八年级数学下册 第四章 平行四边形课件 (新版)浙教版

解：连结AC ∵正方形ABCD， ∴ AC 2AD，∠ACF=45°，
∠ECF=90° ∴∠ACE=∠ACF+∠ECF=135°
又∵CE= 2AD
∴CE=CA ∴∠E=∠CAF=（180－∠ACE÷2
=22.5° ∴∠BFE=∠E+∠ECF=112.5°
例4. 已知：如图，正方形ABCD中，Q在CD 上，且DQ=QC，P在BC上且AP=CD+CP， 求证：AQ平分∠DAP
AAAAAAAAAAA
D D D D DDDDDD D
B
C CCCCCCCCCC
（3）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形是 全等形；
②中心对称图形的对称 点的连线通过对称中 心，并且被对称中心 平分。
【典型例题】
例1. 已知如图，在正方形ABCD的边CD上取一 点E，延长BC到F，使CF=CE，连结DF，BE并 延长交DF于G，求证：BG⊥DF
矩形
边
对边平行 且相等
对边平行 且相等
角
对角线
对称性
对角相等
两条对角线互相平分 中心对称
四个角 都是直角
两条对角线互相平分且相等 轴对称 中心对称
菱形
对边平行，四 条边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分， 轴对称 每条对角线平分一组对角 中心对称
对边平行，
正方形 四条边
都相等
四个角 都是直角
等腰梯形
分析：由已知AP=CD+CP，可用截长补短法添辅助 线，即延长PC到E，使CE=CD，即可得证。
证明：延长AQ交BC的延长线于E ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=CD，AD∥BC，CD⊥BC，∠D=90° ∴∠D=∠ECD=90°
又∵DQ=CQ，∠1=∠2， ∴△ADQ≌△ECD ∴AD=EC，∠EAD=∠E
又∵CF⊥BE，∠OCG=∠FCE ∴∠OGC=∠CEB 又∵OC=OB ∴Rt△OBE≌Rt△OCG ∴OE=OG
例3. 如图，四边形ABCD是正方形，延长DC到 点E，使CE= 2AD ，连结AE交BC于F，求 ∠BFE的度数。
分析：由已知CE= 2AD ，易联想到对角线 AC= 2AD ，故连结AC，从而得到等腰三角形 ACE。
平行四边形、矩形、菱形、正方形
复习
重点： （1）正方形的性质：
①正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平 分，每一组对角线平分一组对角。
③正方形的两条对角线把正方形分成四个全等 的等腰直角三角形。
（2）四个特殊四边形的关系：
二、几种特殊四边形的性质
平行 四边形
分析：由已知CF=CE，再结合 正方形的性质，容易证明 △BCE≌△DCF，从而得到 ∠BGF=90°
例2. 已知：如图，正方形ABCD的对角线交于 点 O ， E 是 OA 上 任 一 点 ， CF⊥BE 于 F ， CF 交 DB于G，求证：OE=OG。
证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴AC⊥BD，
A M E N E E N F M A
E
D
平 行 四 边 形 M F N E
14 M
5 N
2
6
两底平行， 两腰相等
同一底上的 两个角相等
两条对角线互相垂直平分 且相等，每条对角线平分 一组对角
轴对称 中心对称
两条对角线相等
轴对称
三、特殊四边形的常用判定方法
平行 （1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）两组对角 四边形 分别相等；（4）两条对角线互相平分；（5）一组对边平行且相等。
（1）有三个角是直角；（2）是平行四边形，并且有一个角是直角；
矩 形 （3）是平行四边形，并且两条对角线相等。
菱形
（1）四条边都相等；（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等； （3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直。
正方形 （1）是矩形，并且有一组邻边相等；
（2）是菱形，并且有一个角是直角。
等 腰 （1）是梯形，并且同一底上的两个角相等； 梯 形 （2）是梯形，并且两条对角线相等。
3、已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，
BM⊥AC，DN⊥AC，求证：四边形DNBM
为平行四边形
D
C
证：
M2
1N
A
B
平 行 四 边 形 ABCD A AD D//B BC C12


BD M N A AC C DNABMC90
A D N B C M D NB M B D M N A A C C D N//B M 平 行 四 边 形 D N B M
又∵AP=PC+CD， ∴AP=PE ∴∠PAQ=∠E，∠DAQ=∠PAQ ∴AQ平分∠DAP。
练习：
1、已知：平行四边形ABCD中，M，N分别为
OA、OC的中点。
A
D
M
求证：BM// DN
ON
B
C
证：连结BD交AC于O，连结MD、NB
平 行 四 边 形 B M D N B M //D N
四、对角线与特殊四边形的关系
1.对角线互相平分的四边形是平行四边形
A
D DD DDDDD D
B
2.对角线相等的平行四边形是矩形
AAAAAAA AA
C
DDDDDDDDD
BB
CCC
3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
DDDDDDDDDDD
B
CCCCCCCCCCC
4.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
4、 已知：平行四边形ABCD，AM⊥BD， CN⊥BD，E、F分别为AD、BC中点。求证： 四边形MFNE为平行四边形。
A
E
D
14
5
M
N
2
6
3
B
F
C
证：
由题易证△ABM≌△DCN AM=NC
∠1=∠2
∠4=∠3
平行四边形ABCD ∠BAD=∠BCD
AD=BC AE=CF
E、F 分别为AD、BC 中点
2、 已知：E、F、G、H分别为平行四边形
ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且
AE=CG，BF=DH，求证：四边形EFGH
为平行四边形。
A
HD
证明：
E
G
平行四边形ABCDBAFDADBCHCAHCF
B
F
C
AE CG


A E H C G 同 F 理 E H E F F H G G 平 行 四 边 形 E F G H