线性代数教案

第三章矩阵的初等变换与线性方程组（5学时）

本章引言

本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。为此首先要介绍矩阵的初等变换概念，它是求矩阵秩的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论上加以提高总结。

教学内容：

矩阵的初等变换，矩阵的秩，线性方程组有解的充要条件，线性方程组解的结构及通解，初等矩阵。

教学目的与要求：

1.理解矩阵秩的概念及求法，知道满秩矩阵的性质。

2.熟练掌握矩阵的初等变换。

3.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件。

4.熟练掌握用初等变换求线性方程组通解的方法。

5.掌握用矩阵的初等变换求矩阵的逆的方法。

重点、难点：

1.重点：矩阵的初等变换，矩阵的秩，线性方程组有解的充要条件。

2.难点：求线性方程组通解

基本方法及技能：

矩阵的初等变换法；用矩阵的初等变换求矩阵的秩，求线性方程组通解和求矩阵的逆。

教学建议及教法提示

1.建议按教材编排顺序通过线性方程组的消元法引进矩阵的初等变换。本教案在这里尝试着改变讲授顺序，先讲矩阵的秩…。

2.矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求矩阵的逆及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用，因此要求学生熟练掌握矩阵的初等变换。

3.要强调用初等行变换把矩阵化为行最简形的运算.

4.矩阵的秩是一个抽象的概念，可通过具体例题的讲授使学生掌握其求法。

5.线性方程组的解法在本章应完全解决（虽然理论尚不完全），并要求学生能熟练地从行最简形写出通解，这不仅是解方程的需要，而且对其学习后继内容有很大的关系。

6.含参数的方程组的系数矩阵通常限于方阵，其解法也可按系数行列式是否为0来讨论，因此对含参数的矩阵作初等变换可不作过高要求。

应注意的问题：

1、用初等变换法求矩阵的逆矩阵时，无论采用初等行变换还是采用初等列变换，其结果是一致的，注意，在同一过程中不要两种方法同时混合用。习惯上，常采用初等行变换法求逆矩阵。

2、注意矩阵的初等变换与方阵的行列式（利用行列式的性质）运算的区别。

§3.1 矩阵的秩

1. 子式：在n m A ⨯中, 选取k 行与k 列, 位于交叉处的2k 个数按照原来的 相对位置构成k 阶行列式, 称为A 的一个k 阶子式, 记作k D ．

对于给定的k , 不同的k 阶子式总共有k

n k m C C 个．

2. 矩阵的秩：在n m A ⨯中，若 (1) 有某个r 阶子式0≠r D ；

(2) 所有的1+r 阶子式01=+r D （如果有1+r 阶子式的话）． 称A 的秩为r , 记作r A =rank , 或者 r A r =)(．规定：0rank =O 性质：(1) },{min rank n m A n m ≤⨯ (2) 0≠k 时A kA rank )(rank = (3) A A rank rank T =

(4) A 中的一个0≠r D r A ≥⇒rank (5) A 中所有的01=+r D r A ≤⇒rank

例1 ⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4131122122283

2A , 求)(A r ． 解 位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式03012

23

22≠=-=

D

计算知, 所有的3阶子式03=D , 故2)(=A r ． [注] n m A ⨯, 若m A =rank , 称A 为行满秩矩阵； 若n A =rank , 称A 为列满秩矩阵．

n n A ⨯, 若n A =rank , 称A 为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若n A

§3.2 矩阵的初等变换

1. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ↔ j i c c ↔ ② 数乘)0(≠k i r k i c k

③ 倍加 j i r k r + j i c k c + n m A ⨯经过初等变换得到n m B ⨯, 记作n m n m B A ⨯⨯→．

2. 等价矩阵：若n m n m B A ⨯⨯→有限次

, 称n m A ⨯与n m B ⨯等价, 记作n m n m B A ⨯⨯≅． (1) 自反性：A A ≅

(2) 对称性：n m n m B A ⨯⨯≅n m n m A B ⨯⨯≅⇒

(3) 传递性：n m n m B A ⨯⨯≅, n m n m C B ⨯⨯≅n m n m C A ⨯⨯≅⇒ 定理1 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇒．

证 只需证明n m n m B A ⨯⨯→次1B A r a n k r a n k =⇒． 设r A =r a n k , 仅证行变换之(3)的情形：

B k A j j i

r k r j i j i =⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡

+→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+

ααααα

(1) 若},{min n m r <, 则有

)(1B r D +不含i r ：0)

(1)(1==++A r B r D D

)(1B r D +含i r , 不含j r ：0)(1)(1)(1=±=+++A r A r B r D k D D

)

(1

B r D

+含i r , 且含j r ：0)

(1)(1

==++A r B r D D

倍加