---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题

取到三个，设其中三个分别为 3a r、3b r 、3c r ， 则 (3a r ) (3b r ) (3c r ) 3(a b c r ) ，不可能为素数 .所以每类数最多只能取两
个.
结合上述两条，我们知道最多只能取 2 2 4个数，才有可能满足题设条件 .
另一方面，设所取的四个数为 1、 7、 5、 11，即满足题设条件 .
最上面一行的红色车位置选定后， 中间一行的红色车位置有 5 种选择； 上面两行的红色车位 置选定后， 最下面一行的红色车位置有 4 种选择。 三辆红色车的位置选定后， 黑色车的位置
3
有 3！ =6 种选择。所以共有 C6 6 5 4 6 14400 种停放汽车的方法 .
3．已知 x2 2 y 5, y 2 2 x 5 ，求 x3 2x 2 y 2 y 3的值 .
.否则，若三类数都有取到，设所取
数为 3a ， 3k 1 型数为 3b 1， 3k 2 型数为 3c 2 ，
3k 型
则 3a (3b 1) (3c 2) 3(a b c 1) ，不可能为素数 .所以三类数中， 最多能取到两类 .
其次， 我们容易知道， 每类数最多只能取两个 .否则， 若某一类 3k r (r 0、1、2) 型的数至少
综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数
.
8 ． 已 知 a1、 a2、 a3、 、 a2013 R ， 满 足 a1 a2 a3
a2013 0 ， 且
a1 2 a2
a2 2 a3
a23
a4
a22 0 1 2 a
2 0 2a，1 3 求 a2证0 1 ：3
1
a1 a2 a3
a2013 0 .
5．数列 an 满足 a1 1，前 n 项和为 Sn , Sn 1 4an 2 ，求 a2013 . 解析：根据条件知： 4an 1 2 Sn 2 an 2 Sn 1 an 2 4an 2 an 2 4 an 1 4an . 又根据条件知： a1 1,S2 a1 a2 4a1 2 a 2 5 .
所以数列 an : a1 1, a2 5,an 2 4an 1 4an .
若 存 在 一 组 a pq a p( q 1) . 令 ak (q 1) aik ( q 1) ， 其 中 k 1、2、3、 、m ，
i1 ,i2 , i3, ,i m
1,2,3, , m .则当 t p 时，都有 ait q ait (q 1) at(q 1) a p ( q 1) a pq .也
（ 7）
由（ 6） +（4）得： 13a 4b 3c 0 （ 8）
由（ 7） （ 5）得： a 0 ，代入（ 7）、（ 8）得： b c 0 ，代入（ 1）、（2）知： d e 0.
于是知 a b c d e 0 ，与 a,b,c,d ,e 不全为 0 矛盾 .所以不存在一个次数不超过 4 的
有理系数多项式 g ( x) ，其两根分别为 2 和 1 3 2 .
aij
，使得数阵中的每一行从左到
mxn
右都是递增的，即对任意的
i 1、2、3、 、m ，当 j1
j2 时，都有 aij1
aij 2 .现将
aij
的
mxn
每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的
m n 阶数阵，记作
aij
，即对任意的
mxn
j
1、2、3、 、 n ，当 i1
i2 时，都有 ai1 j
2013 年北约自主招生数学试题解析
1．以 2 和 1 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？
解析：显然，多项式 f (x) ( x2 2) (1 x)3 2 的系数均为有理数，且有两根分别为
2
和 1 3 2 .于是知，以 2 和 1 3 2 为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于
解析：根据条件知 :
(a1 2 a2 ) (a2 2a3) (a3 2 a4)
(a2013 2a1 ) ( a1 a2 a3
另 一 方 面 ， 令 a1 2 a2
a2 2 a3
a23
a4
a2013) 0 ，
（ 1）
a22 0 ，1 3a则
1m
a1 2 a、2 a2 2、 a3 a、23 、 a4
中a每2 个数或为a m ，或为 m .设其中有 k 个 m ，
即在 aiq (i
1、2、3、 、 m)中，至少有 p 个数小于 a pq ，也即 a pq 在数阵
aij
的第 q 列中，
mxn
至少排在第 p 1 行，与 a pq 排在第 p 行矛盾 .
所以对于任意 i 1、2、3、 、 m ，都有 aij
右都是递增的 .
综上所述知，以 2 和 1 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小为
5.
2．在 6 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色车和 3 辆完全相同的黑色车， 每一行每一列只有
一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？
解析：先从 6 行中选取 3 行停放红色车， 有 C63 种选择 .最上面一行的红色车位置有 6 种选择；
又 an 2 4an 1 4 an an 2 2an 1 2(an 1 2 an ) .令 bn an 1 2an ，
则 bn 1 2bn ,b1 a2 2a1 3 ，所以 bn 3 2n 1 .即 an 1 2 an 3 2 n 1 .
对 an 1 2an
3
2n
1
，两边同除以
2n
1 ，有
an 2n
进而知 xy (x y)2 ( x2 y2 )
1.
2
于是知： x3 2x2 y2 y3 4xy 15( x y) 50 16 .
综上所述知， x3 2x2 y2 y3 的值为 108 38 6 或 16.
4 ．如图， ABC 中， AD 为 BC 边上中线， DM , DN 分别
ADB , ADC 的角平分线， 试比较 BM CN 与 MN 的大小
2011 年“北约” 13 校联考自主招生数学试题
2012 年北约自主招生数学试题
1、求 x 的取值范围使得 f ( x) x 2 x x 1 是增函数；
2、求 x 11 6 x 2 x 27 10 x 2 1的实数根的个数；
3、已知 ( x 2
2x
m)( x 2
2x
n)
1 0 的 4 个根组成首项为 的等差数列，求
32cos6
2(4cos3 3cos ) 2 1 6 2(2cos 2 1)2 1 15(2cos2 1)
32cos 6 (32cos 6 48cos 4 18cos 2 1) (48cos 4 48cos 2 6) (30cos 2 15) 10 .
10．已知有 mn 个实数，排列成 m n 阶数阵，记作
m n；
4
4、如果锐角 ABC 的外接圆的圆心为 O ，求 O 到三角形三边的距离之比；
5、已知点 A( 2,0), B(2,0) ，若点 C 是圆 x 2 2x y2 0 上的动点，求 ABC 面积的最小值。 6、在 1,2, ,2012 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
AB AB BC BC C A CA 3 1 . AB AB BC BC C A CA 3
所以 AB BC CA 的模长为 1. ABC
都为素数
.
解析：所有正整数按取模 3 可分为三类： 3k 型、 3k 1 型、 3k 2 型 .
首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类
7a b c d e 0 2a 3b 2c d 0
4a 2c e 0
(1)
2b d 0
(2)
即方程组： 7a b c d e 0
(3) ，有非 0 有理数解 .
2a 3b 2c d 0
(4)
6a 3b c 0
(5)
由（ 1） +（3）得： 11a b c d 0 （ 6）
由（ 6） +（2）得： 11a 3b c 0
行的 n 个数的大小关系，并说明理由 .
ai2 j .试判断
aij
中每一
mxn
解析：数阵
aij
中每一行的
mxn
n 个数从左到右都是递增的，理由如下：
显然，我们要证数阵
aij
中每一行的
mxn
n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于
任意 i 1、2、3、 、m ，都有 aij ai ( j 1) ，其中 j 1、2、3、 、 n 1 .
从而知： a1 22013 a1 ，即得 a1 0 .同理可知： a2 a3
a2013 0 .命题得证 .
9．对任意的 ，求 32cos 6 cos6 6cos 4
解析：根据二倍角和三倍角公式知：
32cos 6 cos6 6cos 4 15cos 2
15cos 2 的值 .
32cos 6 (2cos 2 3 1) 6(2cos 2 2 1) 15(2cos 2 1)
1316111681128如果第n次出现反面那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的所以这个时候不出现连续3次正面的概率是如果第n次出现正面第次出现反面那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的所以这个时候不出现连续3次正面的概率是如果第n次出现正面第次出现反面那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的所以这个时候不出现连如果第n次出现正面第次正面所以不需要考虑
(2013 k) 个 m ，则：
(a1 2 a2 ) (a2 2 a3) (a3 2a4)
由（ 1）、（ 2）知：
(2 k 2013) m 0
( a2013 2a1 ) k m (2013 k) ( m) (2 k 2013)m
（ 2）
（ 3）
而 2k 2013为奇数，不可能为 0，所以 m 0 .于是知： a1 2a2 ,a2 2a3, a3 2 a4 , , a2012 2a2013 , a2013 2 a1 .
1 1
an 2n
3
，即
4
an 2n
1 1
an 2n
3 .令 cn
4
an 2n
，
则 cn 1
cn
3 4 ， c1
a1 2
1 2 ， 于 是 知 cn
13
3n 1
(n 1)
.所 以
24
4
an
3n 1 ,2 n 4
(3n
1)
2n
2
.于是知：
a2013
(3 2013 1) 22011
3019 22012 .
关系，并说明理由 .
解析：如图，延长 ND 到 E ，使得 DE DN ，连接 BE、 ME . 易知 BDE CDN ，所以 CN BE .又因为 DM , DN 分别
为 ADB , ADC 的角平分线，所以 MDN 90 ，知 MD 为 线 段 EN 的 垂 直 平 分 线 ， 所 以 MN ME . 所 以 B M C N B M B E M E.
解析：根据条件知：
x3 2x2 y2 y3 x(2 y 5) 2(2 y 5)(2 x 5) y(2 x 5) 15x 15 y 4xy 50 由 x2 2 y 5, y 2 2x 5 两式相减得 (x y)( x y) 2 y 2x 故 y x 或 x y 2 ①若 x y 则 x2 2x 5 ，解得 x 1 6 .于是知 x y 1 6 或 x y 1 6 .
5.
若存在一个次数不超过
4 的有理系数多项式 g ( x)
4
3
2
ax bx cx dx e ，其两根分别为
2 和 1 3 2 ，其中 a, b,c,d , e不全为 0，则：
g 2 (4a 2c e) (2b d) 2 0
4a 2c e 0 2b d 0
g 1 32
(7 a b c d e) (2 a 3b 2c d ) 3 2 (6a 3b c) 3 4 0
7、求使得 sin 4x sin 2x sin x sin 3x a 在 [ 0, ) 有唯一解的 a ；
8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；
9、求证：对于任意的正整数 n ， (1 2 )n 必可表示成 s s 1 的形式，其中 s N
2012 年自主招生北约联考数学试题解答
x2 y2 (2 y 5) (2 x 5) 2( y x) x y 2 38x 70 108 38 6 . （ 2）若 x y ，则根据条件知： x2 y2 (2 y 5) (2 x 5) 2( y x) x y 2 ， 于是 x2 y 2 (2 y 5) (2 x 5) 2( x y) 10 6 ，
当 x y 1 6 时， x3 2x2 y2 y3 4xy 15( x y) 50 4x2 30x 50 4( x2 2x 5) 38 x 70
38 x 70 108 38 6 .
当x y 1 6时
x3 2x2 y2 y3 4xy 15( x y) 50 4x2 30 50 4( x2 2x 5) 38x 70
6．模长为 1 的复数 A、B、C ，满足 A B C
AB BC CA
0 ，求
的模长 .
ABC
解析：根据公式 z z z 知， A A 1,B B 1,C C 1.于是知：
AB BC CA ABC
AB BC CA AB BC CA
ABC
ABC
( ABCC ABCC BCAA BCAA C ABB CABB ) ( AABB BBCC CCAA ) ( AB AB BC BC C A CA ) (AA BB CC )