【名师原创 全国通用】2014-2015学年高三寒假作业 数学(四)含答案

【原创】高三数学寒假作业（四）
一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则U P =
ð
（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)
(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞
2.已知1,0≠>a a ，x
a x x f -=2)(，当)1,1(-∈x 时，均有2
1
)(<
x f ，则实数a 的取 值范围是（ ）
Ａ.[)∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛
，，2210 Ｂ.(]2,1121⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡， Ｃ.[)∞+⋃⎥⎦
⎤ ⎝
⎛，，4410 Ｄ.(]4,1141⋃⎪⎭
⎫⎢⎣⎡，
3.若函数f(x)=e x
(x ≤0)的反函数为y=f -1
(x),则函数y=f -1
(2x─1)的定义域为( )
(A)(0,1] (B)(-1,1] (C)(-∞,
12
] (D)(
1
2
,1] 4.已知整数数列{}n a 共5项，其中51,4a a ==，且对任意14i ≤≤都有12i i a a +-≤，则符合条件的数列个数为（ ）
A ．24
B ．36
C ．48
D ．52
5.若3sin()5πα+=
，α是第三象限的角，则
sin
cos
22sin cos 22
πα
πα
παπα++-=--- （ ） A ．
12 B ．1
2
- C ．2 D ．2- 6.如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===，用,a b 表示AD ，则AD =（ ）
A ．34a b +
B ．1344a b +
C ．1144a b +
D ．3144
a b +
7. 已知,x y 满足不等式420,
280,2,
x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
设y z x =，则z 的最大值与最小值的差为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
8.抛物线2
2y x =上两点1122(x ,y ),(x ,y )A B 关于直线y x m =+对称,且121
x x 2
=-,则m =（ ） A ．
32 B ．2 C ．5
2
D ．3 9.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2
分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
23，乙在每局中获胜的概率为1
3
，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为（ ▲ ）。

A ．
241
81
B ．
266
81
C ．
274
81
D ．670243
二、填空题
10.已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =_____.
11.若连续掷两此骰子，第一次掷得的点数为m ，第二次掷得的点数为你n ，则点（m,n ）落在圆
1622=+y x 内的概率是_________.
12.理：设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a . 13.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若51020a a +=，则20
10
S S 的值是
三、计算题
14.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，4b =，2
B A π
=
+．
（1）求cos B 的值； （2）求sin2sin A C +的值． 15.
（本题满分14分）
如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点． （1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．
16.（本题满分12分）
已知函数2()x f x e x a =-+，x ∈R 的图像在点0x =处的切线为y bx =．（2.7182e ≈）.
（1）求函数()f x 的解析式；
（理科）（2）若k ∈Z ，且21()(352)02
f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值.
（文科）（2）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.
【原创】高三数学寒假作业（四）参考答案一、选择题
1~5 ABDDB 6~9 BAAB
二、填空题
10.1+ 2 i
11.2/9
12.256
28=
13.5 4
三、计算题
14.
（1）
3 cos
5
B=-；
（2）
24731 sin2sin
252525
A C
+=+=．
15.
证明（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG．
因为F为C1B的中点，所以FG
1
//
2
C1C．
在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A//C1C，且E为A1A的中点，
所以FG//EA．
所以四边形AEFG是平行四边形．
所以EF∥AG．………………………… 4分
因为EF平面ABC，AG平面ABC，
所以EF∥平面ABC．………………………… 6分
（2）因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，
所以A1A⊥BD．
因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC．
因为A1A∩AC＝A，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1．
因为C1E平面A1ACC1，所以BD⊥C1E．………………………… 9分
根据题意，可得EB＝C1E＝
2
，C1B AB，
所以EB2＋C1E2＝C1B2．从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB．……………………… 12分因为BD∩EB＝B，BD 平面BDE， EB平面BDE，
所以C1E⊥平面BDE．………………………… 14分16.
（1）2()x f x e x a =-+，()2x f x e x '=-.
由已知(0)101
(0)11
f a a f b b =+==-⎧⎧⇒⎨⎨'===⎩⎩， 2()1x f x e x =--.………………………4分
（理科）（2）21
()(352)02
f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，
215
1022x e x x k ⇔+
---≥对任意x ∈R 恒成立， 215
122x k e x x ⇔≤+--对任意x ∈R 恒成立. ………………………………………6分
令215()122x h x e x x =+--，5
()2
x h x e x '=+-，易知()h x '在R 上单调递增，
又3(0)02h '=-<，3
(1)02
h e '=->，1
21()202h e '=-<，
333
44
23777771() 2.56 1.6204444444
h e '=->-=-=>-=>， ∴ 存在唯一的013
(,)24
x ∈，使得0()0h x '=，………………………………………8分 且当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在0(,)x -∞单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，
02min 00015()()122x h x h x e x x ==+--，又0()0h x '=，即00502x e x +-=，005
2
x e x =-.
∴ 22
0000005151()1(73)2222h x x x x x x =-+--=-+，
∵ 013(,)24x ∈，∴ 0271()(,)328h x ∈--.215
122x k e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立，
0()k h x ⇔≤，又k ∈Z ，∴ max 1k =-.………………………………………12分
（文科）（2）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立()
f x k x
⇔>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，令()
(),0f x g x x x
=
>， ∴ 2222
()()(2)(1)(1)(1)
()x x x xf x f x x e x e x x e x g x x x x '--------'===
. 易证：当(0,)x ∈+∞时，10x e x -->恒成立，………………………8分
令()0g x '>，得1x >；()0g x '<，得01x <<.
∴ ()g x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).min ()(1)0g x g ==.
∴ min ()(1)0k g x g <==，∴ 实数k 的取值范围为(,0)-∞.………………12分。