初二数学上-幂的运算

幂的运算

一、数学家的幽默

一名统计学家遇到一位数学家，统计学家调侃数学家说道：

你们不是说若Ｘ＝Ｙ且Ｙ＝Ｚ，则Ｘ＝Ｚ吗！那么想必你若是喜欢一个女孩，那么那个女孩喜欢的男生你也会喜欢罗！？"

数学家想了一下反问道：

那么你把左手放到一锅一百度的开水中，右手放到一锅零度的冰水里想来也没事吧！因为它们平均不过是五十度而已！"

二、幂的运算性质知识要点

◆要点1 同底数幂的乘法：

a m ·a n ＝a m ＋n （m ，n 都是正整数） 可扩展为a m ·a n ·a p ＝a m

＋n ＋p ★说明：幂的底数相同时，才可运用此法则。

◆要点2 幂的乘方与积的乘方

(1) 幂的乘方：(a m )n ＝a mn （m ，n 都是正整数），可推广为()[]mnp p n m a a =

(2) 积的乘方：(ab )n ＝a n b n （n 为正整数），可扩展为(abc )n ＝a n b n c n

易错易混点

(1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数

幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。

◆要点3 同底数幂的除法

a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n ）

◆要点4 零指数与负整数指数的意义（两个规定）

(1) 零指数： a 0＝1 （a ≠0）

(2) 负整数指数：p p a

a 1=-（a ≠0，p 是正整数） 即任何一个不等于0的数的－p (p 为正整数)次幂等与这个数的p 次幂的倒数。也可变形为:p

p p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11 （观察前后幂的底数、指数变化） ★说明：(1)在幂的性质运算中，幂的底数字母a 、b 可以是单项式或多项式，运算法则皆可逆向应用；(2) 零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0，即a ≠0；(3) 规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂；(4) 在运算当中，要找准底数（即要符合同底数），如

果出现底数互为相反数，或其他不同，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性。在计算过程中，时刻注意符号的变化。

◆易错易混点

(1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。

三、典型例题

【例1】填空

(1) ()=-4322z y x _______； (2)a 2b 4c 8＝( )2;

(3) b 12＝( )3＝( )4＝( )6; (4) 若x 2n ＝3，则x 10n ＝______；

(5) 已知3×9m ×27m ＝321，则m ＝_______；(6) 若()36428=x ，则x ＝_______；

(7) 计算：x 2•x 3= _________ ；（﹣a 2）3+（﹣a 3）2= _________ ．

(8)、若2m =5，2n =6，则2m+2n = _________ ．

【例2】 (1) 8975.0311⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛； (2)2003100120052004214532135⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛

【例3】①已知10m ＝3，10n ＝4，求(1) 10m ＋n ＋1; (2) 103m －2n 的值.

②已知22x ＋1＝32，求x 。

【例4】已知0352=-+y x ，求y x 324⋅的值。

【例5】如果2221682=⨯⨯n n ，求n 的值。

【例6】计算100101)2()2(-+-。

【例7】若1510,2010-==b n ，求b n 239÷的值。

四、学习自评

1. x a ＋b ＋1＝x a ＋2·________。若y 3＝－8a 6b 9，则y ＝______。

2. 若2m ＝5，2n ＝7，则2

m ＋n ＝_________；23m －2n ＝_________。 3. 若2333632

-++=⋅x x x ，则x ＝________。 4. 若153=-k 则k ＝_______；若27

13=x ，则x ＝________。 5. ()()

244432a a a ⋅+＝_________。 6. 下列说法正确的是（ ） A. –a n 和(－a )n 一定互为相反数 B. 当n 为奇数时，–a n 和(－a )n 相等

C. 当n 为偶数时，–a n 和(－a )n 相等

D. –a n 和(－a )n 一定不相等

7. 下列各式中，正确的是（ ）

A. 2a 3＋3a 2＝5a 5

B. 2a －2＝

221a C. ()5565=÷a a D. ()322a a a =÷- 8. 下列式子中与()2a -计算结果相同的是（ ）

A. ()12-a

B. 42-⋅a a

C. 42a a ÷-

D. ()24--⋅a a

9. 生物学指出：在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养

级，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中(H n 表示第n 个营养级，n ＝1，2，…，6)，要使H 6获得10千焦的能量，需要H 1提供的能量约为（ ）

A. 104千焦

B. 105千焦

C. 106千焦

D. 107千焦

10. 若x 是有理数，则下列等式中不一定成立的是（ ）

A. ()114.30=-π

B. ()1302=+x

C. ()120040=+x

D. ()[]133022=-----

11. 已知(2x －3)0＝1，则x 的取值范围是（ ）

A. x ＞23

B. x ＜23

C. x ＝23

D. x ≠23

12. 若1284·83＝2n ，则n 等于（ ）

A. 30

B. 37

C. 38

D. 39

13. ()2005

2004313⎪⎭⎫

⎝⎛⋅-的结果为（ ） A. 31

- B. 31

C. －3

D. 3

14. 下列各式中，一定成立的是（ ）

A. 22＝(－2)2

B. 23＝(－3)2

C. (－2)3＝22-

D. (－2)3＝()32-

15. 若()0

3221,2,21⎪⎭⎫

⎝⎛--=-=⎪⎭⎫

⎝⎛=-c b a ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）

A. b ＜c ＜a

B. b ＜a ＜c

C. c ＜b ＜a

D. a ＜c ＜b

16、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（ ）

A 、﹣299

B 、﹣2

C 、299

D 、2

17、当m 是正整数时，下列等式成立的有（ ）

（1）a 2m =（a m ）2；（2）a 2m =（a 2）m ；（3）a 2m =（﹣a m ）2；（4）a 2m =（﹣a 2）m ．

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个

18、a 与b 互为相反数，且都不等于0，n 为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（

）

A 、a n 与b n

B 、a 2n 与b 2n

C 、a 2n+1与b 2n+1

D 、a 2n ﹣1与﹣b 2n ﹣1

19、下列等式中正确的个数是（ ）

①a 5+a 5=a 10； ②（﹣a ）6•（﹣a ）3•a=a 10；

③﹣a 4•（﹣a ）5=a 20； ④25+25=26．

A 、0个

B 、1个

C 、2个

D 、3个

16. 计算题

(1) 3a 3·a 4＋2a ·a 2·a 4－4a 5·(－a )2;