一元二次方程的定义与概念

一元二次方程的定义与概念

【知识要点】

1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数并且所含未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

2．把)0,,(02≠=++a c b a c bx ax 为常数，称为一元二次方程的一般形式，a 和b 分别称为二次项系数和一次项系数，c 为常数项。

3． 若x m =是关于x 的方程02=++c bx ax 的一个根，则一定有02

=++c bm am 。

【典型例题】

一、一元二次方程的概念及其运用

例1．根据题薏列出方程：

1． 两个正方形面积和为106，它们的周长的差是16，求这两个正方形的边长；

2．20L 的纯酒精，倒出一部分后注满水，第二次倒出与前次同量的混合液，再注满水，此时容器内的水是纯酒精的3倍，求第一次倒出酒精的数量。

【类题训练】

1． 一个直角三角形三条边的长是三个连续的整数，求这三条边的长。

2． 某工厂计划两年后使产量翻一番，求每年增长的百分数是多少？

例2．下列方程哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？是的指出二次项系数，一次项系数，常数项。

（1）0322=-+y x （2）04332=+-x x

（3）22)1(43-=++x x x （4）012=++qx px

例3．关于x 的方程()

();032422=-++-x a x a （1） 当a 满足什么条件时，该方程为一元二次方程；

（2） 当a 满足什么条件时，该方程为一元一次方程。

【类题训练】

1.方程();05)2(372=+-+--x m x m m

（1） m 为何值时，方程是一元二次方程；

（2） m 为何值时，方程是一元一次方程；

2.已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于________。

3． 若,x m x n ==都是02=++c bx ax 的根，求()()c n m b n m a 222++++的值。

二、①解一元二次方程——配方法

（1） 把方程化成一元二次方程的一般形式；

（2） 将二次项系数化成1；

（3） 把常数项移到方程的右边；

（4） 两边加上一次项系数一半的平方。

（5） 把方程转化成n m x =+2)(的形式；

（6） 两边开方求其根。

例5．（1）0662=--x x （2）x x 7322-=

（3）ax a x 3222=+ （4）()()

03222222=----x x x

x

②公式法——判别式与根之间的关系

方程有两个实数根→△≥0

方程有两个相等的实数根→△＝0

方程有两个不相等的实数根→△＞0

方程有没有实数根→△＜0

例6．关于x 的一元二次方程()012132=-+--m x m mx ，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根。

【类题训练】

1.如果关于x 的方程0)2()12(2

=+++-k x k kx 有两个实数根，求k 的取值范围。

例7．求5422-+x x 的最小值。

【类题训练】

1.如果关于x 的方程0132=+-x kx 有两个实数根，求k 的取值范围。

2.求432+-x x 的最小值。

【课后作业】

1.用配方法解下列个题。

（1）03722=-+x x （2）041162=+-x x

（3）01252=--x x （4）03

1612=-+

x x