线性代数教案

第三章矩阵的初等变换与线性方程组（5学时）本章引言本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。

为此首先要介绍矩阵的初等变换概念，它是求矩阵秩的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论上加以提高总结。

教学内容：矩阵的初等变换，矩阵的秩，线性方程组有解的充要条件，线性方程组解的结构及通解，初等矩阵。

教学目的与要求：1.理解矩阵秩的概念及求法，知道满秩矩阵的性质。

2.熟练掌握矩阵的初等变换。

3.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件。

4.熟练掌握用初等变换求线性方程组通解的方法。

5.掌握用矩阵的初等变换求矩阵的逆的方法。

重点、难点：1.重点：矩阵的初等变换，矩阵的秩，线性方程组有解的充要条件。

2.难点：求线性方程组通解基本方法及技能：矩阵的初等变换法；用矩阵的初等变换求矩阵的秩，求线性方程组通解和求矩阵的逆。

教学建议及教法提示1.建议按教材编排顺序通过线性方程组的消元法引进矩阵的初等变换。

本教案在这里尝试着改变讲授顺序，先讲矩阵的秩…。

2.矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求矩阵的逆及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用，因此要求学生熟练掌握矩阵的初等变换。

3.要强调用初等行变换把矩阵化为行最简形的运算.4.矩阵的秩是一个抽象的概念，可通过具体例题的讲授使学生掌握其求法。

5.线性方程组的解法在本章应完全解决（虽然理论尚不完全），并要求学生能熟练地从行最简形写出通解，这不仅是解方程的需要，而且对其学习后继内容有很大的关系。

6.含参数的方程组的系数矩阵通常限于方阵，其解法也可按系数行列式是否为0来讨论，因此对含参数的矩阵作初等变换可不作过高要求。

应注意的问题：1、用初等变换法求矩阵的逆矩阵时，无论采用初等行变换还是采用初等列变换，其结果是一致的，注意，在同一过程中不要两种方法同时混合用。

习惯上，常采用初等行变换法求逆矩阵。

2、注意矩阵的初等变换与方阵的行列式（利用行列式的性质）运算的区别。

§3.1 矩阵的秩1. 子式：在n m A ⨯中, 选取k 行与k 列, 位于交叉处的2k 个数按照原来的 相对位置构成k 阶行列式, 称为A 的一个k 阶子式, 记作k D ．对于给定的k , 不同的k 阶子式总共有kn k m C C 个．2. 矩阵的秩：在n m A ⨯中，若 (1) 有某个r 阶子式0≠r D ；(2) 所有的1+r 阶子式01=+r D （如果有1+r 阶子式的话）． 称A 的秩为r , 记作r A =rank , 或者 r A r =)(．规定：0rank =O 性质：(1) },{min rank n m A n m ≤⨯ (2) 0≠k 时A kA rank )(rank = (3) A A rank rank T =(4) A 中的一个0≠r D r A ≥⇒rank (5) A 中所有的01=+r D r A ≤⇒rank例1 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41311221222832A , 求)(A r ． 解 位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式030122322≠=-=D计算知, 所有的3阶子式03=D , 故2)(=A r ． [注] n m A ⨯, 若m A =rank , 称A 为行满秩矩阵； 若n A =rank , 称A 为列满秩矩阵．n n A ⨯, 若n A =rank , 称A 为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若n A <rank , 称A 为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）．§3.2 矩阵的初等变换1. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ↔ j i c c ↔ ② 数乘)0(≠k i r k i c k③ 倍加 j i r k r + j i c k c + n m A ⨯经过初等变换得到n m B ⨯, 记作n m n m B A ⨯⨯→．2. 等价矩阵：若n m n m B A ⨯⨯→有限次, 称n m A ⨯与n m B ⨯等价, 记作n m n m B A ⨯⨯≅． (1) 自反性：A A ≅(2) 对称性：n m n m B A ⨯⨯≅n m n m A B ⨯⨯≅⇒(3) 传递性：n m n m B A ⨯⨯≅, n m n m C B ⨯⨯≅n m n m C A ⨯⨯≅⇒ 定理1 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇒．证 只需证明n m n m B A ⨯⨯→次1B A r a n k r a n k =⇒． 设r A =r a n k , 仅证行变换之(3)的情形：B k A j j ir k r j i j i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+ααααα(1) 若},{min n m r <, 则有)(1B r D +不含i r ：0)(1)(1==++A r B r D D)(1B r D +含i r , 不含j r ：0)(1)(1)(1=±=+++A r A r B r D k D D)(1B r D+含i r , 且含j r ：0)(1)(1==++A r B r D D倍加故B 中所有的1+r 阶子式0)(1=+B r D A r Br a n k r a n k =≤⇒ A B ji r k r -→B A r a n k r a n k ≤⇒, 于是可得B A rank rank =． (2) 若m r =或者n r =, 构造矩阵)1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O A A , )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O B B 由(1)可得11B A ji r k r +→11rank rank B A =⇒⎭⎬⎫==B B A A r a n k r a n k r a n k r a n k 11B Ar a n k r a n k =⇒ 其余情形类似．例2 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41311221222832A , 求)(A r ． 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→413144606690行A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000044604131行, 故2)(=A r ． 行最简形：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→00003232104131行A B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→00003232102301行标准形：H A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→000000100001行与列定理2 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000***0022111121r rr ri i i i i i b b b b b b A 行B =：行阶梯形][][][21r i i i⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000*1*01*00100 行A H =：行最简形定理3 若)0(rank >=⨯r r A nm , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡→O O O E A r, 称为A 的等价标准形． 推论1 若n n A ⨯满秩, 则n E A ≅． 推论2 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇔．§3.3 解线性方程组的消元法例如 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-)3(622)2(4524)1(13231321321x x x x x x x x )1()3()1(2)2(-- ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-)6(5)5(24)4(1323232321x x x x x x x )6()5()6(4)5(↔- ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-)9(183)8(5)7(132332321x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==619321x x x解线性方程组的初等变换： (1) 互换两个方程的位置 (2) 用非零数乘某个方程(3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=620245241312b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→511021401312行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1830051101312行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→610010109001行方程组： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a aa a a 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21 或者 b Ax = 增广矩阵：[]B A b =设r A =r a n k , 且A 的左上角r 阶子式0≠r D , 则1,1112,122,11100010001000000000r n r n r r rn r r b b d b b d B b b d d ++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行： 行最简形 b Ax =的同解方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=++++++++++111,2211,221111,110r rn rn r r r r n n r r n n r r d d x b x bx d x b x b x d x b x b x(3.4) 若01≠+r d , 则方程组(3.4)无解：=>+=r r A 1~rank A rank 若01=+r d , 则方程组(3.4)有解：==r A ~rank A rank(1) n r =时, 方程组(3.4)成为11d x =, 22d x =, …, n n d x = 是其唯一解 (2) n r <时, 方程组(3.4)成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++n rn r r r r r nn r r n n r r x b x b d x x b x b d x x b x b d x 11,211,222111,111一般解为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==---=---=---=-+-+-+-+r n n r r n rn r r r r r n n r r n n r k x k x k b k b d x k b k bd x k b k b d x 1111,211,222111,111其中r n k k k -,,,21 为任意常数． 定理4 n m A ⨯, []B A b =(1) b Ax =有解rankB ⇔=A rank ；(2) b Ax =有解时, 若n A =rank , 则有唯一解；若n A <rank , 则有无穷多组解． 定理5 (1) 0=⨯x A n m 有非零解n A <⇔rank ； (2) 0=⨯x A n n 有非零解0det =⇔A ．课后作业：习题三 P791（1）（4）, 2, 3, 4，5，8，9（1）（3），11。