2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷(人教版)4(解析版)

2021年秋季高一新生入学分班考试
数学试卷4
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A ．23633a a a ⋅=
B ．42254x x x -=
C ．()()32728a ab a b ⋅-=-
D ．2220x x ÷=
【答案】C
【分析】
根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】
解：A 、原式53a =，故A 不符合题意．
B 、45x 与2x 不是同类项，不能合并，故B 不符合题意．
C 、原式678()8a ab a b =⋅-=-，故C 符合题意．
D 、原式2=，故D 不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
2．中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们倡导为中国节水，为世界节水，若每人每天浪费水0.32L ，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（ ）
A ．13.210L -⨯
B ．23.210L ⨯
C ．43.210L ⨯
D ．53.210L ⨯
【答案】D
【分析】
首先算出10000000.32320000L ⨯=，再利用科学记数法将该数表示形式为：10n a ⨯（n 为整数，其中110a ≤<）即可．
【详解】
解：将10000000.32320000⨯=用科学记数法表示为：53.210⨯，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方式，解题的关键是：掌握科学记数法的形式为：
10n a ⨯（n 为整数，其中110a ≤<）
，再根据题意确定出,a n 的值． 3
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x <
B ．2x >
C ．2x ≥
D ．2x ≤
【答案】A
【分析】 根据二次根式有意义的条件，列出不等式，进而即可求解．
【详解】
解：由题意得：2-x ＞0，解得：x ＜2，
故选A ．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
4．下列等式成立的是（ ）
A ．()a a --=
B ．()0a a +-=
C ．a b b a -=-
D ．0a a -=
【答案】A
【分析】
根据平面向量的性质，一一判断即可．
【详解】
解：（B ）原式0=，故B 错误；
（C ）a b b a -≠-，故C 错误；
（D ）原式a =-，故D 错误；
故选：A ．
【点睛】
考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．
5．李明的身份证号码是321088************，则李明的生日是（ ） A ．6月2日
B ．10月26日
C ．6月21日
D ．2月10 【答案】D
【分析】
从第7位数字开始到第14位止表示出生的年（4位数）、月（2位数）、日（2位数）；据此解答．
【详解】
这个身份证号码的7～14位是20060210，表示2006年02月10日出生．
∴李明的生日是2月10日．
故选：D ．
【点睛】
本题是考查身份证的数字编码问题，身份证上：1，前六位是地区代码；2，7～14位是出生日期；3，15～17位是顺序码，其中第17位奇数分给男性，偶数分给女性；4，第18位是校验码．
6．2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x ，则可列方程为（ ）
A ．()212.95114.11x +=
B ．()2
12.95114.11x -= C ．()212.951214.11x +=
D ．12.951211=14.x 【答案】A
【分析】
根据题意，第五次人口总数约是12.95亿，由于两次的增长率为x ，可列出一元二次方程．
【详解】
解：设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x ，根据题意得：
()2
12.95114.11x +=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用—增长率问题，关键在于弄清题意，列出方程． 7．某市出租车计费方法如图所示，()km x 表示行驶里程，y （元）表示车费，若某乘客有一次乘出租车的车费为36元，则这位乘客乘车的里程为（ ）km
A ．10
B ．14
C ．15
D ．17
【答案】D
【分析】 根据函数图象可以得出出租车的起步价是8元，设当3x >时，y 与x 的函数关系式为y kx b =+，运用待定系数法求出一次函数解析式，将36y 代入解析式就可以求出x 的值．
【详解】
解：由图象得：出租车的起步价是8元；
设当3x >时，y 与x 的函数关系式为(0)y kx b k =+≠，由函数图象，得 83125k b k b =+⎧⎨=+⎩
， 解得：22
k b =⎧⎨=⎩， 故y 与x 的函数关系式为：22y x =+； 36元8>元，
∴当36y 时，
3622x =+，
17x =，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键．
8．如图，直线12//l l ，点A 、B 在2l 上，射线BD 交1l 于点D ，BC 平分ABD ∠交1l 于点C ，若180∠=︒，则2∠的度数是（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．80︒
【答案】B
【分析】 根据平行线的性质得出∴ABD ，由角平分线的定义得出∴CBD ，根据对顶角相等得出∴BDC ，最后根据三角形内角和定理求出∴2即可．
【详解】
解：如图，
∴12//l l ，
∴∴3=∴1=80°
∴∴ABD =180°-80°=100°
∴BC 平分ABD ∠ ∴1502
DBC ABD ∠=∠=︒ 又180BDC ∠=∠=︒
∴2180508050∠=︒-︒-︒=︒
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，求出100ABD ∠=︒是解答此题的关键．
9．如图，O 中，点C 为弦AB 中点，连接OC ，OB ，56COB ∠=︒，点D 是AB 上任意一点，则ADB ∠度数为（ ）
A ．112︒
B ．124︒
C ．122︒
D ．134︒
【答案】B
【分析】 连接OA ，在AEB 上取点E ，连接AE ，BE ，先证明ACO BCO △≌△，可得∴AOB =112°，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】
解：连接OA ，在AEB 上取点E ，连接AE ，BE ，
∴点C 为弦AB 中点，
∴OC ∴AB ，即∴ACO =∴BCO =90°，
又∴AC =BC ，OC =OC ，
∴ACO BCO △≌△，
∴∴AOC =56COB ∠=︒，即：∴AOB =112°，
∴∴E =12
∴AOB =56°， ∴四边形ADBE 是O 的内接四边形，
∴ADB ∠=180°-56°=124°，
故选B ．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质，添加辅助线，构造圆的内接四边形，是解题的关键．
10．如图，点P 是反比例函数6(0)y x x
=-<上的一个动点，点()()2,00,8A M -、分别在x 轴、y 轴上．当点M 到AP 所在直线距离最大时，点P 的坐标是（ ）
A ．(6,1)-
B ．6(5,)5-
C ．()34,2-
D ．()3,2-
【答案】A
【分析】 过点M 作MB ∴AP ，垂足为B ，分析得出当AB 最小时，MB 最大，过点P 作PN ∴x 轴，垂足为N ，证明∴P AN ∴∴AMO ，得到AN =4PN ，设PN =x ，表示出点P 坐标，代入反比例函数表达式，求出x 值即可．
【详解】
解：过点M 作MB ∴AP ，垂足为B ，
可知∴AMB 为直角三角形，
∴AM 固定不变，则当AB 最小时，MB 最大，
此时点B 与点A 重合，
过点P 作PN ∴x 轴，垂足为N ，
∴∴MAP =90°，
∴∴P AN +∴MAO =90°，又∴P AN +∴APN =90°，
∴∴MAO =∴APN ，又∴PNA =∴MOA =90°，
∴∴P AN ∴∴AMO ， ∴PN AN AO MO =，即28
PN AN =， ∴AN =4PN ，
∴ON =AO +AN =2+4PN ，设PN =x ，
∴P （-2-4x ，x ），代入6(0)y x x =-
<中， 得：()246x x --=-，
解得：x =1或x =32
-
（舍）， ∴P （-6，1），
故选A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数综合，相似三角形的判定和性质，最短距离，解题的关键是分析出MB 最小时的位置情况，从而构造相似三角形得到线段的关系．
11．柯桥区某学校开设了5个STEAM 课程，分别为1S 、2S 、3S 、4S 、5S ，有A 、B 、C 、D 、E 共5人一起去报名STEAM 课程，每人至少报一个课程．已知B 、C 、D 、E 分别报名了4、3、3、2个课程，而1S 、2S 、3S 、4S 四个课程中在这5人中分别有1、2、2、3人报名，则这5人中报名参加5S 课程的人数有（ ） A ．5人
B ．4人
C ．3人
D ．6人
【答案】A
【分析】 B 、C 、D 、E 报名课程总数12个,1S 、2S 、3S 、4S 四个课程总数8个,A 至少报一个课程,这5人中报名参加5S 课程的人数12+1-8计算即可．
【详解】
解: ∴B 、C 、D 、E 分别报名了4、3、3、2个课程，
∴4+3+3+2=12个，
∴1S 、2S 、3S 、4S 四个课程中，
∴1+2+2+3=8个，
又∴每人至少报一个课程．
∴A 至少报一个课程，
12+1-8=5，
∴这5人中报名参加5S 课程的人数有5个人．
故选：A ．
【点睛】
本题考查频数与总数，总报名人数与总课程数关系相等，掌握频数与总数，总报名人数与总课程数关系相等是解题关键．
12．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC ，灰色部分面积记为1S ，黑色部分面积记为2S ，白色部分面积记为3S ，则（ ）
A ．12S S
B ．23S S =
C ．13S S =
D ．123S S S =-
【答案】A
【分析】
由勾股定理，由整个图形的面积减去以BC 为直径的半圆的面积，即可得出结论．
【详解】
Rt∴ABC 中，
∴AB 2+AC 2＝BC 2
∴S 2＝222111*********ABC AB AC BC S πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝()
2221
8ABC AB AC BC S π∆+-+ ＝S 1．
故选A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理、圆面积公式以及数学常识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．
第II 卷（非选择题）
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二、填空题
13．一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是正整数中最小的偶数，个位上的数既不是素数也不是合数，这个数是_____．
【答案】421
【分析】
根据合数与素数的定义、偶数的定义即可得．
【详解】
百位上是最小的合数，
∴百位上的数是4，
十位上是正整数中最小的偶数，
∴十位上的数是2，
个位上的数既不是素数也不是合数，
∴个位上的数是1，
则这个数是421，
故答案为：421．
【点睛】
本题考查了合数、素数、偶数，熟记各定义是解题关键．
14．在半径为2的圆中，某扇形的面积占整个圆的20％，则这个扇形的圆心角是__________；其面积__________．
【答案】72︒ 0.8π
【分析】
利用360︒乘以20%即可得圆心角的度数；再利用圆的面积乘以20%即可得．
【详解】
这个扇形的圆心角的度数为36020%72⨯︒=︒，
这个扇形的面积为2220%0.8ππ⨯⨯=，
故答案为：72︒，0.8π．
【点睛】
本题考查了求扇形的圆心角和面积、圆的面积公式，熟记公式是解题关键．
15．若x ：y ＝1：2，则
x y x y -+＝_____． 【答案】13
-
【分析】
先根据已知等式可得x ：y ＝1：2，再根据分式的基本性质即可得．
【详解】
由x ：y ＝1：2，得：2x y =， 则x y x y
-+ =
22x x x x
-+ =3x x
- =13- 故答案为：13
-
． 【点睛】
本题考查了分式的基本性质，比例的性子，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
16．点A （m ，n ）到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，则点A 的坐标为______．
【答案】（2，3）或（-2，3）或（2，-3）或（2，-3）．
【分析】
到x 轴的距离为3的点有2个，到y 轴的距离为2的点也有2个，根据平面直角坐标
系的定义求解即可．
【详解】
由已知条件得|n |＝3，|m |＝2，
所以3n ±＝，2m ±＝，
所以A 点的坐标为：（2，3）或（-2，3）或（2，-3）或（2，-3）．
故答案为：（2，3）或（-2，3）或（2，-3）或（2，-3）．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系的定义，理解点到坐标轴的距离是解题的关键．
三、解答题
17．（1
）计算：212sin 6012-⎛⎫-+︒- ⎪⎝⎭
．
（2）解分式方程：211
x x x +=-． 【答案】（1）5；（2）23x =
【分析】
（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，
最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）观察可得最简公分母是x （x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化
为整式方程求解．
【详解】
（1
）解：原式(4212=+⨯+
415==．
（2）解：去分母，得()()2
211x x x x -+=-， 去括号，得2222x x x x -+=-，
移项、合并同类项，得32x =，
系数化成1，得23
x = 经检验，23
x =
是原方程的根． 【点睛】 此题考查了实数的运算与分式方程的解法．此题比较简单，注意掌握转化思想的应
用，注意分式方程需检验．
18．疫情期间某家医院从厂家购进甲、乙两种不同类型的防护服．购进甲种防护服需
15000元，购进乙种防护服需9000元，购进甲种防护服的数量是购进乙种防护服数量
的2倍，且购进一件乙种防护服比购进一件甲种防护服多花10元．
（1）求购进一件甲防护服、一件乙防护服各需多少元；
（2）今年防疫防控期间，医院决定再次购进甲、乙两种防护服共200件．恰逢该厂家
将对两种防护服的价格进行调整，一件甲种防护服价格比第一次购进时提高了20%，
一件乙种防护服价格比第一次购进时降低了5元，如果此次购进甲、乙两种防护服的
总费用不超过11400元，那么该医院最多可购进多少件甲种防护服？
【答案】（1）购进一件甲种防护服需50元，购进一件乙种防护服需60元；（2）该医
院最多可购进80件甲种防护服．
【分析】
（1）根据购买两种防护服的总钱数以及单价之间的关系，结合购买数量得出等式求出
即可；
（2）设该医院可购进a 件防护服．根据题意得列出不等式求解．
【详解】
解：（1）设购进一件甲种防护服需x 元，则购进一件乙种防护服需()10x +元． 根据题意，得150009000210
x x =⨯+， 解得50x =．
经检验，50x =是所列方程的解，且符合题意，
所以，1060x +=．
答：购进一件甲种防护服需50元，购进一件乙种防护服需60元．
（2）设该医院可购进a 件甲防护服．
根据题意得50(120%)(605)(200)11400a a ++--≤．
解得80a ≤．
答：该医院最多可购进80件甲种防护服．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据已知得出进价与售价
关系是解题关键．
19．如图，抛物线()()1y x x b =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物
线的顶点为D ，连接AC 、BC ，tan 3OBC ∠=．
（1）求抛物线的顶点D 的坐标．
（2）求证：ACD COB ∆∆∽．
（3）点Р在抛物线上，点Q 在直线y x =上，是否存在点Р、Q 使以点Р、Q 、
C 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Р的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1）抛物线的顶点D 的坐标为()1,4--；（2）见解析；（3）存在，点Р的坐
标为()1,4--或()2,5或()3,0-
【分析】
（1）由抛物线的解析可求出A （﹣b ，0），B （1，0），求出OC ＝3，求出抛物线的解
析式可得出答案；
（2）由点的坐标可出AC ，AD ，CD 的长，得出∴ACD ＝90°，证得∴ACD ＝∴COB ，
AC CD OC OB
=，由相似三角形的判定方法可得出结论； （3）分OC 是平行四边形的一条边、CO 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解
即可．
【详解】
解：（1）∴抛物线y ＝（x ﹣1）（x +b ）（b ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的
左边），
∴y ＝0时，x ＝1或x ＝﹣b ，
∴A （﹣b ，0），B （1，0），
∴tan∴OBC ＝3．
∴OC ＝3，
∴C 点的坐标为（0，﹣3），
∴（0﹣1）（0+b ）＝﹣3，
解得b ＝3，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）证明：如图1，
令y＝0，则x＝1或x＝﹣3，故点A（﹣3，0），
∴C（0，﹣3），D（﹣1，﹣4），
∴AD
==CD=AC==
∴AD2＝CD2+AC2，
∴∴ACD＝90°，
∴∴COB＝90°，AC OC
CD OB
==3，
∴∴ACD＝∴COB，AC CD OC OB
=，
∴∴ACD∴∴COB；
（3）存在，理由：
∴当OC是平行四边形的一条边时，
设：点P（m，m2+2m﹣3），点Q（m，m），则PQ＝OC＝3，
PQ＝|m2+2m﹣3﹣m|＝3，
解得：m＝﹣1或2或0或﹣3（舍去0），
故m ＝﹣1或2或﹣3；
∴当CO 是平行四边形的对角线时，
设点P （m ，m 2+2m ﹣3），点Q （n ，n ），
由中点可得：20233
m n m m n +=⎧⎨+-+=-⎩， 解得：m ＝0或﹣1（舍去0）；
故m ＝﹣1或2或﹣3，
则点P （﹣1，﹣4）或（2，5）或（﹣3，0）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，考查了二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形
的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．如图，ABC 为∴O 的内接三角形，AD 平分BAC ∠交∴O 于点D ，连接OD 交
BC 于点E ．
（1）如图1，求证：OD BC ；
（2）如图2，延长DO 交AB 于点F ，连接CF ，延长CF 交∴O 于点H ，求证：
AF HF =；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长DF 交∴O 于点M ，连接HM ，若
1
tan 2
ADM ∠=，10HM =，OF ，求线段AC 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10
【分析】
（1）通过弧，弦，圆心角定理即可得到结果．
（2）通过垂径定理，得到弦BC 被平分，然后由垂直平分线得性质，可得BF CF =，再通过弧，弦，圆心角定理证得结论．
（3）证明图中12∠=∠．然后通过圆周角定理可证D N ∠=∠．最后通过全等求得10AC =．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，
AD 平分BAC ∠
BAD CAD ∴∠=∠
∴BD CD =，
OD BC ∴⊥．
（2）证明：如图2中，
OB BC ⊥，
BE CE ∴=，
BF CF ∴=，
FBC FCB ∴∠=∠，
∴BH AC =，
∴AB CH =，
AB CH ∴=，
HC CF AB BF ∴-=-，
AF HF ∴=．
（3）如图3中，连接AM ，作直径AN ，连接CN ，AH ，AH 交DM 于点G ，则AH DM ⊥．
由对称性的得MD 垂直平分AH ．
10AM HM ∴==， DM 是直径，
90DMA ∴∠=︒，
1
tan 2AM ADM AD ∴∠==，
20AD ∴=
，DM =
AN ∴=
190AMD ∠+∠=︒，90D AMD ∠+∠=︒
1D ∴∠=∠，
由1
tan 2GM
ADM AG ∠==，10AM =，可求得MG =
半径2DM
R ==
FM OM OF ∴=-=FG FM MG =-=
MG FG ∴=，
又//AH BC ，B N ∠=∠，
2B N ∴∠=∠=∠，
N D ∴∠=∠，
又AN DM =，90NCA DAM ∠=∠=︒，
()NAC DMA AAS ∴∆≅∆，
10AC MA ∴==．
【点睛】
本题属于圆综合题，主要考查弧，弦，圆心角关系定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识，第三个问题解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。