湖北省2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学理科试题(解析版)

2019年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学（理科）试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若i 为虚数单位，则复数3223z i i =+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】3223z i i =+i 2-3-=，z =i 23-+=，z 在复平面内对应的点为()2,3-在第二象限。

【方法点评】本题考查复数的运算，共轭复数的性质，复数的几何意义，是基础题。

2．已知集合{A x y ==，{}
12019x B y y ==+，则A
B =（ ）
A ．[]1,3
B ．(],3-∞
C ．[)3,+∞
D ．(]1,3
【答案】D
【解析】由题意得：{A x y ==3}x |{x ≤=，{}
12019x B y y ==+1}y |{y >=，所以(]3,1=⋂B A
【方法点评】本题考查函数的定义域和指数函数的值域，集合的交集，考查对知识的合理利用。

基础题的综合。

3．已知2019
1log πa =，2019
1πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，1π
2019c =，则（ ） A ．c a b <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．a b c <<
【答案】D
【解析】由题意得：2019
1
log πa =()01log 2019=<，2019
1πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭
()10 ∈，1
π
2019c =1> ，所
以a b c <<。

【方法点评】比较大小，涉及到指数与对数，做题的时候要把指数和对数具体的范围表示出来。

4．函数()21sin 1x f x x e ⎛
⎫=- ⎪
+⎝⎭
的图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】由题意得：()21sin 1x
f x x e
⎛
⎫
=- ⎪+⎝⎭x e e x x
sin 11⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=是偶函数，排除C,D. 5．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d ≤”是“81092S S S +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】81092S S S +<⇒0<d
【方法点评】考查等差数列的前n 项和，基础题
6．已知命题p ：实数a 满足不等式21a ≤；命题q ：函数()32132
a
f x x x x =++有极值点．若
“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(]2,0-
B ．[]2,0-
C ．(),2-∞-
D ．(],2-∞-
【答案】C
【解析】命题p ：0≤a ，命题q ：函数()32132
a
f x x x x =++有极值点，
()012'=++=ax x x f 有解， 2≥∴a 或2-≤a 。

所以正确答案C
【方法点评】考查逻辑连接词，小集合是大集合的充分不必要条件. 7．已知向量()cos ,sin a θθ=，()0,1b =-，π0,2θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）
A ．πθ-
B ．π
2
θ- C ．
π2
θ+
D ．θ
【答案】C
【解析】()cos ,sin a θθ=()0,1b =-,()()()θθθθθαsin |
10sin cos |
1,0sin ,cos cos 22
2-=-+∙+-=
，
只有C 选项，θθπ
-sin )2
cos(=+
【方法点评】考查向量的数量积以及三角函数的诱导公式。

基础题
8．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪
下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比
0.618≈（黄金分割比）时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（ ）
A ．127．50°
B ．137．50°
C ．147．50°
D ．150．50°
【答案】B 【解析】
618.0360=-x
x
，50.137=x
【方法点评】
9．已知将函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛
⎫=+<< ⎪⎝
⎭的图象向左平移ϕ个单位长度后，得到函数
()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则π3f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
B
C ．12
-
D ．12
【答案】A
【解析】()()πcos 202f x x ϕϕ⎛
⎫=+<< ⎪⎝
⎭的图象向左平移ϕ个单位长度后,得到函数
()g x []ϕ32cos +=x ,因为()g x 的图象关于原点对称,所以[]030cos )0(=+=ϕg ，所以
6π
ϕ=
，π3f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
23)362(cos -=+⨯ππ .
【方法点评】
10．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，
现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A ，C 区域涂同色的概率为（ ）
A ．
27 B ．
57 C ．913
D ．413
【答案】D
【解析】由题意的：分三种情况：①用了5种颜色，7205
6=A ;②用了4种颜色，AC 同色36046=A 或BE 同色36046=A ，合计720；
③用了3种颜色，1203
6=A .所以
13
4
120360360720120360=++++=
P
【方法点评】考查排列组合的涂色问题，综合性强！
11．执行如图示的程序框图，输出的S 的值等于（ ）
A ．
tan101
101tan1- B ．
tan102
102tan1- C ．tan10199tan1
+
D ．tan10099tan1
+
【答案】A
12．若不等式()ln 120x x x k k +-+>对任意的()2,x ∈+∞都恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【答案】B
【解析】因为()ln 120x x x k k +-+>变形),2(2ln >-+<x x x x x k 令()2
ln -+=x x
x x x g
求导：()()
2
'
2ln 24---=
x x x x g ，令(),ln 24x x x h --=求导(),21'
x x h -= 在()∞+，
2上(),0'
>x h (),ln 24x x x h --=为增函数；0)8(,0)7(><h h
令()()
2
'
2ln 24---=
x x
x x g =0，零点0x ）（9,8∈满足(),0ln 24000=--=x x x h 即4ln 200-=x x ，
所以在()08x ，时，(),0'
<x g ()2ln -+=
x x
x x x g 是单减，
在()90，x 时，(),0'>x g ()2
ln -+=x x
x x x g 是单增的
∴()()0min x g x g =()9,8,2
24
00000
∈-+-=
x x x x x ）（，再令20-=x t ，()7,6∈t ()()()7,6,12
)(0min ∈+=
==t t
t g x g x g , 所以，时，6=t 412m in
=⎪⎭⎫
⎝⎛+t ，,4)(min =<x g k 取整数，那么k 的最大值是4
二、填空题（把正确答案填在题中横线上．）
13．曲线ln y x x x =-在点()1,1-处的切线方程为________． 【答案】y ＝-1
【解析】曲线ln y x x x =-，求导x y ln '
=，k=0所以切线方程为y ＝-1 14.已知π
0sin n xdx =⎰
，则
)()6
1
1n
x -的展开式中4
x
的系数为________．
【答案】-5
【解析】π
0sin n xdx =⎰2=
，所以
)()
6
1
1n
x -()()()6
6
6
1121-+-+-=x x x x x
一个一个求出来，-5
15.已知点()3,1A -，点(),P x y 满足线性约束条件10
0250x y x x y --⎧⎪
⎨⎪+-⎩
≤≥≤，O 为坐标原点，那OP 在
OA 方向上的投影的取值范围为________．
【答案】⎡⎢⎣⎦
16．设A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上运动，以AB 为边向外作正ABC △（ABC
△与OAB △不重叠），且正ABC △
的边长为M 为AC 的中点，则OC OM ⋅的最大值为________．
【答案】5+【解析】设0A 与x 轴的夹角为θ，写出()()
θθsin 22,0,0,cos 22B A ，
OC OM ⋅()()
22
2
1
230+∙+=++= 4-32cos cos 12cos 82
+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=θπθθ
()5
2sin 7252sin 332cos ++=++=ϕθθθ
所以，最大值5+【方法点评】
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2
sin 8sin 2
B
A C +=． （1）求tan
B ；
（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求ABC △的周长l ． 【答案】（1）
15
8
,（2）8 【解析】（1）由题知2
sin 8sin 2sin cos 222B B B B ==，1tan 24
B =， 于是2
1
284tan 15114B ⨯
==⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， （2）由（1）知，8sin 17B =
，15cos 17B =，由14sin 2217S ac B ac ===得172
ac =， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2-2ac ·cosB ＝（a ＋c ）2-32＝4， 故a ＋c ＋b ＝8，故△ABC 的周长为8．
18．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，59a =，13169S =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设3n
n n
a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12-=n a n ，（2）1
13
n n n T +=-
【解析】（1）由()
11313713131692
a a S a +===得a 7＝13，2d ＝a 7-a 5＝4，d ＝2，
故a n ＝9＋（n-5）·2＝2n-1．
（2
()231111
135213333n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅
()()
2341
1111
11
135********
33n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅
+- 于是()231211111221333333n n n T n +⎛⎫=+++
+-- ⎪⎝⎭ 111111121222
9321333313
n n n n n -++⎛⎫
- ⎪-+⎝⎭=+-=--，故113n n n T +=-．
19．已知()
22cos 1,1a x =--，π1,sin 26b x ⎛⎫⎛
⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，设()f x a b =⋅，且()0,πx ∈．
（1）求()f x 的单调递减区间；
（2）若函数()3y f x k =+恰有2个零点，求k 的取值范围． 【答案】（1）0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,6⎛⎫ππ ⎪⎝⎭．（2）333,,322⎛
⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭．
【解析】（1）由题知()22cos 1sin 26f x x x π⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭1cos22cos22x x x =-
1cos 22sin 226x x x π⎛
⎫==-- ⎪⎝
⎭，由22,2622x k k πππ⎛⎫-∈π-π+ ⎪⎝⎭ 得,63x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭，∵x ∈（0，π）∴0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,6⎛⎫ππ ⎪⎝⎭
，
∴f （x ）的单调递减区间为0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,6⎛⎫
ππ ⎪⎝⎭
．
（2）原函数y ＝3f （x ）＋k 恰有两个零点sin 2sin 2636k x y x ππ⎛⎫⎛
⎫⇔-=⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
x ∈（0，π）与3k
y =有两个不同交点，
作出sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，x ∈（0，π）的图像如图，
由图知，1132k -<
<-或1123
k -<< 故k 的取值范围为333,,322⎛
⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
20．世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格的
大型综合性运动会，每四年举办一届，会期7至10天，比赛设27个大项，参赛规模约100多个国家8000余人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被誉为“军人奥运会”.根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项．其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目．现对某国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：
（1）估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩X 近似地服从正态分布
()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50，用样本平均数x 作为μ的
近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，求射击成绩得分X 恰在350到400的概率；[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()
2,N μσ，则：
()0.6827P μσξμσ-<+≈≤， ()220.9545P μσξμσ-<+≈≤， ()330.9973P μσξμσ-<+≈⋅≤]
（3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知骰子出现任意点数的概
率都是
1
6
，方格图上标有第0格，第1格，第2格，……第50格．遥控车开始在第0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是1，2，3，4，5点，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若抛掷出正面向上的点数是6点，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移动到第49格（胜利大本营）或第50格
（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移动到第n 格的概率为n P ，试证明
{}()1149n n P P n --≤≤是等比数列，并求50P ，以及根据50P 的值解释这种游戏方案对意
向客户是否具有吸引力．
【解析】（1）
0.002X =⨯50⨯205+0.004⨯50⨯255+0.009⨯50⨯305+0.004⨯50⨯355+0.001⨯50⨯405=300
（2）因为X ～N （300，502），所以()()1
3504000.95450.68270.13592
P X <≤=
-=； （3）摇控车开始在第0格为必然事件，P 0＝1，第一次掷骰子，正面向上不出现6点，摇控车移动到第1格，其概率为56，即156
P =；摇控车移到第n 格（2≤n ≤49）格的情况是下列两种，而且也只有两种；
①摇控车先到第n-2格，抛掷出正面向上的点数为6点，其概率为21
6n P -；
②摇控车先到第n-1格，抛掷骰子正面向上不出现6点，其概率为15
6
n P -，
故211566n n n P P P --=+，()11216n n n n P P P P ----=--，故1≤n ≤49时，P n -P n-1是首项为10
1
6P P -=-，公比为1
6
-的等比数列，
故1
16n
n n P P -⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，P n ＝P 0＋（P 1-P 0）＋（P 2-P 1）＋…＋（P n -P n-1） 1
2
1
111116161116667616n n n ++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-+
+-==--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭
， 4949
50481161111116676762P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⋅⋅--=+<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，4950
1
12P P =->，故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力． 21．已知函数()()21
ln f x a x a x
=
+∈R ． （1）讨论()f x
的单调性；
（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛
⎫-++< ⎪⎝⎭．
【答案】（1）f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝． （2）212ln 10e a x x a ⎛
⎫-++< ⎪⎝
⎭
【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），且()23
3
2
2a ax f x x x x --'=-+=，
①当a ≤0时，f'（x ）≤0，f （x ）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a ＞0时，
由f'（x ）＞0得x ，故f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭
，
单调递减区间为⎛ ⎝．
（2）∵f （x ）有两个零点，∴由（1）知a ＞0且2ln 022a a f a =+<，∴a ＞2e ，
要证原不等式成立，只需证明211ln 2e x x a a ⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，只需证明1
221a e x x e a --<-，
只需证明1
212a e x x e a -<<<．
一方面∵a ＞2e 1<<，
∴1111022111ln 0222a a a a
f e e a e e e --⎛⎫=+=->-=> ⎪⎝⎭，∴
120a f f e -⎛⎫
< ⎪⎝
⎭，
且f （x ）在⎫+∞⎪⎪⎭
1
22a
x e -<；
另一方面，令()1
ln g x x ex
=+，（x ＞0）， 则()22111ex g x x ex ex -'=
-=，当10x e <<时，g'（x ）＜0；当1
x e
>
时，g'（x ）＞0； 故()min 1110g x g e ⎛⎫
==-+= ⎪⎝⎭
，故g （x ）≥0即1ln x ex ≥-时x ∈（0，＋∞）恒成立，
令e x a
=
， 则2ln e a a e >-，于是2
22222ln 0e a
e a a
f a a e
a e e ⎛⎫=+>-= ⎪⎝⎭，
而2
222222240e e a e e
a a a ---=<<，
故0e f a ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎛ ⎝单调递减，故1e x a <<
综合上述，1
212a e x x e a -<<<，即原不等式成立．
（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作
答时请写清题号． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程为()
2218sin 9ρθ+=，直线l 的参数方程为141x t
y t =-+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数）． （1）求C 与l 的交点的直角坐标；
（2）求C 上的点到直线l 的距离的最大值． 【答案】（1）（3，0）和2124,2525⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（2
【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋9y 2＝9，直线l 的直角坐标方程为x ＋4y ＝3，
由2
2
9943
x y x y ⎧+=⎨+=⎩得25y 2-24y ＝0，于是3
0x y =⎧⎨
=⎩21252425x y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
， 即C 与l 的交点直角坐标为（3，0）和2124,2525⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；
（2）设曲线C 上一点P （3cos θ，sin θ），
则P 到直线l
的距离d =
≤
=
故C 上的点到直线l
． 23．【选修4-5：不等式选讲】
已知函数()121f x x x =++-． （1）求不等式()4f x ≥的解集；
（2）若函数()y f x =图象的最低点坐标为(),p q ，正数a ，b 满足2pa qb +=，求41
a b
+的最小值．
【答案】（1）(]5,1,3⎡⎫-∞-
+∞⎪⎢⎣⎭
（2）3+【解析】（1）当x ≥1时，由f （x ）＝3x-1≥4得5
3
x ≥
；当-1＜x ＜1时，由f （x ）＝-x ＋3≥4得x ≤-1，舍去；当x ≤-1时，由f （x ）＝-3x ＋1≥4得x ≤-1，综合上述，
原不等式的解集为(]5,1,3⎡⎫
-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
．
（2）由()()()()
311311311x x f x x x x x -≥⎧⎪
=-+-<<⎨⎪
-+≤-⎩得f （x ）min ＝f （1）＝2，
故函数y ＝f （x ）图象的最低点为（1，2），
于是a ＋2b ＝2，(
)(
41141181
2663222
a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故
41
a b
+
的最小值为3+。