北京市丰台区2019年高三年级一模数学试题(文)

北京市丰台区2018年高三年级一模数学试题（文)
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．复数
1i
=+ A ．1i -+
B ．1i --
C ．1i +
D ．1i -
2．已知命题p ：∃x <1，21x ≤，则p ⌝为 A ．∀x ≥1, 2x ＞1 B ．∃x <1, 21x > C ．∀x <1, 21x >
D ．∃x ≥1, 21x >
3．已知0a b <<，则下列不等式中恒成立的是
A ．
11a b
> B C ．22a b >
D ．33a b >
4．已知抛物线C 的开口向下，其焦点是双曲线2
213
y x -=的一个焦点，则C 的标准方
程为 A ．28y x = B ．28x y =-
C ．2y =
D ．2x =
5．设不等式组05,
05
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩确定的平面区域为D ，在D 中任取一点(,)P x y 满足
2x y +≥的概率是
A ．
1112
B ．
56
C ．
2125
D ．
2325
6．执行如图所示的程序框图，那么输出的a 值是
A ．12
-
B ．1-
C ．2
D ．
12
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A ．
43
B ．4
C ．83
D
第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
8．已知集合{|20}A x x =-≤≤，{|03}B x x =<≤，则A B =U ____． 9．圆心为(1,0)，且与直线1y x =+相切的圆的方程是____．
10．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．
11．已知点(2,0)A ，(0,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则xy 的最大值为____． 12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，2()(1)1f x x =--+． ①当[1,0]x ∈-时，()f x 的取值范围是____；
②当函数()f x 的图象在直线y x =的下方时，x 的取值范围是____． 13．已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==． ①若3AB AC =u u u v u u u v ，则AB CD ⋅=u u u v u u u v
____；
②若AP AB AD =+u u u v u u u v u u u v
，则AP u u u v 的最大值为____．
三、解答题
14．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在[0,]π上的单调递增区间．
15．在数列{}n a 和{}n b 中，1=1a ，12n n a a +=+， 13b =，27b =，等比数列{}n c 满足n n n c b a =-.
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式； （Ⅱ）若6m b a =，求m 的值．
16．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，
2AD BC =，90DAB ABP ∠=∠=︒．
（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求证：AB ⊥PC ；
（Ⅲ）若点E 在棱PD 上，且CE P 平面PAB ，求
PE
PD
的值．
17．某地区工会利用 “健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可
获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，
[15,17)，[17,19)，[19,21]九组，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；
（Ⅱ）从当天步数在[11,13)，[13,15)，[15,17)的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率； （Ⅲ）写出该组数据的中位数（只写结果）．
18．已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点为F ，点(2,0)A -在椭圆C
上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程与离心率；
（Ⅱ）设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值． 19．已知函数1
()ln ()e
x f x a x a =
+∈R ． （Ⅰ）当1
e a =时，求曲线()y
f x =在(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内不单调，求a 的取值范围．
参考答案
1．D 【解析】 复数
21i =+2-212
i i =- 故答案为：D. 2．C 【解析】
根据全称命题与存在性命题之间的关系，
可知命题2
:1,1p x x ∃<≤的否定为2
1,1x x ∀，故选C ．
3．A 【解析】
构造函数1
y x =
是减函数，已知0a b <<,则11a b
>，故A 正确>故B 不正确；
C 构造函数2a
y =是增函数，故22a b <，故选项不正确；
D. 33a b >，构造函数3
y x =是增函数，故33a b <，所以选项不正确.
故答案为：A. 4．B 【解析】
双曲线2
213
y x -=的一个焦点为()0,2-，故抛物线的焦点坐标也是()0,2-，从而得到方
程为2
8x y =-. 故答案为B. 5．D 【解析】
不等式组05,
05x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩
确定的平面区域为D 是正方形，满足2x y +≥，即在直线2x y +≥上
方的部分，根据几何概型的计算公式得到23
25
P =
.
故答案为：D. 6．D 【解析】
根据题意得到当a=2,n=2 A=
1
,2,1,3,2,4,2,22
n a n a n a n ==-===== 由此可看出周期为3，当n=2018时输出结果，此时a=12
. 故答案为：D. 7．A 【解析】
根据三视图可知原图是个三棱锥，右侧面垂直于上底面，体积为：114
222.323
⨯⨯⨯⨯= 故答案为：A.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 8．{|23}x x -≤≤ 【解析】
集合{|20}A x x =-≤≤，{|03}B x x =<≤，则{|23}A B x x ⋃=-≤≤. 故答案为：{|23}x x -≤≤. 9．22(1)2x y -+= 【解析】
圆心为()1,0，设圆的方程为()2
221x y r -+=，与直线1y x =+相切，故
r =∴=
故答案为()2
212x y -+=. 10．14
-
【解析】
在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故
2221
32,3,cos .24
a b c a b b c ab +-=∴===-
故答案为：1
4
-
. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题.
对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc
+-=，
同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
11．
12
【解析】
已知点()2,0A ，()0,1B ，线段AB 方程为：1
12y x =-+，[]1
22,0,2,22.2
x y x x y xy +=∈+=≥⇒≤
故最大值为：1
2
.
12．[1,0]- 1,0+-∞（）（1,）U 【解析】
奇函数()f x ,故可以求函数在[]0,1上的值域，当0x >时，()()2
11f x x =--+在[]
0,1上
的值域为[]0,1，故在[]
1,0x ∈-上的值域为[]
1,0x ∈-；当函数()f x 的图象在直线y x =的下方时，即()2
11x x --+<,解得x 的取值范围是1,01,+-⋃∞（）（）.
故答案为：(1). []
1,0- (2). 1,01,+-⋃∞（）（）.
13．3
4
-
2 【解析】
由题意，
（1）中，因为3AB AC =u u u r u u u r
，所以C 为线段AB 的三等分点， 因为1CB CD ==，所以31
,22
AB AC =
=，如图所示， 则313()0cos 224
AB CD AB AD AC AB AD AB AC u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v π⋅=⋅-=⋅-⋅=-⨯=-，
（2）中，因为AP AB AD =+u u u r u u u r u u u r
，
所以AP AB AD BD =+====u u u v u u u v u u u v u u u v
，
如图所示，当点C 是线段BD 的中点时，此时BD 取得最大值，
此时最大值为2BD BC CB =+=，所以AP u u u r
的最大值为2．
点睛：本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
14．(1) πT =;(2) π
[0,]8和5π
[,π]8
． 【解析】
试题分析：（1）根据二倍角公式将原式子化简得到()π24f x x ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据周期的公式得到2ππ2T ==；（2）由题意得到πππ2π22π242
k x k -+≤+≤+，从而得到单调增区间. 解析：
（Ⅰ）()2
2sin cos 2cos 1f x x x x =+-
sin2cos2x x =+
π
24x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
所以()f x 的最小正周期为2π
π2
T =
=． （Ⅱ）由πππ
2π22π242k x k -+≤+≤+ ()k Z ∈，
得3ππ
ππ88
k x k -+≤≤+ ()k Z ∈． 当[]
0,πx ∈时，单调递增区间为π0,8⎡
⎤⎢⎥⎣⎦和5π,π8⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
15．(1) 21n a n =-,2n
n c =;(2) =38m .
【解析】
试题分析：（1）根据等差和等比数列通项的求法得到21n a n =-，
2n n c =（2）2n n n b a -=，21n a n =-，可得到221n n b n =+-，进而求出参数值.
解析：
（Ⅰ）因为12n n a a +-=，且1=1a ，
所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列． 所以()11221n a n n =+-⋅=-，即21n a n =-． 因为13b =，27b =，且11a =，23a =， 所以111=2c b a =-，222=4c b a =-． 因为数列{}n c 是等比数列，
所以数列{}n c 的公比2
1
2c q c =
=， 所以111222n n n n c c q --=⋅=⨯=，即2n
n c =． （Ⅱ）因为2n
n n b a -=，21n a n =-，
所以221n
n b n =+-． 所以6
62261=75b =+⨯-．
令21=75m -， 得=38m ． 16．(1)见解析;(2)见解析;(3) 1
2
PE PD =. 【解析】
试题分析：（1）证明线线平行：AD ⊥AB ，再由面面平行的性质得到AD ⊥平面PAB ；（2）先证得PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，故得到AB ⊥平面PBC ，所以AB ⊥PC ；（3）根据题意做出辅助线并证明四边形BCEF 为平行四边形，由平行线分线段成比例得到
1
2
PE PD =. 解析：
（Ⅰ）证明：因为90DAB ∠=︒，所以AD ⊥AB ． 因为平面PAB ⊥平面ABCD ， 且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以AD ⊥平面PAB ． （Ⅱ）证明：由已知得AD ⊥AB
因为AD BC P ， 所以BC ⊥AB ． 又因为90ABP ∠=︒，
所以PB ⊥AB ．
因为PB BC B ⋂= 所以AB ⊥平面PBC 所以AB ⊥PC ．
（Ⅲ）解：过E 作EF AD P 交PA 于F ，连接BF ．
因为AD BC P ，
所以EF BC P ．
所以E ，F ，B ，C 四点共面．
又因为CE P 平面PAB ，
且CE ⊂平面BCEF ，
且平面BCEF I 平面PAB BF =，
所以CE BF P ，
所以四边形BCEF 为平行四边形，
所以EF BC =．
在△PAD 中，因为//EF AD ， 所以
12
PE EF BC PD AD AD ===， 即12PE PD =．
17．(1) 300人;(2)
45;(3) 373
. 【解析】 试题分析：（1）根据条形分布直方图中的数据得到健步走的步数在[)5,7内的人数为60， 在[)7,9内的人数为100，在[)9,11内的人数为100，共得到300人；（2）根据分层抽样的概念得到在[)11,13内应抽取3人，每人的积分是90分，在[)13,15内应抽取2人，每人的积分是110分，在[)15,17内应抽取1人，每人的积分是130分，再根据古典概型的公式得到概率值；（3）由中位数的概念，根据直方图可求出结果.
解析：
（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在[
)3,5内的人数为0.022100040⨯⨯=；
健步走的步数在[)5,7内的人数为0.032100060⨯⨯=；
健步走的步数在[)7,9内的人数为0.0521000100⨯⨯=；
健步走的步数在[
)9,11内的人数为0.0521000100⨯⨯=； 4060100100300+++=．
所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人．
（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[)11,13内应抽取3人，记为1a ，2a ，3a ，每人的积分是90分；
在[)13,15内应抽取2人，记为1b ，2b ，每人的积分是110分；
在[)15,17内应抽取1人，记为c ，每人的积分是130分；
从6人中随机抽取2人，有12a a ，13a a ，11a b ，12a b ，1a c ，23a a ，21a b ，22a b ，2a c ，31a b ，
32a b ，3a c ，12b b ，1b c ，2b c 共15种方法．
所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的有11a b ，12a b ，1a c ， 21a b ，22a b ，2a c ，31a b ，32a b ，3a c ，12b b ，1b c ，2b c 共12种方法．
设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分为事件A ，则
()124155
P A ==． 所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的概率为
45． （Ⅲ）中位数为373
．
18．(1) 2
c e a =
=;(2)见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据点在椭圆上和焦点坐标可得到方程；（2）先设(),D m n ，(),E m n --根据题意得到20,2n M m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，20,2n N m -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭
，设以MN 为直径的圆与x 轴交于点()0,0G x 和
()0,0H x -,
所以0GM GN ⋅=u u u u v u u u v ，即2202404n x m -+=-，再由2
214
m n +=，即2244n m =-，故01x =. 解析：
（Ⅰ）
依题意，c =.
点()2,0A -在椭圆C 上．所以2a =．
所以2221b a c =-=．
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
离心率c e a ==． （Ⅱ）因为D ，E 两点关于原点对称，
所以可设(),D m n ，(),E m n --，()2m ≠± 所以2
214
m n +=． 直线AD ：()22
n y x m =++． 当0x =时，22n y m =+，所以20,2n M m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
． 直线AE ：()22
n y x m -=+-+． 当0x =时，22n y m -=
-+，所以20,2n N m -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭． 设以MN 为直径的圆与x 轴交于点()0,0G x 和()0,0H x -,（00x >），
所以，02,2n GM x m ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
u u u u v ，02,2n GN x m -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭u u u v ， 所以2
202
44n GM GN x m -⋅=+-u u u u v u u u v ． 因为点G 在以MN 为直径的圆上，
所以0GM GN ⋅=u u u u v u u u v ，即2
202
404n x m -+=-． 因为2
214
m n +=，即2244n m =-， 所以22
2
2244144n m x m m -===--，所以01x =． 所以()1,0G ，()1,0H -．所以2GH =．
所以以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值2．
方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.
19．(1) 1e y =;(2) 1{|0}e a a <<. 【解析】
试题分析：（1）根据导数的几何意义得到()1110e e f -'=+=，()11e
f =，进而得到在()()1,1f 处的切线方程为1
e
y =；（2）先求当函数单调时参数的范围，再求补集即可，函数()f x 在定义域内单调，等价于()0f x '≤恒成立，或()0f x '≥恒成立，即e 0x a x -≤恒成立，或e 0x a x -≥恒成立，等价于e x x a ≤恒成立或e x
x a ≥恒成立，构造函数研究函数的单调性求函数最值即可.
解析：
函数()f x 的定义域为()0,+∞， 导函数()1e e e
x x x a a x f x x x ='-=-+． （Ⅰ）当1e a =
时，因为()1110e e f -'=+=，()11e
f =， 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1e y =． （Ⅱ）()e (0)e
x x a x f x x x '-=>，
设函数()f x 在定义域内不单调时．．．．
，a 的取值范围是集合A ； 函数()f x 在定义域内单调时．．．
，a 的取值范围是集合B ，则R A B =ð． 所以函数()f x 在定义域内单调．．
，等价于()0f x '≤恒成立，或()0f x '≥恒成立， 即e 0x a x -≤恒成立，或e 0x a x -≥恒成立， 等价于e x x a ≤恒成立或e
x x a ≥恒成立． 令()()0e x x g x x =≥，则()1e x x g x ='-， 由()0g x '>得 01x <<，所以()g x 在()0,1上单调递增； 由()0g x '<得 1x >，所以()g x 在()1,+∞上单调递减． 因为()00g =，()11e
g =，且0x >时，()0g x >， 所以()10e g x ，⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 所以1{|0,}e B a a a 或=≤≥， 所以1{|0}e
A a a =<<．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.。