群的七个等价定义及证明
群小结
小结一、概念：半群、群、左(右)单位元、左(右)逆元、单位元、逆元、交换群、加群、变换群、置换群、循环群、群同态、群同构、子群、子群的陪集、不变子群、商群、群与元的阶、循环置换、指数。
二、性质定理：1、群的等价条件，设),( G 是半群，则下列命题等价：(1) 方程b ya b ax ==,有解；(2) 有单位元、逆元；(3) 有左单位元、左逆元；(4) 有右单位元、右逆元；(5) (有限)消去律成立。
2、群的单位元、逆元是唯一的。
3、G 是群，G 与G 1同态，则G 1也是群。
4、变换构成的群只含一一变换。
5、任一个群都与一个变换群同构。
6、对称群n S 的阶为n ！。
7、每个置换可表为不相连的循环置换的乘积。
8、所有的偶置换构成群。
9、循环置换),,(1r k k 的阶为r 。
10、循环置换),,(),,(111k k k k r r =-。
11、不相交的循环置换的乘积可交换。
12、每个有限群都与一个置换群同构。
13、每个循环群都与),(+n Z 或),(+Z 同构。
⇒：n G a G ==||),(，则r a 是G 的生成元n a r =⇔||；若n b =||，则d n b r /||=，其中),(r n d =。
14、m G =||，则G 是循环群的充要条件是G 有m 阶元。
15、子群的判别条件：16、子群的子群还是子群。
17、设G H ≤，则下列命题成立：10、Ha a ∈20、Hb Ha Hb a H ab Hb Ha Hb Ha ⊆⇔∈⇔∈⇔≠⇔=-1φ特别地，H He H a H Ha =∈⇔=;。
30、在Ha 与H 之间存在一个双射。
18、子群的左、右陪集的个数相等。
19、拉格朗日定理。
20、群中每个元的阶整除群的阶。
21、阶是素数的群一定是循环群。
22、设N 是G 的子群，则下列命题等价：10、),(G a Na aN G N ∈∀= ；20、N n G a N ana∈∈∀∈-,,1； 30、G a N aNa∈∀⊆-,1； 40、G a N aNa ∈∀=-,1；23、不变子群的所有陪集构成群。
群论基本知识及一些重要定理
群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。
群的几种等价定义
收 稿 日期 ：２０１０一Ｏ１—１８ 作 者 简介 ：贾 正 华 （１９６３一），男 ，安 徽 含 山县 人 。巢 湖 学 院 教 学 系 副教 授 ，研 究 方 向 ：代 数 学 。
群的七个等价定义及证明
使 aa −1 = e, a −1a ' = e
(a −1a)e = (a −1a )(a−1a' ) = a−1(aa −1)a' = a −1(ea' ) = a −1a ' = e = e ⋅ e 由定义 4 的 V 有 a−1a = e 所以 a−1 是 a 的左逆元
III ∀a ∈ G ae = a(a −1a) = (aa −1 )a = ea = a e 是 G 的右单位元
集宁师专学报 JOURNAL OF JINING TEACHERS COLLEGE 2004，26(4) 0次
参考文献(1条) 1.张禾瑞 近世代数基础 1978
相似文献(10条)
1.学位论文 梁常建 格值正则语言及其截集性质研究 2007
自动机性质的研究是自动机理论的中的一个重要课题。文献[6,7,8]在广泛的代数系统一格半群的意义下给出了一个新的自动机模型，即格值有限自动机 ，在格半群上研究了自动机及其接受的语言的性质，给出了格值自动机比模糊自动机和经典自动机具有更强的计算能力。因此，对格值自动机及其接受语言 的性质的研究就显得更为重要。
III ∀a ∈ G ae = a(a −1a) = (aa −1 )a = ea = a e 是 G 中单位元
定 义 7 ⇒ 定 义 1 显然成立
参考文献 [1] 张禾瑞 近世代数基础[M] 北京高等教育出版社 1978
(上接第 １０ 页)
以上 s 从 2 取遍 l 即可得 第 2 个直至第 l 个 K m,n 的各项顶点标号可以验证 形 lK m,n 的 K 优美标号
定 义 5 群 G 是一个非空集合 具有一个叫乘法的代数运算 且满足 I II 同上 III 右
群的等价定义及其证明
群的等价定义及其证明1 引言群是具有一种代数运算的代数系，是代数结构中重要的一种．群的系统研究起源于19世纪初Galois 研究多项式方程根式解的问题．这是数学史中一块众所周知的里程碑．随后人们在理解了Galois 的思想之后，于19世纪中叶给出了抽象群的概念，开始以公理化的方式研究群．群论是近世代数的重要内容，近世代数又在近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而群论是现代科学技术的数学基础之一．时至今日，群论的发展已日趋完善，在各个学科领域得到广泛的应用．为了便于学习、掌握群的知识和全面、深刻理解群的概念，以下给出了群的近十种定义，并通过证明，阐明群的各个定义间的等价关系．2 预备知识代数系[]1(23)P - 设A 、B 是两个非空集合，映射σ:A B C ⨯→称为A B ⨯到C 的一个代数运算．称(),,A B C σ⨯是一个代数系，特别地，当B C =时，称σ是A 左乘B 的代数运算，当A C=时，称σ为B 右乘A 的代数运算，当A B C ==时，称σ为A 的一个二元运算，此时代数系统记作()σ,A 或简记作A ．半群[]1(5)P 设() ,A 是一个代数系统，定义A 的一个二元运算“ ”，我们称它为乘法运算，如果“ ”满足结合律，则称() ,A 是一个半群．幺半群[]1(7)P () ,A 是半群，如果有e G ∈，恒有a ae ea ==，则称e 是A 的单位元，又称幺元，() ,A 就称为幺半群．为简便其间，在以下群的定义当中所定义的二元运算，即乘法运算“ ”不再书写．3 群的定义定义 1[]1(24)P 若幺半群() ,G 中每个元都有逆元，则称() ,G 是一个群．定义 2 设G 是半群，G 中存在左幺元素e （即对a G ∈，均有ea a =），并且G 中每个元素a均有左逆元素1-a ( 即1a a e -=)， 则称G 是一个群．定义 3[]2(33)P 一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于的G 任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个左单位元e ，能让ea a =，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元a1-，能让1a a e -=． 定义 4[]3(21)P 设G 是半群，对于任意元素a 、b ∈G ，方程ax =b 和xa =b 在G 都可解，则称G 为群．定义 5[]2(31)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的 ;Ⅱ．结合律: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元素a 、b 、c 都对;Ⅲ．对于G 的任意两个元a 、b 来说ax =b 和ya =b 都在G 里有解．定义 6[]2(35)P G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: ∀a 、b ∈G ，∃c G ∈，使ab =c ;Ⅱ．结合律: ∀a 、b 、c G ∈， ()bc a =()c ab ;Ⅲ．右单位元: ∃e G ∈，∀a ∈G ，a ea =;Ⅳ．右逆元: ∀a ∈G ， ∃1-a ∈G ，e a a =-1．定义 7[]3(21)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个单位元e ，使a ea ae ==，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ， G 里至少存在一个逆元1-a ，使 a a 1-=a 1-a =e ．定义 8 设一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: a ∀、b G ∈，ab ∈G ;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c G ∈，()bc a =()cab 成立; Ⅲ．存在右单位元，即对∀a ∈G ae =a ;Ⅳ．存在左逆元，即对a ∀∈G ∈∃-1a G 使得e a a =-1;Ⅴ．左商不变性: 对a ∀、b ∈G ， 都有11--=bb aa．4 群的等价证明(为了简便只对定义间的不同条件做等价证明)定义1⇒定义2 由定义1可知G 中有单位元e ，对∈∀a G 使得a ae ea ==，且每个元都有逆元．显然，G 中存在左幺元e 使a ae =．并且G 中每个元素均有左逆元1-a ，使得1a a e -=．定义2⇒定义3 显然成立．定义3⇒定义4 从定义3的条件可知G 中存在左单位元e ，并且对a ∀、b G ∈，G 中1a -∃、1b -使得1a a e -=，1b b e -=，ea a =，由封闭性1ba G -∈，显然1ba a b -=，即xa b =在G 中有解，再由ax b =，可得11a ax a b --=．显然易得1ex x a b -==，且有1a b G -∈，因而ax b =在G 中也有解．定义4⇒定义5 显然成立．定义5⇒定义6 由定义5可知，在G 里对a G ∀∈ ，ax a =有解，设x e G =∈即ae a =．对b G ∀∈， ya b =在G 里有解，则be yae ya b ===，所以e 为右单位元．且有ax e =在G 中有解，设1x a -= 即1aae -=．由a 的任意性可得，对于G 里的每个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，使1aa e -=．定义6⇒定义7 由定义6可知，G 里面存在右单位元e ，对于a G ∀∈，都有右逆元即1ae a aa e -==，．设元1a -的右逆元为11a -，即111a a e --=，又111111a ea a a e ----=，可得1111a aa a e ---=，得1a a e -=．显然1a -同为a 的左逆元，又由于1ae aa a ea a -===，e 同时为左单位元，所以G 里面至少存在一个单位元e ，能让ae ea a ==．同样G 里面至少存在一个逆元1a-能使11aa a a e --==，其中a G ∀∈．定义7⇒定义8 由定义7可知，在G 里存在右单位元e ，使得a G ∀∈，ae a = ，存在逆元，即对于a G ∀∈，1a G -∃∈使得11a a aa e --==．显然G 的每一个元a 存在左逆元1a G -∈，使得1a a e -=．且对a b G ∀∈，，即11a b G --∃∈，，使得11aa bb --=．定义8⇒定义1 设G 为一个非空集合，根据定义8可知，G 中存在右单位元e ，使得对a G ∀∈，都有ae a =．且每个元都有左逆元．则有1e G -∈，使得11e e e e --==．且可知1ee ee e -==．对1a G -∈使得1a a e -=，11aa ee e --==．由a 的任意性可知，G 里每个元素都有右逆元．又由1ae aa a a -==，可得ea a =，即e 同时为左单位元．显然(),G 为幺半群，且每个元都有逆元．5 有限群定义[]2(3840)P -设 G 是一个有限非空集合，对于一个叫做乘法的代数运算， 称G 是一个群，假如满足: Ⅰ．封闭性: a b G ∀∈、，bc G ∈;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c ∈ G ，()bc a =()c ab 成立;Ⅲ．左消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若zy zx =，则y x =，右消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若yz xz =，则y x =．证明 （此处用定义１的各个条件证明G 是一个群）集合G 是代数运算封闭且满足结合律．则首先是个半群．因G 为限集，不妨设G n =，对于a G ∀∈，设'121{,,,,}n n G a a a a+=⋅⋅⋅，显然'G 中元素的个数有1n +个．又有'G G ⊂，所以'G 中至少有两个元素相等．在此不妨,(11)i ja a j i n =≤≤≤+．再设G 存在元素1e ，使得1j j a e a =，那么i j a a =等价于1j i j j a a a e -=，由左消去律得1i j a e G -=∈，显然同样有1j i j j i j e a a a a a -===，有i j a a =得1i j i j j aa a aa ---=，由右消去律可得i j a a a -=，即1e a a =，易知1ae a =．对∀b G ∈，同理有2e G ∈，使得22e b be b ==．由等式1212ae be e ae b =，变形整理得12ae b ae b =，由消去律可得12e e =．不妨设12e e e ==，由,a b 的任意性，可知对c G ∀∈，有ec ce c ==，即G 存在单位元e ．由以上可知对于a G ∀∈，显然有m a e =，(m 为整数)．令11m aa --=，则11a a aa e --==，所以G 里每个元素都有逆元．6 群与对称性以及几种特殊群6.1 对称和群的关系这里所讲的对称概括的说是：若考虑的对象A 是一个带有若干关系的集合M （数学中的对象大致都具有这种形式）时，我们就把所有保持这些关系不变的，集合M 的一一变换的全体所购成的群看作是这个对A 的对称，即为集合M 的对称群[]4(11)P ． 在此补充以下几个定义．1) 置换：一个有限集合的一一变换叫作一个置换[]()250P ．2) 置换群：一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群[]()250P ．3) n 次对称群:若一包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫作n 次对称群，这个群通常用n S 来表示[]()250P ．下面通过一个例子阐述对称群的意义和实质．我们把以数域F 中的数作系数的n 元多项式的全体记作[]12,,,n F x x x ⋅⋅⋅(或简记作[]F x )，每一n 元多项式可以唯一地表示为不同类单项式的有限线性和:()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅1212nn a x x x ααααα=⋅⋅⋅∑．其中()12,,,n αααα=⋅⋅⋅，{}0i Z α+∈而a F α∈．令{}12,,n M x x x =⋅⋅⋅，则M 的n 次对称群n S 中的元素就是{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅的一个置换，略去字母x 的下标，这时一一变换可记作1212n n i i i σ⋅⋅⋅⎛⎫= ⎪⋅⋅⋅⎝⎭, 其中()12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,n ⋅⋅⋅的一个排列，而()j j i σ=．利用变换群n S 中的元素∑去定义集合[]F x 到[]F x 的一个映射． [][]:F x F x σφ→,()()1212,,,,,n n i i i f x x x f x x x ⋅⋅⋅→⋅⋅⋅,其中()12,,n i i i f x x x ⋅⋅⋅是在多项式()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅中将1x 换成1i x ，2x 换成2i x ，⋅⋅⋅后所得到的多项式，显然σφ是集合[]F x 的一个变换．令{}|n n T S σφσ=∈，n T 是[]F x 的一些(n !个)变换组成的集合．定义“ ”为变换之间的乘法运算．证明代数系(),n T 为[]F x 的置换群．证明 任取,n S σθ∈，令12121212,n n n n i i i i i i j j j σθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭. 则有σθφφ：()()()121212,,,,,,,,n n n i i i j j j f x x x f x x x f x x x →→, σθφ： ()()1212,,,,,n n j j j f x x x f x x x →. 显然有θσθφσφφ=即运算满足封闭性．对,,n S σθϕ∀∈，则有对应的,,n T σθϕφφφ∈，可得等式：()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==，()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==， 所以()()σθϕσθϕφφφφφφ= 即运算满足结合律．对单位元n I S ∈，则有I n T φ∈ 显然有I Iσσφφωφφ== I I σσσφφφφ==． 令()11σσφφ--=，显然()n T ∈-1σφ， 可得:()()111I σσσσσσφφφφφφ---===． 显然由σφ的任意性可知n T 中每个元都有逆元．进而可知()n T 为[]F x 的置换群．令()12,,,n f x x x 是一个n 元多项式，令(){}|f n S T f f σσφφ=∈=，同理可证(),f S 满足群的各个条件，即f S 为群．则称()f S 为n 元多项式()12,,n f x x x 的对称群[]()289P -.6.2 几种特殊群 例1 设()n SL Q 是有理数域Q 上所有其行列式为1的n 阶矩阵的全体，()n SL Q 关于矩阵的乘法“”作成的代数系()(),n SL Q 为一个群，称之为特殊线性群[]()252P .证明 任取三个元(),,n A B C SL Q ∈，则考虑AB 其行列式的值:||||||1AB A B =⨯=，所以()n AB SL Q ∈，运算满足封闭．由矩阵的运算性质显然有:()()AB C A BC =既满足结合律．又有单位矩阵I ，||1I =即()n I SL Q ∈，显然I 为()n SL Q 里的单位元．再有()n SL Q 里每个矩阵的行列式的值为1，显然每个元都可逆，设1A -为A 的逆矩阵，则1AA I -=．由此可得11||||||1AA A A --=⨯=，易得1||1A -=，即()1n A SL Q -∈．由A 的任意性可知()n SL Q 中每个元都有逆元．所以()(),n SL Q 是一个群．例 2 设n Z 为对于模n 的剩余类，定义n Z 中的加法运算“⊕”．即对任n Z 中意元素[][](),01i j i j n ≤≤≤- [][][]i j i j ⊕=+．则()n Z ⊕构成群，称之为剩余类加群[]1(4951)P -．证明 由剩余类的性质，显然易知“⊕”满足封闭性，结合律．同样不难证明[]0为n Z 的单位元．对[]n i Z ∀∈，易得[]n i -为其逆元．很显然()n Z ⊕是一个群．例 3 假如A 是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面绕一个定点的所有旋转组成的集合G ，用θτ表示旋转θ角的旋转．定义运算“”:1212θθθθτττ+=，则(),G 是一个群，也称为平面运动群[]2(48)P ．证明 1212G θθθθτττ+=∈封闭，结合律显然成立，单位元0e G τ=∈，再有对G θτ∈，其逆元，显1G θθττ--=∈然G 是一个群．例 4 若p 为素数，p N 表示关于模p 所有余数构成的集合，即小于p 的非负整数集合．定义pN中的运算“p ⋅”．对任意,p a b N ∈ 则 ()p b a b a p mod ⋅=⋅ 即代数系统{}p p N ⋅-,0是群，并称为模p 乘群，或模p 剩余乘群[]3(23)P .证明 任取{},,0P a b c N ∈-，(){}0mod -∈⋅=⋅p p N p b a b a 运算满足封闭性． 同样不难得知，运算满足结合律．很显然{}10p N ∈-，不难验证1为{}0p N -中的单位元．验证{}0p N -中元素有逆元，任取{}0p a N ∈-，则0a p <<，(),1a p =．因此有整数,c d 使得1c a d p ⋅+⋅=，从而得(),1c p =．当记mod p c c p =时，显然有1p c p ≤<，这表明{}0p p c N ∈-，进而可得等式：()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p a c p a c a c p p p()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p c a p c a c a p p p所以p c 是关于p ⋅的逆元．由a 的任意性可知{}0p N -中元素有逆元．所以说{}p p N ⋅-,0是群．参考文献：[1] 华中师范大学数学系《抽象代数》编写组.抽象代数[M].华中师范大学出版社.2000[2] 张禾瑞.近世代数基础[M].高等教育出版社.1978[3] 王兵山，李舟军.抽象代数[M].国防科技大学出版社.2001[4] 刘绍学.近世代数基础[M].高等教育出版社.1999[5] 吴品三.近世代数[M].北京：人民教育出版社.1979[6] 谢邦杰.抽象代数学[M].上海：上海科学技术出版社.1982[7] 姚慕生.抽象代数学[M].上海：复旦大学出版社.1998[8] N Jacobson.Basic Algebra [M]. W H Freeman and Company .1985。
群的七个等价定义及证明
群的七个等价定义及证明首先，让我们来回顾一下什么是群的定义。
群是一类数学中的抽象概念，是一组具有特定结构的元素。
群的基本元素必须满足特殊的性质，即群必须满足结合律、可逆性、存在单位元以及存在可逆元。
这里，我们将介绍群的七个等价定义及证明。
首先，群的第一个等价定义是正交定义。
正交定义的依据是，对于任意的元素a、b、c，如果a、b、c满足a*b=b*a，那么a*b*c=a*(b*c)。
可以这样证明：由于a*b=b*a，因此a*b*c=a*b*c=a*(b*c)=b*(a*c)，从而证明了正交定义。
其次，群的第二个等价定义是可逆性定义。
其中，满足以下关系的元素都被认为是可逆元：存在一个元素e，使得对于任意的元素a，有a*e=e*a。
可以这样证明：由于存在元素e，使得a*e=e*a，从而有a*(e*e)=(a*e)*e=e*(a*e)=e*(e*a)=(e*e)*a。
也就是说，e的正负号的存在是可逆性的必要条件。
第三个等价定义是存在单位元定义。
存在单位元的定义指的是，存在一个叫做单位元的元素，使得对于任意的元素a，有a*e=e*a=a。
可以这样证明：由于存在一个元素e，使得a*e=e*a=a，从而有a*(e*e)=(a*e)*e=e*(a*e)=e*(e*a)=(e*e)*a=e=a。
也就是说，单位元的存在是存在单位元的必要条件。
第四个等价定义是结合律定义。
结合律定义的依据是，对于任意的元素a、b、c，如果a*(b*c)=(a*b)*c，那么就满足结合律。
可以这样证明：由于a*(b*c)=(a*b)*c，因此a*((b*c)*c)=(a*(b*c))*c=(a*b)*(c*c)=(a*b)*c=a*(b*c)，从而证明了结合律。
第五个等价定义是交换定义。
交换定义指，对于任意的元素a、b，如果满足a*b=b*a，那么就满足交换性质。
可以这样证明：由于a*b=b*a，因此a*(b*b)=(a*b)*b=b*(a*b)=b*(b*a)=(b*b)*a=b*a=a*b，从而证明了交换定义。
群论中的等价和可约表示
Dg(θ)=B-1Df(θ)B=ADf(θ)B
1/ 2 i / 2 0 cos sin 0 1/ 2 1/ 2 0
1/ 2 i / 2 0 sin cos 0 i / 2 i / 2 0
0
0 10
0 10
01
e e 1/ 2 i / 2 0 i / 2
i / 2 0
l 1 k 1 i1
把这个结果与方程（6-2.7）比较，并回顾三个矩 阵的相乘规则的方程得到：
nn
Dlgj (R)
Alk Dkfi (R)Bij
k 1 i1
或者
Dg(R)=ADf(R)B
或者，由于A=B-1，
Dg(R)=B-1Df(R)B (6-2.8)
或
Df(R)=A-1Dg(R)A (6-2.9)
p1
( p' 1
p2' ) /
2
p2 i( p1' p2' ) / 2
p3 p3'
p1' ( p1 p2 ) / 2 p2' ( p1 ip2 ) / 2
p3' p3
因此，使用前节的表示法：
1/ 2 i / 2 0
1/ 2 1/ 2 0
A 1/ 2 i / 2 0 B i/ 2 i/ 2 0
1 2 3
相同或等价的不可约表示，常常不止出现一次，于 是，我们可以写成：
11 22(6-5.5)
其中 是 或者是它的等价表示在 中出现的次 数，而 是不等价的和不可约的表示。
作为等价表示的一个例子，我们将考虑p轨 道函数空间。这个空间可以用三个实p轨道： p1,p2,p3(通常写做px,py,pz)来描述。我们称这些轨 道为f基。另一方面，我们可以取三个复p轨道 p1',p2',p3'（通常写做p1, p-1,p0）,我们称这些轨道 为g基。这两个函数集合，由下列方程加以联系：
群的定义——精选推荐
群的等价定义及证明风雷摘要：群是近世代数一门古老而丰富的分支，交换群在几何学扮演了很重要的角色，有限群建立了伽利略的方程理论，这两个领域为群的发展提供了原始动力.本文主要讨论群的定义，并证明了它们的等价性，我们的主要目的是通过群的定义而获得群的一些基本性质并为以后的学习打下坚实的基础，另外本文还举例说明了群的一些性质在编码中的应用.关键词:群；等价性；单位元；逆元1 引言近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系，即具有一些n 元运算的集合.代数系中最简单的是具有一个二元运算，本文主要论述的群就是这样的代数系，群是近世代数的一个重要分支，在自然科学的许多领域中都有应用，如在自动机理论中就用到半群和群，在信息安全与编码理论中就用到群.群只有一种代数运算，我们已经知道，一个代数运算用什么符号表示是可以有我们自由决定的，有时可以用“ ”，有时可以用“⋅”，在实际运用中，对于一个群的代数运算表示，为便利起见不用“ ”来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写 a b ，而写a b ⋅ ，因此我们不妨就把一个群的代数运算叫做乘法，当然一个群的乘法一般不是普通的乘法，下面主要就群的定义及其证明进行具体分析.2 群的第一定义设G 是一个非空集合，它对于一个叫作乘法的代数运算来说作成一个群，假如 ⅠG 对于这个乘法来说是闭的；Ⅱ 结合律成立：()()a bc ab c =对于的G 任意三个元素都成立;Ⅲ G 中有单位元素的存在，即存在元素e ，使的对于G 的每一元素a ，都有 ;ea ae a ==Ⅳ G 中元素有逆元，即对于G 的每一个元素a ，存在的G 元素1a -，使得11a a aa e --==.当群的运算“ ”满足交换律时，称(),G 为交换群，或阿贝尔群.例如，整数集Z 关于数的加法构成交换群(),G ，单位元是0，每一个数的逆元是它的负数，Z 关于数的乘法不够成群因为除了1,-1外的数没逆.例1 设G 为整数集，问：G 对运算4ab a b =++ 是否作成群？解：由于对任意整数显然4a b ++为由于惟一确定的整数，故Ⅰ成立.其次，有()(4)(4)48ab c a b ca b c a b c =++=++++=+++同理有()8a bc a b c =+++.因此，对G 中任意元素,,a b c 有 ()()ab c a bc =即Ⅱ成立.又因为对任意整数a 均有(4)(4)44a a a a -=-=-+=.即Ⅲ成立.最后，由于(8)(8)844a a a a a a --=--=--++=- 即Ⅳ成立.因此，整数集对代数运算“ ”作成一个群.例2 设 G ={1,-1,i,-i}，“。
Ch 17.1 群的定义与性质
习题分析
第三编 代数结构
2
广群，半群， 广群，半群，独异点与群
广群
二元运算 封闭性 结合律 交换律
半群
单位元 交换律
交换半群 交换半群
独异点
每个元可逆 交换律
交换独异点
实例
Klein四元群 四元群 循环群
群
有限个元素
Abel 群 有限群
生成元 实例
n元置换群 元置换群
3
第三编 代数结构
群的定义
定义17.1 设<G,*>是一个代数系统，其中 是非空 是一个代数系统， 定义 是一个代数系统 其中G是非空 集合， 是 上一个二元运算 上一个二元运算， 集合，*是G上一个二元运算，如果 (1) 运算 是封闭的 运算*是封闭的 (2) 运算 是可结合的 运算*是可结合的 (3) 存在幺元 (4) 对于每一个元素 ∈G，存在逆元 x-1 ∈G ， 对于每一个元素x∈ ， 则称<G,*>是一个群。 是一个群 则称 是一个
元素a 的阶 |a|：使得ak=e 成立的最小正整数k 元素 ：使得 成立的最小正整数 说明：有限群的元素都是有限阶，为群的阶的因子； 说明：有限群的元素都是有限阶，为群的阶的因子； 反之，元素都是有限阶的群不一定是有限群. 反之，元素都是有限阶的群不一定是有限群
第三编 代数结构
8
群的性质1 群的性质
第十七章 群
群的定义与性质 子群 循环群 变换群和置换群 群的分解 正规子群和商群 群的同态与同构 群的直积
第三编 代数结构
1
17.1 群的定义与性质
群的定义
定义与实例 等价定义 相关术语
群的性质
近世代数课件(全)--2-1 群的定义
3.群的乘法适合消去律：
ab ac b c
ba ca b c
ab ac a ab a ac
1
1
eb ec b c
2012-9-19
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中 1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
3.群的乘法适合消去律：
G
G
中有解.
证明： " " 半群
1
作成群 a , b G , ax b , ya b 有解
G
x a b G ; a , b G , ax b , ya b 都在 G 中有解. 取定 b G , yb b 有解，设为e： eb b a G , bx a 有解，设为c： bc a e a ebc ( eb ) c b c a 即有左单位元e 1 a G , ya e 有解，即存在左逆元 a 综上G是群.
对于数的普通乘法
做成交换群，称为正有理数乘群. 例3
G {全体整数}，对于运算
1 2
ab a
1
2
b
2 1 2 2
4
2 1 2 2
2
结合律不成立,不做成群.
2012-9-19
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算； （2）将群的代数运算叫做乘法，简记
ab ac b c
ba ca b c
4.单位元唯一；逆元唯一；
设
1
e, e '
都是单位元 ee ' e e '
由消去律 a
群论 群的等价表示
等价表示、表示的幺正性和不可约表示
一、标量函数的变换算符
1. 标量
●标量的概念是与变换相联系的，物理中常说的标量是
对三维空间的转动变换保持不变的量 ●一些物理量，如质量、温度等 在转动变换中保持不变，是标量
●标量用一个数字就可以完全描述
2. 标量场
●指标量的空间分布
●用标量函数ψ(x)来描写，它是空间坐标的函数
PR的矩阵形式做相似变换
PR D ( R)，PR D ( R)
6
PR D，PR D ( R)
X
PR PR X D X
PR D ( R) X D ( R)
说 明
两个等价表示维数相同；相似变换矩阵X也是同维非奇异矩阵 等价于同一表示的两个表示互相等价（传递性） 等价表示无实质上的区别（只是表现形式不同） 寻找群G所有表示的问题 寻找群G所有不等价表示问题
8
3. 判断两个表示是否等价的充要条件
对有限群，每个元素在两个表示中的特征标对应相等，即
( R) TrD( R) TrD ( R) ( R)
9
四、不可约表示
1. 准备知识
n维线性空间中，m个矢量及其所有线性组合构成m维 子空间： 线性空间，称为n维线性空间的子空间 两个平庸子空间： 零空间（m=0），全空间（m=n） 不变（真）子空间： 子空间的矢量关于线性算符不变 PR R=S∈V子 两个子空间直和： 设W和W'是线性空间V的子空间，若对任意x∈V，可找 到y∈W，z∈W'，并唯一的将x表示为 x=y+z，或 V=W+W'，W∩W'={Ο} 则称V是W和W'的直和，W和W'为互补子空间 记为V=W + W'
第二章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规子群与商群
第⼆章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规⼦群与商群群作为代数结构⾸先是⼀个集合，那么元素间可能有各种等价关系，这些等价关系给出了群的划分，也使群⾃⾝结构的特异性突出。
⼀、陪集 定义 设H是G的⼀个⼦群，a\in G，作集合aH=\{ax|x\in H\}，称aH是关于⼦群H的⼀个左陪集。
类似地，可定义右陪集Ha=\{xa|x\in H\}. 对于陪集，我们有如下性质: (i) aH中元素个数与H⼀样。
（重新排列定理） (ii) H本⾝也是H的⼀个陪集(eH, He). (iii) a在陪集aH中，称a为陪集aH的⼀个代表。
(iV) 设b\in aH，则有aH=bH. 即aH中任⼀元素，均可作aH的⼀个代表。
(V) 由此可以定义等价关系a,b\in G，若a^{-1}b\in H, 则a\sim b. 此等价关系给出G的⼀个划分 G=a_1H\cup a_2H\cup...\cup a_l H. 下⾯重点证明(iV)和(V)。
证明: (iV) 有b=ah,\, h\in H。
则对\forall h_i\in H，有ah_i=b(h^{-1}h_i). 即aH\subset bH. 同理，bh_i=a(hh_i)\in aH，即bH\subset aH. 故aH=bH. (V) ⾃反: a^{-1}a=e\in H\quad\Rightarrow a\sim a. 对称: a\sim b\quad\Rightarrow a^{-1}b\in H\quad\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\quad\Rightarrow b\sim a. 传递: a\sim b, b\sim c\quad\Rightarrow a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\quad\Rightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\inH\quad\Rightarrow a\sim c. 定义 群G中⼦群H的相异陪集个数称为H在G中的指数，记为(G:H). 定理2.3(Lagrange定理) n阶群G的⼦群H的阶m是n的⼀个因数。
[讲解]群的等价的定义及证明
![[讲解]群的等价的定义及证明](https://img.taocdn.com/s3/m/9f458d7326d3240c844769eae009581b6bd9bd16.png)
群的等价的定义及证明摘要：本文给出了群的几种等价定义，采用循环方式证明了它们的等价性，利用例题加深了对群的理解及应用。
关键词：群 集合 代数运算一．引言群是一个具有一种代数运算的代数系统，它有定义方法很多，比如：在不同问题的讨论中为了方便人们采用乘法，除法等不同运算形式来定义群，而这些定义是彼此等价的，下面给出采用乘法运算形式的群的定义。
二．正文1、定义定义1.群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足Ⅰ,封闭性,,.G c G b a ∈∃∈∀使cab = Ⅱ.结合性c ab bc a G c b a )()(,,,=∈∀Ⅲ.可解性G b a ∈∀,方程b ya b ax ==,在G 中有解定义2群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ.左单位元a ea G a G e =∈∀∈∃,,Ⅳ.左逆元ea a G a G a =∈∃∈∀--11,,定义3群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ右单位元G e ∈∃，a ae G a =∈∀,，Ⅳ.右逆元eaa G a G a =∈∃∈∀--11,,定义4.群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ左单位元a ea G a G e =∈∀∈∃,,，Ⅳ右逆元e aa G a G a =∈∃∈∀--11,,，Ⅴ.右消去律G c b a ∈∀,,，若cb ab =则c a =定义5.群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ右单位元a ae G a G e =∈∀∈∃,,，Ⅳ.左逆元e a a G a G a =∈∃∈∀--11,,，Ⅴ.左消去律G c b a ∈∀,,，若ac ab =则c b =定义6.群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ单位元a ea G a G e =∈∀∈∃,,，Ⅳ右逆元e aa G a G a =∈∃∈∀--11,,，Ⅴ右商不变性b b a a G b a 11,,--=∈∀定义7.群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ单位元a ae ea G a G e ==∈∀∈∃,,，Ⅳ.逆元ea a aa G a G a ==∈∃∈∀---111,,2.证明定义1⇒定义 2 Ⅲ由定义1中的ⅣG 中有无a 使得e aa =-1所以11111)()())((-----===aa a ea aa e aa aa 但e aa ea a a a a a aa aa ====------111111)(])[())((则e aa =-1取b a x 1-=，由ⅠG b a ∈-1又b eb b aa b a a ===--)()(11所以b ax =的解。
证明群的同构关系是等价关系
证明群的同构关系是等价关系好了，咱们今天来聊聊群的同构关系，还是挺有意思的。
我们知道，群是数学里的一个概念，别看它看上去像是个抽象的东西，其实它跟我们生活中的许多事情都能产生某种联系。
你想啊，群的结构就像是一个大舞台，里面有很多不同的角色，他们各自有各自的“台词”和规则。
但今天我们不讨论群是什么，而是聊聊群之间的同构关系，尤其是证明这个同构关系是等价关系这件事。
啥是等价关系呢？简言之，等价关系就是能够把某个集合分成若干个组，这些组里边的元素互相有关系，彼此“对等”。
而群的同构关系，也就是群之间的“亲戚关系”。
我们可以把同构想象成两个人虽然看起来不一样，实际上做的事完全一样，你说巧不巧？那么问题来了，群的同构关系是不是等价关系呢？换句话说，就是同构关系能不能像你小时候做的数学题那样，有“自反性”“对称性”和“传递性”？首先咱们得说，自反性。
这是啥意思呢？简单来说，如果群A和群B同构，那群A肯定也和群A自己同构，对吧？这就像你自己跟自己做朋友一样，亲密无间。
你是不是能直接看到，同构关系在这里，完全符合自反性原则。
要是群A和群B同构，那群A和群A也能同构。
是不是就像说“我和我自己都能合得来”？这根本没问题呀。
然后是对称性，哈哈，这个词听着有点高大上，但其实就是两个群之间的关系是不是能倒过来？如果群A同构于群B，那么群B肯定也同构于群A。
就是我们说的“你对我好，我就对你好”嘛，互相理解，彼此尊重。
咱们可以很轻松地看出来，如果群A和群B能在结构上找到一一对应的关系，那反过来，群B也能找到一一对应的关系和群A。
所以对称性这点也是没毛病的。
最后是传递性，这个有点像朋友圈效应——如果群A和群B同构，群B和群C同构，那么群A和群C也应该同构，简单点就是“关系传递”呗。
你想啊，如果A和B有关系，B和C也有关系，那么A和C肯定也能找到一种关联。
就像你朋友多了，自然能通过他认识更多的人，传递下去，最后发现你和另外一个人也有共同点。
群的基本概念.
论
（Group Theory）
群（Group）的概念开始于19世纪初叶。群论 （Group Theory）的早期发展归功于著名的数学家高斯 （Gauss）、柯西（Cauchy）、阿贝尔（Abel）、哈密 顿（Hamilton）、伽罗瓦（Galois）等。但是直到1925 年出现了量子力学之后，才发现它在物理学中许多应用。 贝特（Bethe）和维格纳（Wigner）等人很快认识到群论 在物理学中的应用，把这一新的工具用于计算原子结构和 光谱。利用群论方法，可以直接对体系的许多性质作出定 性的了解，可以简化复杂的计算，也可以预言物理过程的 发展趋向。目前在物理学和物理化学的许多分支中，群论 已经成为不可缺少的工具。
群元 。 1, 封闭性, 2, 结合律, AB = C （AA=D）
A(BC) = (AB)C
3, 单位元（不变元素）E, EA = AE = A 4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E , 单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） 由（1）和（2） E = E-1 2、 (A-1)-1 = A, 逆元之逆元为元素本身 证： (A-1)-1 = (A-1)-1 E= (A-1)-1 （A-1 A )=[(A-1)-1 A-1 ]A=EA=A 3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1 = (AB)-1 (AB) B-1A-1 = EB-1A-1 = B-1A-1
• 小时候，伽罗瓦并末表现出特殊的数学才 能，相反，他12岁进入巴黎的一所公文中 学后，还经常被老师斥为笨蛋。 • 伽罗瓦当然不是笨蛋，他性格偏执，对学 校死板的教育方式很不适应，渐渐地，他 对很多课程都失去了兴趣，学习成绩一直 很一般。
证明是群的方法
证明是群的方法
一个集合G配合一个运算*形成一个群的充要条件是满足以下十个条件：
1. 封闭性：对于群G中的任意两个元素a和b，它们的乘积ab仍然属于群G。
2. 结合性：对于群G中的任意三个元素a、b和c，它们的乘积(ab)c和a(bc)都相等。
3. 单位元：存在一个元素e，称为群G的单位元，对于群G中的任意元素a，有
ae=ea=a。
4. 逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素a^-1，称为a的逆元，使得
aa^-1=a^-1a=e。
5. 唯一性：群G的单位元和逆元是唯一的。
6. 建立性：对于群G中的任意两个元素a和b，在它们的乘积ab中，a在前b在后，如果a和b顺序反过来，其乘积ba将不同于ab。
7. 取消性：如果群G中的三个元素a、b和c满足ab=ac，则可从等式两边左乘a^-1，得到b=c。
8. 左消性：如果群G中的三个元素a、b和c满足ab=ac，则可从等式两边右乘b^-1，得到a=c。
9. 右消性：如果群G中的三个元素a、b和c满足ba=ca，则可从等式两边左乘b^-1，得到a=c。
10. 结合性与逆元的结合：群G的结合律与逆元形成的运算规律相容。
以上十个条件详细描述了一个集合与运算形成群的要求。
满足这些条件的集合与运算称为群，群是一种常见的代数结构，具有重要的数学应用。
群论群的等价表示(最全版)PTT文档
(x) R(x)(x)，标量场
3. 标量函数的变换算符PR
定义 P R， P R(x )(x )
PR是一个算符，把变换前的标量函数ψ变成新的标量函数ψ'
则 P R( x ) ( x ) ( x ) ( R 1 x )
（定义）（标量场）（x=R-1x'）
因为自变量要取遍定义域上所有的值，符号上用x'或x都一样
被用动标观 量点函：数注系ψ(统：x)和不ψ动特'(，x)描坐征写标变系标换转前动是后标类量场的的分函布 数，同类中的元素表示矩阵的特征标相 等，这样，只需从每类元素中选出一个元素，检验它们在两 等价表示无实质上的区别（只是表现形式不同）
若群G所有元素R在两个表示D(G)和D(G)中表示矩阵存在同一相似变换关系，即
正则表示空间：即是群代数
基：表示空间中基的选择不唯一
当一组基做线性组合时 X
PR的矩阵形式做相似变换
P R D ( R ) ， P R D (R )
X
P R D ， P R D ( R )
PR PR X
D X
PR D(R) XD (R)
X
3）ψ 与 PRψ=ψ' 是两种不同的函数形式 上式给出了这两个函数值上的联系
PR作用在ψ上变成新的函数ψ'
再做S变换时，PS作用在ψ'上，即
P S [ P R ( x ) P S ] ( x ) ( S 1 x ) P R ( S 1 x ) ( R 1 S 1 x )
而不是
据 P ( ： x ) ( R x ) ( x ) D ( R ) 如：在给定的不变函数空间中，线性变换群PG作用在ψμ(x)上，R 得到 一个线性表示 ，这个线性函数空间就是表 示空间
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群的七个等价定义及证明
群是数学抽象概念的典型之一，在代数数论、几何学、拓扑学等领域有着广泛的应用。
把群的定义、相关的概念全面而深入地理解以及熟练掌握群的性质，对于理解和研究其他抽象数学概念和结构有着重要的作用。
定义一个群的时候，我们会规定它的元素、运算。
但给定一个群G，还可以用七种不同的定义来确定它是否是一个群，而这七种定义就是群的七等价定义，它们之间彼此等价，即只要一个非空集合满足其中的任何一种定义，就是一个群。
这七种定义包括：
（1）结合律：对于任意的a、b、c∈G，有a（bc）＝（ab）c （2）可逆性：G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，对于任意的a∈G，G中存在一个元素a^(-1)，使得aa^(-1) = a^(-1)a = e
（3）封闭性：对于任意a、b∈G，有ab∈G
（4）分配律：对于任意的a、b、c∈G，有（ab）c = a（bc）（5）单位元：G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，其中a∈G
（6）可消性：对于任意的a、b∈G，如果ab = e，则a = b = e （7）交换律：对于任意的a、b∈G，有ab = ba
现在我们来证明这七等价定义。
首先，由定义（1）中的结合律可知有ab∈G，所以定义（3）封闭性得证。
其次，由定义（3）封闭性可知a、b∈G，有ab∈G。
由定义（2）
可知存在a^(-1)∈G，使得aa^(-1) = a^(-1)a = e，从而aba^(-1) = ae = a，即b = aa^(-1) = a^(-1)，所以定义（2）可逆性得证。
同理，由定义（3）封闭性可知有ab、c∈G，由定义（4）可知（ab）c = a（bc），所以定义（4）分配律得证。
根据定义（1）、（2）、（3），群G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，所以定义（5）单位元得证。
此外，由定义（5）单位元可知存在单位元e∈G，使得ae = ea = a，若ab = e，有a = ae = ab，所以a = b，即ab = e时，必有a = b = e，所以定义（6）可消性得证。
最后，由定义（3）封闭性可知a、b∈G，有ab∈G，由定义（1）结合律可知ab = ba，所以定义（7）交换律得证。
总之，以上的证明表明，只要一个非空集合满足上述的七种定义中的任何一种，就可以确定它是一个群，即群的七等价定义成立。
从上述的证明过程可以看出，群的定义和性质是相互联系的，七等价定义有着一致的内在结构。
同时，群的七等价定义也是构成群功能特征的基础，它们既定义了群，又反映了群的本质。
另外，七等价定义不仅是判断是否满足群功能特征的一种技术方法，而且也可以帮助我们深入理解群的性质。
综上所述，群的七等价定义是对群的本质和功能特征的一种抽象体现，是表示、理解群的有效工具。
群的七等价定义除了是判断是否满足群功能特征的一种技术方法，还可以应用于其他抽象数学概念和结构的研究与理解。