第二章光的衍射

第二章光的衍射
（Diffraction of light）
●学习目的
通过本章的学习使得学生初步了解如何应用惠更斯—菲涅尔原理处理光的衍射问题；通过利用半波带法分析夫琅和费衍射光强分布的规律来进一步揭示光的波动性以及衍射现象在实际中的应用。

●内容提要
1、理解惠更斯—菲涅尔原理，了解如何应用该原理处理光的衍射问题；
2、掌握半波带法分析夫琅和费单缝衍射光强分布的规律，会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响；
3、理解光栅衍射及光栅光谱的形成过程；掌握光栅方程和光强分布曲线的规律，会分析光栅常数及波长对光栅衍射条纹分布的影响；
4、理解夫琅和费圆孔衍射及瑞利判据，了解衍射现象对光学仪器分辨本领的影响，会计算透镜及光栅的分辨本领；
5、理解X射线衍射的原理及布拉格公式的意义，会用它计算有关简单的问题。

●重点
1、惠更斯—菲涅尔原理；
2、半波带法分析夫琅和费单缝衍射光强分布的规律;
3、光栅衍射及光栅光谱的形成过程
●难点
1、半波带法分析夫琅和费单缝衍射光强分布的规律
2、光栅衍射及光栅光谱的形成过程
●计划学时
计划授课时间10学时
●教学方式及教学手段
课堂集中式授课，采用多媒体教学。

●参考书目
1、《光学》第二版章志鸣等编著，高等教育出版社，第二、四、五章
2、《光学。

近代物理》陈熙谋编著，北京大学出版社，第三章
第一节 光的衍射现象
一. 光的衍射实验装置
一般地说，上面装置中波长λ～10-3a 或更大时，就能用肉眼观察到明显的衍射条纹。

透过手指缝看灯，也能看到衍射条纹。

二、定义
光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象叫光的衍射。

三、分类
1、菲涅耳衍射(Fresne l diffractio n)
光源和观察屏（或二者之一）离衍射屏的距离有限时的衍射。

它也称近场衍射，其衍射图形会随观察屏到衍射屏的距离而变，情况较复杂。

2、夫琅禾费衍射(Fraunhofer diffraction)
光源和观察屏都离衍射屏无限远时的衍射。

它也称远场衍射，这种衍射实际上是菲涅耳衍射的极限情形。

我们仅讨论夫琅禾费衍射。

衍射
图2-1-2 光的衍射分类示意图
第二节 惠更斯─菲涅耳原理 （Huygens─Fresnel principle ）
一、惠更斯─菲涅耳原理
波传到的任何一点都是子波的波源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。

SS’为t 0时刻的波面，S 1S’1为t 1时刻的波面，箭头为波的传播方向，传播速度为v 。

二、惠更斯─菲涅耳原理的数学表达式
1、惠更斯─菲涅耳原理
如图所示，波面S 上每个面积元dS 都可以看成新的波源，它们发出次波。

波面前方空间某一点P 的振动可以由S 面上所有面积元发出的次波在该点叠加后的合振动来表示。

面积元dS 所发出的各次波的振动和相位满足：
● dS 所发出的各次波具有相同的初相位； ● 次波在P 点处所引起的振动的振幅与r 成反比；
● dS 所发出的次波在P 点处的振幅与dS 成正比，与倾角有关；
● 次波在P 点的相位，由光程Δ=nr 决定。

2、惠更斯─菲涅耳原理的数学形式
按照上述的原理，我们假设次波在P 点的电场强度dE 具有以下的形式：
dS r
K Q a dE )
()((P)θ∝
)(Q a 取决于波前上Q 点处的强度，K(θ)为方向因子，
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=≥↓↑→===0
2)(0)(max K K K K K ，，π
θθθθθ
) 2cos()()((P)λ
πωθr t dS r K Q a dE -⋅⋅=
dS r
t r K Q a E S
⋅-⋅⋅=⎰⎰
) 2cos()()((P)λ
πωθ
图2-2-1惠更斯原理示意图
)
图2-1-2 惠更斯─菲涅耳原理示意图
令
()()()()P P P ϕω+⋅=t E E c o s 0，则P 处波的强度为：
2
(P)0P E I ∝。

1882年以后，基尔霍夫（Kirchhoff ）解电磁波的波动方程，也得到了E (p) 的表示式，这使得惠更斯─菲涅耳原理有了波动理论的根据。

E (p) 的计算相当复杂，下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方法─波带法，它在处理一些有对称性的问题时，既方便，物理图象又清晰。

三、惠更斯-菲涅尔原理的意义
1、全息原理的物理基础
2、激光谐振腔衍射理论的物理基础
四、干涉、衍射的共性与区别
共性：都是相干叠加
区别：干涉为分离源的光束的叠加，衍射为连续密排子波源所发生的子波相干叠加。

第三节 菲涅耳半波带法
一、 菲涅耳半波带
半波带法是处理次波相干迭加的一种简化方法。

菲涅耳的衍射公式本要求对波前作无限分割，半波带法则用较粗糙的分割来代替，把积分化为有限项求和。

此法虽不够精细，但可较方便地得出衍射图样的某些定性特征，故为人们所喜用。

如图2-3-1，取波前Σ为以点源为中心的球面（等相面），设其半径为R ，其顶点O 与场点B 0的距离为r 0，以P 为中心，分别以r 0+λ/2，r 0+λ，r 0+3λ/2，… 为半径作球面，将波前B 0分割为一系列环形带。

由于这些环形带的边缘点O ，B 1 、B 2 、B 3…到P 的光程逐个相差半个波长，相邻半波带贡献的复振幅中位相差π,这样分成的环带故称之为菲涅耳半波带。

二、 合振幅的计算 以a 1、a 2、a 3、…，a k
分别表示各半波带发出的次波在P 点所产生的振幅，相邻两半波带所发出的次波到达P
点时位相差为π，k 个半波带在P 点叠加的合振幅A k 为：
A k =a 1-a 2+a 3-a 4+a 5+……+(-1)k+1a k
按惠更斯—菲涅耳原理，第k 个半波带所发出次波到达P 点时的振幅为：
k
k
k r S K a ∆∝)(θ
式中ΔS k 为第k 个半波带的面积，r k 是它到P 点的距离，K(θk )为倾斜因子，现在计算ΔS k / r k ，如图所示的球冠面积为：
S=2πR 2
(1—cosα)
而
)
(2)(cos 022
02r R R r
r R R k
+-++=ϕ
因为
dS= 2πR 2
sinφdφ 和)
(2sin 0r R R
r d k
k +=ϕϕ则
2r R Rdr r dS k k +=π 因λ<<r k ，可把上式中的微分dr k 看成相邻半波带间r 的差值λ/2，dS 看作半波带的面积ΔS k 。

于是得
r R R r S k +=∆λ
π 可见，作为λ的最低级近似ΔS k /r k 与k 无关，从一个半波带到下个半波带，θk 之值变化甚微，从而K(θk )和A k 随k 的增加而缓慢地减小，合振幅中各项加减速交替，合成振幅为 A k = [a 1 +（-1）
k+1
a k ]/2=( a 1 ±a k )
因此可见，应用惠更斯—菲涅耳原理来计算从点光源发出的光传播到任意一观察点P 时的振幅，只要把球面波面相对于P 点分成半波带，将第一个带合最后一个带所发出的次波的振幅相加或相减即可。

也可以用下列的图形表示：
讨论：
当r k 很大时，最后一个半波带上K(θk )→0从而A k →0，于是 A k =A 0/2
自由传播时整个波前在P 点产生的振幅是第一个半波带的效果之半。

图2-3-3a 振幅相加
图2-3-3b 振幅相减
第四节 菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）
一、 圆孔衍射
1、波带数公式
现在研究从点光源所发出的光通过圆孔时的衍射现象。

如图2-4-1所示，O 为点光源，圆孔的半径为R h ，S 为光通过圆孔的波面，计算光到达垂直于圆孔
面的对称轴上一点P 时的振幅，P 点与波面上极点B 0之间的距离为r k ，由图可知：
h r r r h h r r r h r r R k k k hk 020220202202222)(--≈---=+-= （2-4-1）
如h 比r 0小很多，则上式中h 2可略去，其中
02020202)]2/([r k r k r r r k λλ≈-+=- （2-4-2）
则202222
)()(h r r h R R R k hk
+-=--=,整理得：
)
(20202r R r r h k +-= （2-4-3）
将h 和r k 2- r 02代入R 2hk 得
λ)
(0022r R R
r k
R R hk h +== （2-4-4）
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=R r R R r R r R k h h 11)(02
002λλλ （2-4-5） 如果用平行光照射圆孔，R→∝，则0r k R hk λ=。

2、讨论
● 当波长及圆孔的位置和大小都给定时，k 取决于观察点P 的位置； ● 当通过圆孔的半波带数不是整数时，合振幅将在最大和最小值之间变化； ● 当圆孔半径R→∝时，P 点的合成振幅为a 1/2，即无遮蔽的整个波面对P 点的作用等于第一个波带在该点的作用的一半，因为半波带的面积非常小，光可以认为是沿直线传播。

● 当R 一定时，我们在轴线上存在一观察点P 仅使波面上的第一个带露出，则有A 1= a 1，此时P 点的光强为不遮蔽时的4倍。

二、 圆屏衍射
如图2-4-2所示，O 为点光源，S 为圆屏，设圆屏遮蔽了开始的K 个半波带，则P 点的合振幅为
A=a k+1-a k+2+ … +（-1）n +1
a n =a k+1/2 可见，无论k 是奇是偶，中心总是亮的。

三、 波带片
1、波带片的定义
如果将菲涅耳半波带的奇数或偶数半波带遮蔽，仅让偶数或奇数半波带透光，则观察点P 的合振幅为A k =Σa 2k+1或A k =Σa 2k ，这种在任一情况下，合振幅均为相应的各半波带在观察点所产生的振动振幅之和，这样做成的光学元件成为波带片。

2、波带片的特点
露出的波带数为k 的波带片轴线上的光强为不加波带片时的4k 2倍。

圆波带片： 圆型波带片具有透镜的功能，从2-4-5式可以看出：
2011hk
R k r R λ
=+ (2-4-6) 如果定义λ
k R f hh
2'=，则上式为：
'
1110f r R =+ 上式与薄透镜的物像公式相似。

但波带片与普通透镜比较，它们各自有优缺点：波带片的制作材料不受限制，可以制成长焦距的透镜，制作工艺简单；但它存在f'/3，f'/5，f'/7……多个焦点，而且光强不于透镜。

它在居多领域都有应用。

从焦距表示式可见，波带片的焦距取决于波带片通光孔的半径半波带的数目k 和光波的波长。

由于波带片的焦距和光波波长有密切的关系，因此它的色差比一般透镜大得多。

在激光出现以前没有什么实用意义。

由于激光的高度相干性，使波带片的应用成为现实。

目前主要用在激光准直方面。

矩形：可以制成十字准线。

四、 直线传播和衍射的联系
光沿直线传播是衍射的极限情况，衍射现象是普遍存在的现象。

图2-4-3 波带片示意图
第五节菲涅耳直边衍射
第六节 单缝的夫琅禾费衍射、半波带法
一. 装置
S ：单色光源,光线正入射θ：衍射角,缝宽 a AB =
(演示实验：单缝衍射) （演示CAI ：夫琅禾费单缝衍射)
二. 半波带法
A→P 和B→P 的光程差：
θ
δs i n a =
▲00==δθ， ─中央明纹(中心)
↑↑→δθ；
▲当λθ=sin a 时，可将缝分为两个“半波带”：
光线1与1＇在P 点的相位差为π， 光线2与2＇在P 点的相位差亦为π,…
所以两个“半波带”上发的光在P 处干涉相消形成暗纹；
▲当sin 3/2a θλ=时，可将缝分成三个“半波带”，其中两个相邻的半波带发的光在P 处干涉相消，剩一个“半波带”发的光在P 处不被抵消，P 处基本上是明纹中心；
观察屏
′ 1
′ 半波带 半波带
1
2 1′ 2′
▲当 λθ2sin =a 时，可将缝分成四个“半波带”，它们发的光在P 处两两相消，形成暗纹。

……
一般情况：…，3,2,1sin =±=k k a λθ ─暗纹
…，3,2,1 2
)1 2(sin ='+'±=k k a λ
θ ─明纹(中心)
0sin =θa ─中央明纹(中心)
● 暗纹和中央明纹（中心）位置是准确的，其余明纹中心的位置较上稍有偏离。

因为当θ
增加而由偶数向奇数半波带过渡时，每个波带的面积在缩小，所以正好为奇数半波带时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．P ．处的强度不一定最大。

．．．．．．．．．．
● θ越大，缝被分的半波带数越多，半波带面积越小，明纹的光强也越小。

● 半波带法虽然简便，但只能给出衍射光强分布的定性结果。

下面将介绍的振幅矢量法，则可得到单缝衍射强度的定量结果。

三. 振幅矢量法、单缝衍射的光强公式
将波阵面AB （宽为a ）分成N （很大）个等宽的波带。

每个波带发的子波在P 点振
幅都近似相等, 设为0E ∆，相邻两波带发的子波到P 点的相位差ϕ∆为
2
λ
λ
π
θϕ2sin ⋅⋅=
∆N a ∵N 很大 ∴ϕ∆<<1
P 点的光振动：N 个波带发的子波在P 点的矢量合成。

N 个．同方向、同频率、同振幅、．．．．．．．．．．．．初相依次差一个恒量．．．．．．．．．△．ϕ．的简谐振动的合成，合成的结果仍为简谐振动。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
对于O 点: θ = 0 ， ∆ϕ = 0 ，
20
000E I E N E ∝∆= 对于其他点P ： E P < E 0
当N → ∞时，矢量图的N 个相接的折线将变为一个圆弧。

屏上不同的P 点对应的θ 不同，∆ϕ亦不同，圆弧卷曲情况也不同，但圆弧长均为E 0 。

πλ
θ
ϕ2sin ΔΔa N =
=Φ
Φ=Δ0R E ，
2Δsin
2P Φ
=R E 2
Δsin 2Δ2Δsin Δ200ΦΦ=ΦΦ=E E ， 令λθπαsin 2Δa =Φ=
, 有α
αsin 0P E E =, 又2
002P E I E I ∝∝，，由此可给出P 点的光强为：
其中 I 0为中央明纹中心处的光强。

(1)、主极大（中央明纹中心）位置
E 0
∆E 0
……
R
max 01sin 00I I I ==→=→
==α
α
αθ处，，所有子波的振幅矢量同相叠加)0(=∆ϕ。

(2)、极小（暗纹）位置
当00sin 3,2,1=→==±=I k k απα时，， ，此时由 s i n
πλ
θπαk a ±==
，得 s i n λθk a ±=，这与半波带法结果一致。

也可以这样分析：此时所有子波的振幅矢量应构成闭合的多边形。

若转k 圈闭合，则
λθπϕk a k N ±=→±=∆sin 2。

(3)、次极大位置
ααα
=→=tg 0d dI
作图解方程
α = ±1.43π, ±2.46π, ±3.47π, … a sin θ = ±1.43λ, ±2.46λ, ±3.47λ, … 半波带法的近似结果与此十分接近!
(4)、光强分布
α
I 次极大 << I 主极大
四、条纹宽度
角宽度: 一个完整条纹两侧对透镜光心的张角。

1.、中央明纹
λ>>a 时，11sin θθ≈，
中央明纹角宽度：
中央明纹线宽度：
a
a
f
f f x λ
λ
θθ∝
=≈⋅=∆22tg 2110 ── 衍射反比定律
2.其他明纹(次极大)
在θθ≈sin 时，其余明纹线宽度：
λ/a -(λ/a )
2(λ/a )
-2(λ/a )
sin θ
其他明纹的宽度是中央明纹宽度的一半，这是单缝衍射明纹宽度的特征。

3、波长对条纹宽度的影响
由于λ∝∆x ，所以波长越长，条纹宽度越宽。

当白光入射时，除中央明纹中心外，其余各级明纹将形成彩带，且不同级亮纹间有重叠。

4、缝宽变化对条纹的影响 由b f x x /2/λ=∆=∆ 知：缝宽越
小，条纹宽度越宽。

当时∞→b /λ，光强曲线变为水平直线，屏幕是一片亮。

当
0→a
λ
时，0→∆x ，各级明纹向中央靠拢，密集得无法分辨，只显出单一的明条纹，
这就是单缝的几何光学像。

此时光线遵从直线传播规律。

几何光学是波动光学在 λ /a →0 时的极限
五、斜入射的结论：
从α物理意义入手的修正值必须考虑斜入射所带来的附加光程:
)sin (sin 2
2φθλπα-=
a
式中φ为光波矢与衍射装置主轴夹角,θ为衍射子波线方向。

1、斜入射时，零级衍射主极大方位：
φθαsin sin ,00==
θ
若屏后充满折射率n 的另一种媒质，α必须再作修正；
)sin sin (φθλ
πα-=
n a
当φθαsin sin ,0==，表明零级衍射主极大的方位是折射定律所决定的方向。

或者说，从衍射原理可以给出几何光学三个定律，几何光学是衍射原理的短波极限分支。

2.第一暗点
)
sin (1sin )sin sin (111φλ
θπφθλ
ππα+==-=a
n n a
m m 取 3．零级半角宽
θ
λ
θθθcos 10an =
-=∆
4、衍射角宽反比公式的深刻物理意义
衍射角宽反比公式反映了不确定原理（测不准关系）即光子位置不确定值和动量不确定值的相互制约关系
而时间相干反比公式也反映了不确定原理，它表明了另一对共轭量光子能量不确定值与时间不确定值的反比制约关系
六、干涉和衍射的联系与区别
本质上，干涉和衍射都是波的相干叠加。

只是干涉指的是有限多个分立光束的相干叠加，衍射指的是无限多个子波的相干叠加，而二者又常常同时出现在同一现象中。

六、应用举例
已知：一雷达位于路边d =15m 处，射束与公路成15 角，天线宽度a = 0.20m ，射束波长λ=30mm 。

求：在该雷达监视范围内公路长L = ?
解：“将雷达波束看成是单缝衍射的0级明纹”
λθ=⋅1sin a
150m
200mm
30sin 1..a
==
=
λ
θ °6381.≈θ °6323°151.=+=θα °
376°151.=-=θβ )ctg (ctg αβ-=∴d L
m
100)°6323ctg °376(ctg 15≈-=..
第六节
夫琅和费圆孔衍射
一、夫琅和费衍射圆孔实验装置
二、振幅计算公式
在正入射时，圆孔的夫琅和费衍射复振幅分布为
m
m J A R R J A A )
2(s i n )s i n 2(
)(10
10
==λ
θπλ
θ
πθ λ
θ
πs i n R m =
式中R 是圆孔的半径，θ是衍射角，J 1(m)是一阶贝塞耳函数，强度分布公式为
2
2
2
2
2
2
2
2
......
!341!231211⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==m m m A A I P 由A(θ)的表达式可以推出光强的最大、最小值位置如下：
与单缝情形类似，圆孔衍射场中的绝大部分能量也集中在零级衍射斑内。

圆孔的零级衍射
斑内。

圆孔的零级衍射斑称为爱里斑，其中心是几何光学象点。

衍射光角分布的弥散程度可用爱里斑的大小，即第一暗环的角半径Δθ来衡量。

Δθ=0.61λ/R=1.22λ/D
其中D=2R 是圆孔直径，以上便是圆孔衍射的反比关系。

三、 孔衍射的重要意义
1．
卫星通信采用激光或微波通信大辩论
激光具有高度的相干性和空间方向性，且波长比微波波长明显短，这给空间激光通信带来了很多优点。

根据衍射公式，用直径为φ的天线发射波长为λ的电磁波时，波束的发散角θ正比于二者的比值
θ∝λ/φ
即波束的发散角和波长成正比、和天线的直径成反比。

激光的波长比微波波长小3～4个数量级，因此对于同样大小的发射天线，发散角将远小于微波的发散角，这样对于天
线的尺寸要求也大大下降了，由此带来一系列的好处（见表1）。

空间激光通信的优点可归纳如下：
0.610λ/R 1.116λ/R
sin θ
I / I 0
● 大通信容量：激光的频率比微波高3～4个数量级，作为通信的载波意味着更大的可资利用频带。

目前光纤通信每束光波的数据速率可达20 Gb ／s 以上。

● 低功耗：激光的发散角很小，能量高度集中，落在接收机望远镜天线上的功率密度高，发射机的发射功率可以大大降低，功耗相对较低。

● 重量轻：由于空间光通信的能量利用率高，使得发射机及其供电系统的重量得以减轻；由于激光的波长短，在同样的发射发散角和接收视场角要求下，发射和接收望远镜的口径都可比较小。

● 高度的保密性：激光具有高度的方向性，发射波束纤细，这使激光通信具有高度的保密性，和其他手段配合使用可有效的提高抗干扰、防窃听。

2、近代物理中具有重大意义
电子衍射斑（爱里斑）揭示了粒子（电子）具有波动性这一重要现象。

原子干涉学仍是近代物理研究的热门之一。

3、物理象差的根本原因 ● 望远镜的分辨本领 由瑞利准则可得到分辨极限,即两个衍射斑的角距离等于斑的半角宽D λθδθ22.1=∆=
● 显微镜的分辨本领 球面波照明,光源像面接受属于夫琅和费衍射，u
n y sin 61.0λ
δ=
● 蓝色激光革命
由于最小可分辨距离y δδθ,正比于波长,波长越短,分辨率越高。

且激光波长越短,由衍射原理知聚焦光束的宽度越小,可用激
光写入和读出的一个数据所占用的空间越小,蓝光波长短,可提供更大的存储密度和提高投影电视和激光打印的分辨率.因此,蓝色LD 正在为激光视盘和大容量计算机磁盘开辟广泛的前景.
第八节 平面光栅衍射(grating diffraction)
一、衍射对双缝干涉的影响
不考虑衍射时双缝干涉的光强分布
不考虑干涉，每个缝的衍射图样位置相重叠
衍射的影响：两束衍射光相干叠加，双缝干涉条纹各级主极大的强度不再相等，而是受到了衍射的调制。

不过主极大的位置仍由双缝缝间距d 决定，而没有变化。

分析：
1、 d/a 的大小决定了衍射中央明纹范围内干涉条纹的多少
当a d >>、且a 很小时，衍射中央明纹范围宽，其间干涉条纹数多，相邻明纹强度最大值变化不大，这就过渡到了不考虑衍射时的双缝干涉情形。

d
2λ
d 2
d d
2 d
d
23 θ
sin
实际的强度分布
2、出现了明纹缺级现象
干涉明纹位置：,2,1,0sin =±=k k d ，λθ 衍射暗纹位置：,3,2,1 sin =''±='k k a ，λθ
当
k k a d '= 时 θθ'=，出现缺级。

干涉明纹缺级级次：
例如a d 2=时，缺±2，±4，±6 级。

干涉明纹中心强度称为干涉“主极大”。

在双缝干涉的主极大两侧附近，光强变化较缓慢，因而主极大的位置很难测准。

为使光强更集中在主极大处，可考虑多缝干涉，这就涉及到了光栅。

二、光栅（grating ）
1、光栅—大量等宽等间距的平行狭缝（或反射面）构成的光学元件。

广义上说，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅。

2、种类：
可分透射、反射两大类，只讨论透射光栅。

3.、光栅常数
透光（或反光）部分的宽度用a 表示不透光（或不反光）部分的宽度用b 表示
θ
sin
0 d d - a a -
d d
-
a
a -
光栅常数 b a d +=
普通光栅刻线为数十条─ 数千条/mm ，用电子束刻制可达数万条/mm ，(d ~m μ101-)，光栅是现代科技中常用的重要光学元件。

三、光栅衍射
1. 多光束干涉(m ultiple-beam inter fer enc e)
多光束干涉：多个等光强的光束的干涉，即先不考虑衍射对每个光束的影响，来看多束光的相干叠加。

光栅常数: d , 单色光正入射
明纹（主极大）条件
λθk d ±=sin k = 0 ，1 ，2 ，3 ……
上式称作正入射时的“光栅方程”。

设有N 个缝、每个缝发的光在对应衍射角θ方向的P 点的光振动的振幅为P E 。

则P 点为主极大时，各相邻光相位差πϕk 2±=∆。

实验装置：
暗纹条件：各振幅矢量构成闭合多边形
πϕ 2k N '±=∆
Nk k ≠=',,2,1 …
注意到 πλ
θ
ϕ2s i n ⋅⋅=
∆d 2
P 2P E N I ∝
得暗纹条件：
Nk k ≠=',,2,1 … 注意主极大条件:
λθk d ±=sin k = 0 ，1 ，2 ，3
… 显然: 暗纹间距 =
N
主极大间距
所以相邻主极大间有N-1个暗纹。

而在两相邻暗纹间还应有一个次极大，故相邻主极大间有N-2个次极大。

如N = 4，在零级和一级亮纹之间， k ' 可取 1、2、3， 有三个极小，分别在
()()()321
43 , 42 , 41sin ='='='⋅⋅⋅=
k , k , k d
d d 处
λλλθ 对应的相位差为：
4
3 , , 2π
ππϕ=∆ ，
相应的矢量图为：
E
由光栅方程知，在d 和λ一定时，主极大的角位置就确定了，与N 的大小无关。

但N 大时强度向主极大集中，使条纹亮而窄，便于观测。

这正是多光束干涉较双缝干涉之优越处。

2.光栅衍射 (grating diffraction)
与双缝情形类似，对于光栅（多缝），考虑到衍射影响，条纹应有以下特点：
(1)、各主极大受到单缝衍射的调制，衍射光强大的方向主极大的光强也大； (2) 、d/a 为整数比时，会出现缺级；
下图为N = 4，a
d
= 4的单缝衍射和光栅衍射的光强分布曲线，这里主极大缺±4,±8 级。

(3) 、d 、a 对条纹的影响 ▲a 不变⇒单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小⇒主极大间距变稀，单缝衍射中央亮纹范围内的主极大个数减少，缺级的级次变低。

▲d 不变⇒各主极大位置不变；
a 减小⇒单缝衍射的轮廓线变宽，单缝衍射中央明纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。

极端情形: 当a → 0时单缝衍射的轮廓线变为水平直线，第一暗纹在±∞处，
各主极大光强相同
多缝衍射图样 → 多光束干涉图样
3. 光栅夫琅禾费衍射的光强公式
∆ϕ =π /2
4
4
1
∆ϕ =π
4
∆ϕ = 3π /2
-(/4d )
● 考虑单缝衍射:光栅的每个单缝在P 点（衍射角θ）引起的光振动振幅近似相等，均为：
α
α
sin 0P 单
E E =, θλ
παsin a
=
● 考虑多缝干涉: 光栅相邻缝在P 的光振动
的相位差为θλ
π
ϕsin 2⋅⋅=
∆d 。

N 个同方向、同
频率、振幅均为P E 、相位依次差ϕ∆的光振动的合成。

设合振幅为P A
sin θ 0
4
8
-4
-8
2
Δs in 2 2Δs in
2p P ϕϕR E N R A ==
式中 θλ
πϕβs i n 2⋅=∆=
d
P 点总光强：
单0I ──单缝中央主极大光强
2
s i n ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛αα ──单缝衍射因子
2
sin sin ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ββN ──多光束干涉因子
a d N 4,4== 的各种光强分布
四. 斜入射的光栅方程、*相控阵雷达
4
8 -4
-8
sin θ (λ/d )
1、光线斜入射时的光栅方程
相邻两缝的入射光束在斜入射时已有光程差，衍射后又有光程差，总光程差为：
)s i n (s i n i d -=θδ
斜入射的光栅方程:
λθk i d ±=-)sin (sin
i
和θ的符号规定： 由光前进的方向顺
时针转到光栅法线方向(向前)为正。

光线斜入射可以获得更高级次的条纹（高级次条纹分辨率高）。

由斜入射的光栅方程知：k 确定时，调节i ，则θ相应改变。

例如,令0=k ，则 i d d sin sin ⋅=⋅θ， 相邻入射光的相位差 πλ
θ
πλ
ϕ2s i n 2s i n ⋅⋅=
⋅⋅=
∆d i
d
)
）
ϕπλ
θ∆⋅=
∴d
2sin 上式表明：改变相邻入射光的相位差Δϕ，或波长λ，可改变0级衍射光的方向，此结论正是“相控阵雷达”扫描的基本原理。

2、相控阵雷达
(1)、扫描方式
▲相位控制扫描：用电子学方法周期性地连续改变相邻辐射单元的相位差∆ϕ，则0级主极大的衍射角θ 也连续变化，实现扫描。

▲频率控制扫描：固定相邻辐射单元的相位差∆ϕ，连续改变入射波长λ来改变主极大的衍射角θ ，从而实现扫描。

(2)、回波接收
靶目标反射的回波也可通过同样的天线阵列接收。

改变∆ϕ就能接收来自不同方位的波束。

然后用计算机处理，提供靶目标的多种信息──目大标小、速度、方位
实际的相控阵雷达是由多个辐射单元组成的平面阵列，以扩展扫描范围和提高雷 达束强度。

投影片 相控阵雷达阵列照片 (3)、相控阵雷达的优点
辐射单元
▲无机械惯性，可高速扫描，一次全程扫描仅需几微秒。

▲由计算机控制可形成多种波束，同时搜索、跟踪多个目标。

▲不转动、天线孔径可做得很大，从而有效地提高辐射功率、作用距离、分辨率…
我国和世界上的许多大国都拥有相控阵雷达，它除军事应用（如“爱国者”导弹的雷达）外，还可民用，如地形测绘、气象监测、导航、测速（反射波的多普勒频移）
第九节 X 射线的衍射( diffraction of X -rays )
一、X 射线的产生
1895年伦琴（R ön tg en ，1845-1923，德国人，1901年获诺贝尔物理奖）发现了高速电子撞击固体可产生一种能使胶片感光、空气电离、荧光质发光 的中性射线 ─ X 射线。

X 射线的2110~10 -：λo
A
K─ 阴极，A─ 阳极(钼、钨、铜等金属)，A─ K 间加几万伏高压，以加速阴极发射的
热电子。

劳厄（Lau e ）实验（1912）
晶体相当于三维光栅，衍射图样（劳厄斑）证实了X 射线的波动性。

二、X 射线在晶体上的衍射
Φ：掠射角 d ：晶面间距（晶格常数）对NaCl d = 2.8o
A
1、 衍射中心: X 射线照射晶体时，每个（表层、内层的）原子都是散射子波的子波源（相当于一维光栅的“缝”）。

2.、点间散射光的干涉：同一层晶面上各原子散射的光相干涉，反射光的方向即散射光干涉后零级主极大的方向（相邻两束光的光程差为零）。

3.、面间散射光的干涉：不同晶面沿反射方向的散射光还要干涉，相邻晶面散射光1和2的光程差：
Φ⋅=+=sin 2d CB AC δ
散射光干涉加强条件（乌利夫─布喇格公式）：
λ
k d =Φ⋅sin 2 k = 1，2 ，3 …
三、应用
(1)、已知Φ、λ可测d —X 射线晶体结构分析 (2)、已知Φ、d 可测λ —X
射线光谱分析
d。