在长方体ABCD —AECD 中，棱AA 】、BB 】、CC 】、DD 】与平面ABCD 是 .各侧棱之间是 。
4.思考：通过上题的证明你能得出什么结论?三、归纳直线与平面垂直的性质定理 定理：（文字语言）（图形）（符号语言）四、直线与平面垂直的性质的应用（一）判断下列命题的正误。
1 •平行于同一直线的两条直线互相平行（）2•垂直于同一直线的两条直线互相平行（）3 •平行于同一平面的两条直线互相平行（）2•如果有两条、三条或更多直线 垂直于一个平面，则这些直线 之间会有怎样的位置关系?3.如图，已知直线a, b 和平面a A B站色如果a 丄a ,4•垂直于同一平面的两条直线互相平行()A1个B2个 C3个 D4个(三) 证明 1.如图,m,斤是两条相交直线，1、,厶是与加，〃都垂直的两条直线, 且直线/与厶，厶都相交.求证：Z1=Z2求证：a I II五、通过本节学习，你有什么收获？1直线与平面垂直的性质定理：2反证法的证明思路：反设一归谬一结论3数学思想方法：转化法空间问题平面化(二) 如果直线/丄平面66 ⑴若直线加丄则加/仏 ⑶若直线加Ila,则加丄/. 其中正确的有几个(2)若直线zn u a,贝I"丄m.(4)若直线加丄/,则加Ila.C B 丄0, A, B 是垂足0,且 a Cl /3 = I, C A 丄 a, a cz a . a 丄 A Br直线与平面垂直的性质教学反思教师是学生学习的组织者、促进者、合作者；在本节的备课和教学过程中，为学生的动手实践、自主探索与合作交流提供机会，搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题，尊重学生的个人感受和独特见解。
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课题：空间中直线、平面垂直的性质（1课时）一、教学设计1．教学内容解析本节课为人教版A版必修2第二章第三节《直线、平面垂直的判定与性质》第3课时，主要内容为直线与平面垂直的性质定理、平面与平面垂直的性质定理，是一节性质的新授课。
新课标教材对“立体几何初步”的内容设计，“垂直”在描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系中起着重要的作用，集中体现为：空间中垂直关系之间的转化，以及空间中垂直与平行关系之间的转化。
教材将本节内容置于“平行关系”的判定与性质以及“垂直关系”的判定之后，目的是使学生在明确“什么是图形位置关系的性质”的基础上，通过类比直线、平面“平行关系”的性质，从整体上提出“垂直关系的性质”的猜想，学生经历直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，获得“垂直关系”的性质。
本节中，几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养，增进学生对空间几何本质的理解，体会蕴含在其中的数学思想方法。
基于以上分析，我将本节课的教学重点确定为：类比直线、平面“平行关系”的性质，探究直线与平面垂直的性质定理。
2．学生学情诊断经过前面的学习，学生已具备一定的空间想象力与思维能力，能准确使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系，已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及“垂直关系”的判定方法。
然而，在直线与平面、平面与平面垂直的条件下，有哪些特殊的位置关系尚不明确；直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的转化与联系比较模糊；空间位置关系的认识仍停留在平行关系之间的转化、垂直关系之间的转化上，平行与垂直关系之间的联系未能建立起来。
基于以上分析，我将本节课的教学难点确定为：直线与平面垂直性质定理的探究和论证。
3．教学目标设置（1）通过生活实例和类比推理，学生能从定义出发探究性质，观察、论证得到线面垂直性质定理，能独立探究发现面面垂直的性质定理；（2）通过体验直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，图形、符号语言的表达与交流，发展学生几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的能力，培养学生的数学核心素养；（3）通过将现实空间问题抽象为数学图形，自主探究的实践与展示，帮助学生认识现实空间，激发学生的创新精神和应用意识。
4．教学策略分析本节课是空间直线、平面垂直的性质第1课时，主要采用教师启发设问、学生探究学习的教学方法。
通过回顾旧知，层层递进的讨论交流，引导学生经历直观感知、操作确认、思辨论证的探究过程，探究发现线面垂直和面面垂直的性质定理。
同时借助长方体模型、多媒体演示、实物投影仪，帮助学生更好的理解空间位置关系。
整个教学过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，成为课堂的主人；教师对学生进行点拨引导，发挥自身在教学中的主导地位。
在完成教学目标的前提下，更好地完成了新课标对课堂教学中学生主体和教师主导的双重要求，可以达到良好的教学效果。
5. 教学流程设计：6. 教学过程：（1）温故知新类比导入带领学生复习空间平行和垂直关系，引导学生观察分析平行和垂直关系中判定定理、性质定理的转化方向，类比平行关系的性质，从整体上提出“垂直关系的性质”的猜想。
课件展示：【评析】回顾已学过的平行和垂直关系的判定和性质定理，为学生搭建判定和性质转化方向的整体框架，帮助学生理清转化关系，引出本节课题。
（2）反思定义性质初探为了探究在线面垂直条件下的线线关系，学生回顾线面平行性质定理的发现过程。
课件展示：【评析】通过分析和类比，使学生明确定义具有双重性，它既是判定也是性质，从定义出发是探究性质的一种方法。
（3）推理论证性质再探直观感知给出不同背景的生活实例，学生从中举例说明观察到的线面垂直和线线平行关系。
课件展示：【评析】引导学生从生活实际出发，把学到的知识和身边的现象联系起来，让学生经历从实际背景中抽象出空间图形的过程，培养学生几何直观和空间想象能力。
操作确认现实世界中的直观感知，放到实物模型中，学生借助长方体验证观察到的空间位置关系。
课件展示：【评析】发挥长方体作为图形语言载体的作用，在学生的观察发现中，将图形的典型性、简明性、直观性、概括性和趣味性得到了充分表现，激发学生的学习兴趣和求知热情。
经过操作确认，结合猜想，学生尝试图形和数学符号语言的表述，投影展示完成情况。
课件展示：【评析】文字语言、图形和符号语言的相互转化，有利于培养学生运用数学语言表达和交流的能力，实现教学目标。
思辨论证环节一：回顾已经学习过的，证明空间直线与直线平行的方法（学生能提出诸多方法，如线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、公理4等等），给时间学生自主展开证明，交流解法，师生共同分析困难所在。
【评析】从“最近发展区”出发，学生尝试直接论证的方法，体会直接使用定理或公理的困难所在，引发认知冲突，为探求反面考虑的论证思路做铺垫，是突破本节难点的第一步。
环节二：引导学生思考：①空间两条直线的位置关系有哪些？②要证明空间两条直线平行，其他的位置关系成立吗？ ③结合分析，有没有其他证明方法？ 【评析】以层层递进提问探究的形式，将论证的难点分化为小问题，在知识的自然生成中逐步化解学生的认知难点。
环节三：假定直线,a b 异面或相交，学生再次动笔尝试论证，排除异面与相交的情况。
片刻后，学生展示论证方法。
课堂预设：（绝大部分学生会得到这样的论证过程）当直线,a b 异面时，设bO α=，过点O 作b a '，则b b αα'⊥⊥，，而过一点作已知平面的垂线有且只有一条，不成立。
教师指出，论证方法貌似是对的，但在这里是错误的。
因为该结论的给出是在本节内容之后，所以暂时不能作为结论直接应用，怎样调整证明方法？引导学生完成：转化到平面中，因为相交直线,b b '可确定平面β且=l αβ，这样就能将空间问题转化为平面问题来判断。
过平面β内一点O 有两条直线,b b '与l 垂直，是不可能的。
当直线,a b 相交时：设ab P =，,a b 能确定一个平面，与上述同理，不成立。
故a b 。
【评析】与老教材不同，新课标教材的唯一性判断是在平面 内完成的，使学生体会空间问题向平面问题转化的思想。
预设学生论证过程可能出现的问题，为分解本节课难点提供契机。
环节四：动画演示引导学生总结反思上述论证过程，有哪些思考和收获？回答预设：证明几何问题要严谨，多种情况要考虑完整；考虑问题的反面，排除不成立的情况，也是一种证明方法；空间问题平面化等等。
教师就学生的交流做点评。
【评析】以学生为主体，将自主探究和思辨说理相结合，引导学生分析和反思论证过程中的认知冲突。
教师点到为止，通过学生自发地讨论、作图尝试、调整思路、总结反思，有助于学生对数学思想方法的认识，实现本节难点——线面垂直性质定理论证过程的有效突破，培养学生合情推理和论证推理的能力。
教师指出，论证的结论就是线面垂直的性质定理。
同桌交流讨论以下问题：①该性质定理能帮助我们解决什么问题？②应用性质定理证明两条直线平行，关键需要有什么条件？③与之前平行关系之间或垂直关系之间的转化不同，该性质定理的条件是垂直关系，结论是平行关系，你有怎样的体会？④如果将定理的条件改为“两个平面垂直于同一条直线”，这两个平面的位置关系是怎样？课件展示：【评析】分析线面垂直的性质定理，进一步巩固对定理的理解，更好地落实教学目标。
归纳总结线面垂直性质定理的探究过程，从哪几个步骤层层递进展开？课件展示：【评析】引导学生总结研究空间几何问题的步骤，承上启下，为学生结合生活实例，类比探究面面垂直的性质做铺垫。
学生自主填写课前的知识框图：在线面垂直的条件下，得到线线垂直关系和线线平行关系。
教师点评：探究发现性质的过程，就是由定义出发的“降维”转化过程。
课件展示：【评析】总结空间几何性质的发现过程：一是从定义出发，二是“降维”转化，为后续学生应用线面垂直性质定理的探究经验，类比预测面面垂直的性质明确方向。
4. 合作实践性质应用环节一：结合课前预测，引导学生观察所在的教室环境，发现有哪些面面垂直关系？环节二：由刚才的探究经验，学生带着下面的问题开展分组合作探究：课件展示：环节三：分小组展示，学生互动、质疑，教师整理、点评并展示成果。
【评析】开放性自主活动的设置，实质是线面垂直性质定理探究过程的类比应用，既巩固本节课的所学知识，又能引导学生独立开展面面垂直性质的探究，体验性质探究的基本套路。
源于生活的实际背景能培养学生的空间观念，激发探究的积极性和创新意识。
小组合作探究的组织形式，有利于培养学生的合作学习精神和数学核心素养。
教师指出，面面垂直的性质还有许多，课堂上不再一一分析和论证，留给大家课后继续探究发现。
预设刚才探究得到的其中一个结论就是面面垂直的性质定理，引导学生分析关键条件。
【评析】选取面面垂直的性质定理进行说明，一是使学生感受到学以致用，激发学习热情；二是加深学生对该性质定理关键条件的理解；三是体会定义出发，“降维”探究性质的意义。
5. 提炼回顾构建体系身边的许多空间位置关系都能用今天学习的知识来解释，这就是数学魅力！学生思考：本节课的探究过程中，收获了哪些数学知识和方法？（学生自主总结整理，交流发言）课件展示：【评析】探究方法和过程的梳理，帮助学生形成完整的知识体系，有效完成知识建构。
6. 拓展提升独立再探（1）结合本小组面面垂直的探究成果，作图、写出相应符号语言，并尝试证明。
（2）观察生活中的面面垂直关系，结合本节课的探究经验，你还能得到其他的结论吗？【评析】进一步内化学生的认知结构，培养学生的动手实践、独立探究能力，进一步体会数学源于生活、应用于生活的科学价值．结束语：今天，我们在观察与发现中欣赏垂直的关系，在回顾与类比中探究垂直的性质，在思考与论证中体会垂直的魅力，这才是学习的价值和意义所在，徜徉于知识海洋中的快乐和充实也就蕴育而生……相信你们也有与我一样的体会，期待你们的分享！板书设计：空间中直线、平面垂直的性质线线平行判定定理性质定理线面平行判定定理从定义出发面面平行线线垂直判定定理从定义出发线面垂直判定定理性质定理面面垂直转化方法：类比转化思想：空间问题平面化二、教学反思1. 理解教材探寻本质新课标教材立体几何部分的设计，强调借助生活实例和数学模型，通过直观感知、操作确认、思辨论证等认识过程，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质；重视合情推理与逻辑推理的结合，注意适度形式化；倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，帮助学生完善思维结构，发展空间想像能力和创新能力。
直线、平面垂直的性质在空间位置关系中具有一定特殊性，主要体现在两个不同维度：横向比较，垂直关系的性质将线线垂直、线面垂直、面面垂直之间联系起来；纵向比较，垂直关系的性质类比平行关系性质的“降维”转化，同时也蕴含着垂直与平行的内在联系。