推荐学习K122018-2019学年高中数学人教A版选修2-3教学案：1.2.2 第二课时 组合的综

第二课时组合的综合应用

有限制条件的组合问题

[典例]课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)只有一名女生；

(2)两队长当选；

(3)至少有一名队长当选；

(4)至多有两名女生当选．

[解](1)一名女生，四名男生，故共有C15·C48＝350(种)选法．

(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，

故共有C22·C311＝165(种)选法．

(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)选法．

或采用间接法：C513－C511＝825(种)．

(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)选法．

有限制条件的组合问题分类及解题策略

有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：

一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；

二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．

[活学活用]

有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．

(1)恰有1个空盒，有几种放法？

(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？

解：(1)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种放法，根据分步乘法计数原理，共有C24A34＝144(种)不同的放法．

(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中．有两类放法：

第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个盒子中有A24种放法，共有C34A24种放法；

第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法．

故恰有2个盒子不放球的方法有C34A24＋C24C24＝84(种)．

几何中的组合问题

[典例]平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？

[解]法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．

第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；

第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；

第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．

由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个．

法二：(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种．故这12个点构成三角形的个数为C312－C34＝216个．

解答几何组合问题的策略

(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．

(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件

视为组合问题的限制条件即可．

(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．

[活学活用]

正六边形的顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．

解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32．

答案：32

排列与组合的综合问题

数的五位数有多少个？

[解][法一直接法]

把从5个偶数中任取2个分为两类：

(1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有C35C24种；第2步，对选出的5个数字全排列有A55种方法．故所有适合条件的五位数有C35C24A55个．

(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A14种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C14种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C35种取法，再把取出的4个数全排列有A44种方法，故有A14C14C35A44种排法．

根据分类加法计数原理，共有C35C24A55＋A14C14C35A44＝11 040个符合要求的数．

[法二间接法]

如果对0不限制，共有C35C25A55种，其中0居首位的有C35C14A44种．故共有C35C25A55－C35C14 A44＝11 040个符合条件的数．

解答排列、组合综合问题的思路及注意点

(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．

(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：

①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．

②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．

[活学活用]

有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某女生一定担任语文科代表；

(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；

(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．

解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，

共(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种．

(2)除去该女生后，先选后排有C47·A44＝840种．

(3)先选后排，但先安排该男生有

C47·C14·A44＝3 360种．

(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种．

层级一学业水平达标

1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有() A．C32197·C23B．C33C2197＋C23C3197

C．C5200－C5197D．C5200－C13C4197

解析：选B至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共C23C3197种，(2)3件次品，2件正品，共C33C2197种，由分类加法计数原理得抽法共有C23C3197＋C33C2197，故选B．2．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为()