新定义问题(讲义及答案)

新定义问题（讲义）

➢ 知识点睛

1. 新定义问题是一类以未接触过的概念为载体，要求学生现学

现用，侧重考查观察、尝试、分析、理解、应用等能力的问题．

2. 新定义问题的一般处理思路：

提取概念中的关键词，理解新定义的实质，与已学知识结合， 在新定义的框架下解决问题．

➢ 精讲精练

1. 已知实数 a ，b ，定义运算“ * ”如下：a * b =

⎧⎪b （a ≤

b ） ，

则 7 *( 2 * 3) 的值为

a 2 -

b 2（a > b ） ．

2. 在平面直角坐标系中，将点(-b ，-a )称为点(a ，b )的“关联点”

（例如点(-2，-1)是点(1，2)的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这个点在第 ______ 象限．

3. 在平面直角坐标系中，对于点 P (x ，y )和 Q (x ，y′)，给出如下 定义：若 ⎧ y （x ≥

0） y' = ⎨- y （x < 0 ，则称点 Q 为点 P 的“可控变点”，

⎩

）

例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(-1，3)的“可控变点”为点(-1，-3)．结合定义，请回答下列问题： （1）点(-3，-4)的“可控变点”为 ；

（2）若点 N (m ，2)是函数 y =x -1 图象上点 M 的“可控变点”，

求点 M 的坐标．

4.定义：直线y=m x+n 与直线y=nx+m互为“友好直线”，如：

直线y=2x+1 与直线y=x+2 互为“友好直线”．

（1）点A(a，2)在直线y=-x+1 的“友好直线”上，则a= ；

（2）直线y=4x+3 上的一点B(b，c)又是它的“友好直线”上的点，求点B 的坐标；

（3）若点C(5，6)在直线l：y=mx+n 上，点D(1，-2)在直线l 的“友好直线”上，求直线l 的解析式．

5.在平面直角坐标系中，点P 到x 轴的距离为d1，到y 轴的距

离为d2，给出下列定义：

若d1≥d2，则称d1 为点P 的最大距离；

若d1＜d2，则称d2 为点P 的最大距离．

例如：点P(-1，2)到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为1，因为2＞1，所以点P 的最大距离为2．

根据以上定义解答下列问题：

（1）点A(5，-6)的“最大距离”为；

（2）若点B(a，4)的“最大距离”为7，则a 的值为；

（3）若点C 在直线y=-2x+3 上，且点C 的“最大距离”为5，求点C 的坐标．

6.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a，b)，

B(c，d)，若点T(x，y)满足x =a +c

，y =

b +d

，那么称点T 3 3

是点A，B 的融合点．

例如：A(-1，8)，B(4，-2)，当点T(x，y)满足x =-1+ 4

= 1 ，3

y =8 + (-2)

= 2 时，点T(1，2)是点A，B 的融合点．3

（1）已知点A(-1，5)，B(7，7)，C(2，4)，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．

（2）已知点D(3，0)，点E(t，2t+3)（t 为任意数），点T是点D，E 的融合点．

①用含t 的式子表示点T 的坐标；

②若直线ET 交x 轴于点H，当△DTH 是以DH 为直角边的直角三角形时，则点E 的坐标为．

1 = 3 x +1

7. 小明根据学习函数的经验，对函数 y =|x +1|-2 的图象、性质进

行了探究．小明的探究过程如下： （1）列表：

=

．（2） 描点并画出该函数的图象． （3） 根据函数图象可得：

①该函数的最小值为 ；

②观察函数 y =|x +1|-2 的图象，写出该图象的两条性质：

，

．

（4） 结合函数图象，解决问题：

①函数图象与 x 轴有 个交点，所以对应方程|x +1|-2=0

有

个解；

②已知函数 y = 1

x +1的图象如图所示，结合你所画的函数图

3

象，直接写出方程 x +1 - 2 = 1

x +1的解： ．

3

⎪⎩ ⎪⎩

8. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，

我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过

程与方法，探究分段函数 y = ⎧⎪ x （x ≤1）

的图象与性质．

（1）列表：

⎨-2x + 3（x > 1）

=

．（2） 描点并画出该函数的图象． （3） 根据函数图象可得：

点 A ( 1 ，y 1)，B ( 2

，y 2)，C (x 1，-2)，D (x 2， - 3 )在函数图象

2 3 2

上，则 y 1 y 2，x 1 x 2．（填“＞”，“=”或“＜”）

（4） 结合函数图象，解决问题：

①当函数值 y = 5

时，自变量 x 的值为

；

2

②若一次函数 y =kx +1（k 为常数且 k ≠0）的图象与分段函数

y = ⎧⎪ x （x ≤1） 的图象只有 1 个交点，则 k 的取值范围是 ⎨-2x + 3（x > 1）

．

3 【参考答案】 ➢ 精讲精练

1. 2．

2. 二或第四．

3. （1）(-3，4)；

（2）点 M 的坐标为(3，2)或(-1，-2)． 4. （1）3；

（2）B (1，7)；

（3）直线 l 的解析式为 y = 2x - 4 ． 5. （1）6；

（2）±7 ；

（3）点 C 的坐标为(-1，5)或(4，-5)． 6. （1）点 C 是 A ，B 的融合点；

（2）①T ⎛ t +1 2 t +1⎫

；②(6，15)或( 3 ，6)．

， ⎪ ⎝ 3 ⎭ 2 7. （1）2；

（2） 图略；

（3） ①-2；②该函数的图象是轴对称图形；当 x ＜-1 时，

y 随 x 的增大而减小，当 x ＞-1 时，y 随 x 的增大而增大； （4）①两、两；② x 1 = 3，x 2 = -3 ． 8. （1）1；

（2）图略；

（3）＜，＞； （4）① - 5

；②k ＞0 或 k ≤-2．

2