等腰三角形的存在性问题解题策略

2021年第08期326
教学管理
等腰三角形的存在性问题解题策略
杨柳
存在性问题一直都是中考数学里高频率题型，这类试题的综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求比较高，有较强的区分度，因此存在性问题是中考数学中的的重点和难点问题。

学习此类问题，我们通常由等腰三角形的存在性问题入手，渗透分类讨论、数形结合、方程等数学思想。

题目的基本模型:是否存在某点，使以某三点为顶点的三角形是等腰三角形。

解题攻略：几何法和代数法。

一、几何法步骤：分类、画图、列方程。

分类的方法：按顶点分类、按腰分类、按底分类，根据不同的题目要求，选择合适的分类方法可以使后面两步更简略。

画图方法：利用两圆一线法。

列方程求解：根据题目背景条件，利用数形结合思想，列方程求解。

二、代数法步骤：用数或式子表示三条边、分类列方程、检验。

根据题目背景条件，表示出三条边的长度，按腰相等分类列出方程求解，但可能出现三点共线或者负数解等情况，所以需要检验。

这类题目解法的一般思路是假设存在、推理论证、得出结论。

若能找出合理的结果，就能做出存在的判断，导出矛盾，就能得出不存在的判断。

下面举例说明这类问题的解法。

例1：如图，在直线l上有一点A，直线l外有一点B，在直线l上再找一个点C，使得△ABC为等腰三角形。

这样的点C能找到 个。

【解析】解：
这样的点C能找到4个。

变型1-1：
如图，在6×6的网格中，A，B两点都在小
方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，
使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个
D．8个
【解析】解： 可找出格点点C的个数有8个；
使△ABC是等腰三角形，
这样的格点C有8个。

故选：D。

变型1-2：（平面直角坐标系条件下）
如图，在将平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,2），在x轴上找一个点P，使得△OAP为等三角形。

点P的坐标为 。

【解析】解：我们可以通过顶点分类后，利用两圆一线的方法找到点P后，再计算。

首先计算出OA= ，
①以点O为顶点，可得PO=OA= ，则P（- ，0）或P（ ，0）；
②以点A为顶点，可得PA=OA，利用轴对称关系，则P（4，0）；
③以点P为顶点，可得PO=PA，OA与x轴是45°，△OAP为等腰直角三角形，则P（2，0） 。

几何法可以快速找到目标，利用数形结
合，使计算更简单。

例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，
∠B＝42°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝42°，DE交线段AB于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠CDA的度数是 ．
【解析】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝42°，按腰分类：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED，根据外角关系得到∠AED＞∠B
∵∠B=∠ADE＝42°，∴∠AED＞∠ADE，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝ （180°﹣42°）＝69°，∴在△ABD中，∠CDA＝∠B+∠DAE ＝42°+69°＝111°；③当EA＝ED时，即∠ADE＝∠DAE＝42°，∴在△ABD中，∠CDA＝∠B+∠DAE＝42°+42°＝84°；综上所述，当△ADE是等
腰三角形时，∠CDA的度数是111°或84°。

例3：如图，在△ABC中，∠A＝45°，
AB＝3cm，AC＝5cm，点P从点B出发以每
秒1cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是 秒．【解析】解：设运动的时间为t，则AP＝3﹣t，AQ=2t。

按腰分类：
①当AP＝AQ时，3﹣t=2t，得t=1；②当AP＝PQ时，∠A＝45°，△APQ是等腰直角三角形，由勾股定理（3﹣t）2+（3﹣t）2＝（2t）2,得t= 、t= （舍去）；③当AQ＝PQ时，∠A＝45°，△APQ是等腰直角三角形，由勾股定理（2t）2+（2t）2＝（3-t）2,得t= ,t= （舍去）。

综上所述，运动时间为1秒或 秒或 秒。

代数法不需要画三种情况的示意图，但
是计算量比较大，而且要进行检验。

例4：（函数背景下的等腰三角形存在
性问题）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的
图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于
点C，D为抛物线的顶点．在其对称轴上是
否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若
存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴的交点C（0，3），顶点D（1，4），对称轴x=1．设点P（1，m）∴CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，PD2＝（m﹣4）2,PC2＝（0﹣1）2+（3﹣m）2=m2-6m+10
分情况讨论：①若PD＝PC，即PD2＝PC2，，m2-6m+10=（m ﹣4）2，解得m=3,即点P坐标为（1，3）；
②若PD＝DC，即PD2＝DC2，m2-6m+10=2,解得m=2或4,即点P坐标为（1，2）、（1，4）（舍去）；
③若PC＝DC，即PC2＝DC2，（m﹣4）2=2,解得m= 或 ,即点P坐标为（ ）、（ ）；
∴符合条件的点P坐标为（1，3）或（1，2）或（ ）或（ ）。

遵义市第一初级中学，贵州遵义563000
摘 要：等腰三角形存在性问题是中考数学中高频率考题。

此类问题将利用分类讨论、数形结合、方程思想来解答。

通过介绍几何法和代数法，解决等腰三角形的存在性问题。

关键词：
等腰三角形；存在性；分类。