高中数学必修四(人教B版)练习：第三章 三角恒等变换3.1.1 Word版含解析

第三章 3.1 3.1.1
一、选择题
1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12
C ．
3
2
D ．－12
[答案] A
[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.
2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形
[答案] D
[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，
∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．
3．下列结论中，错误的是( )
A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
B ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
D ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B
[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)
＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．
4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )
A ．x ≥y
B ．x ≤y
C ．x >y
D ．x <y
[答案] C
[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π
2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .
5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B
[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .
6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝5
13，则cos C 等于( )
A ．－33
65
B ．33
65
C ．－6365
D ．6365
[答案] B
[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝
1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝
1－⎝⎛⎭⎫5132＝12
13，
∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题
7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π
3)＝________.
[答案]
1－6210
[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π
2)，
∴sin α＝26
5
.
∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－62
10.
8．已知cos(π3－α)＝1
8，则cos α＋3sin α的值为________．
[答案] 1
4
[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π
3sin α
＝12cos α＋3
2sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.
三、解答题 9．已知cos α＝
55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2
)． 求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π
2)，
∴α－β∈(－π2，π
2)，
∴sin α＝
1－cos 2α＝25
5
，
cos(α－β)＝
1－sin 2(α－β)＝310
10
，
∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝
55×31010－255×1010＝210
. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．
[解析] 将sin α＋sin β＝3
10，两边平方得，
sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9
100
①，
将cos α＋cos β＝
91
10
两边平方得，
cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91
100
②，
①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－1
2
.
一、选择题 1.
cos47°＋sin17°sin30°
cos17°
的值为( )
A ．－32
B ．－12
C ．12
D ．
32
[答案] D [解析]
cos47°＋sin17°sin30°
cos17°
＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°
＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°
＝cos30°＝
3
2
. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形
[答案] C
[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0， 即cos(A ＋B )<0，
∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角． 又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，
∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．
3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )
A ．x ≤y
B ．x >y
C ．x <y
D ．x ≥y
[答案] B
[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .
4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π
6)的值域为( )
A ．[－2,2]
B ．[－3，3]
C ．[－1,1]
D ．[－
32，3
2
] [答案] B
[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π
6)
＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π
6
＝32sin x －3
2cos x ＝3(
32sin x －1
2
cos x ) ＝3sin(x －π
6)∈[－3，3]．
二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
a
b c
d 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a b c
d ＝ad －bc ，则行列式
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
cos π3 sin π6
sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0
[解析] ⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，
∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π
3 sin π
6
sin π3
cos π6
＝cos π3cos π6－sin π3sin π
6
＝cos(π3＋π6)＝cos π2
＝0.
6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝1
5，则tan α·tan β＝________.
[答案] －1
4
[解析] ∵cos(α＋β)＝1
3，
∴cos αcos β－sin αsin β＝1
3，
①
∵cos(α－β)＝1
5
，
∴cos αcos β＋sin αsin β＝1
5
，
②
由①②得⎩⎨⎧
sin αsin β＝－
115
cos αcos β＝4
15
，
∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－1
4.
三、解答题
7．已知cos(α－30°)＝15
17，30°<α<90°，求cos α的值．
[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，
∴sin(α－30°)＝
1－cos 2(α－30°)＝8
17
，
∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12
＝153－8
34
.
8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．
[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3， 又∵a 与b 的夹角为60°，
∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝1
2
.
9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π
6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝16
17，求cos(α＋β)的值．
[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝1
5.
(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π
6)，
∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]
＝2cos(α＋π
2)＝－2sin α，
∴sin α＝35，cos α＝4
5
.
∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π
6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517
.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－13
85
.。