吉林省吉林一中高三数学月考试卷(理)新课标人教A版 选修41

吉林省吉林一中高三数学月考试卷（理）新课标人教A 版 选修
41
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
最符合题目要求的.
1．已知=+-=+ni m i n m ni i
m
则是虚数单位都是实数其中,,,,11 （ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2
2．设全集)(},01
3|
{},4|{,2
N C M x x x N x x M R U U ⋂>+-=>==则集合等于（ ）
A ．}2|{-<x x
B ． }32|{≥-<x x x 或
C ．}3|{≥x x
D ． }32|{<≤-x x
3．条件P ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上截距的两倍”；条件q ：“直l 的斜率为－2”， 则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．非充分也非必要条件
4．73
)12(x
x -的展开式中常数项是
（ ）
A ．14
B ．－14
C ．42
D ．－42 5．方程的解所在区间是521
=+-x x
（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
D ．（3，4）
6．已知F 1、F 2的椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且
,6021︒=∠MF F 则椭圆的离心率为（ ）
A ．
3
3
B ．
2
3 C ．
2
1 D ．
2
2 7．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1
中，AA 1⊥底面
ABC ，AB=BC=AA 1，
∠ABC =90°。

点E 、F 分别是棱AB 、 BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成 的角是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
8．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们在限期内到达目的的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为（ ）
A ．
10
3 B ．
10
7 C ．
100
49 D ．
100
51 9．已知点)0,2()4,0(),(-B A y x P 和到的距离相等，则y
x
42+的最小值为 （ ）
A ．2
B ．4
C ．28
D ．24
10．将写有1，2，3，4，5的5张卡片分别放入标有1，2，3，4，5的5个盒子内，每个盒子里
放且只放1张卡片，那么2号卡片不在2号盒内且4号卡片不在4号盒内放法数等于（ ）
A ．42
B ．72
C ．78
D ．120
11．若函数1)1ln(2)(=+-
=x x b a x f 的图像在处的切线l 过点（b
1
,0-），且l 与圆1:22=+y x C 相离，则点（a,b ）与圆C 的位置关系是（ ）
A ．在圆内
B ．在圆外
C ．在圆上
D ．不能确定
12．设)(x f 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知)1(log )(,)1,0(2
1x x f x -=∈时 ，则
)(x f 在（1，2）上 （ ）
A ．是增函数，且0)(<x f
B ．是增函数，且0)(>x f
C ．是减函数，且0)(<x f
D ．是减函数，且0)(>x f
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13．
⎰
=-
2
2)3
2
(dx x x . 14．一个几何的三视图如图所示：其中，正视图中△ABC 的边长是2的正三角形，俯视图为正六
边形，那么该几何体几的体积为 .
15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：.2
2
2
b a
c +=
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .
16．给出下列四个命题：
①存在)cos()(,αα+=∈x x f R 使函数是奇函数； ②要得到函数)3
2sin(π
-
=x y 的图象，只要将函数3
2sin π
的图象向左平移
x y =个单位；
③函数;3
2|3sin |3sin )(π的最小正周期为
x x x f += ④函数x y tan =的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.
其中，真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）
答题卷
选择题答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
填空题：
13、 14、 15、 16、 三、解答题17．（本小题满分12分）
已知函数f (x)m n,=⋅m (sin x cos x)ωωω=+其中，
)(,0),sin 2,sin (cos x f x x x n 若其中>-=ωωωω相邻两对称轴间的距离小于
.2
π （Ⅰ）求ω的取值范围；
（Ⅱ）在,3,3,,,,,,=+=∆c b a C B A c b a ABC 的对边分别是角中 ,最大时当ω
ABC A f ∆=求,1)(的面积.
18．（本小题满分12分）已知二次函数)(x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为
)(*))(,(,}{,26)('x f y N n S n S n a x x f n n n =∈-=均在函数点项和为的前数列的图象上.
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设*,20
,}{,31N n m
T n b T a a b n n n n n n ∈<=+对所有求使得项和的前是数列都成立的最小
正整数m .
19．（本小题满分12分）如图，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD =2，∠BAD=60°. （Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求点A 到平面PBD 的距离； （Ⅲ）求二面角A —PB —D 的余弦值.
20．（本小题满分12分）高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为
3
1
，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验. （Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至
少有3次发芽成功的概率；
（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成
功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最
多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列和数学期望.
21．（本小题满分12分）已知函数的图象)0,,,()(2
2
≠∈++=a R c b a c bx ax x f )2,1(-P 过点，且在点P 处的切线与直线.03垂直=-y x （Ⅰ）若0=c ，试求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若)(),(),,(0,0x f n m b a 是且+∞-∞>>的单调递增区间，试求m n -的范围.
22．（本不题满分14分）已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 做PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （Ⅰ）求点N 的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l 与点N 的轨迹交于A 、B 不同两点，若4-=⋅OB OA ，且304||64≤≤AB ，
求直线l 的斜率k 的取值范围.
参考答案
二、填空题（满分74分） 13．
34 14．2
3 15．24232221S S S S =++ 16．①③ 17．解： （Ⅰ）x x x x n m x f ωωωωsin cos 32sin cos )(22⋅+-=⋅=
x x ωω2sin 32cos +=)6
2sin(2π
ω+
=x ………………3分
0>ω ,22)(ω
π
ωπ==
∴T x f 的周期函数……………4分 由题意可知
,2
2,22πωππ≥≥即T 解得}10|{,10≤<≤<ωωωω的取值范围是
即……………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，
)6
2sin(2)(π
+
=∴x x f 1)(=A f 2
1
)6
2sin(=
+
∴π
A ……………6分 而
ππ
π
6136
26
<
+
<a ππ6562=+∴A 3
π
=∴A ………………8分 由余弦定理知bc
a c
b A 2cos 222-+= 22
b c bc 3,b c 3∴+-=+=又 (10)
联立解得⎩⎨
⎧==⎩⎨
⎧==2
112c b c b 或………11分23
sin 21==∴∆A bc S ABC ……12分 （或用配方法2,33
3)(2=∴=+=-+bc c b bc c b
.2
3
sin 21==
∴∆A bc S ABC ） 18．解： （Ⅰ）设二次函数为)0()(2≠+=a bx ax x f …………1分 ,2)(b ax x f +=' 26)('-=x x f 2,3==∴b a
x x x f 23)(2-=∴……3分，又)(*))(,(x f y N n S n n =∈均在函数点 的图象上.
.232n n S n -=∴………………………………4分
当56)]1(2)1(3[)23(,2221-=-----=-=≥-n n n n n S S a n n n n 时……5分 当5161213,12
11-⨯=⨯-⨯===S a n 时，满足上式
*)(56N n n a n ∈-=∴………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：)1
61
561(21)16)(56(331+--=+-==
+n n n n a a b n n n ………8分
故)]1
61561()13171()711[(2121+--++-+-=
+++=n n b b b T n n )161
1(21+-=n ……………………10分 要使*)(20)1611(21N n m
n ∈<+-
都成立 必须且只须
20
21m
≤
.10≥∴m
.10为满足要求的最小正整数m ∴…………12分
19．解法一：
（Ⅰ）证明：设AC 与BD 交于O ，连结PO
A
AC PA BD PA ABCD BD ABCD PA AC
BD ABCD =⋂⊥⊂⊥⊥∴又平面底面是菱形底面,,
PAC BD 平面⊥∴……………………（3分）
又PBD BD 平面⊂ PAC PBD 平面平面⊥∴……………………（4分）
（Ⅱ）作,E PO AE 于⊥
PBD
AE PAC PBD 平面平面平面⊥∴⊥
所以AE 为点A 到平面PBD 的距离.…………（6分）
在︒=∠=︒⋅==∆90,330cos 2,2,PAO AO PA PAO 中
7
2127
3
27
22==⋅=
∴=+=PO AO PA AE AO PA PO ，所以A 点到平面PBD 的距离为7
21
2…8分 （Ⅲ）作,,EF F PB AF 连结于⊥
PB
AE PBD AE ⊥∴⊥,
平面
EF PB AEF
PB ⊥⊥∴平 的平面角为二面角D PB A AFE --∠∴…10分
在2,7
21
2,==
∆AF AE AEF Rt 中，
7
7
)742(
1cos 7
42
sin 2=
-=∠==
∠∴AFE AF AE AFE 所以二面角A —PB —D 的余弦值为7
7
…………………12分 解法二：（Ⅰ）设AC 与BD 交于O 点
.
BD AC ⊥∴底面是菱形
以OA 、OB 所在直线分别x 轴，y 轴.
以过O 且垂直平面ABCD 的直线为z 轴，建立 如图的空间直角坐标系，则
)2,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(P D C B A --
)2,0,0(),0,2,0(==AP DB …………………………2分
DB
AC AP
DB AP DB ⊥⊥∴=⋅又0
PDB DB PAC DB 平面又平面⊂⊥∴,
PAC PBD 平面平面⊥∴……（4分）
（Ⅱ）设平面PDB 的法向量为),,(1111z y x n =，)0,2,0()2,1,3(==DB DP
由)1,0,332(10
20230011111111-==⎩⎨⎧==++⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n z y z y x DB n DP n 得令得…………6分
|
||)
0,1,3(11n DA n d PDB A DA =
=的距离到平面点7212…………8分
（Ⅲ）设平面ABP 的法向量),,(2222z y x n =
)0,1,3(),2,0,0(-==AB AP
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧===
=⎩⎨⎧=+-=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0133
10
30200222222222z y x y y x x n AB n AP 得令得由)0,1,33(2=∴n …10分
7
7
3
473)
0,1,33)(1,0,332(
|
|||,cos 212121=
⋅-=
>=<∴n n n n …………11分
所以二面角A —PB —D 的余弦值为
7
7
…………12分 20．解（Ⅰ）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发牙成功 设5次试验中发芽成功的次数为随机变量X ，则 P （X =3）=24340)32()3
1(23
3
5=
⋅C …1分，243
1032)31()4(445=⋅==C X P ……2分
243
132)31()5(555=⋅==C X P ………………3分
所以至少有3次发芽成功的概率)5()4()3(=+=+==X P X P X P P
243
51
24312431024340=++=
………………4分 （Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，5
31)1(==ξP ………5分 92
3132)2(=⋅==ξP ………6分
27431)32()3(2=⋅==ξP ……7分
818
31)32()4(3=⋅==ξP ……8分
16
1)2()5(4=⋅==ξP …………9分，所以ξ的分布列为
…10分
ξ的数字期望81
211
8116581842743922311=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………12分 21．解：（1）由2)2,1()(23=++--++=c b a P c bx ax x f 知的图象过点①……1分 又.23)('2bx ax x f +=
相互垂直处的切线与在点03)2,1()(=--∴y x P x f ， 323-=-∴b a ②…3分
又,0=c ①、②联立得：.3,1==b a .63)(2x x x f +=∴……4分
2,0:0)('21-===x x x f 得令
)()0,2.()(,20x f x f x x 是的单调递增区间时或当--<>∴的单调递减区间.…6分
（2）令.32,0,023)('212
a
b x x bx ax
x f -
===+=得
又,0,0>>b a .0)(',320>-
<>∴x f a
b
x x 时或当 即)(),0(),32,(x f a
b
是+∞-
-∞单调递增区间. .32)32(0a
b
a b m n =--≥-∴…………………………8分
由（1）知：,3232-=-=++-b a c b a 且
033,021>-=>-=∴c b c a
2
1
<
∴c ………10分
c
c c c c a b m n 211121)1(2)21(3)33(232-+=--=--=≥
-∴……11分
由,0212
1
>-<
c c 知 1211
1,0221>-+>-∴
c
c
1>-∴m n ……………12分
另解：由323-=-b a 得：3a 3b 2+= b 0> a 1a 0∴>->又
.0>∴a …10分 11133332>+=+=≥-∴a a a a b m n ……12分 注：若用b 表示a ，酌情给分.
22．解： （Ⅰ）由于|,|||PN PM =则P 为MN 的中心，……1分，
设N （x ，y ），则M （－x ,0）,P （0，2y ），……（2分），由,0=⋅PF PM 得,0)2,1()2,(=-⋅-
-y y x ,0)2
()2(1)(=-⋅-+⋅-∴y y x ,42x y =∴所以点N 的轨迹方程为,42x y =……5分 （Ⅱ）设直线l 的方程是),0(≠+=k m kx y 与得联立消去y x y 42=：
,0)42(4)(2222=+-+=+m x km x k x m kx 整理得……………………6分
设),,(),,(2211y x B y x A 则：,,4222
21221k m x x k km x x =--=+
,)())((2212122121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=∴
,4)42(222k m m k km km m =+--=……………………7分 由,442121-=+-=⋅y y x x OB OA 得
,4422-=+∴k m k m 即,0)2(2=+k m ,2k m -=∴…………9分
由于直线与N 的轨迹交于不同的两点，则,1,04)42(222<>--=∆km m k km 即
把,1222<--=k k m 代入上式得 ,0点的轨迹恒有两个不同交与时直线且当N l k R k ≠∈∴………………10分 而]4))[(1(||212212x x x x k AB -++= ]4)42()[1(22
422
k m k km k --+= )1616)(1(42k km k -+=)3216)(1(422k k k -+=)12)(1(4222++=k k k …11分
又因为,304||64≤≤AB ,30)12)(1(6422≤++≤∴k
k k
解得,12
121
1≤≤-≤≤-k k 或 综上可知k 的取值范围是}121211|{≤≤-
≤≤-k k k 或.…14分。