最大度是6不含相邻k-圈的可平面图的边染色

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最大度为6的平面图是13-线性可染的

｛｝的色因（ＩＩ｛ｌ。）中颜染．为Ｉ２）≤ 盘（Ｃ：
所以总有１颜色可以染给仉与Ｇ的选择矛盾！种
二 ≤ Ｉｌ
ｌ『］ｌ２：一 ≤ ，
假设Ｇ包含一个２点，一其邻点为，，由Ｇ的极小性知日＝Ｇ一Ｙ则有一个线性染色ｃ应用颜色集
文章编号：０１０１２１０－１１４１０－５（０２）２０２－５０
最大度为６的平面图是１．性可染的线３
王侃
３１０）２０４
（江师范大学数理与信息工程学院，江金华浙浙
摘
要：Ｇ的线性色数ｌ（）图ｃＧ是指Ｇ的所有线性染色中所用的最少颜色的个数．运用Ｄｓｈｒｉｉａｇｇ方法，ｃｎ研究
Ｉ．献９明：图满最度（ ≤，ｌＧ≤；图满最度＋文［证了若Ｇ足大 △Ｇ４ｃ）８Ｇ足大２］）则（若１．＋５
△Ｇ≤，ｌＧ≤４平图，△Ｇ≥ ，ｌＧ≤ （５ｃ）１对面Ｇ（５则ｃ）Ｉ）则（；若）２（
本文考虑对平面图类改进上述部分结论，得到如下的结果：定理１若Ｇ是平面图且满足 △（）Ｇ ≤６，ｌ（ ≤１．则ｃＧ）３
第３５卷第２期２１５月０２年
浙江师范大学学报（自然科学版）ＪｕａｏＺｅｉｇＮｒａＵｉｒｉ（ａ．Ｓｉ）ｏｒｌｆｈｊｎｏｍｌｎｖｓｙＮｔｃ．ｎａｅｔ
Ｖ１５ｏ２ｏ．３，Ｎ．Ｍａ０２ｙ２１

最大度为6且不含5-圈和相邻4-圈的平面图是7-全可染的

ｏｔ－ｃｅｎｄａｅｔ－ｙｌｓｅｅ７ｔａｙｃｌａｌ．Ｔｉｉｐｏｅｅｋｏｎｒｓｌｔａｒｓｕｃｌａｄａｊｃｎｃｃｒ－ｔｌ—ｏｒｂｅｈｓｍｒｖｄｔｎｗｅｕｔｉｌｅｔｅ．５ｙｓ４ｅｗｏｌｏｈｓｎｉｒｕＫｅｒｓｐａｅｇａｈｏａｃｌｉｇａｉｍｄｇｅ；－ｙｌｓｄａｅｔ－ｙｌｓｙｗｏｄ：ｌｐ；ｔｌｏｏｎ；ｍｍｕｅｅ５ｃｃ；ａｊｃｎｃｃｎｒｔｒｘｒｅ４ｅ
第３４卷第３期２１年８月０１
浙江师范大学学报（自然科学版）ＪｕａｏｈｊｎｏｍｌＵｉｅｓｙＮｔｃ．ｏｒｌｆｅａｇＮｒａｎｖｒｔ（ａ．Ｓｉ）ｎＺｉｉ
ｖ１４。ｏ０．３Ｎ．３Ａｇ０１ｕ．２１
ＡｂｔａｔｙｕｉｇｔｅｄｓｈｒｉｇｍｅｈｄＩｉｗｓｐｏｅａｌｎｒｐｓｗｔｘｍｕｄｇｅｎｔ — ｓｒｃ：Ｂｓｎｉｃａｇｎｔｏｔａｒｖｄｔｔａｅｇａｈｉｍａｉｍｅｅ６ａｄｗｉｈｈｐｈｒｈ
ＺＨＡＮＧＪｎｗｅｉｇｎ
（ｏｌｅｆＭａｈｍｔｓｈｓｓａｄＩｏｍｔｎＥｇｎｅｉＺｊｎｒａｎｖｒｔ。Ｊｈｈｊｎ３１０ＣｉａＣｌｇｅｏｔｅａｉ，Ｐｙｉｎｆｒａｉｎｉｅｒｇ。ｈｉｇＮｏｍｌＵｉｓｙ￣ｎＺｉｇｃｃｎｏｎｅａｅｉｎａｅａ２０４。ｈｎ）
第３期

最大度为6且不含4-圈和7-圈的平面图的边列表和全列表

最大度为6且不含4-圈和7-圈的平面图的边列表和全列表姚潇彦【摘要】It was studied the list chromatic index of plane graph G with maximum degree △(G) = 6, it was proved the list chromatic index was A and the list total chromatic number was △ + 1 if △(G) = 6 and G had no 4-cycles and 7-cycles by using the discharing method.%令G是一个最大度为△(G)的平面图.运用Dischanging方法,进一步探究△(G)≥6的平面图的边列表色数,得到了最大度为6且不含4-圈和7-圈的平面图的边列表色数为△,全列表色数为△+1.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)003【总页数】5页(P267-271)【关键词】平面图;列表染色;圈;最大度【作者】姚潇彦【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004【正文语种】中文【中图分类】O157.50 引言本文考虑的图都是简单、有限的无向图．文中未加定义的术语和记号参阅文献［1］．用V(G)，E(G)，F(G)，Δ(G)和δ(G)分别表示平面图G的顶点集、边集、面集、最大度和最小度(在不引起混淆的情况下简记为 V，E，F，Δ 和δ)．图G的一个k-边染色是一个映射φ:E(G)→{1，2，…，k}，其中k是整数．若映射φ还满足对于G中的每一对相邻边e和e'，有φ(e)≠φ(e')，则称这个k-边染色是正常的;若G有一个正常的k-边染色，则称G是k-边可染的;G的边色数χ'(G)是使得G是k-边可染的最小的整数k;称映射L为图G的一个边列表，如果它给每条边e∈G一个颜色集合L(e);若有一个正常的边染色φ，使得每一条边e满足φ(e)∈L(e)，则称G是L-边可染的，或称φ是G的一个L边染色;若对任意表L和每条边e∈E(G)，都有|L(e)|≥k，且G是L边可染的，则称G是k-边可选的．G 的边列表色数χ'l(G)是使得G是k-边可选择的最小的整数k．类似地，可定义同时染顶点和边的G的全列表色数χ"l(G)．由定义可直接得到χ'l(G)≥χ'(G)≥Δ(G)和χ"l(G)≥χ"(G)≥Δ(G)+1．下面是著名的边列表染色和全列表染色猜想:猜想1 如果G是一个多重图，则:1)χ'l(G)= χ'(G);2)χ"l(G)= χ"(G)．对于二部重图、奇阶完全图、多重圈、外平面图，已证明猜想1的1)成立．文献［2］证明了对于Δ≥12可嵌入非负特征曲面上的图，猜想1成立;文献［3］证明了对于最大度至少为7且不含4-圈的平面图及最大度至少为6且不含4-圈和6-圈的平面图，猜想1成立．本文研究Δ≥6的平面图的边列表染色和全列表染色问题，得到以下结果:定理1 若G是Δ≥6且没有4-圈和7-圈的平面图，则G是6-边可选的和7-全可选的．1 引理方便起见，先引进一些定义和记号．把度为k或度不小于k或度不大于k的点(或面)分别称做k-点(面)，k+-点(面)，k--点(面);一个面f的度d(f)，是指关联f的边的条数，其中割边被计算2次．用nv(f)表示任意一个关联f的点v经过f的闭途径的次数．假设定理1不成立，并设G是定理1的一个使σ(G)=|V|+|E|最小的反例，即G本身不是6-边可选的和7-全可选的，但它的每个真子图都是6-边可选的和7-全可选的，则G有以下几个性质:引理1 G是连通的．引理2 设∀e=uv∈E．若6+-点相邻，3-点只与 5+-点相邻．引理3 G不含2-交替圈．由G的极小性容易证明引理1，引理2和引理3的证明可参阅文献［4］．引理4 令G'是G中所有关联2-点的边导出的子图，则G'是一个森林．设T是G'中的一棵极大树，由引理2知，T的所有叶子都是6+-点，由归纳法容易证明G'中存在一个饱和所有2-点的匹配M．如果给每个极大树配一个极大匹配，并设v是G中任意一个2-点，那么称v的被匹配饱和的邻点为v的master．引理5 G具有以下性质:2)每个关联3-面的面是5-面或8+-面;3)若一个2-点关联一个3-面，则它关联的另一个面是6-面或9+-面;4)若一个3-点关联一个3-面和一个5-面，则它关联的另一个面是8+-面;5)设 f1，f2，f3是v关联的面，且依顺时针方向排列，如果f1，f3都是3-面，那么 f2是8+-面．证明:1)，2)和3)易证，下证4)和5)．4)设v是一个3-点，f1，f2，f3是v关联的3个面，不失一般性，假设它们是依顺时针方向排列的，且d(f1)≤d(f2)，其中 f1是 5-面，f3是 3-面．用反证法．设d(f1)=d(f2)=5，且 f1=［vuu1u2u3］，f2=［vuv1v2v3］，若 f1和 f2正常相邻，则会产生一个7-圈C=［uu1u2u3v3v2v1u］．事实上，{u1，u2，u3}∩{v1，v2，v3}=Ø．否则，若 u1=v1，则 u 是一个 2-点，与引理 2 矛盾;若 u2=v1，则会产生一个 4-圈 C=［v1(=u2)u3vuv1］;若u3=v1，则会产生一个 4-圈 C=［v1(=u3)u2u1uv1］．所以v1≠u1(u2，u3)．类似地可验证v2≠u1(u2，u3)，v3≠u1(u2，u3)．所以，f1和f2不可能正常相邻，但 f1和 f2也不可能非正常相邻．不然，u是一个2-点，与引理2矛盾．若d(f2)=6，可类似证明会产生4-圈或7-圈，得到矛盾．所以，若d(f1)=5，则由d(f1)≤d(f2)可得d(f2)≥8．5)设v是f1，f2，f3的公共点，u1，u2和u3，u4分别是f1和f3关联的另外2个顶点，且按顺时针方向排列．对u2，u3分3种情形讨论:①d(u2)≥3，d(u3)≥3．因为G不含4-圈，所以f2不可能是3-面或4-面．事实上，G也不是5-面或6-面．否则，若 f2=［vu2x1x2u3v］是 5-面，则 C=［vu1u2x1x2u3u4v］是 7-圈;若 f2=［vu2x1x2x3u3v］是 6-面，则C=［vu2x1x2x3u3u4v］是7-圈．但 G 不含7-圈，所以 f2是 8+-面．②d(u3)≥3，d(u2)=2，或d(u2)≥3，d(u3)=2．由对称性，不妨考虑d(u2)≥3，d(u3)=2．由引理4的2)知，f2一定是5+-面．若f2=［vu2x1u4u3v］是5-面，则会产生一个 4-圈 C=［vu2x1u4v］;若 f2=［vu2x1x2u4u3v］是 6-面，由于 G 不含4-圈，所以u1≠x1且u1≠x2，则 C=［vu1u2x1x2u4u3v］是7-圈．但 G 不含7-圈，所以 f2是8+-面．③d(u2)=d(u3)=2．由引理4的2)知，f2一定是5+-面．若 f2=［vu2u1x1u4u3v］是5-面，则会产生一个4-圈 C=［vu2u1u4v］;若 f2=［vu2u1x1u4u3v］是6-面，则会产生一个4-圈 C=［vu1x1u4v］．综上所述，f2是8+-面．引理5证毕．2 定理1的证明设G是定理1的一个使σ(G)=|V|+|E|最小的反例．以下将运用Discharging方法导出完成定理1证明所需要的矛盾．首先，给G的任意的x∈V∪F分配初始权ch(x)=d(x)－4，由平面图的欧拉以下将定义一个权转移规则，重新分配点和面的权，并设ch'(x)是重新分配点和面的权后元素x∈V∪F的新权．将要证明对每个x∈V∪F都有一方面，由于权的转移只是在同一个图的点和面之间进行，权的总和应该保持不变，因此得到-8≥0，即得到了证明定理1所需要的矛盾．权转移规则如图1所示．R1:每个与3-面关联的2-点由mas-R2:每个与3-面 f关联的3-点由不R3:每个5+-点与其关联的3-面各R4:每个5+-面向每个关联的点转图1 权转移规则图下面只需验证对于每个x∈V∪F都有ch'(x)≥0．先考察面的新权．因为G是简单图，所以对每个面f都有d(f)≥3．又由权转移规则知:若d(f)≥4，则ch'(f)≥0．所以，下面只需验证3-面．设f为3-面，则ch(x)=-1，由引理2知，f至多关联1个3--点．若f关联一个3--点，则由引理2知，其余2个均为5+-点，由R3知0．设v为3-点，则ch(v)=-1，由引理5的1)知，f至多关联1个3-面．若v关联1个3-面，则由引理4的2)和引理4的4)知，v关联的另2个面要么是5-面和8+-面，要其次考察点的新权．设 v为 2-点，则 ch(v)=-2．若v关联一个3-面，则由引理5的3)知，v关联的另一个面是6+-面，由R1和R4知，ch'(v)=设v为4-点，则ch'(v)=0，由引理5的1)知，v至多关联2个3-面．又由权转移规则知，v只向3-面转权．所以，当v关联2个3-面时 ch'(v)最少．由引理5的5)知，v还关联2个8+-面，所以ch'(v)≥设t是v关联的3-面的个数．称关联3-面的3-点为坏3-点．用b3(v)表示v相邻的坏3-点的个数．设v为5-点，则ch'(v)=1，由权转移规则知，v只向3-面和3-点转权，由引理5的1)知，v至多关联2 个3-面．1)t=0，此时v只向3-点转权，且至多与5个坏3-点相邻，则2)t=1，此时v至多与3个坏3-点相邻，则3)t=2，此时v至多与1个坏3-点相邻，由引理5的5)知，v至少关联1个8+-面，则ch'(v)≥1-设v为6-点，则ch(v)=2．下面将根据v与2-点相邻的情形对6-点的新权逐一进行验证．1)v是一个2-点 u的 master．①v不与三角形关联，那么v至多关联2个3-面．若t=0，则v至多与5个坏3-点相邻，从而至少关联1个8+-面，从而②v与三角形关联，由于G不含4-圈，故v至多关联3个3-面．t=1，此时v至多与4个坏3-点相邻．若b3(v)=0，则v只向正常3-点转权，且至多与4个坏3-点相b3(v)=2，则v至少关联1个8+-面和1个6+-面，此时v 至多与2个正常3-点相邻，从而ch'(v)≥2-1个正常3-点相邻，从而少关联3个8+-面，此时v不与正常3-点相邻，从而t=2，此时v至多与2个坏3-点相邻．若 b3(v)=0，则由引理5知，v至少关联1个6+-面，从而;若b3(v)=1，则由引理5知，v至少关联1个8+-面，此时v至多与1个正常3-点相邻，从而至少关联2个8+-面，从而t=3，此时v不需要向3-点转权，由引理5的5)知，v至少关联3个8+-面，从而2)v不是任意2-点的master，此时v至多与3个3-面关联．①t=0，此时v只向3-点转权，且至多与6个坏3-点相邻，因此②t=1，此时v至多向4个坏3-点转权，因此③t=2，此时v至多向2个坏3-点转权，因此④t=3，此时v不向任何3-点转权，且由引理5的4)知，v至少关联3个8+-面，因此ch'(v)≥2-至此，对∀x∈V∪F，ch'(x)≥0都已得到验证．定理1得证．参考文献:［1］Bondy J A，Murty U S R．Graph theory［M］．Berlin:Springer，2008．［2］Borodin O V，Kostochka A V，Woodall D R．List edge and list total colorings of multigraphs［J］．J Combin Theory，1997，71(2):184-204．［3］Liu Bin，Hou Jianfeng，Liu Guizhen．List edge and list total colorings of planar graphs without short cycles［J］．Information Processing Letters，2008，108(6):347-351．［4］Wang W F，Lih K W．Structural properties and edge choosability of planar graphs without 6-cycles［J］．Combin Probab Comput，2001，10(3):267-276．。

最大度是6且不含有弦的小圈的可平面图的边染色

ｌａｔｉｈｓｏｌｓ．Ｂｙａｐｙｎｓｈｒｉｇｍｅｈｄｅｓｇｔｉｆｃａｓ１ｅｐｌｉｇａＤｉｃａｇｎｔｏ．ｗｒｖｈｔｅｅｙｓｍｐｅｐａａａｈＧｗｔｅｐｏｅｔａｖｒｉｌｌｎｒｇｐｉｒｈ△ ＝６ｉｆｓｏ
ＮｉｅｐｎＷｉｉｇ
（ｃｏｌｆＭｔｅｔｓａｄＳａｓｃ，ＺｏｈａｇＵｉｅｓｙＺｏｈａｇ２７６ＣｉａＳｈｏａｈｍａｃｎｔｉｉｓａｚｕｎｎｖｒｉ，ａｚｕｎ，７０，ｈｎ）ｏｉｔｔｔ１
ＡｓａｔＬｔｅａｐａａａｈｏｍｘｍｍｄｇｅ △，ｓａｅｃｓ１ｆＧ △ ａｄｃａｓｘ（）＝＋ｂｔｃ：ｅＧｂｌｎｒｒｐｆａｉｕｅｒｅＧｉｓｉｔｂｌｓＸ（）：ｎｌｓ２ｉＧＡｒｇｄｏａｉｆ１ｈｒＸ（，ｗｅｅＧ）ｄｎｔｓｈｒｍｔｄｘｆ．Ｉ１６，ｉｎｒｖｄｔｔｖｒｌｎｒａｈｏｘｍｍｄｇｅｔｅｏｅｅｃｏａｃｉｅｎ９５ＶｚｇｐｏｅａｅｅｙｐａａｐｆｔｈｉｎｏＧｉｈｒｇｍａｉｕｅｒｅａ
（４≤ ｋ≤ ７．）
［关键词］平面图，边染色，最大度，圈
［中图分类号］Ｏ５．［１７５文献标志码］Ａ［文章编号］０１６６２１）３０１－６１０－１（０１０－９０４０
ＥｄｇｌｒｎｆＰｌｎｒＧｒｐｉｈ △ ＝６ｅＣｏｏｉｇｏａａａｈｓＷｔＷｉｈｏｈｏｔＣｙｌｓＣｏｔｉｔｕｔＳｒｃｅｎａｎＣｈｏｄｓｒ

平面图的无圈边染色

３４９
淮阴师范学院学报（自然科学）
第ｌＯ卷
性质ｌ如果图Ｇ是平面图并且它的围长为ｇ，Ｍａ（）＜则ｄＧ
．文［］见８．
引理２如果图Ｇ的Ｍａ（）＜４且（ｄＧ，Ｇ）≥ ２则图Ｇ至少包含下面几种情况之一．，
的颜色，以及图Ｇ中不含有２色圈，．换句话说即图Ｇ中任何染两种颜色的边的导出子图是一棵森林．关键词：圈染色；平面图；围长；最大平均度无
中图分类号：１７５Ｏ５．文献标识码：Ａ文章编号：６１８６２１）５０９．６１７．７（０１０．３３０６
０ｃ．２１ｔ０１
平面图的无圈边染色
段娟娟，丁伟
（中国矿业大学理学院，江苏徐州２１１）２１６
摘要：用差值转移的方法证明了，利如果ｇ（）４则有Ｘ，ＧＩ＞ ≤△（＋４图Ｇ＝（，是简Ｇ）．Ｅ）
单图，映射ＣＥ［］被称作是图Ｇ的一个无圈ｋ：一ｋ，边染色．如果任意相邻的两个边染有不同
情况６一个６度点至少邻接邻接５３个度点，和一个度数小于等于 △ Ｇ一１（）；情况７一个７度点邻接７个３点；度
情况８一个点当ｄ）（ ≥６，时点至少邻接ｄ一３２（）个度点其中的一个可以是３度点．
情况１一个２度点至少邻接一个度数小于等于４的点；情况２一个３度点至少邻接一个小于等于４度的点和一个５的点；度

Δ≥9且不含相邻4-圈的平面图是(Δ+1)-全可选和Δ-边可选的

△≥１２的平面图，则ｆＧ（）＝△，ｚｃ ” ）＝△＋１本文将证明：Ｇ是△ ≥９（。若且不含相邻４一圈的平面图，则（）＝Ｇ
△ ４１ｆＧ＝Ａ。－，（）
关键词：平面图；相邻４一圈；边列表染色；全列表染色；最大度
中图分类号：Ｏ５．１７５文献标识码：Ａ文章编号：１００７—４６（０２）３—０２ —０２０２１００１７
（）通过定义可知，Ｇ。
（）≥ Ｇ
列表染色猜想（简记ＬＣ：于任意图Ｇ，Ｃ）对有，Ｇ）＝（。（Ｇ）全列表染色猜想（简记ＬＣ：于任意图Ｇ有，Ｇ＝（。ＴＣ）对，（）Ｇ）
ＬＣ分别由ＶｚｇＧｐａＡｅｓｎＣｌｎ，ＢｌｂｓＨｒｓＣｉｎ，ｕｔ，ｂｒｏ与ｏｉ和ｏｏａ与ａｉ独立提出。ＴＣ由ＢｒｄｎｉｔｌｓｌｒＬＣ是ｏｉ，ｏＫｓｃｋｏｔｈａ和Ｗｏｄｌ提出［，ｏｏａｌ２这些猜想至今仍未得到完全解决，至在平面图上也仍未解决。］甚
５一圈，５ △ ≥ ８且不含６一圈］（） ≥ ８且不含相交三角形］（） ≥ ８且３一圈和４一圈不（），６ △ ，７ △ 相邻，８ △ ≥ ７且不含３一圈，９ △ ≥ ７且不含４一圈，１） ≥ ７且不含５一圈和６一圈，（）（）（０＇４（１ △ ≥ ６且不含４一圈和５一圈，１）１）（２Ａ≥ ６且不含４一圈和６一圈＿，１） ≥ ５且不含４一圈８（３ △ ］

图的染色问题

图的染色问题应锡娜06990213@（浙江师范大学初阳学院，浙江金华321004）摘要：本文介绍了图染色问题的提出、应用及意义，主要对已取得的研究成果及当今的研究状况进行了阐述。

关键词：图；染色；色数一、引言图染色问题起源于著名的“四色猜想”[1]问题。

早在一百多年前的1852年，英国Guthrie提出了用四种颜色就可对任意一张地图进行染色的猜想。

即对世界地图或任何一个国家的行政区域地图，最多用四种颜色就可以对其染色，使得凡是相邻的国家或相邻的区域都着以不同的颜色。

二、研究与发展“四色猜想”提出后，一些数学家着手研究这个猜想，力图给出证明。

时隔二十七年后，1879年Kempe给出了“四色猜想”的第一个证明，又过了十一年，1980年Hewood发现Kempe的证明是错误的。

但他指出，Kempe的证明方法虽然不能证明“四色猜想”，却可以证明用五种颜色就够了。

此后，“四色猜想”一直成为数学家们感兴趣而未能解决的世界数学难题。

直到1976年6月美国数学家伊利诺斯大学教授Appel与Haken宣布：他们用计算机证明了“四色猜想”是正确的。

因此，从1976年以后，就把“四色猜想”改称为“四色定理”了。

[2] 值得指出的是，Appel与Haken的证明，计算机运行了1200个小时。

诚然用计算机证明数学难题实在是一个伟大的尝试或创举，但是，世界数学家们仍期待着用常规的数学方法证明“四色定理”。

目前仍有许多数学家在潜心研究，寻求常规的证明方法。

地图的特点在于，多个区域位于同一平面上，每个区域可以是毫无规则的各种形状，任意两个区域可以有公共边界，但不能有公共区域。

于是人们开始研究所谓“平面图”。

人们把地图中的每一个区域称为一个“面”，地图染色就是对“面”染色。

进一步研究之后人们把地图中的每个区域的“面”视为一个点，若两个“面”相邻接，即地图中的两个区域有一段或几段公共边界，则在表示这两个区域的点之间连线，该连线可以是直线也可以是任意形状的曲线，并称之为边。

最大度为6图是19-线性可染的

６
绍兴文理学院学报（自然科学）
第３卷１
（Ｇｖ）ＵＮ（，＼）Ｎ（，ｃｖ）｛中的颜色染仉Ｉ（Ａｖ）ｕＮ（）｛ｔＩ｝Ｎｃｖ＼ｖ）
５的禁用颜色数至多为５＋２×４＋５＝１，．８可用ｃ中的颜色染好仉
侃
金华３１０）２０４
数理与信息工程学院，浙江
要：Ｇ的一个正常染色满足染任意两种颜色的顶点集合导出的子图Ｇ是一些点不交的路的并，称这个正常染色图则
为图的线性染色．图Ｇ的线性色数是指Ｇ的所有线性染色中所用的最少颜色的个数．证明了：最大度为６的图是ｌ９一线
第３卷第９期１２１年９月０１
绍
兴
文
理
学
院
学
报
Ｖ０．１Ｎ．１３ｏ９ＯＸＩＨＡＮＧＩＲＳＴＹＵＮＶＥＩ
最大度为６图是１线性可染的９一
王
（浙江师范大学摘
（）＝１１．
用不在｛（（ｃｖ）ｉ＝１２３４，，），，，５６｝和
（（）｛｝（ ⅣＧ＼秽）ｉ＝１２３４５，）中的颜色染．因为，，，，６
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（．）恰有２对顶点染相同颜色．２２
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最大度不小于6的伪Halin图的完备色数

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第""卷第#期数学研究与评论$%&’""(%’#"))"年**月+,-.(/0,12/3452/367/0.585/.74/(95:;,8636,((%<’"))"最大度不小于=的伪>@A B C图的完备色数D刘林忠*E 张忠辅"E王建方FG *’兰州铁道学院管理工程系E 甘肃兰州H F ))H )I"’兰州铁道学院应用数学研究所E 甘肃兰州H F ))H )I F ’中国科学院应用数学研究所E 北京*)))J )K摘要L 设M 为"N 连通平面图’若存在M 的面O )E 其中O )的边界构成的圈上无弦且P G O )K 中的点的度至少为F E 使得在M 中去掉O )边界上的所有边后得到的图为除P G O )K 中的点外度不小于F 的树QE 则称M 为伪N 4R &S T 图I 若P G O )K 中的点全为F 度点E 则称M 为4R &S T N 图’本文研究了这类图的完备色数E 并证明了对U G M K V =的伪N 4R &S T 图M 有W X G M K Y U G M K Z *’其中U G M K 和W XG M K 分别表示M 的最大度和完备色数’关键词L 伪N 4R &S T 图I 4R &S T N 图I 完备色数’分类号L /28G ")))K)[7*[\707,*[H ’[文献标识码L /文章编号L *)))N F #*:G "))"K )#N )==F N )=*引言定义*]=^设M 为"N 连通平面图’若存在M 的面O )E 其中O )的边界构成的圈上无弦且P G O )K 中的点的度至少为F E 使得去掉O )边界上的所有边后得到的图为除P G O )K 中的点外度不小于F 的树QE 则称M 为伪N 4R &S T 图I 若P G O )K 中的点全为F 度点E 则称M 为4R &S T N 图’称O )为M 的外部面G 其它面为内部面K E P G O )K 中的点称为外点G 其它点为内点K ’对_‘P G O )K E 若a G _K Y F 则称_为正则点G 否则为非正则点K ’记b G O )K 为正则点集E c b G O )K 为非正则点集’显然若伪N 4R &S T 图M 满足U G M K Y F E 则M 为F N 正则4R &S T 图’对平面图M G P E d E e K E O E O f ‘eE 若O 与O f 至少有一条公共边E 则称O 与O f 相邻I 面O 边界上的点和边称为与O 相关联’定义"对平面图M G P E d E e K E 若映射O L Pg dg eh i *E "E jE k l 满足L Pg dg e 中任意相邻或相关联的元素m *和m "有O G m *K n O G m "K E 则称O 为M 的一k N 正常点边面完备染色E 简称k N $517E 并称W X GM K Y o S T i k p 存在M 的一k N $517l 为M 的完备色数’猜想G $5177K ]*^]"^]F ^对简单平面图M 有W X GM K q U G M K Z #’D 收稿日期L ")))N )*N "#基金项目L 国家自然科学基金资助项目G *s J H *)F =K其中!"#$为#的最大度%本文研究了伪&’()*+图的完备色数,并证明了对!"#$-.的伪&’()*+图#有/0"#$1!"#$23%其中!"#$和/0"#$分别表示#的最大度和完备色数%4"5$表示567"#$的邻点集合%对平面图#的,用面的边界上的点表示面%文中其它术语参见文献89:8;:%<主要结果引理38.:若#为一伪&’()*+图,=>为#的其外部面,则"3$任意567"=>$,?"5$-@A 任意56B C "=>$,?"5$-;A "<$任意两个相邻的内面或任意内面与外面间仅有一条公共边A"@$任意56B C "=>$,在4"5$中至多有两个点在同一内部面的边界上A "9$对56B C "=>$,5的邻点之间不相邻%引理<8.:设#为一伪&’()*+图"#D E F $,=>为#的外面%G1535<H5I 为#J K "=>$中的最长路,L 6M 5<,5I J 3N ,则#中至少出现如下情况之一O "3$顶点L 为#的满足4"L $P 7"=>$且Q 4"L $R B C "=>$Q 13的内点%记4"L $1M S ,T 3,T <,H,T U N "U -<$A V T 3,S T U ,T W T W 236K "=>$,其中S6B C "=>$,VD T <且SDT U J 3,W 13,<,H,U J 3,则图#331#J M L ,T W Q W 13,<,H,I N 2M V S N ,#<31#J M T W ,T W 23,H,T X N 2M T W J 3T X 23N 仍为伪&’()*+图%"<$顶点L 为#的满足Q 4"L $R "7"#$Y 7"=>$$Q 13且Q 4"L $R C "=>$Q 1?"L $J 3的内点%记4"L $1M T ,T 3,T <,H,T U N ,其中T 为内点,T W 6C "=>$"W 13,<,H,U $,V T 3,S T U ,T W T W 236K "=>$"W 13,<,H,U J 3$,VD T <,SD T U J 3,则#3<1#J M T 3,T <,H,T U N2M V L ,S L N ,#<<1#J M T W ,T W 23,H,T X N 2M T W J 3T X 23N ,其中"<Z W Z X Z U ,U -@$仍为伪&’()*+图%记引理<中的"3$,"<$中的L 构成的点的集合为E %引理@8.:对伪&’()*+图#"#D E F $有"3$若L ,V 和S 为满足引理<中情况"3$的点,则V S[K "#$A"<$若L ,V 和S 为满足引理<中情况"<$的点,则Q M V ,S N R B C "=>$Q Z 3%引理9对轮图E F "F-\$有/0"E F $1F%引理;8.:至少存在一个引理<中的L6E 满足!"#33$,!"#<3$,!"#3<$和!"#<<$等于!"#$%由伪&’()*+图的定义,#的任意面=可被=边界上顺次的@个点表示%定理3对!"#$1.的伪&’()*+图#有/0"#$1\%证明下面证明存在#的一\&]^_‘%对F1Q 7"#$Q 用归纳法%!"则不存在#$!的伪%&’()*图+若#$,"不同构的图仅有一个"穷染即知结论成立+下面假设#-./+假设对0123405#且26234$74的任意伪%&’()*图存在一8%9:;<+现证明当012340$#2#-..4时结论成立+记=2>4为3中顶点>及其与>相邻和相关联的元素的色的集合"=2>4为3/中顶点>及其与>相邻和相关联的元素的色的集合情况.若@为满足引理A 中情况2.4的点+情况.+.若B 2@4$C "考虑图D 3/$3E F @"G ."G A H I F J K H +其中J"K"G .和G A 含义与引理A 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/4"显然L 为3的一8%9:;<+?情况!"#若$%&’()或*+用与情况!",相同的方法可证明存在-的一./0123+详证略"情况,&为满足引理,中情况%,’的点"情况,"!若$%&’(#+考虑图4-5(-678!+8,9:7&;+&<9"其中;+<+8!和8,含义与引理,中情况%,’相同"设8为与&相邻的内点+=%=>’不仅表示-5的边界上含有边;&%<&’的内面+而且表示-的边界上含有边8!;%8,<’的内面"则-5仍为伪/@A B C 图且D E %-5’D (F 6,G F+由引理!可设H %-5’(*"由归纳假设+存在-5的一./0123I 5"现在I 5的基础上构造-的一./0123I "记J(%E %-’K L %-’K M %-’’N 78!+8,+8!;+8,<+8,&+8!&+8!8,&+8!8,9+显然D O >%P ’D ($%P ’:!+其中$%P ’表示P 在-5中的度"因I 5为-5的./0123+因此D 7I 5%;’+I 5%<’+I 5%&’+I 5%;&’+I 5%<&’+I 5%=’+I 5%=>’9D Q *+%RR’即集合7;+<+&+;&+<&+=+=>9中仅有两个元素在I 5下的色相同%显然不可能有多个相同’"情况,"!"!若I 5%=5’S I 5%8&’"令I %8!8,’(I 5%&’"情况,"!"!"!若I 5%;&’S I 5%=>’"令I %8!&’(I 5%=>’+I %8,&’(I 5%=5’+I %8!;’(I 5%;&’+I %8,<’(I 5%<&’+I %8!’T O N 7I 5%&’+I 5%;’+I %8!;’+I %8!&’+I 5%=5’+I 5%=’9+I %8,’T O N 7I 5%&’+I 5%<’+I %8,<’+I 5%=5’+I 5%=>’9+I %8!8,&’T O N 7I %8!’+I %8,’+I 5%&’+I 5%=’+I 5%=5’+I 5%=>’9+I %<’(I 5%<’+<T J+显然I 为-的一./0123"情况,"!"!",若I 5%<&’S I 5%=’+用与情况!"!"!类似的方法可得-的一./0123I "情况!"!"#若I 5%;&’(I 5%=’+且I 5%<&’(I 5%=>’"令I %8!;’(I 5%;&’+I %8!&’(I 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毕业论文范例——mycielski图的染色问题

目录中文摘要------------------------------------------------------------------2 英文摘要------------------------------------------------------------------3 引言----------------------------------------------------------------------4 一、mycielski图的定义-----------------------------------------------------5 1． mycielski图的定义----------------------------------------------------52 . 广义mycielski图的定义-----------------------------------------------5二、mycielski图的染色问题-------------------------------------------------5(一)边色数----------------------------------------------------------------51. Mycielski图的边色数---------------------------------------------------52.广义Myc ielski 图的边色数----------------------------------------------6(二)邻强边色数------------------------------------------------------------61. Myciel ski 图的邻强边色数---------------------------------------------72. 广义Mycielski 图的邻强边色数------------------------------------------7 （三）全色数--------------------------------------------------------------81. Mycielski图的全色数--------------------------------------------------82. 广义Mycielski图的全色数---------------------------------------------9 （四）邻点可区别全色数----------------------------------------------------91.Mycielski 图的邻点可区别全色数---------------------------------------102.广义Mycielski图的邻点可区别全色数----------------------------------12 致谢--------------------------------------------------------------------13 参考文献----------------------------------------------------------------14Mycielski图的染色问题摘要：本论文总结了Mycielski 图及广义Mycielski 图关于染色问题的各方面定义和定理，主要包括边色数、邻强边色数、全色数、邻点可区别全色数的相关结论。

平面图染色问题的研究

平面图染色问题的研究引言平面图染色问题是一个经典的组合优化问题，它在图论中具有重要地位。

平面图染色问题旨在寻找一种给定的平面图的一种可行染色方案，使得相邻的顶点都获得不同的颜色。

自从1973年Gerhard Reinelt提出平面图染色问题以来，该问题一直是图论研究的热点之一。

本文旨在深入探讨平面图染色问题的研究现状和进展，以期为相关研究提供参考和启示。

正文部分1、平面图染色问题的概念平面图染色问题是指对于给定的平面图G，寻找一种映射f: V(G) →C，其中V(G)表示图的顶点集合，C表示颜色集合，使得对于任意相邻的顶点u和v，都有f(u) ≠ f(v)。

换句话说，平面图染色问题要求将图的顶点染上颜色，使得相邻顶点的颜色不同。

2、平面图染色模型及其应用平面图染色模型在诸多领域都有广泛的应用，如电路设计、蛋白质结构预测、印刷电路板设计、网页排版等。

例如，在电路设计中，通过将电路元件染上不同的颜色，可以避免电路短路和断路，提高电路的可靠性和稳定性。

在蛋白质结构预测中，通过将不同的氨基酸单元染上不同的颜色，可以帮助科学家们理解蛋白质的三维结构。

3、平面图染色问题的研究深入探讨自Reinelt提出平面图染色问题以来，大量的研究者致力于该问题的研究。

根据染色的方法和要求的不同，平面图染色问题可以分为多种类型，如k-染色、列表染色、反色数等问题。

其中，k-染色是最为常见的一种染色问题，它要求将图的顶点染上k种颜色，使得相邻顶点的颜色不同。

列表染色则要求对于每个顶点，都给出一个可行的颜色列表，使得该顶点的所有相邻顶点都不在其颜色列表中。

反色数则研究的是给定一个图，如何找到最少颜色数的染色方案。

结论部分本文对平面图染色问题进行了深入研究，总结了前人在该领域取得的研究成果，并指出了该领域存在的不足之处以及未来可能的研究方向。

虽然平面图染色问题已经被广泛研究了几十年，但是仍然有许多问题需要进一步探讨。

例如，对于特定类型的图，如何设计高效的染色算法？如何理解不同染色问题的最优解？此外，将平面图染色问题的研究成果应用于实际问题中，也是未来值得的方向之一。

关于平面图的7-全可染性的一个注记

关于平面图的7-全可染性的一个注记陶鑫;王应前【摘要】研究了平面图的全染色问题.运用Discharging方法,结合一些排除的构形,得到:最大度为6且不含5-圈和6-圈的简单平面图是7-全可染的.所得结果推广了现有文献的相关结果.%It was studied the total coloring problem of plane graphs. By using method of discharging and combing with the exclusion of some configurations, it was proved that plane graphs with maximum degree 6 without 5-cycles and 6-cycles were 7-totally-colorable. The present results extended the relevance results in literatures.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)003【总页数】5页(P262-266)【关键词】平面图;全染色;最大度;5-圈;6-圈【作者】陶鑫;王应前【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004;浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004【正文语种】中文【中图分类】O157.5本文的图指的是有限简单无向图，文中未加定义的术语和记号参阅文献［1］．设G=(V，E)表示顶点集为V、边集为 E的图．若能用k种颜色对G进行染色，使得任意2个相邻或相关联的元素染有不同的色，则称G是k-全可染的．设F，Δ和δ分别表示平面图G的面集、最大度和最小度．显然，给每一个图进行全染色至少要用Δ+1个色．猜想1［1］任何简单图G都是(Δ+2)-全可染的．这一猜想被称为全染色猜想，简记为TCC．即使对于平面图，TCC在目前还没有得到完整证明．剩下未解决的情形是Δ=6［2-8］．有趣的是，对于简单平面图，大多数情况是(Δ+1)-全可染的［9-10］．猜想2［11］若G是4≤Δ≤8的简单平面图，则G是(Δ+1)-全可染的．对此，文献［12］证明了Δ≥7且不含有4-圈的平面图是(Δ+1)-全可染的;文献［11］证明了Δ=7且不含相邻三角形的平面图是8-全可染的．笔者则研究了Δ=6且不含5-圈和6-圈的平面图的全染色问题．定理1 若G是Δ=6且不含5-圈和6-圈的平面图，则G是7-全可染的．证明假设定理1不成立，并设G是定理1的一个使σ(G)=|V|+|E|最小的反例，即G本身不是7-全可染的，但它的每一个真子图都是7-全可染的，则可得断言1．断言1［9］ G是2-连通的，从而δ≥2且G的每个面的边界都是圈．把度为k的点叫做k-点．类似地，度不小于k的点叫做k+-点，度不大于k的点叫做k－-点．断言2［12］设xy∈E．若d(x)≤3，则d(x)+d(y)≥Δ +2=8．特别地，G 中2-点只与6-点相邻，3-点只与5+-点相邻．断言3 G不含图1所示的结构．其中标记为·的点在G中没有其他邻点．图1 G不含有的构形只证第5种情形(如图1(e)所示)，其他情形的证明可参阅文献［10-11，13］．假设G含有如图1(e)所示的构形．根据σ(G)的极小性知，G'=G －uv是7-全可染的．令φ:V(G')∪E(G')→{1，2，…，7}是G'的一个7-全染色．设对于x∈V，S(x)是与顶点x以及与x相关联的边染得的颜色集．如图1(e)所示，设 S(u)={1，2，…，6}，其中φ(uq)=3，φ(uw)=4，φ(vm)=7，因此φ(pq)=7．否则将 3 染给 uv，7 染给uq，这样得到G的一个7-全染色，矛盾．此时交换pq与pw的颜色，将3染给uv，7染给uq，这样得到了G的一个7-全染色，矛盾．因此，断言3成立．以下将运用Discharging方法导出完成定理1证明所需要的矛盾．首先，给G的顶点v分配初始权ch(v)=2d(v)－6，给G的面f分配初始权ch(f)=d(f)－6．由握下面将定义一个权转移规则，重新分配点和面的权，并设ch'(x)是重新分配点和面的权后元素x∈于只是在同一个图的点和面之间进行权转移，权的总和应该保持不变，因此得到－12≥0，即得到了证明定理1所需要的矛盾．权转移规则如下(如图2所示):R1:转向2-点的权与2-点相邻的2个6-点都向此2-点转移权1．R2:转向3-面的权由断言2知，3-面上只有1个3－-点，因此R2．1:若3-面含有3－-点，则此3-面上的2 个5+-点都向此R2．2:若3-面不含3－-点，则此3-面上的3 个4+-点都向此3-面转移权 1．R3:转向4-面的权R3．1:若4-面含有2个3－-点，则此4-面上的2个5+-点都向此4-面转移权1; R3．2:若4-面含有1个3－-点，则此4-面上与此3－-点相对的那个4+-点向此R3．3:若4-面不含3－-点，则此4-面上的4 个4+-点都向此4-面图2 权转移规则首先考察面的新权．设 f为3-面．若 f有1 个3 －-点，则根据R2．2，ch'(f)=ch(f)+1 ×3=0．设 f为4-面．若 f含有2 个3－-点，则根据 R3．1，ch'(f)=ch(f)+1 ×2=0;若f 含1 个3－-点，则根据由G不含5-圈和6-圈知G不含5-面和6-面，故无需验证5-面和6-面的新权．设f为7+-面．由权转移规则知f既不转出权也不接受权，因此ch'(f)=ch(f)=d(f)－6＞0．综上所述，对任意的面f∈F，ch'(f)≥0．其次考察顶点的新权．设v为2-点．由断言2和R1知，ch'(v)=ch(v)+1×2= －2+2=0．设v为3-点．由权转移规则知v既不转出权也不接受权，故ch'(v)=ch(v)=0．下面用t表示与v关联的3-面个数．设 v为4-点．由 G 不含5-圈和6-圈知t≤2，且 v至少与2 个7+-面关联．根据R2．2 和 R2．3，v至多转移权1给每个相关联的3-面，至多转移设v为5-点．由G不含5-圈和6-圈知t≤3，且v至少与2个7+-面关联．又由断言3(如图1(a)所示)知v至多与2个含有3－-点的3-面关联，根据R2和R3 设v为6-点．用n表示与v相邻的2-点个数，显然，n≤6．与6-点相邻的2-点分布情况如图3所示．下面根据n的大小来讨论v的新权:图3 与6-点相邻的2-点分布情况(2≤n≤4)n=6．由断言3(如图1(d)所示)知，v不与3-面关联．由G不含5-圈和6-圈以及断言3(如图1(e)所示)知，与v关联且关联2个与v相邻的2-点的面是7+-面．因此，v关联6个7+-面，根据R1，n=5．由断言3(如图1(d)所示)知t=0．由G不含5-圈和6-圈知，v至少关联5个7+-面，根据R1和R3，n=4．如图3(a1)、图 3(a2)、图 3(a3)所示，由断言3(如图1(d)所示)知t≤1．若t=1，则由 G 不则v至少关联 4个7+-面，根据R1和R3，ch'(v)≥ch(v)－1×4－1×2－0×4=0．n=3．如图3(b1)、图3(b2)、图3(b3)所示，由断言3(如图1(d)所示)知t≤2．若1≤t≤2，则由G不含5-圈和6-圈知v至少关联4个7+-面，根据R1，R2和R3，若 t=0，则 v至少关联3个7+-面，根据 R1和 R3，ch'(v)≥ch(v)－1×3－0×3－1×3=0．n=2．如图3(c1)、图3(c2)、图3(c3)所示，由断言 3(如图1(d)所示)知t≤2．若1≤t≤2，则由 G不含5-圈和6-圈知v至少关联3个7+-面，根据R1，R2．1和R3，若t=0，则v至少关联2个7+-面，根据R1和R3，ch'(v)≥ch(v)－1×2－0×2－1×4=0．设含有2-点的3-面是特殊3-面，记作s-面．由断言3(如图1(b)和图1(c)所示)知，若6-点与一个s-面关联，则6-点不与其他含有3－-点的3-面关联．n=1．若v与s-面关联，则由 G不含5-圈和6-圈知t≤4，且 v至少关联2个7+-面，根据 R1，R2和若v不与s-面关联，则t≤3．若t=3，则根据G不含5-圈和6-圈，v要关联3个7+-面，从而若0≤t≤2，则v至少关联2个7+-面，从而n=0．由G不含5-圈和6-圈知t≤4，且v至少关联2个7+-面，根据R1，R2和R3，至此，对任意的x∈V∪F，ch'(x)≥0已得到验证．定理1得证．参考文献:［1］Bondy J A，Murty U S R．Graph theory［M］．Berlin:Springer，2008．［2］Rosenfeld M．On the total coloring of certain graphs［J］．Israel J Math，1971，9(3):396-402．［3］Kostochka A V．The total coloring of a multigraph with maximal degree 4［J］．Discrete Math，1977，17(2):161-163．［4］Kostochka A V．The total chromatic number of any multigraph with maximal degree five is at most seven［J］．Discrete Math，1996，162(2):199-214．［5］Borodin O V．On the total coloring of planar graphs［J］．J Reine Angew Math，1989，394(2):180-185．［6］陈明，王应前．关于平面图全染色的一个注记［J］．浙江师范大学学报:自然科学版，2007，30(4):421-423．［7］Sanders D P，Zhao Yue．On total 9-coloring planar graphs of maximum degree seven［J］．J Graph Theory，1999，319(1):67-73．［8］Wang Yingqian，Shangguan Minle，Li Qiao．On total chromatic number of planar graphs without 4-cycles［J］．Sci China Ser A，2007，50(1):81-86．［9］Borodin O V，Kostochka A V，Woodall D R．Total coloring of planar graphs with large maximum degree［J］．J Graph Theory，1997，26(1):53-59．［10］Wang Weifan．Total chromatic number of planar graphs with maximum degree ten［J］．J Graph Theory，2007，54(1):91-102．［11］Du Dingzhu，Shen Lan，Wang Yingqian．Planar graphs with maximum degree 8 and without adjacent triangles are 9-totally-colorable ［J］．Discrete Appl Math，2009，157(1):2778-2784．［12］Hou Jianfeng，Liu Guizhen，Cai Jiansheng．List edge and list total coloring of planar graphs without 4-cycles［J］．Theoret Comput Sci，2006，369(4):250-255．［13］Kowalik L，Sereni J S，Skrekovski R．Total coloring of plane graphs with maximum degree nine［J］．SIAM J Discrete Math，2008，22(4):1462-1479．。

平面图的缺陷DP-染色

摘要本文主要证明了两个结果：一是任意的平面图G都存在一个最大度不超过6的子图H，使得G−E(H)是2-退化的。

作为这个结果的推论，我们知道任意平面图G都是6-缺陷DP-3可染的；另一方面本文证明了存在平面图不是3-缺陷DP-3可染。

当d=4,5时，平面图是否为d-缺陷DP-3-可染的，仍然是一个未解决的问题。

关键词：平面图；2-退化的平面图；缺陷染色；无圈定向；DP-染色。

AbstractThis paper proves that every planar graph G contains a subgraph H withΔ(H)≤6such that G−E(H)is2-degenerate.As a consequence of this result,every planar graph G is6-defective DP3-colorable.On the other hand,we show that there is a planar graph which is not3-defective DP3-colourable.It remains an open problem whether every planar graph is d-defective DP3-colourable,for d=4,5.Keywords:planar graphs;2-degenerate planar graphs;defective colouring;acyclic orientation;DP-coloring.目录摘要⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅i Abstract⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅iii 目录⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅v 第一章绪论⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1基本概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1.1图的相关概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1.2DP染色概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21.2平面图的缺陷DP-染色研究现状⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅51.3本文主要结果⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6第二章k d的一个下界⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅92.1定理1.2的证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9第三章主要定理⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅133.1预备知识⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅133.2定理3.1的证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅14参考文献⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21攻读学位期间取得的研究成果⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅23致谢⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅25浙江师范大学学位论文独创性声明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅28学位论文使用授权声明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅28vi学位论文诚信承诺书⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅29第一章绪论1.1基本概念1.1.1图的相关概念一个图G由一个顶点集和一个边集组成，我们一般把图G的顶点集合和边集合分别记为V(G)和E(G)，用⋃︀V(G)⋃︀来表示图G的顶点数(或阶数)，用⋃︀E(G)⋃︀来表示图G的边数。

不含相邻4-圈的1-平面图边染色

中图分类号
Ｅｄｇｅｃｏｌｏｒｉｎｇｓｏｆ１－ｐｌａｎａｒｇｒａｐｈｓｗｉｔｈｏｕｔａｄｊａｃｅｎｔ４－ｃｙｃｌｅｓ
ＳＯＮＧＷｅｎｙａｏ，ＭＩＡＯＬｉａｎｙｉｎｇ，ＺＨＡＮＧＪｉａｌｉ
（Ｇ）ＵＦ（Ｇ）．用ｄ（）表示点的度数为志的邻点的个数，ｄ（）表示点的度数不小于ｋ的邻点的个数．度数为ｋ的点（或面）称为点（或ｋ－面），度数不小于ｋ的点（或面）称为ｋ＋－点（或ｋ＋。面）．Ｇ中
Ｇ是忌一边可染的，使得图Ｇ具有志一边可染的最小正整数愚定义为Ｇ的边色数，记作（Ｇ）．若图Ｇ满足
（Ｇ）一△（Ｇ），则称Ｇ为第一类图．若（Ｇ）＝ｚ５（Ｇ）＋１，则称Ｇ为第二类图．若图Ｇ是连通的第二类图，并且去掉任意边ｅＥＧ后，Ｇ— 是第一类图，则称Ｇ是一
子．文献Ｅ４－５］中证明了 △一７时Ｖｉｚｉｎｇ猜想成立．
一
个图称为是１一平面的当且仅当它可以画在一个平面上，使得它的任何一条边最多交叉另外一条
边．与平面图相比，１一平面图的研究成果较少．关于１一平面图的结构，Ｆａｂｒｉｃｉｃ。证明了任意ｌ一平面图均满足Ｅ（Ｇ） ≤４（Ｇ）一８；文献１－７］中证明了最大度 △≥ １０的１一平面图是第一类的；张欣等［。和ｚｈａｎｇ等［ｇ］分别证明了最大度 △≥７且不含３一圈与最大度 △≥ ８且不含相邻三角形的１＿平面图均是 △ 一边可染的．本文中利用权转移方法证明了最大度为９且不含相邻４一圈的１＿平面图也是 △ 一边可染的．

平面图的各种染色综述

（山东大学数学学院，山东济南２５０１００）
摘要：文章首先介绍平面图的一些结构和性质，给出了关于点（边，全）方面的染色概念，并综述了一些染色在平面图方面的结果．主要的染色有图的正常点染色、点荫度、线性点荫度、均匀染色、均匀点荫度、无圈点染色、正常边染色、无圈边染色、强边染色、（ｐ，ｑ）－边标号、邻点（和）可区别边（全）染色，荫度、线性荫度、线性ｋ－荫度，全染色以及这些染色的列表情况等．关键词：平面图；染色；列表染色中图分类号：Ｏ１５７５文献标志码：Ａ
本文考虑的是简单无向图．有关概念和术语可以参考文献［１－２］，染色方面的书籍有文献［３－６］，一篇关于平面图染色的英文综述见文献［７］．图一般由它的点集和边集组成．首先第１节介绍平面图的概念及其结构性质，介绍几个特殊的平面图；第２节介绍只染点方面的染色概念并综述部分染色在平面图方面的结果；第３节介绍只染边方面的染色，并综述一些染色在平面图方面的结果；第４节介绍图的全染色，列表全染色，邻点（和）可区别的全染色，无圈全染色等概念并叙述平面图相关的结果；第５、６节首先介绍一些前面没有提到的染色，罗列一些主要结果，并提供一些可以继续研究的问题．
等．把左边括号内的值分别定义为点或面的初值
ｃｈ．由于右边是个负数，点和边中肯定有元素的初
值是负的．这个变形在研究平面图的染色问题时
非常有用，因为如果某个染色结果不成立，可以通
过从初值为正的元素传一些值给初值为负的元
基金项目：国家自然科学基金重点资助项目（１１６３１０１４）；国家自然科学基金面上资助项目（１１９７１２７０）；山东省自然科学基金资助项目（ＺＲ２０１８ＭＡ００１）

南京师大学报(自然科学版)第34卷(2011年)总目次

分数次多线性交换子在齐型ＨｒＭｒｙ空间中的有界性ｅ－ｏｅｚｒ
……………………… 葛仁福，徐国华（，１４２）
一
Ｉ一
亚纯函数的Ｐｃｒ外集 … …… …… ……… ……… …… ……… …… ……… …… 王品玲，ｉｄ例ａ王立庆（２）４，６二阶多个体系统控制受限下的无碰撞速度一致性问题 … ……… …… …… 史玉石，朱建栋，陈腾（３）４，３
南京师大学报（自然科学版）第３４卷（０１）目次２１年总
（者后括号内逗号前为期号，号后为页码）作逗
逼近空间的拓扑方法 …… …… …… …… ……… …… …… ……… …… …… …… …… 李伯权，贺
ＢＳ推广模型的亚式期权定价 … …… ……… …… …… ……… …… …… … 刘国祥，－陈波，翁
含杂质一维原子链热导ＭｏｔＣｒ模拟 … …… ……… 杨ｎｅａｏｌ理，潘亮，朱佳利，杨
巍，唐建国（，８１４）程，寅林（，２徐１５）
瑞，秀轻（，）周３７伟（，３３１）
平面图３可着色的充分条件 ……… …… …… …… ……… …… …… ……… …… … 赵春红，董
最大度是６且不含有弦的小圈的可平面图的边染色 …… ……… …… …… …… ……… …… 倪伟平（，９３ｌ）
一
带有极大值项的中立型差分方程非振动解的渐近性 … ……… …… ……… …… … 谭福锦，邓艳平（，５２ｌ）排列中相邻两项的最大公因子 …… …… ……… …… …… ……… …… …… …… …… ……… 姬成双（１）２，８具有乘积纯正断面的正则半群 …… …… …… ……… …… …… …… ……… …… … 郭晓永，秀海（２）费２，３

关于图论课程教学中对染色问题的研究

Advances in Education教育进展, 2023, 13(10), 7943-7946Published Online October 2023 in Hans. https:///journal/aehttps:///10.12677/ae.2023.13101233关于图论课程教学中对染色问题的研究初亚男，赵操苏州科技大学数学科学学院，江苏苏州收稿日期：2023年9月18日；录用日期：2023年10月17日；发布日期：2023年10月24日摘要图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题，是离散数学的重要分支。

它在计算科学、社会科学和自然科学等多个领域都有广泛应用。

本文主要研究广义Petersen图的非正常点染色问题，构造满足条件的染色方式。

旨在帮助学生更好地理解图论基本概念，掌握图论中的基本技巧方法，从而培养学生科学解决问题的能力。

关键词非正常染色，广义Petersen图，邻点Research on Coloring Problem of GraphTheory in Curriculum TeachingYanan Chu, Cao ZhaoSchool of Mathematical Sciences, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou JiangsuReceived: Sep. 18th, 2023; accepted: Oct. 17th, 2023; published: Oct. 24th, 2023AbstractGraph theory, which originated from the famous Seven Bridges problem, is an important branch of discrete mathematics. It has extensive applications in many fields such as computing science, so-cial science and natural science. In this paper, we mainly study improper coloring of generalized Petersen graphs and construct a coloring with certain requirement. It aims to help students un-derstand the basic concepts and skills in graph theory, so as to guide student to develop the ability of solving scientific problems.KeywordsImproper Coloring, Generalized Petersen Graph, Neighbors初亚男，赵操Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 引言随着计算机科学的飞速发展，图论作为离散数学的一个重要分支，越来越成为各个领域研究的热点。

关于平面图全染色的一个注记

关于平面图全染色的一个注记
陈明;王应前
【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(30)4
【摘要】用Discharging方法证明了最大度△=6且不含相交三角形的平面图是8全可染的.限于简单平面图,这一结果是对全染色猜想的进一步支持.
【总页数】3页(P421-423)
【作者】陈明;王应前
【作者单位】浙江师范大学,数理与信息工程学院,浙江,金华,321004;浙江师范大学,数理与信息工程学院,浙江,金华,321004
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.围长较大的平面图的全染色的一个结果 [J], 张埂;万慧敏;古华华;扈丁文
2.关于最大度为 7 的平面图全染色的一个注记 [J], 王应前;孙强;陶鑫
3.关于平面图的7-全可染性的一个注记 [J], 陶鑫;王应前
4.关于可平面图的3-列表染色的一个注记 [J], 章齐君;王应前
5.平面图全染色的一个注记 [J], 李晓东
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Ｅｄｇｅｃｏｒｎｇａｒｇａｏｌｉｏｆｐｌｎａｒｐｈｓｆａｍｕｍｇｒｅｓｘｉｈｏｕｔｏｒｍｘｉｄｅｅｉｗｔ
ａｊｃｎ－ｙｌｓｄａｅｔｋｃｃｅ
ＮＩＷｅ— ｉｇｉｐｎ
（ｅａｔｎｔｅｔｓａｄＩｆｒｔｎＳｉｃ，ａｚｕｎｎｖｒｉ，ＤｐｒｍｅｔｆｏＭａｈｍａｃｎｏｉｎｍａｏｃｎｅＺｏｈａｇＵｉｓｙｉｅｅｔ
Ｚａｚｕｎｈｎｏｇ２７６，ＣｈｎｏｈａｇＳａｄｎ７１０ｉＡｂｓｒｔＢｙａｐｙｎｉｃａｇｎｔｏｎｓｎｈｒｐｅｔｅｆｃｉｉａｒｐｓｔａｃ：ｐｌｉｇｄｓｈｒｉｇｍｅｈｄａｄｕｉｇｔｅｐｏｒｉｓｏｒｔｃｌｇａｈ，
文中考虑的图都是简单、无向有限图．图Ｇ可以表示在平面上，若并且任意两条边仅在
其端点处才可能相交，则称Ｇ是可平面图，Ｇ的这种平面上的表示法称为Ｇ的一个平面嵌图
入，称为平面图．别用符号（，Ｇ，Ｇ） △（（或分Ｇ）Ｅ（）Ｆ（，Ｇ）简记为 △）示Ｇ的顶点集合，表边
ｗｅｐｏｅｈａｖｒｉｌｌｎｒｇａｈＧｔ：６ｉｆｌｓ１ｉａｙｔ－ｙｌｓｏｒｖｄｔｔｅｅｙｓｍｐｅｐａａｒｐｗｉｈＡｓｏｅ．ｆｎｗｏｋｃｃｅｆｃｍ
集合，面集合，最大度．ｄｘ表示Ｘ在Ｇ中的度数，中Ｘ∈ｖ（ｕＦ（．用（）其ａ）Ｇ）用（）ｕ表示顶点Ｖ的度数为ｋ的邻点的个数，（）ｄ＋Ｖ表示顶点Ｖ的度数不小于的邻点的个数．度数为ｋ的
点（或面）为惫点（砖面）度数不小于ｋ的点（称一或一，或面）为＋点（惫．．称一或＋面）若存在一个映射：Ｅ（ａ）一ｆ，，，，对Ｇ中任意两条相邻接的边ｅ和ｅ，１２ … ｝１２有（１（２，ｅ）≠ ｅ）则称Ｇ是尼边可染色的，一使得图Ｇ具有一可染色的最小的正整数ｋ边定
收稿日期：２０ —８０９０作者简介：倪伟平，副教授，士，究方向为图论． — ｉｎｗｉｉｇｄａｏ．ｍ．女，硕研Ｅｍａｌｉｅｐｎｄ＠ｙｈｏｃｃ：ｏｎ
第５期
倪伟平：最大度是６不含相邻。圈的可平面图的边染色
义为Ｇ的边色数，作ｘ（）若图Ｇ满足）（）＝ △（，称Ｇ为第一类图，ｘ（记．Ｇ（ＧＧ）若，Ｇ）＝
△（＋ｌ称Ｇ为第二类图．图Ｇ是连通的第二类图，Ｇ１，若并且去掉任意边ｅ ∈Ｇ后，Ｇ—ｅ是第一类图，称Ｇ是一个临界图．最大度为 △的临界图简称 △ 临界图．显然，则．每个 △．临界图（ ≥２是２连通的．Ａ）一
ｌｎｔｔｍｏｔｒｏｄａｅｔｅｇｈａｓａｅｎｔｊｃｎ．６ａ
Ｋｅｙｏｒ：ｐｌｎａｒｇｒｗｄｓａａｐｈ；ｅｄｇｅｃｏｒｎｇ；ｍａｍｕｍｏｌｉｘｉｄｅｇｅｅｃｌｒ；ｙｃｅ
Ｖｚｇ，证明了每个 △ ≥ ８的简单平面图是第一类图，同时猜想这个结论对于Ａ ≥ ｉｎ［２ｉ１】６的简单平面图也成立，给出了Ａ ∈ ｛，，，｝并２３４５的简单平面图存在第二类的例子．文献ｆ，独立证明了 △ ＝７Ｖｚｇ想成立．因此，ｚｇ３】４时ｉｎ猜ｉＶｉｎ猜想仅剩下 △ ：６的情形尚未ｉ时解决．文献『证明了，个Ａ＝６无长度为３４５一的圈的简单平面图是第一类图．文５１每且，，之
２１
若一个３面，一关联３个度数分别为ｉ，的顶点，，ｋＪ其中ｉＪ≤ ｋ则称，（Ｊ） ≤ ，为，一，面．Ｇ中任意两个圈（面）称为相邻接的，果它们至少有一条公共边．Ｇ中的任意两个圈或如
（或面）称为相交的，果它们关联于同一个顶点．如
第５期
２１００年９月
华东师范大学学报（自然科学版）
ＪｕｎａｆＥａｔＣｈｎｒａｉｅｓｔＮａｕａｃｅｃｏｒｌｓｉａＮｏｍｌＵｎｖｒｉｙｆｔｒｌＳｉｎｅｏ
ＮＯ５．
Ｓｐ２１ｅ．００
文章编号：１０－６１２１）５０２－７００５４（Ｏ０Ｏ—０００
最大度是６不含相学院数学与信息科学系，山东枣庄枣庄２７６）７１０
摘要：运用Ｄｉｈｒｅｓａｇ方法和临界图性质证明了，ｃ最大度是６且任意两个长度至多是６的．圈
不相邻的可平面图是第一类图．关键词：平面图；边染色；最大度；圈中图分类号：５．０１７５文献标识码：Ａ