用向量法解立体几何

y
k i A(x,y,z)
O j x z 空间向量与立体几何
一．空间向量
1、空间直角坐标系：
〔1〕假如空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；
〔2〕在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建
立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。

〔3〕作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=〔或45〕，90yOz ∠=；
〔4〕在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系
2、空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量a ,设,,i j k 为坐标向量,如此存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ,使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．
在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯
一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组
(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记
作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．
3、空间向量的直角坐标运算律
〔1〕假如123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，
如此112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，
123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，
〔2〕假如111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，如此212121(,,)AB x x y y z z =---．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，如此AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0 特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

〔1〕设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即b a ⋅＝><b a b a ,cos ||||
〔2〕夹角：21cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+． 〔3〕运算律
a b b a ⋅=⋅；)()(a b b a ⋅=⋅λλ；c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(
〔4〕模长公式：假如123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 如此21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+
〔5〕两点间的距离公式：假如111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，如此 2||(AB AB x ==或
,A B d =
〔6〕00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x b a b a
二．空间向量与立体几何
1、直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行〔或共线〕的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
〔1〕定义：所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．
〔2〕平面法向量的求法
假如要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
①设出平面的法向量为(,,)n x y z =．
②、找出〔求出〕平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==
③、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组
④、解方程组，取其中一个解，即得法向量
〔一〕、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系
1、用向量方法证明空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
(1)线线平行 设直线
的方向向量分别是、，如此要证明，只需证明，即
⑵线面平行
直线的方向向量是，平面的法向量是，如此要证明//l α，只需证明⊥a n ，即0⋅=a n . ⑶面面平行
假如能求出平面α、β的法向量u 、v ，如此要证明α//β，只需证明u // v
⒉用向量方法证明空间中的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
⑴线线垂直 设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，如此要证明l 1⊥ l 2，只需证明a ⊥b ，即0a b ⋅= ⑵线面垂直
设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，如此要证l ⊥α，只需证明a // u ⑶面面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直．
【考点归纳分析】
空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.
例1〔2010 某某理18〕在正方体1111ABCD A BC D -，E 是棱1DD 的中点。

在棱11C D 上是否存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ?证明你的结论。

审题要津：此题坐标系易建立，可用向量法求解.
解析：以A 为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长
为2，如此B(2,0,0),E(0,2,1),1A (0,0,2),1B (2,0,2)，
∴BE =(－2,2,1),1BA =〔－2，0，2〕，
设面1BEA 的法向量为m =〔x ，y ，z 〕，如此
BE •m =22x y z -++=0且1BA •m =22x z +=0，取x =1，如此z =－1，y =
32，∴m =〔1，32
，－1〕, 假设在棱11C D 上存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ，设F(0x ，2，2)〔0≤0x ≤2〕, 如此BF =〔02x -，2，2〕， 如此BF •m =031(2)2(1)22
x ⨯-+
⨯+-⨯=0， 解得0x =1， ∴当F 为11C D 中点时，1B F ∥平面1A BE .
【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：〔1〕用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；〔2〕求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，假如方程有解，如此存在，否如此不存在.注意，〔1〕设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的X 围.
例2在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，在底面ABC 中ABC ∠=090,D 是BC 上一点，且1A B ∥面1AC D ，1D 为11B C 的中点，求证：面11
A BD ∥面1AC D .
审题要津：此题的坐标系容易建立，可用向量法.
解析：以B 点为原点，如图建立坐标系，设AB=a ，BC=2b ，1BB =c ，如此A 〔a ,0,0〕，1C (0，2b ，c )，1B (0,0,c )，1A (a ，0，c )， ∴1D (0，b ，c )，设D(0，0y ，0)〔0≤
0y ≤2b 〕
， ∴AD =(－a ，0y ，0)，1AC =(－a ，2b ，c )，1BA =(a ，0，c )，1BD =〔0，b ，c 〕， 设面1AC D 的法向量为m =(1x ，1y ，1z )，如此AD •m =101ax y y -+=0且
1AC •m =1112ax by cz -++=0，取1y =a ，如此1x =0y ，1z =
02ay ab c -， 如此m =〔0y ，a ，
02ay ab c -〕， 又∵1A B ∥面1AC D ， ∴1BA •m =002ay ab ay c c -+⨯=0，解得0y =b ， ∴m =〔b ，a ，ab c
-〕， 设面11A BD 的法向量为n =(2x ,2y ,2z ),如此1BA •n =22ax cz +=0且1BD •n =22by cz +=0，
取2z =1，如此2x =c a -，2y =c b -，如此n =(c a -，c b
-，1)， ∴n =c ab
-m ， ∴m ∥n ， ∴面11A BD ∥面1AC D . 【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路，〔1〕利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；〔2〕求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，如此这两个面就平行.
利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一局部，或解答题的某个环节，题目容易，是高考中的重要得分点.
例1(2010某某理19〕〕三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ；
审题要津：此题空间坐标系易建立，可用坐标法.
证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为
x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图，如此P 〔0,0,1〕，
C 〔0,1,0〕，B 〔2,0,0〕，M 〔1,0,12〕，N 〔12,0,0〕，S 〔1,12
,0〕 111(1,1,),(,,0)222
CM SN =-=--, 因为110022
CM SN •=-++=， 所以CM ⊥SN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定〔证明〕问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.
例2(2010某某理19) 在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、
F 分别是棱BC ,1CC 上的点，CF =AB =2CE , 1::AB AD AA
=1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED
审题要津：此题空间坐标系易建立，可用坐标法.
解析：如下列图，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,
依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F , 1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
(1,2,1)AF =,131,,42EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,
AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂= 所以AF ⊥平面1A ED
【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量
法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向
量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平
面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.
例 3 〔2010年某某文〕在如下列图的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.求证：平面EFG ⊥平面PDC .
审题要津：此题空间坐标系易建立，可用坐标法.
解析：以A 为原点，向量DA ,AB ,AM 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，如此AD=AB=PD=2,如此B(0,2,0),C (－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2), M(0,0,1),如此E(0,1,12
),G(－1,1,1),F(－2,1,1)， ∴EG =(-1,0,12
),GF =(－1,0,0),设平面EFG 的法向量m =〔x ，y ，z 〕，如此 EG •m =12x z -+
=0且GF •m =x -=0，取y =1，如此x =z =0，∴m =〔0，1,0〕, 易证面PDC 的法向量为DA =(2,0,0), ∵DA •m =200100⨯+⨯+⨯=0,
∴m ⊥DA , ∴平面EFG ⊥平面PDC
【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.
典型例题：
1.如下列图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。

(1)求证：BM ∥平面PAD ；
(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ；
(3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

2、一个多面体的直观图和三视图如下列图，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点.〔1〕求证：;AC GN ⊥〔2〕当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC,并给出证明.
ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点，求证：
〔1〕D 1O//平面A 1BC 1;〔2〕D 1O ⊥平面MAC .
．
4.如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD
⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点．
(I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ； (II) 求证：BE//平面PAD ．
5.如下列图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面
A
B C
D E
P
ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在侧面PAD内找一点N，使MN 平面PBD；
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

〔二〕、向量法求异面直线夹角〔〕
1.定义法：将直线平移到同一平面来求夹角
异面直线夹角的大小可以通过这两条异面直线的方向向量的夹角来求，假如设两条异面直线所成的角为，它们的方向向量的夹角为，如此或
设两异面直线的方向向量为，，用夹角公式
〔三〕．向量法求直线与平面所成的角〔〕
直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角，其X围是。

1.定义法：将直线投影到平面上，直线和投影线的夹角就是直线和平面的夹角，一般放在三角形中，利用余弦定理来求，或者在直角三角形中求。

直线和平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量求得。

假如设直线与平面所成的角为，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，如此有
〔四〕．向量法求平面与平面的夹角〔〕
平面内的一条直线把平面分为两局部，其中的每一局部都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角〔这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面).
以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

1.定义法 在棱上取一点A ，然后在两个平面内分别作过棱上A 点的垂线。

2.向量法 两个平面的大小就是指二面角的平面角的大小，其X 围是，二面角的平
面角的大小〔或其补角的大小〕可以通过两个面的法向量的夹角求得。

设1n 、2n 是二面角l αβ--的两个角α、β的法向量，如此向量1n 与2n 的夹角〔或其补角〕就是二面角的平面角的大小.
〔五〕.向量法求立体几何中的距离
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，如此点B 到平面α|
|n ②.异面直线间的距离 n
n CD d •=
(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是
12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).
考点3利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题
异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点，常与探索性问题、平行问题、垂直等问题结合，重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度为中档难度.
例6(2010某某理19) 在长方体1111ABCD A BC D -中，
E 、
F 分别是棱BC ,1CC
上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA =〔1〕求异面直线EF 与
1A D 所成角的余弦值；
〔2〕求二面角1A ED F --的正弦值。

审题要津：此题坐标系易建立，可以向量法.
解析：如下列图，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得
(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫
⎪⎝⎭
(1)证明：易得10,
,12EF ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭,1(0,2,4)A D =-,于是1113cos ,5EF A D EF A D EF A D
=
=-, 所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为
3
5
(2)解：设平面EFD 的法向量n =(,,)x y z ，如此EF •n =
1
2
y z +=0且ED •n =1
2
x y -+
=0， 不妨令x =1,可得n =(1,2,－1), 设平面1A ED 的法向量m =〔
m ，n ，p 〕如此ED •m =12
m n -+=0且
1DA •m =24n p -+=0，
取p =1,如此n =2，m =1，如此m =〔1,2,1〕
于是2cos ,=
=
|3•n m n m n ||m |
，从而sin ,n m ，
所以二面角1A -ED-F 【点评】〔1〕对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为m 、n ，在求出m 、n 的夹角，设两异面直线的夹角θ，利用cos θ=|cos |m,n 求出异面直线的夹角，注意：〔1〕异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面角l αβ--的大小问题，先求出平面α、β的法向量m 、n ，再求出m 、n 的夹角，在α内取一点A ，在β内取一点B ，设二面角l αβ--大小为θ，假如AB •n 与AB •m 同号，如此θ=m,n ，假如AB •n 与
AB •m 异号，如此θ=π-m,n ，注意二面角大小与法向量夹角的关系.
例7〔2010全国卷I 理7〕正方体
ABCD-1111A B C D 中，B 1
B 与平面A
C 1
D 所成角的余弦值为
A
2
3
B 33
C 23
D 63
审题要津：此题是正方体中的线面关系问题，可用空间向量法求解.
解析：如图建立坐标系，设正方体棱长为1，1BB 与面1ACD 的夹角为θ，如此D(0,0,0),C(0,1,0)，B(1,1,0),A(1,0,0),1D (0,0,1),1B (1,1,1), ∴AC =〔－1，1,0〕，1AD =(－1,0,1),1BB =(0,0,1),
设面1ACD 的法向量n =〔x ，y ，z 〕，如此0=AC •n =x y -+且0=1AD •n =x z -+，取x =1，如此y =1，z =1， ∴n =〔1,1,1〕，∴sin θ=11||||BB BB ••n |n |=33
，∴cos θ=6
3，
应当选D.
【点评】对于线面夹角问题，假如容易建立坐标系，如此常用坐标法，建立坐标系，求出线面夹角问题中三位直线的方向向量m 和平面法向量n ，设线面角为θ，如此直线方向向量
m 在平面法向量n 方向上的投影的长度
|•|m n |n |与直线方向向量m 的模之|m |比||•|m n |
m |n |
就是线面夹角的正弦值，即sin θ=
||•|m n |m |n |
.
典型例题：
1、如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点
〔Ⅰ〕证明：直线MN OCD
平面‖；〔Ⅱ〕求异面直线AB 与MD 所成角M O
的大小；〔3
π〕 〔Ⅲ〕求点B 到平面OCD 的距离。

〔2
3〕
2.如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且
AC BC a ==，π02VDC θθ⎛
⎫=<< ⎪⎝
⎭∠．
〔I 〕求证：平面VAB ⊥平面VCD ；
〔II 〕试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π
6
．
3、如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SA 底面ABCD ，E 是SC 上一点． 〔1〕求证：平面⊥EBD 平面SAC ；
〔2〕设4=SA ，2=AB ，求点A 到平面SBD 的距离；
3
4 点评：求点到面的距离,经常采用等体积法,利用同一个几何体,体积相等，表现了转化思想．
Ｄ
E
D B
A
S
4.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=，
点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC 〔Ⅰ〕求证：BC ⊥平面PAC ；
〔Ⅱ〕当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小； 〔Ⅲ〕是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由.
5.如下列图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两 两夹角为60°. (1)求AC 1的长；〔2〕求BD 1与AC 夹角的余弦值.( 6
6
)。