群的七个等价定义及证明

群的七个等价定义及证明

群是数学抽象概念的典型之一，在代数数论、几何学、拓扑学等领域有着广泛的应用。把群的定义、相关的概念全面而深入地理解以及熟练掌握群的性质，对于理解和研究其他抽象数学概念和结构有着重要的作用。

定义一个群的时候，我们会规定它的元素、运算。但给定一个群G，还可以用七种不同的定义来确定它是否是一个群，而这七种定义就是群的七等价定义，它们之间彼此等价，即只要一个非空集合满足其中的任何一种定义，就是一个群。这七种定义包括：

（1）结合律：对于任意的a、b、c∈G，有a（bc）＝（ab）c （2）可逆性：G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，对于任意的a∈G，G中存在一个元素a^(-1)，使得aa^(-1) = a^(-1)a = e

（3）封闭性：对于任意a、b∈G，有ab∈G

（4）分配律：对于任意的a、b、c∈G，有（ab）c = a（bc）（5）单位元：G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，其中a∈G

（6）可消性：对于任意的a、b∈G，如果ab = e，则a = b = e （7）交换律：对于任意的a、b∈G，有ab = ba

现在我们来证明这七等价定义。首先，由定义（1）中的结合律可知有ab∈G，所以定义（3）封闭性得证。

其次，由定义（3）封闭性可知a、b∈G，有ab∈G。由定义（2）

可知存在a^(-1)∈G，使得aa^(-1) = a^(-1)a = e，从而aba^(-1) = ae = a，即b = aa^(-1) = a^(-1)，所以定义（2）可逆性得证。

同理，由定义（3）封闭性可知有ab、c∈G，由定义（4）可知（ab）c = a（bc），所以定义（4）分配律得证。

根据定义（1）、（2）、（3），群G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，所以定义（5）单位元得证。

此外，由定义（5）单位元可知存在单位元e∈G，使得ae = ea = a，若ab = e，有a = ae = ab，所以a = b，即ab = e时，必有a = b = e，所以定义（6）可消性得证。

最后，由定义（3）封闭性可知a、b∈G，有ab∈G，由定义（1）结合律可知ab = ba，所以定义（7）交换律得证。

总之，以上的证明表明，只要一个非空集合满足上述的七种定义中的任何一种，就可以确定它是一个群，即群的七等价定义成立。

从上述的证明过程可以看出，群的定义和性质是相互联系的，七等价定义有着一致的内在结构。同时，群的七等价定义也是构成群功能特征的基础，它们既定义了群，又反映了群的本质。另外，七等价定义不仅是判断是否满足群功能特征的一种技术方法，而且也可以帮助我们深入理解群的性质。

综上所述，群的七等价定义是对群的本质和功能特征的一种抽象体现，是表示、理解群的有效工具。群的七等价定义除了是判断是否满足群功能特征的一种技术方法，还可以应用于其他抽象数学概念和结构的研究与理解。