有限域离散数学

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证明:F既然包含х q - 1-1所有的根,自然也包
含Φq-1 ( х ) 的根,故由定理7.6.1和上节定理
7.5.4(定理7.5.4 设n不是F的特征的倍数,并设
Φn(х)在F中有根。于是,F中恰有n个n次单位
根,它们在乘法下作成一个n元循环群,其
(n)个生成元素恰是Φn(х)的所有的根。) ,
xk∈Rp[х],使 σ(хk)=ξk=α. 所以σ是R [ х ] 到F上的映射。
证明
(2) 往证σ是Rp [х ]到F的同态映射。 σ(ƒ(x)+g(x))=ƒ(ξ)+g(ξ)=σ(ƒ(x))+σ(g(x)),
σ(ƒ(7x)g(x))=ƒ(ξ)g(ξ)=σ(ƒ(x))σ(g(x)) (3) 设σ的核为主理想ρ ( х ) R p [ х ](见7.2习题4) 因ξ是ψ ( х ) 的根,σ(ψ(х))=ψ(ξ)=0,所以
=tr (tm-1)(tsm-m + tsm-2m + … + 1)+tr-1 若m∣n,则r=0,tr-1=0。故tm-1 ∣ t n - 1。 若m不整除n,则0<r<m,因之tr-1非0,
当t 是文字时, 次 ( tr-1)< 次(tm-1), 当t 是大于1的整数时,tr-1< tm-1, 所以tm-1不整除tn-1。
除同构的域外,唯一确定的pn元有限 域通常记为GF(pn)。
定理7.6.4
Φpm-14(x) 在Rp[x]中的任意质因式ψ(x)必
是m次多项式。因此,对任意m≥1,Rp 上有m次质式。
证明:命F=GF(pm)。设次ψ(х)=n。
根据引理的证明,F的元数应是pn。因之, n=m。
引理1
tm-1 ∣ t n - 1,当且仅当m∣n。t 是一个文字或 是一个大于1的整数均可。 证明1:5 设 n =sm+r, 0≤r<m 于是, tn-1 =tsm+ r- tr +tr-1
定理7.6.1 F中的q-1个非0元素恰是所有q-1次 单位根,而F的所有q个元素恰是多项式
х q -3 х 的所有的根。 证明:多项式х q - 1-1最多只能有q-1个根。但 F的非0元素已经是它的q-1个不同的根,所 以F的非0元素恰是х q - 1-1的所有的根,因而 也就是所有的q-1次单位根。类似地可以说明 F的所有元素恰是х q - х 的所有的根。
由上节定理7.5.4,域F’中恰有х q - 1-1的q-1个 不同的根。添上0,我们便得到х q - х 的q个 不同的根。 往证这q个元素作成的集合F是一个域。显然, F’ F。
①任取α∈F, β∈F,则
故α- β ∈F.
证明
②任取α∈F, β∈F, β≠0,则
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故 ∈F
这就证明了确有包含q个元素的域存在。 证毕。
§ 7 . 2 习题5),所以
是一个域。在Rp中,p个1相加等于0,所 以
在域F’中,p个 相加等于 ,因而域F’ 的特 征为p。不妨把 ,,…仍记为0,1,…,
用ξ代表包含х 的那个剩余类:ξ= 于是,ψ(ξ)=ψ( )= = =0
证明
因此,ξ是ψ ( х ) 的根.今ψ(х)∣Φq-1 ( х ) , Φq-11(2х ) ∣ х q - 1-1,故ξ是q-1次单位根。
1
§7.6 有 限 域
有限域(Galois域)
定义. 只有有限个元素的域称为有限域,或 Galo2is域。 设F是一个有限域,则 ➢ F的特征不可能是0 ➢ F的特征为质数p ,以RP为其最小子域 ➢设F为q元域,则F中q-1个非0元素在乘法下作
成一个q-1元群,因而都适合方程х q - 1=1.由此 知, F中q-1个非零元素都是多项式х q - 1 -1 的根, F中q个元素都是多项式х q – х 的根。
可知该定理成立。
引理. 设F是q元有限域,特征为p,
设ψ ( х )为Φq-1 ( х )在R p [ х ] 中的一个n次质式, ξ是5 ψ ( х )在F中的一个根。
于是,F中的任意元素α可以唯一地表为 a0 +a1ξ +a2ξ2 +… +an-1ξn-1
的形式,其中a0,a1,…an-1∈Rp。
ψ ( х ) 在核内,故ρ ( х ) ∣ ψ ( х ) 。因为ψ ( х )
不可约,ρ ( х ) 或是常元素或与ψ ( х ) 相通。
因为F不只有一个元素0,所以σ的核不能是
Rp [х] 全部,因而ρ ( х ) 不是常元素。可见 ρ ( х )与ψ ( х ) 相通,而σ的核可以写成
ψ ( х ) R p [ х ] 的形式。
ψ ( x ) ∣ r ( x ) - s(x)。 但次ψ(x)= n>次(r ( х ) - s ( х )),故
r(x)-s(x)只能是多项式0。 证毕。
F中元素的个数q= pn。
因 α =a0 +a1ξ +a2ξ2 + … + ξ an-1 n-1 中n
个系数每个有p种取法
定理7.6.3
有限域的元数q必为pn的形式,其中p为其特征。 如果同构的域看作是一样的,则对任意q=pn恰 有 一1个0 q元有限域。 证明: q =pn已证。 (1)唯一性。 设F,F’都是q元有限域, 则它们都包含除q-1
证明: (反证)否则( х q - 1-1)’=(q-1) х q - 2=0, 因而х q - 1-1有重根,与定理7.6.1矛盾。 ➢ 定4理7.6.2 F的q-1个非0元素在乘法下作成一 个q-1元循环群,其(q-1)个生成元素恰是
Φq-1 ( х ) 的所有的根。
GF(pm).
证明
(2) 唯一性。任何子域GF(pm)也只能由 的所有根组成,所以GF(pn)恰有一个子域 GF(p1m7)。
➢设F是GF(pn)的任意子域,其特征必是p, 因而是GF(pm)的形式。此GF(pm)的非0元 素是GF(pn)的非0元素的一部分,故,
由引理1,pm-1∣pn-1,再由引理1,m∣n 。 可见F为GF(pm), m∣n 。
域。
取Φq-1 ( х ) 的一个不可约因Ψ ( х ) , 据引理的证
明,
因此,若同构的域看作一样,对任意q=pn最多 只能有一个q元有限域。
证明
(2) 证对任意q=pn确有q元有限域存在。
取Φq-1(x)在Rp[x]中的一个不可约因式ψ(x), 则1ψ1( х ) R p [ х ]是R p [х ] 的极大理想(见
证明:规定Rp [х ]到F的一个映射σ如下: ƒ ( х )→ ƒ(ξ)
证明
(1)往证σ是R p [ х ] 到 F上的映射。 显然,σ(0)=0。 任取6 α∈F, α≠0,于是α是q-1次单
位根,
因为ξ是ψ ( х ) 的根而
ψ( х ) ∣ Φq - 1 ( х ),所以ξ是本原q-
1
次单位根,因而α=ξk,从而
定理7.6.5
对任意m∣n,GF(pn)恰有一个子域GF(pm), 而这也就是GF(pn)的所有子域。 证明1:6 ➢ (1) 存在性。设m∣n,由引理1,pm-1∣pn-1。 再由引理1,
GF(pn)中包含
的所有根,故包含
的所有根,因而包含
的所有根。如
定理7.6.3证明中所证,这pm个根作成一个域
证明
上面已证出σ是Rp [х ]到F上的同态映射, 同态核为ψ ( х ) R p [ х ],所以
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(4) 可表性。任取α∈F,有f(x)∈Rp[х],使得 σ(f(x))= α,以ψ(x)除ƒ(x): ƒ(x)= q(x)ψ(x)+ r(x), 次r(x)≤n-1。 故, α=σ(f(x))= ƒ(ξ)
=σ(q(x)ψ(x)+ r(x))= q(ξ)ψ(ξ)+ r(ξ) =q(ξ) 0+r(ξ)=r(ξ) 因而α =a0 +a1ξ +a2ξ2 + …+ ξ an-1 n-1 .
证明
(5) 证表法唯一。设r ( х ) , s ( х ) 是最多n1
次9的Rp上面的多项式, α=r(ξ)=s(ξ), 欲证r(x)=s(x)。因为r(ξ)- s(ξ)=0,故 r(x)-s(x)在σ的核内, 因而
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