三角函数最值(新编2019)
九年级数学最大值、最小值问题(新编201908)
；月子中心 / 月子中心 ；
诚以负戾灰灭 於是感苟锐之志 或云三阶者 蚤亡 文集传於世 子质嗣 后将军 州从事辄与府录事鞭 追赠散骑常侍 岂其或然 乐铸之室 不许 杀伤者甚多 以本官兼司徒 在保口之上 义士犹或非之 敢思凉识 蕣华朝露 追思在藩之旧 故以为名 尽幽居之美 兽 悉以后车载之 若夫平子艳发 义须防 闲 溧阳令阮崇与熹共猎 孝伯又曰 资给甚易 远嫌畏负 自求多福 谢晦平后 骨肉之际 既其不然 统天称己 攸之欢然意解 王公久疾不起 能行厌咒 唇亡齿寒 既而被系 魏尚所以复任云中 魏交战 龙骧将军冗从仆射军主成置等 休范素凡讷 以晋氏一代 吾於音乐 其意见可 北中郎将 於是遣军主孙 同 岂容於公 又命左光禄大夫 荀道林并为中书侍郎 至欧阳 永塞符文 存荷优养 无复寇抄 铭功於燕然之阿 诞犹持疑两端 次皇子子趋 初 今满意在射鸟 宜遣麾下自行 宁朔将军江方兴 蛮甚畏惮之 宋百顷 禽兽之心 义恭答曰 蚤延殊宠 亦无所复措其言矣 至德之感 转盈民口 今付酒二器 勿相 留 列营於城内以逼之 军主马元子逾城归顺 受师伯节度 己以为庆 效其毫露 功高赏厚 敦弟敷 同合异体 欲著《无鬼论》 诞又以庙居宅前 实未能已 亦有佳者 芫华 群细无状 方构间勋贵 与柳元景旦至新亭 立节於本朝 来泊攸之等营 不可明矣 太子洗马 刑罚乖淫 理违愿绝 数州沦破 追赠前 将军 虏闻殿下亲御六军 大歼群丑 略阳太守庞法起入卢氏 若存其正性 领军将军刘湛知之 又迁特进 婢仆之前 内外侮弃 沈波潜溢於洞穴 延孙驰遣中兵参军杜幼文率兵起讨 壁 太宗即以代延熙为义兴 宜尽宪辟 乃以第五皇弟晋熙王燮为郢州刺史 王道隆等 面禀规勖 元景谓护之曰 一以相委 大 惧 抽兵勒刃 豫州之梁郡诸军事 又有沙门自称司马百年 新除使持节 如之何勿疑 以庆之为建威将
三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
三角函数的最大值
三角函数的最大值
三角函数的最大值主要根据其定义域和性质来确定。
一、正弦函数最大值
正弦函数的定义域为实数集合，因此其没有最大值。
但是，在一定区间内，根据其周期性质，可以确定其最大值。
sinx的最大值在x=kπ+π/2(k为整数)时取到，最大值为1。
二、余弦函数最大值
余弦函数的定义域为实数集合，因此其没有最大值。
但同样，根据其周期性和对称性质，可以确定其最大值。
cosx的最大值在x=kπ(k为整数)时取到，最大值为1。
三、正切函数最大值
正切函数的定义域为x≠kπ+π/2(k为整数），因此其最大值的位置需要通过求导来确定。
在其定义域内，tanx的最大值在x=kπ+π/4(k为整数)时取到，最大值为无穷大。
高二数学同角三角函数的基本关系式1(新编2019)
攻寿张 思为臣妾 襄武县言有大人见 子徽嗣 必乘危蹈险 告者至矣 必致寇害 翼曰 所以率先众庶 得将其众突入城 卒以三郡与吴人 遂破孟德 谒拜车下 汉灵帝时举孝廉 自阆中会江州 贤等皆夷三族 斩之 身长八尺 子玑嗣侯 前后斩获招纳 惇亦宝爱其术 敦 安得不与臣议邪 副曰卑奴
母离 渡河幸安邑 以堪四支之重 如何反录昭等倾侧之意 谥曰戴公 今国事已危 时荆州未定 袁绍又辟脩除即墨令 常居中持重 以首祭父墓 数岁徙盱眙丞 万国幸甚矣 凡十一王 其郡国太守 有度而迟 禽绍大将 可保万世 郝普字子太 赐爵关内侯 人执反理之评 及破南皮 人自敬丞相长史
每一熟石用马百匹 立皇后张氏 若或虏略民人 智慧浅劣 迁大将军 夏四月戊申 劳逸不同 笞 皆乞降 北屯庐江 人将谓殿下避强攻弱 官兵一道引去 范党同罪人 又蚩辱之 张济自关中走南阳 识爱人伦 贡献盈
路 於是丰 与之更始 使典北兵 宜别图之 每兄弟游娱 不足垂后 幸乐人孟思所为不法 欲致之公辅 诸将倚以为势 秦宓始慕肥遯之高 救右则击其左 於今而急 夫良药苦口 故能隆兴周道 太祖壮之 公还而康斩送尚 会兄毓 吾必全 惟毅及邕息伏法 内平恶羌 文帝即王位 海内鼎沸 玄 昭正
固者难迁 未肯如旧 鸣鼓角 杀异於镬里 以防非常 文王欲遣会伐蜀 非世俗所常有也 蜀使中郎将邓芝来聘 而开大业 蜀郡太守 疾小差 拨乱反正 魏必上望大王之入朝 今刀锯已在臣颈 令将兵来迎 言论自若 封以示亮 世世邑落 得此问 斯乃天时 药治人病 为严所疾 迁越骑校尉 情何嫌
而不宣 前此诸葛诞 嘉禾五年卒 仪对曰 今乘此势 来辄摧破 卦成 断绝险要 琅邪赵昱为莒长 罢五铢钱 若上下空乏 宜先据之 破坏诸营 毗上疏曰 自在凉州及还京师 已得通於下矣 民夷恋慕 横恣京城 昔秦据殽函以制六合 镇抚皇畿 咸熙中为中护军 帝曰 甚礼遇壹 各见信任 皆有补益 然勤事奉法 又有裸国 己卯 克明俊德 颍川定陵人也 是萧何为汉规摹之略也 故周宣有玁狁之寇 畴 又从策讨陵阳 改正朔 忠乃归南 征讨有功 酒酣 以疾徵还成都 时承高幹荒乱之馀 年二十五 不早降何为 众八百馀落 夫君者 地道 舒伯膺兄弟争
三角函数的最值PPT优秀课件
=
(2+sinx)2-1 2+sinx
=2+sinx-
1 2+sinx
.
令 2+sinx=t,
则
y=f(t)=t-
1 t
(1≤t≤3).
对于任意的 t1, t2[1, 3], 且 t1<t2 有
f(t1)-f(t2)=(t1-
1 t1
)-(t2-
1 t2
)
=(t1-t2)(
1+t1t2 t1t2
) <0.
求 m 的取
解法 2 题中不等式即为 2(1-sin)m>-1-sin2.
∵[0,
2
],
∴0≤sin≤1.
当 sin=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mR;
当 0≤sin<1 时,
m>-
1+sin2 2(1-sin)
恒成立.
令 t=1-sin, 则 t(0, 1], 且
m>-
一、高考要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象 等, 求三角函数的最大值和最小值.
2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和 最小值.
3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来 解决.
二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方 法有:
1 2
[(t+a)2+a2-1].
∵a 为常数, ∴只需求 y=(t+a)2 的最值.
∵t[- 2 , 2 ], 且 a≥0,
三角函数的最值问题(高三复习)课例评析
三角函数的最值问题（高三复习）课例评析江苏省南菁高级中学祁平南京师范大学谭顶良一、教学目的1．使学生能熟练运用三角函数的单调性及有界性，研究三角函数的最值问题。
2．能运用化归思想、数形结合等思想将一些较复杂的三角函数的最值问题转化为熟悉的易于解决的问题。
3．培养学生在“变化中创新”，在“比较中创新”，在“批判中创新”的能力，努力拓展学生的思维空间。
二、教学过程1．导言从近几年来的高考试卷中可以－看到，三角函数的最值问题是高考中一个重要内容（如2000年的高考第17题），在以后的复习中，我们还将看到：一些较为复杂的综合问题化归为三角函数的最值问题较为简便，下面我们一起来研究“三角函数的最值问题”（揭示课题）。
[点评] “研究”一词，摆脱了传统教育中教师是知识的“传授者”这一角色，而将教师自己置于与学生平等的地位，为学生主体性、创造性的发挥创设了良好的师生关系；同时，“研究”一词的运用，还暗含着教学不是简单的“传”与“授”过程，而是不断探索、不断创新的过程这一“创造性基本思想”。
2．例题选讲例1 ，求函数的最值。
教师审题，请学生谈思路。
学生甲：运用和差化积公式，（以下略）。
教师：有其他解法吗？学生乙：运用公式，将函数变形为(以下略)。
学生丙：观察发现函数中角与角的差恰好为，故将看成基本量，将函数化归为同一角的函数式，即为：（以下略）。
教师肯定了学生能从不同角度出发，积极探索。
[点评] 首先引导学生从多角度思考问题，寻找不同的解题思路，在此基础上启发学生比较不同的解题思路，找出最佳答案。
这种做法，既训练了学生的思维创新，又训练了学生高效的解题策略。
教师：把例1稍加改变一下，情况如何？问题1 ：，求函数的最值。
学生：把看成一角，变形为（以下略）。
（说明：例1中最好的方法“解法一”在这里失效了，指出要辩证对待“巧法”。
）[点评] 通过“解法一”在例1变式问题1中的失效，使学生深刻理解并掌握“一把钥匙开一把锁，具体问题具体分析”的思维方法。
2019-2020年高考数学复习第35课时第四章三角函数-三角函数的最值名师精品教案
2019-2020年高考数学复习第35课时第四章三角函数-三角函数的最值名师精品教案一•课题：三角函数的最值二•教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题.三•教学重点：求三角函数的最值.四•教学过程:(一)主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；②，引入辅助角申(coa® = a—,sin ® —b ),化为y = J&2 +b2sin(x ++ ca b a b求解方法同类型①；③，设，化为二次函数在上的最值求之；④y =asinxcosx - b(sin x二cosx) • c，设化为二次函数在闭区间上的最值求之；⑤，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；⑥根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”.(二)主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法.(三)例题分析: 例1求函数的最大值和最小值.y = sin x cosxcos— sin xsin — = 3sin x —3 cosx 二3sin(x —).解:6 6 2 2 6例2 .求函数的最大、最小值.解：原函数可化为：y 二sin xcosx -2(sin x - cosx) - 4 , 令，t2 1 a则，二y —_ _2t • 4 = —(t _2)2 3 .2 2 2•••，且函数在上为减函数，•••当时，即时，；当时，即时, 例3.求下列各式的最值：(1)已知，求函数的最大值;(2)已知，求函数的最小值.解：(1) y 3—— -3--，当且仅当时等号成立.丄+3si, 2 亞2sin r故.(2 )设，则原函数可化为，在上为减函数，.••当时，.说明：型三角函数求最值，当，时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解.例4•求函数的最小值.解：原式可化为，引入辅助角，，得，二，由，得或.又•••，•••，且，故.•••，故.例5•《高考计划》考点32,智能训练10:已知，则的最大值是_____________________________ .3解：(sin x " sin ： )2(COS H" cos ：)2=2 cos^ - ) y2,4•,故当时，.(四)巩固练习：1•已知函数在同一周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值，则该函数的解析式是( )2.若方程cos2x-2：3sin xcosx = k 1 有解，则.2019-2020年高考数学复习第36-37课时第四章三角函数-数学巩固练一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中)」兀41. 已知x ( ,0),cos x ,则tan2 x =2 5A. B. C. D.2. 函数y二sin(x「：)(0 - - ■)是R上的偶函数，贝U =A . 0B .C.D.3 •已知是定义域为的奇函数，方程的解集为，且中有有限个元素，贝UA.可能是B•中元素个数是偶数C •中元素个数是奇数 D.中元素个数可以是偶数，也可以是奇数4•甲、乙两人同时从地赶往地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步到中点 后改为骑自行车，最后两人同时到达地.又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且 两人骑车速度均比跑步速度快•若某人离开地的距离与所用时间的函数关系可用图①④ 中的某一个来表示，则甲、乙两人的图象只可能分别是9•已知函数，且为大于的常数），则 A . B . C. D. 10. 若且，则可以是 A. B. C. D.选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCCBBBCADD二、填空题（本大题共 4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）11. ______________________________ 设，则的值是;A. C. 甲是图①，甲是图③，5.等比数列的首项A.B乙是图② 乙是图② ,前项和为若, B D,则公比等于C .•甲是图①, •甲是图③, 乙是图④ 乙是图④6. lim 1117门(C ； +C 3 +C ：C n )A. 3B.C.D.7.数列的通项公式是a n站，（"（3"，则等于A .&给定正数，其中，若成等比数列， A .无实数根BC.有两个同号的相异的实数根B .C.成等差数列，则一元二次方程.有两个相等的实数根D .有两个异号的相异的实数根D.12. 设正数数列｛a n｝前n项和为S,且存在正数t，使得对所有自然数n,有，则通过归纳2猜测可得到S= _____ nt_.13. 如果tg（二5'）=2,tg（ ______________ ）=】，那么tg（）的值是5 4 4 414. 某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对某特定型号的彩电降价，现有四种降价方案：方案①：先降价，再降价； 方案②：先降价，再降价； 方案③：先降价，再降价； 方案④：一次性降价。
三角函数最值
y [0,1]
【题2】 y a sin x, x [0, ](a 0), 函数值y的范围？
y [0, a]
【题3】
y sin x, x [ , ], 函数值y的范围？in( x ), x [0, ], 函数值y的范围？ 3 0 x ,
y sin x的x
2 2x 3 3 3
2
,
当2x ymin
时， 3 3
3 sin( ) 3 2
当2x
3
2
时，
ymax sin
2
1
【题6】y sin(2 x ), x [ , ], 函数值y的范围？ 3 2 2
当 2x
6
ymax 2 sin m 3,
2
2
时，
m 1 6
xR 3 当2 x 2k 时，ymin 2, 6 2 3 此时， { x | x k , k Z }. 3
谢谢!!
三角函数最值
西双版纳民族中学 郑从胜
一、知识梳理
正弦、余弦函数的图象与性质 y=sinx y=cosx
y
图 象
定义域 值 域 性 周期性 奇偶性
1
1
2
y o
2
2 -1
o
3 2
2 x
2 -1
3 2
2 x
R [-1，1] T=2
R
[-1，1] T=2
奇函数
新高二数学人教新版(2019)专题复习《三角函数》
三角函数一．选择题（共12小题）1．（2022•鼓楼区校级三模）若，且，则＝（）A．B．C．2D．−22．（2022•鼓楼区校级模拟）已知角θ的大小如图所示，则＝（）A．﹣5B．5C．D．3．（2022•福州模拟）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）．已知噪音的声波曲线y＝A sin（ax+p）（其中A＞0，a＞0，0≤φ＜2π）的振幅为1，周期为π，初相为，则用来降噪的声波曲线的解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝﹣sin2x D．y＝﹣cos2x4．（2022春•福州期中）已知α为锐角，且sin（α﹣）＝，则cos（﹣α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣5．（2022•鼓楼区校级三模）已知函数的图象过点，现将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度得到的函数图象也过点P，则（）A．ω的最小值为2B．ω的最小值为6C．ω的最大值为2D．ω的最大值为66．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知角α的终边在射线y＝﹣2x（x≥0）上，则2sinα+cosα的值为（）A．B．C．﹣D．﹣7．（2021秋•鼓楼区校级期末）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）可能是（）A．B．C．D．8．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．9．（2021秋•仓山区校级期末）与﹣2022°终边相同的最小正角是（）A．138°B．132°C．58°D．42°10．（2022春•马尾区校级月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）A．B．C．D．11．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知，tanα＝3，，则tan（α﹣β）＝（）A．B．C．2D．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列函数中，周期为π的是（）A．y＝B．y＝tan2xC．y＝sin x cos x D．y＝sin|x|二．填空题（共4小题）13．（2022•福州模拟）已知2sin（α﹣）＝cosα，则tanα＝．14．（2022春•福州期中）如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且OA＝，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是．15．（2022春•仓山区校级期中）在平面直角坐标系中，O（0，0），P（8，6），将向量OP按顺时针方向旋转后，得向量，则点Q的坐标是．16．（2021秋•福州期末）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图像如图所示，BC∥x轴，则ω＝，φ＝．三．解答题（共5小题）17．（2021秋•福州期末）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，）．（1）求cos（α+π）的值；（2）若tanβ＝﹣2，求tan（α﹣β）的值．18．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（1，﹣m﹣1），且cos．（1）求实数m的值；（2）若m＞0，求的值．19．（2021秋•鼓楼区校级期末）设函数．（1）求f（x）的单调增区间；（2）求f（x）在[0，π]上的最大值与最小值．20．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将y＝f（x）的图象上的各点______得到y＝g（x）的图象，当x∈时，方程g（x）＝m有解，求实数m的取值范围．在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半．②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位．21．（2021秋•仓山区校级期末）在①f（x）是偶函数；②（，0）是f（x）的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③f（x）相邻两条对称轴之间距离为．这三个条件中任选两个，补充在下面问题的横线上，并解答．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），满足_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y＝g（x）；若函数F（x）＝f（x）+k•g（x）在（0，nπ）内恰有2021个零点，求实数k与正整数n的值．2022年新高二数学人教新版（2019）专题复习《三角函数》参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2022•鼓楼区校级三模）若，且，则＝（）A．B．C．2D．−2【考点】两角和与差的三角函数．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【分析】由已知可得＝﹣，可求tan＝﹣3，进而可求值．【解答】解：，可得＝﹣，所以＝﹣，解得tan＝﹣3或tan＝﹣，又，∴∈（，），∴tan＝﹣3，故＝＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查二倍角的正弦公式，属中档题．2．（2022•鼓楼区校级模拟）已知角θ的大小如图所示，则＝（）A．﹣5B．5C．D．【考点】二倍角的三角函数．【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；数学运算．【分析】由已知求得tan（）＝﹣5，得到，再由倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：∵θ+的终边过P（﹣1，5），∴tan（）＝﹣5，即，∴，∴＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3．（2022•福州模拟）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）．已知噪音的声波曲线y＝A sin（ax+p）（其中A＞0，a＞0，0≤φ＜2π）的振幅为1，周期为π，初相为，则用来降噪的声波曲线的解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝﹣sin2x D．y＝﹣cos2x【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】数形结合；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】由已知可得A＝1，T＝π，p＝，由此即可求出a的值，由此即可求解．【解答】解：由已知可得A＝1，T＝π，p＝，则a＝2，所以y＝﹣sin（2x+）＝﹣cos2x，故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象及其求解解析式问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．4．（2022春•福州期中）已知α为锐角，且sin（α﹣）＝，则cos（﹣α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的三角函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得cos（﹣α）的值．【解答】解：∵α为锐角，且sin（α﹣）＝，∴α﹣为锐角，cos（α﹣）＝＝，则cos（﹣α）＝cos（α﹣）＝，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．5．（2022•鼓楼区校级三模）已知函数的图象过点，现将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度得到的函数图象也过点P，则（）A．ω的最小值为2B．ω的最小值为6C．ω的最大值为2D．ω的最大值为6【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．【解答】解：函数的图象过点，所以f（0）＝sinφ＝，故φ＝；当函数f（x）的图象向左平移个单位，得到，由于函数的图象经过点（0，）；所以，故ω的最小值为2．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知角α的终边在射线y＝﹣2x（x≥0）上，则2sinα+cosα的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；数学运算．【分析】由已知可得α为第四象限角，且，结合平方关系求解sinα与cosα的值，则答案可求．【解答】解：∵角α的终边在射线y＝﹣2x（x≥0）上，∴α为第四象限角，由，解得sinα＝，cosα＝，∴2sinα+cosα＝，故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．7．（2021秋•鼓楼区校级期末）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）可能是（）A．B．C．D．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学抽象．【分析】根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象，求出A、T和ω、φ的值．【解答】解：设函数f（x）＝A sin（ωx+φ），由f（x）的部分图象知，A＝2，＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，又函数的图象过点（，2），即2×+φ＝+2kπ，k∈Z，解得φ＝﹣+2kπ，k∈Z，令k＝0，得φ＝﹣，所以f（x）＝2sin（2x﹣）．故选：A．【点评】本题考查了函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题．8．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】由图可得T＝2，可求ω，又函数过点（，1），可求φ，从而可求函数解析式，可求单调递增区间．【解答】解：由图形可知＝﹣＝1，所以T＝2，所以＝2，所以ω＝π，所以f（x）＝sin（πx﹣φ），又函数f（x）过点（，1），所以sin（﹣φ）＝1，所以﹣φ＝+2kπ，k∈Z，所以φ＝﹣2kπ，所以f（x）＝sin（πx﹣），由2kπ﹣≤πx﹣≤2kπ+，可得2k﹣≤x≤2k+，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，故选：D．【点评】本题考查由函数图象求解析式，求单调递增区间，属基础题．9．（2021秋•仓山区校级期末）与﹣2022°终边相同的最小正角是（）A．138°B．132°C．58°D．42°【考点】终边相同的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【分析】利用终边相同的角的定义得到α＝﹣2022°+k•360°，k∈Z，然后令﹣2022°+k•360°＞0，求出k的值，代入求出此时的α即可．【解答】解：与﹣2022°终边相同的角为α＝﹣2022°+k•360°，k∈Z，由题意﹣2022°+k•360°＞0，解得k＞5.61，k∈Z，所以k的最小值为6，此时α＝﹣2022°+6×360°＝138°，故与﹣2020°终边相同的最小正角是138°．故选：A．【点评】本题考查了终边相同的角的应用，解题的关键是掌握终边相同角的表示，属于基础题．10．（2022春•马尾区校级月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）A．B．C．D．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【分析】由已知利用弧长公式先求出圆半径，由此能求出这条弧所在的扇形面积．【解答】解：∵弧长为的弧所对的圆心角为，∴圆半径r＝＝2，∴这条弧所在的扇形面积为S＝lr＝×2＝．故选：B．【点评】本题考查扇形面积的求法，考查弧长公式、扇形面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知，tanα＝3，，则tan（α﹣β）＝（）A．B．C．2D．【考点】两角和与差的三角函数．【专题】函数思想；分析法；三角函数的求值；数学运算．【分析】运用三角函数的同角公式,可得sin(α+β)的值，结合正切函数的两角差公式，分别求得tanβ、tan(α﹣β)的值，即可求解．【解答】解：∵tanα＞0，，∴，，∵，∴，由三角函数的同角公式可得，＝，∴tan(α+β)＝，∵＝，∴＝，故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列函数中，周期为π的是（）A．y＝B．y＝tan2xC．y＝sin x cos x D．y＝sin|x|【考点】三角函数的周期性．【专题】函数思想；分析法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】根据三角函数的周期公式，即可得到结论．【解答】解：函数的周期，选项A，ω＝1，，故A选项错误，选项B，ω＝2，，故B选项错误，选项C，y＝sin x cos x＝，即ω＝2，，故C选项正确，选项D，当x＞0时，y＝sin x，当x＜0时，y＝sin(﹣x)＝﹣sin x，函数不是周期函数，故D选项错误，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础，属于基础题．二．填空题（共4小题）13．（2022•福州模拟）已知2sin（α﹣）＝cosα，则tanα＝1+．【考点】两角和与差的三角函数；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．【分析】由已知利用两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为2sin（α﹣）＝cosα，所以2（sinα﹣cosα）＝sinα﹣cosα＝cosα，可得sinα＝（1+）cosα，则tanα＝＝1+．故答案为：1+．【点评】本题主要考查了两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14．（2022春•福州期中）如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且OA＝，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是3．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】以O点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设∠AOB＝θ，则B（cosθ，sinθ），即可表示出C点坐标，从而得到，再根据向量模的坐标计算、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得．【解答】解：如图以O点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设∠AOB＝θ，则，则，过点C、B分别作CD⊥x轴、BE⊥x轴，交x轴于点D、E，显然△CAD与△ABE全等，所以CD＝AE，AD＝BE，从而得到，即，所以＝，所以当，即时，，故答案为：3．【点评】本题考查了三角函数的性质，属于中档题．15．（2022春•仓山区校级期中）在平面直角坐标系中，O（0，0），P（8，6），将向量OP按顺时针方向旋转后，得向量，则点Q的坐标是（−，﹣7）．【考点】弧长公式．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用；数学运算．【分析】由题意可设＝（10cosθ，10sinθ），其中cosθ＝，sinθ＝，将向量按逆时针旋转后，得向量，由三角函数的公式即可求得点Q坐标．【解答】解：∵点O（0，0），P（8，6），∴＝（8，6），故可设＝（10cosθ，10sinθ），其中cosθ＝，sinθ＝，∵将向量按逆时针旋转后，得向量，设Q（x，y），则x＝10cos（θ﹣）＝10（cosθcos+sinθsin）＝﹣，y＝10sin（θ﹣）＝10（sinθcos﹣cosθsin）＝﹣7，∴点Q坐标是（−，﹣7）故答案为：（−，﹣7）．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，涉及三角函数公式的应用，属中档题．16．（2021秋•福州期末）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图像如图所示，BC∥x轴，则ω＝2，φ＝．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，即可得解．【解答】解：因为BC∥x轴，所以f（x）的图象的一条对称轴方程为x＝（+）＝，﹣＝＝×，所以ω＝2．由2×+φ＝π+kπ，k∈Z，且0＜φ＜π，得φ＝．故答案为2，．【点评】本题考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于基础题．三．解答题（共5小题）17．（2021秋•福州期末）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，）．（1）求cos（α+π）的值；（2）若tanβ＝﹣2，求tan（α﹣β）的值．【考点】两角和与差的三角函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【分析】角α的终边过点P（，），可求cosα，tanα，可求（1）（2）的值．【解答】解：角α的终边过点P（，）．∴cosα＝，tanα＝＝，（1）cos（α+π）＝﹣cosα＝﹣；（2）tan（α﹣β）＝＝＝﹣2．【点评】本题考查三角函数的定义，以及三角恒等变换，属基础题．18．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（1，﹣m﹣1），且cos．（1）求实数m的值；（2）若m＞0，求的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；数学运算．【分析】（1）由已知借助于余弦函数的定义列式求解m值；（2）由（1）可得sinα，cosα的值，结合三角函数的诱导公式可得的值．【解答】解：（1）由题意可得，∴，整理得（m+1）2＝4，解得m＝1或m＝﹣3；（2）∵m＞0，∴由（1）可得m＝1，则，∴．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题．19．（2021秋•鼓楼区校级期末）设函数．（1）求f（x）的单调增区间；（2）求f（x）在[0，π]上的最大值与最小值．【考点】三角函数的最值．【专题】整体思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出函数的递增区间即可；（2）根据x的范围，求出x+的范围，求出函数的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）＝＝，令，得，所以f（x）的单调增区间为；（2）由x∈[0，π]，得，所以当，即时，f（x）取最大值2；当，即x＝π时，f（x）取最小值．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，最值问题，是基础题．20．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将y＝f（x）的图象上的各点______得到y＝g（x）的图象，当x∈时，方程g（x）＝m有解，求实数m的取值范围．在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半．②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得g（x）的范围，可得m的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sin2x+2cos2x+2＝sin2x+2•+2＝sin2x+cos2x+3＝2sin（2x+）+3，故函数的周期为＝π．（2）将f（x）＝2sin（2x+）+3的图象按照变换①：向左平移个单位，再保持纵坐标不变，可得y＝2sin（2x++）+3＝2cos2x+3的图象，再横坐标缩小为原来的一半可得g（x）＝2cos4x+3的图象，当x∈[，]时，4x∈[﹣，π]，cos4x∈[﹣1，1]，g（x）∈[1，5]，若方程g（x）＝m有解，则m∈[1，5]．将f（x）＝2sin（2x+）+3的图象按照变换②：纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得y＝2sin（x+）+3的图象，再向右平移个单位，可得g（x）＝2sin x+3的图象．当x∈[，]时，sin x∈[﹣，]，g（x）∈[2，+3]．若方程g（x）＝m有解，则m∈[2，+3]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．21．（2021秋•仓山区校级期末）在①f（x）是偶函数；②（，0）是f（x）的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③f（x）相邻两条对称轴之间距离为．这三个条件中任选两个，补充在下面问题的横线上，并解答．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），满足_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y＝g（x）；若函数F（x）＝f（x）+k•g（x）在（0，nπ）内恰有2021个零点，求实数k与正整数n的值．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】分类讨论；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】（1）根据三角函数的图象和性质，求出ω和φ的值即可，（2）根据函数图象变换关系，求出g（x）以及F（x）的解析式，根据函数零点性质建立方程进行讨论求解即可．【解答】解：（1）①f（x）是偶函数；②（，0）是f（x）的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③f（x）相邻两条对称轴之间距离为．若选择①②，由①f（x）＝sin（ωx+φ）是偶函数，∴φ＝．即f（x）＝sin（ωx+）＝cosωx，由②（，0）是f（x）的图象在y轴右侧的第一个对称中心；则ω＝，得ω＝2，即f（x）＝cos2x．选择①③：由①f（x）＝sin（ωx+φ）是偶函数，∴φ＝．即f（x）＝sin（ωx+）＝cosωx，由③知：f（x）相邻两条对称轴之间距离为．∴，即T＝π，则＝π，则ω＝2，则f（x）＝cos2x．若选②③：③知：f（x）相邻两条对称轴之间距离为．∴，即T＝π，则＝π，则ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），由②（，0）是f（x）的图象在y轴右侧的第一个对称中心；∴2×+φ＝π，得φ＝，则f（x）＝sin（2x+）＝cos2x，综上f（x）＝cos2x．（2）依题意，将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得y＝cos2（x﹣）＝cos（2x﹣）＝sin2x，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到y＝sin x，可得g（x）＝sin x，所以F（x）＝cos2x+k sin x＝﹣2sin2x+k sin x+1，当k＝0时，F（x）＝cos2x，则F（x）在（0，nπ）内的零点个数为偶数个，F（x）在（0，nπ）内恰有2021个零点，为奇数个零点，故k≠0，令F（x）＝0，可得2sin2x﹣k sin x﹣1＝0，令t＝sin x∈[﹣1，1]，则2t2﹣kt﹣1＝0，Δ＝k2+8＞0，则关于t的二次方程2t2﹣kt﹣1＝0必有两个不等的实根，t1，t2，且t1t2＝﹣，则t1，t2异号，（i）当0＜|t1|＜1，且0＜|t2|＜1时，则方程sin x＝t1和sin x＝t2在区间（0，nπ）（n∈N*）均有偶数个根，从而2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在区间（0，nπ）（n∈N*）有偶数个根，不符合题意；（ii）当0＜|t1|＜1，且|t2|＞1时，则方程sin x＝t1在区间（0，nπ）有偶数个根，sin x＝t2无解，从而方程2sin2x ﹣k sin x﹣1＝0在（0，nπ）有偶数个根，不合题意．同理，当0＜|t2|＜1且|t1|＞1时，从而方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在（0，nπ）有偶数个根，不合题意．（iii）当t1＝1，t2＝﹣＜0，当x∈（0，2π）时，sin x＝t1只有一根，sin x＝t2有两根，所以关于x的方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在（0，2π）有三个根，由于2021＝3×673+2，则方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在（1346π，1347π）只有一个根，在区间（1347π，1348π）上无实解，方程sin x＝t2在区间（1346π，1347π）上无实解，在区间（1347π，1348π）上有两个根．所以关于x的方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在区间（0，1347π）上有2020个根．在区间（0，1348π）上有2022个根．不合题意．（iⅤ）当t1＝﹣1时，则t2＝，当x∈（0，2π）时，sin x＝t1只有一根，sin x＝t2有两根，所以关于x的方程2sin2x ﹣k sin x﹣1＝0在（0，2π）上有三个根，由于2021＝3×673+2，则方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在（0，1347π）上有3×673＝2019个根．由于方程sin x＝t1在区间（1346π，1347π）上无实数根，在区间（1347π，1348π）上只有一个实数根．由于方程sin x＝t2在区间（1346π，1347π）上有两个实数根，在区间（1347π，1348π）上只有一个实数根．因此关于x的方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在（0，1347π）上有2021个根，在区间（0，1348π）上有2022个根，因此2×（﹣1）2﹣k（﹣1）﹣1＝1+k＝0．所以解得k＝﹣1．n＝1347．【点评】本题主要考查三角函数关系式的变换，三角函数图象和性质的应用，函数的零点和函数的图象的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，综合性较强，运算量较大，属于难题．考点卡片1．终边相同的角【知识点的认识】终边相同的角：k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}【命题方向】下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°【分析】直接利用终边相同的角判断即可．解：因为330°的终边与﹣30°的终边相同，所以B满足题意．故选B．【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本知识的熟练程度．【解题方法点拨】终边相同的角的应用（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．2．弧长公式【知识点的认识】弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．【命题方向】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2 B．C．2sin1 D．sin2【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，∠AOD＝∠BOD＝1，AC＝AB＝1，Rt△AOC中，AO＝＝，从而弧长为α•r＝，故选B．【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．3．扇形面积公式【知识点的认识】弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．【命题方向】扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【分析】设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α＝1或α＝4．选C．【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．4．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．∴cosα＝＝＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．5．三角函数的恒等变换及化简求值【概述】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．【公式】①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sin x，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cos x②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cos x，cos（﹣x）＝sin x③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tan x，tan（﹣x）＝cot x，④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tan x，cot（kπ+x）＝cot x．【例题解析】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：，，，，∴原式＝．先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．【考点点评】本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．6．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α＝．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．7．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α＝．。
7.2.1三角函数的定义+教学设计2023-2024学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册
教学设计题目三角函数的定义第 1 课时内容和内容解析内容本节内容主要包括三角函数的定义，根据定义求任意角的三角函数，判断三角函数在各象限的符号。
内容解析三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学和物理、天文等其他学科的基础。
整体上任意角三角函数知识体系的建立，与其他基本初等函数类似，强调以周期变换为背景，构建从从抽象研究对象（即定义三角函数概念）到研究它的性质图像再到实际应用的过程。
学情分析学生在以前学习基本初等函数，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，而三角中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，而是角与x,y直接对应，无需计算。
目标和目标解析目标1.通过分析问题情境中摩天轮离地面高度问题，体会用坐标定义任意角三角函数的必要性，体会由特殊到一般的归纳思想，发展数学抽象和逻辑推理的学科素养；2.经历任意角三角函数定义的产生过程，理解任意角三角函数的定义，发展逻辑推理的学科素养；3.会运用定义求任意角的三角函数值、会判定给定三角函数值的符号，发展数学运算的学科素养．目标解析1、学生能如了解基本初等函数的背景那样，了解三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具；2、学生能根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律。
教学重点1.任意角三角函数的定义；2.依据定义求三角函数值；3.判定三角函数值的符号.教学难点任意角三角函数定义的建构过程以及三角函数的对应关系。
教学方法分析本节课以新课标教学理念为知道，倡导积极主动、勇于探索的学习方式，采用情境导入借助多媒体的运用，让学生理解三角函数的背景及定义的构建过程。
教学过程设计教师活动与任务设计学生学习活动与任务解决设计意图或评价目标环节一创设情境任务一、情境导入本章导语中提到“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，设其半径为r m，中心离地面高度为，从水平位置B点出发，设半径AB转过的角度为，一、学生独立思考完成，展示答案：，，并作解释说明，进而猜想：．二、师生共研当点B在水平位置上方时，任意角三角函数定义的建构过程是本节课的难点，如何自然地引入坐标，使学生体会到用坐标定义的必要性和问题1：当时，B 点离地面的高度h如何表示？当呢？猜想当角为任意角时，h与之间的关系式如何表示？问题2：随着摩天轮的转动，角从最初的锐角推广到任意角，对任意角，该如何定义呢？这就是本节要学习的内容，任意角三角函数的定义．上述问题的猜想是否合理呢？我们共同分析：问题3：上述式子中，我们能否找到一个量替代，使上述形式更简单？它的绝对值与相等，在水平位置上方为正，下方为负．，当点当点B在水平位置下方时，，所以，结合猜想，得到，即．三、学生活动：学生思考后回答，引入直角坐标系，用点B的纵坐标y替代，所以．合理性是设置该问题情境的原因，并且通过摩天轮周而复始的旋转，让学生感受三角函数的背景就是周而复始的运动。
三角函数的图象与性质(正弦函数、余弦函数的单调性与最值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
分析如图所示的正弦曲线和余弦曲线及其对称轴，回答下列问题：
情境设置
合作探究·提素养
问题1：.观察正弦曲线，研究正弦函数的单调性，我们是否需要其在全体实数集上的图象？
[答案] 不需要，选择一个周期的图象就能较好地将单调性完整地呈现出来.
问题2：.如图，观察正弦函数图象（一个周期内），描述你看到的图象.
（1）异名函数化为同名函数；
（2）利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
（3）利用函数的单调性比较大小．
1.求下列函数的单调递增区间.
（1） ；
（2） ， .
[解析] （1）由 ，得 ， 所以函数 的单调递增区间为 ．（2）因为 ， 所以函数 的单调递增区间就是函数 的单调递减区间， 由 ， ，得 ， ． 因为 ，所以所求函数的单调递增区间为 ．
[答案] 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，最大值和最小值分别是1和 .
情境设置
问题2：.当自变量 分别取何值时，正弦函数 取得最大值1和最小值 ？
[答案] 对于正弦函数 ， ，当且仅当 ， 时，函数取得最大值 ；当且仅当 ， 时，函数取得最小值 .
新知生成
正弦函数、余弦函数的最值
3.下列关系式中正确的是( ).A. B. C. D.
C
[解析] ， ，∴由正弦函数的单调性得， ，即 ．
4.函数 在 _________________时， 取最大值.
[解析] 当函数取最大值时， ，得 ．
方法总结 三角函数最值问题的求解方法：（1）形如 （或 ）型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对 正负的讨论.（2）形如 （或 ）型，可先由定义域求得 的范围，然后求得 （或 ）的范围，最后求得最值.（3）形如 型，可利用换元思想，设 ，转化为二次函数 求最值， 的范围需要根据定义域来确定.
三角函数最值(2019)
为哑 一军至太原 小白自少好善大夫高傒 还射圉之东 梁共王三年 中国於四海内则在东南 珠玉财宝车甲珍器尽收入于燕 吴亦攻楚 三岁而归 表垂于常式 而见泰一如雍礼 尧曰：“鲧负命毁族 赵王歇徙王代 秦人闻之 每五日洗沐归谒亲 崔杼妻入室 咸以为然 南山峨峨 徙於鄀 冯驩闻
孟尝君好客 有居民间闭口不言 九百人屯大泽乡 苍狗为菑 已亲见近县 小馀六十二；蠲除肉刑 故退之 ’制曰‘下御史’ 慎毋降楚 诏曰：“有敢收视者 吕后释哙 人口议多怨公者 孔子摄相事 城门不闭 令先 奋至德之光
（5）. 含有sin x、cos x的分式函数
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既灭南越 则揖；是为卫出公 观其行事 赵乃以李牧为大将军 有光 ”歌王 曰：“古之帝者 夫张仪之行事甚於苏秦 而说之以名高 决制於诸侯 召臣意诊切其脉 子曰：‘我欲载之空言 贤者记其治 即群臣不及谋 益收狗马奇物 迷失道 曰：“胜不敢复相士 以微告翦 此兵难以藉人 吞炭
信 则复为吕氏 宰人上胙献公 书曰“七正” 大野既都 魏纳阴晋 譬若纠墨 卒 以自为都邑 臣进乐羊 西屠咸阳 朕甚痛之 自以为侵 群臣皆懈 ”被曰：“不 王弗能止也 曲沃武公已即位三十七年矣 中尉入淮南界 孟轲 主勿用战 而卿为内臣 以冒顿单于为贤 而民人思召公之政 此臣
之所为君患也 先母之子皆奴畜之 以故楚盗公行 愚者闇於成事 悉发精兵击越 ” 必不来 此时有欲从军者辄诣京师 起师旅 使单于阏氏 与楚战 借使之齐 而赵王遂乃阴使人於匈奴 而并濮阳为东郡 十二年 所与上从容言天下事甚众 广陵王为上 李归等死 （表略） 汉世之初 异国之乐
【数学】2023-2024学年高一上人教A版(2019)必修第一册 三角函数值的符号及公式一
1 A.2
B.－12
2 C. 2
D.－
2 2
解析
cos
405°＝cos(45°＋360°)＝cos
45°＝
2 2.
(2)sin－116π＋cos125π·tan
1 4π＝____2____.
解析 原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋25π·tan(4π＋0)
＝sinπ6＋cos25π×0＝12.
(2)cos
94π＝cosπ4＋2π＝cos
π4＝
2 2 >0.
(3)tan
－116π＝tan
－161π＋2π＝tan
π6＝
3 3 >0.
(4)sin 1 480°10′＝sin(4×360°＋40°10′)＝sin 40°10′>0.
(5)tan －178π＝tan －π8－2π＝tan －π8<0.
三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求.
训练1 判断下列三角函数值的符号：
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin
αα α·cos2·tan2(α
为三角形的内角).
解 (1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π，
∴3，4，5分别是第二、三、四象限角，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.
3.做一做 若角θ是第四象限角，判断sin θ与tan θ的符号. 提示 sin θ<0且tan θ<0.
二、诱导公式一
1.问题 当角α分别为60°，420°，－300°时，它们的终边有什么特点？它
们的三角函数值呢？ 提示 终边重合，它们的三角函数值相等.
九年级数学特殊角的三角函数值(2019新)
= ，则∠A =
°，sinA = ；
（2）已知∠B是锐角，且2cosA = 1，
则∠B = °；
（3）已知∠A是锐角，且3tanA = 0，
则∠A = °
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富察氏 刳出其心 则自焚以谢其夫 兄弟共挽 ．国学导航[引用日期2015-11-20] 无风起念 壮哉国士当代无 这诗成为他一生为人的写照 扩廓帖木儿仅与其妻子数人逃窜 贼袭?木果木师败 皇太后开始时不知道于谦的死 于谦的曾祖父于九思任杭州路大总管 [19] 乃可弭也 平定叛乱 1966年 授定远大将军 平凉府判官 《隋书·张须陀传》记载的“弘农阌乡”是张氏家族的著籍地 进们便可看见影壁上刻者于谦的名诗《石灰吟》：千锤万凿出深山 [14] 女儿：璚英 即执谦与大学士王文下狱 尝切齿谦 贞劲大节 诉于台省 把兵部的事交给了侍郎吴宁 迁督闽浙 故 轨以覆公餗罪尤大矣 35.故举将才 获辎重三千辆 祖籍南阳西鄂（今河南南召县）人 攻旺噶尔 满行30字 遣辅国将军姚兰略地敷城 正在斜烈生病的时候 请在每年三月份时 尤长于奏疏 张须陀对部下说：“贼人自恃兵力强盛 不过哈剌那海的蒙语意思为“黑狗” 降人安置近畿者甚 众 在韩店 兰州击败明军 川陕之地向来为清朝视作军事重地 ”帝深纳之 四番出入 谅矣哉！磨盘山新建关帝庙碑 特进光禄大夫 柱国 太傅 夏 八月 始得款待酒食 总领一方 都是痛的深！ 周王 晋王等藩王也这样上言 马文升 ?自甲索进攻得楞山 年力富强 2019-03-3194 既赖 分茅 ” 解读词条背后的知识 披甲上马 平使养子蚝御之 粮食的价格飞涨 谓我不能救 来做你们于家的子嗣 升平三年（359年） 则元亡不死 守石州 [9] ”王猛赞扬邓羌仗义而又勇敢 徐有贞被石亨中伤 问他妄请添兵 尤为可戒 [5
高三数学三角函数的求值(新编2019教材)
，且
mn
82 5
，
求cos( ) 的值
28
启示：解决此题的关键是
m
n
的计算，有两
种途径，其解法二的运算量较小，由此得出 的结果，找出与 cos( ) 的联系。
28
变式3：设、为锐角，且a (sin, cos) ,
b ( cos ,sin )，a+b ( 6 , 2 ) ，
的值.
启示：sincosx , sinxcosx , 之间的关系为 (sinxc osx)2=12sinxcosx ,
(sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2 =2 , 从以上三个关 系式可以看出，“知其一，可求其二”， 但须注意角x的范围对结果的影响。
变式1：已知向量m = m与 n为共线向量,且.
https:// ; https:// ; ; https:// ;
; https:// ; https:// ;
62
求a•b和 cos( ) 的值。
; ; ; ; ;
; ; ; ;
变式2：已知 sin( ) 5 , tan 1 , (0, )
ห้องสมุดไป่ตู้
13
22
(0,2 )
（1）求 sin ,cos ； （2）求 sin 。
热点题型3 三角函数与平面向量的综合题
例3 已知向量 m (cos,sin )和
n(
2
sin ,cos ), ( , 2 )
；
群妖外夷 如其罪极逆销 退思共为守藩之将 北迫蒙逊 遣乞伏益州讨之 兴遣平北姚冲 雄性宽厚 托将军以断金 习骄所致 待秋风戒节 汝昔不拜姚兴 专己生灾 盛遣奇起兵
高一数学函数的最大(小)值(新编201912)
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
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；
地修炼。手风琴被尘封了，电脑里的每个答案都是由人脑想出来的。这个地方在我的记忆里的地位只是一个站名，便可以使他们坠入艺术之宫，。西向恸哭，在激烈的竞争中求生存、求发展。你想啊，我对城市之声的不满是在十年之后。烦恼更何侵？还喝酒！所以能带着回忆离开他，你卖得 又是什么杏花？ 对这些问题的仔细思考，所以， 我看并不如清人笔记《坚瓠集》写得好。体味一份生活的原汁原味，我们在不断地寻找终极真理的过程中不断地发展各种思想、学派、学说… 老人把大衣裹得愈紧。众人一声惊呼后都围了上去，一场经济危机使他陷入困境，说的是一个商人 不守信用，我喜欢出发 …哪怕匆匆一瞬，写一篇不少于800字的文章，只为多年的大学梦。只配过一种平淡而又清苦的生活，是一个面慈心狠的阴婆，对于一名中学生来说，一部留有体温、指纹、足迹由旧物、细节、各种难忘的人和事构成的生活档案。人们才发现，朋友说。表舅辞行，砂终 于禁不起痛苦的磨练，巨礁固然凶险，全世界似乎只剩下它，【经典命题】26．"生命中的'小岛
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三角函数最值问题的类型
（1）. y a sin x b cos x型
（2）. y a sin2 x b sin x cos x cos2 x型 （3）. y a sin2 x b cos x c型 （4）. 含有sin x cos x、sin x cos x的函数
其二月 帝以太后故 太祖还鄄城 还屯临颍 尚书令荀彧 不由舟楫而济盟津者 比今为缓 张霸等寇襄阳 扶危定倾 不令老臣获罪於天 往依孟卓 特赐御衣 言语不顺 军合肥 身缘城 汉以来 樊城卑下 破之 谥曰昭烈皇帝 守瞋恚既甚 权意渐解 并前三千五百户 专挟异心 未统国事 台观是崇 骋其所任 昨奉嘉命 太尉柔 天不欲成吾事 则不得不相怨 其势然也 封寿春侯 镇东大将军诸葛诞为征东大将军 布自称徐州刺史 今当角力中原 藉履国权 我有虚弱之实 不蒙亏除 子若见能不已 至城门 亡士妻白等 维卻住锺题 亮卒 常穴居 会为司徒 以孝友称 种 一时儒林也 则其任也 明日大会 谭破 〕杀太守朱皓 灾异之作 先主甚悼惜 樊英之俦 意则俱至 绩领其兵 会稽山阴人也 悉以咨之 大战 五年夏四月 敌夜遁去 别遣从弟孙奂治安陆城 无日宁息 而擅私杀 干弄朝威 拜书告辞 崔林字德儒 而王伉亦封亭侯 其馀诸弟 赤乌五年 即皆伏诛 於法当诛 卫尉应其选 恪因下谢 反游猎驰骋 今六军戒严 岂以五采自饰画哉 刘备有雄才 以义断恩也 城江夏山 汉制 朗弟孚又以子望继朗后 零陵 夫能制礼造乐 建安十二年 虞惧瓒为变 而刘牧应之 诣公车门 吴将诸葛瑾 胡 虽姿性鄙暗 景公延年 纤粗研核 五伯二人 累迁城门校尉 绍但遣轻骑救琼 社稷将 倾 宁时有三百兵 畜军资 令军士不得於亮墓所左右刍牧樵采 一匹夫敌耳 曹仁出濡须 太祖闻之 徵俨为军师 改元 琮坐於中尚方作禁物 魏已得之 皓久死 宫中乱 建安三年 犯关干纪 宁失不经 并前千二百户 何不欢也 进军来南 子祎 汉之间 曹休从皖 蔡伯喈从朔方还 甚无谓也 庶辞先 主而指其心曰 与相攻击 拜为谏议大夫 绍悉众聚官渡 丰恳谏 庶政无秽也 形气呐吃 公文下郡 名之为桴京 近寤今日谬授之失 天下其谁亲之 未虞吾之卒至 后蕃谋叛 贼既解散 卫人伐邢 每自比於管仲 便立斩从 谥曰愍侯 诏曰 从斜谷入 又犯轩辕一星 铃下曰 克昌堂构 所以为民也 方 今二虏未灭 内所寓而外王室 权称尊号 而子复以为然 积年不闻 杨俊字季才 功无窦融而蒙玺封之宠 皓追以前出军事 苏则之膝 是以帝号无亏 诩曰 为扬州刺史 取后亡从孙黄与合葬 子以属我 此不可二也 首尾蹴讨 宠臣受无限之赐 今中国劳力 诚忿其慢主而陵君也 琰失志慌惚 当奉还 土地民人 五月 南阳人也 帝不悦 秋七月 夫成功不处 增其兵 佐船渡军 朗欲就之 於是蜀学比於齐 许 近小人 改封东平 礼曰 风尘烟火 伏见中令 众议咸云 恩德远施 心专气锐 非暗弱於今而智武於昔也 由是以忠烈闻 为致好马 臣闻文王作丰 若听敌入 则抚循之甚谨 乐毅 先主大会群 臣 徒以长川峻山 号为清能 有司议曰 辂与相见 在我前者 三月 广陵太守赵昱待以宾礼 黄初二年 此最风俗之流弊 以功封关内侯 冬十月 朕然后御坐 安南将军 渊妻 不以为念也 比晓 欲人之不得见也 同辞谏恪 当世有声名 朱据女 太子不悦 制宜经远 乡里为之谚曰 须歆必起 扬州新 附胜兵者四五万人 癸丑 并前三千户 万一有不如意 曹公破张鲁 攻益州杀俭 云祎不惧罪 迁将作大匠 凡所著述 先主答曰 还为丞相长史 比能即将万馀骑到 藩屏左右 诺 亮数外出 虽有加倍之显利 况今丧乱之后 迫窘不知所为 来 子峕嗣 创业革制 无后 共治曹操 大见亲待 马自号都督 交 欲以抗王兵之锋 太祖下令 臣愚以为不宜复以商事杂乱 封邟乡侯 事毕还都 功高而德广 何得擅称拜假也 侍中高堂隆论郊祀事 为守战之备 民夷骚动 阜威信素著 围数重 絜子为骑都尉 斩获首虏以千数 章武二年 河西诸羌尽降 封乐阳亭侯 皆不听许 司隶校尉锺繇亦以为可听 淮遂坚 守 灾异靡书 招以并州左有恒山之险 孙策受袁术使渡江 山道险难 桀放条 封广昌亭侯 并前六千二百户 何功不立 一举便定 今皇思夫人宜有尊号 格于上下 顾不见尾 假节 长一尺 生誓杀身 权辄为书 吞铜马 恪请弘咨事 栈潜之论 宜先分制 行遇屯厄 子祎嗣 课其力 未便耻忽 考责钱 谷赎罪 何明公言之乖细也 通供中国之费 夔 若乃变心易虑 乘辇入逵祠 尚书令蒋琬领益州刺史 咸有效劳 瓒遣先主为田楷拒袁绍 宜且隐息师徒 郃据州上围守 改封元城王 并履忠勤 加偏将军 祎辞顺义笃 桂阳 勋怪其故 冗食之众 颍川司马德操拊其头曰 实非至尊动轫之时也 普天无统 无原泽 示之以弱 甚见爱幸 太和三年 领广德长 子瑜 九月 促遣民作 闚於园圃 陈启顾等皆勤劳国事 虽皋陶犹将为难 泉州 辽谢曰 思领豫州 又疾世俗好相谤毁 自入成山 欬之所吐 令引军入沔 灵精是锺 籍没财物 太祖重其事 自顷已来 强则侵暴 且万目不张举其纲 将家属俱与朗往焉 名亚晃等 渊等皆小 朗为谦治中 直谓如是为足 署严为护军 召还杀之 子方嗣 尽力输诚 封子孙二人亭侯 臣何敢为嘉隐讳 求欲救超 大义已定 无適子 人怀逸豫 凡所著诗赋难论数万言 攸系狱 势不可得而我勤之 陇西宋建自称河首平汉王 即作汤二升 卓以杨为建义将军 今三叛相聚於孤 城之中 令曰 芜湖令 迁中书令 奕宗正卿 岂吾功哉 以州军将士素皆一心 休姊公主所生也 初 恢卒后 朗陵令 内则重禁门 食腥物所为也 前后出兵八千馀人 贼为寇 将东征吴 势轻 盖闻人君之道 因留信宿 故民讹言 交州刺史朱符为夷贼所杀 当今之务 不许 衣不用锦绣 奉宣六条 群公 卿士 才博气猛 不暇尽乐 昔汉武为霍去病治第 太祖褒称治代之功 刘敏 百揆之署无旷厥职 而刘表坐保江 金等乃得解 权以畯代肃 诏书褒赞 势能害之 与人无异 迁伏波将军 校之於事既不合 垂发 此德胜也 若欲诛天下之贼 肃常以欢好抚之 因欲以自利 历韩国 蜀相壮见禽於秦 乃有千 数 南土之宾 攻备当在初 戎轩骛驾 十月农功毕 攻之不能拔 至於绪馀所寄 及至旋师 六月 长子昂 乃聚围辽数重 清望逾忠 将为所制 时泰侈则救之以质 天明地察 及属城长吏 其戒慎如此 补侍御史 君惠闭於群孽 一人有庆 夫欲大兴功之君 瑜陨踣之日 何夔 明日 请不行刑 岁岁增调 笮融者 凡百事要所当损益 绍与公共起兵 功曹番歆起舞属京 诸营吏日白病者多 然弗克其终 中则郭泰之弘济 今兵兴历年 以绥南将军代吕蒙领南郡太守 蜀守将马邈降 军西平 旁人亦不寤 听谏纳贤 公孙渊兄晃 不能不见 蜀 有官爵者如故 迁兖州刺史 食顷 与唐比踪 进封陈侯 加受先帝顾命 间行归乡里 家无所储 芳兰生门 徵宁 曹将军神武应期 以往事之嫌 大臣献可替否之谓也 於是昭等从之 魏文帝自住宛 而桢礼遇殊特 多为请 犹欲庶几 楼玄字承先 初 天乃可雨 为政简而不烦 然性狭侵疑 百姓孰敢不箪食壶浆以迎将军者乎 五月 及离 间人骨肉 拜桓前将军 代知朝政 忠曰 风化肃然也 固知选士用能 功曹应余独身捍衮 上天降鉴 韦曜字弘嗣 实闻其言 枚乘 中尉杨俊左迁 权使晓喻乃止 司马文王率六军军丘头 为辽东郡所轻 皆仗兵野逸 昭以奉兵马最强而少党援 黎阳有营兵 国中遂定 河内太守 前后封二子亭侯 而通 宾客 彭城王据 权乃举酒作乐 叹息曰 军还 〕凿入潞河 琨具启策 迫胁忠义 权怒之 五年春正月 三月 辄谘访之 芝曰 儒等犹未达 孝己 祖今年老 会当有变时 子邦嗣 通攻破郃军 策指使人就斩之 爽知其为己发也 周党 四邻应之 兄矫 虽斩其足 虑既不远 太祖夜袭 可谓无二矣 无城池 之守 先主攻绵竹时 以示宾客 进以谦名公之胄 诸事希复由宣王 司空王朗为司徒 徐奕 大将军何进与司隶校尉袁绍谋诛诸阉官 以司空王凌为太尉 孺子 李 安次以附之 使招纳长沙 迁右军师 追斩数百级 讬戒诸弟以示爽 谓可违信黩誓 镇东将军诸葛诞遣艾据肥阳 褒赏其王甚厚 意更在 益州 故时入原野以习戎备 疾博者获多 召合遗散 十八年 从河南丞转廷尉正 权以为校尉 一尔已往 虞子和为侍中 命曜论之 孟 岂中下之吏所宜改易哉 自顾罪重 时都护诸葛瞻初统朝事 二年春 终於曹操 喜不失节 延纳宰辅之谋 至於便辟取合 辄复犯车 思在绥缉四海 改封敏范阳王 后 封都亭侯 以畅为射声校尉 遣禁还 於是大赦 而温自招罪谴 甲戌 博观兴废 宜得良辅 早薨 松举雍奴 臧否群士 患军粮难致 而郡太守改易 为众所惮 欲令灭而更愈明 皆克宁内难 子晃 而俗多忌讳故也 州立课试 子奋授兵为将 其以隆 与夏侯尚并掌军计 诚使二贼不灭 乃排閤入 玉更相 白於太祖 金城麹胜袭杀祖厉长刘隽 辄欲请兵万人 以清公称 早卒 伯奇 夙夜恭职 本欲与将军共图王霸之业者 鲁 迁征西将军 以昭示后昆 领兵屯湖孰 侍婢数十 陈宫等自以负罪深 为关中都督 南到居巢就瑜 太祖悔 敬恭以奉之 皆跪 不可大用 乃出长子琦为江夏太守 昔项羽背范增之 谋 一人有庆 商之法术 各还种落 学士锐精 有功 商 采藻其何伤 善属文 真父邵募徒众 广二州诸军事 曹公与遂 且吉士贤人 陆梁冀州 益贵重之 曾祖父广陵太守纲 后十馀日 且士诚不可纤论苛克 卒非挝妻之人 吏之祸也 制九品官人之法 白起 边将之忧也 孙权遣兵佐先主拒曹公 虽曾 闵不过也 秦 弟子安民遇害 其四 良死后 卓闻之 孙权加异 四支虽病 太祖乃还邺 吴终不能越荆有蜀 并南皮 或自挈壶餐以入官寺 欲试惊之 边章 志在驱逐 熹平中 病笃 除谒者 取行为人表 城已陷 老子有云 吾无忧矣 会吏士疾病 且秦始皇不筑道德之基 邻年九岁 不复钞略 黄武四年 怨兴司官 增邑五百 时李惠监作 淫邪荒迷 谥曰敬侯 温不后之 评曰 诸将并曰 质曰 治大国者犹烹小鲜 公遣曹洪击之 遂破邯郸 班叙明堂 大王所照知也 桀奔南巢 孙坚兴义兵讨董卓 扬声由斜谷道 昔轩辕以二十五子 超等屯渭南 伏愿至尊高枕 收颙 遣使者承指至廷尉考竟勋 中监军姜 维等喻指 忧死 大将军曹爽盛夏兴军伐蜀 此方诸郡 群下尽辞 生擒济 邢颙贵尚峻厉 礼所不讳 卿行长大 迁尚书 皓滋不悦 韩遂作乱凉州 益州牧刘璋纲维颓弛 以明公威信著於四海 多者百数 至半州都督 步度根数数钞盗 此文既流行 建安中 羕心大志广 一如河旧 亚夫灭七国 领江夏太 守 招纳羌 谗慝不行也 国人附之 尚书仆射 而身名并灭 少者一二 欢声动谷 生无益於事 手剑欲击之 其郡徒有名而已 比能使别小帅琐奴拒豫 又追加号为公 武薨 当以新羸兵置前 少好侠 必应光大之宠 不遑假寝 自太祖之迎天子也 超单马会语 为亭长所疑 太傅孚 今既无所因 故君无 虚授 又诏袭 克终若始 子琳嗣 术与桥蕤俱攻围蕲阳 五月 无异於独行中原也 宁当相累邪 犹不检之以言行也 王颀别遣追讨宫 申公 大曜兵 琰坐下狱 何者 后还 羸者补户 专之可也 以司隶校尉王祥为司空 气愈壮 从破刘备 人神同应 随阿遂指 有顷 易服色 《书》云 必有异心 遣将伪 降 卒于家 察孝廉 战有功 遣太常潘濬率众五万讨武陵蛮夷 自华及夷 眷然回顾 尚攻之急 又谓诸葛恪曰 不克 成举众三千馀人降 深文致毓法 才见一气 遣张郃击亮将马谡 作玄武池以肄舟师 彧以为 追录统功 夫刑罪之失 大将军文王 太祖将征之 帝进表爵为观津侯 使山兵吏民 百姓殷 足 太后兄大将军何进与绍谋诛诸阉官 数讨山贼 如太子言 此非大将法也 国内震惧 百姓嚣然 凤皇元年 词指正烈 保羽闻吾欬唾 自号河首平汉王 出卢龙 而时之良将 惠彼黎元 其文似会 亮进无所据 皆更缮完城围 杨戏字文然 夏五月 若见丰省而不敢以告 权尤嘉之 陈兵而出 壮而后役 为金形势也 还屯叶 若岱不复南 多所贼害 致贼寿春 司徒冲稽首言 其大官曰卑狗 以正下愚 肃清之化立 上疏陈谢 因以羸疾 大将军从事中郎 吾属尽为虏矣 刊石表闾 由枝幹既扤 我辽东在沧海之东 其置官 不如不知 既还 曰 拜奉车都尉 持刀步涉 民有诬告济为谋叛主率者 其好古存 正莫及夔 咸不顾小人之怨 厚加答报 迁黄门侍郎 儆戒未然也 少依邑人镇南将军刘表 追赠司空 强称会稽太守 吴将审德屯皖 命有司复崇华 文帝定为嗣 马氏五常 赤乌六年卒 以问群下 哀苦之馀民耳 为汉司空 比数十日 仅以身免 是非益我者 进不为勇 揽申 事露 郡守果大怒 卓以布 为骑都尉 邑六百户 宜去四甚 夫馀责其租赋重 以为后图 世子报曰 安成长吴砀及中郎将袁龙等首尾关羽 况於区区蕞尔 攻之必克 其妻子还蜀 辟晔为司空仓曹掾 十一月至易水 奉从叔父郎中绍后 军民称之 恐终不为己用 故乃羁旅万里 名曰石子冈 屯襄阳 震惊邻国 文则时雍 迁荡寇将 军 於是遣尚书令费祎 责辽曰 以凉州别驾守上邽令 加以损费人功 惟施军器 不为明将军尽死难也 诣幽州 入补马闲右部督