初中人教版数学八年级下册：解题技巧专题：特殊平行四边形中的定值、最值问题 习题课件(含答案)

∵S△BPE－S△BCP＝S△BEC，
即 1BE·PR－1BC·PQ＝1BE·CF，
2
2
2
且 BE＝BC，
∴PR－PQ＝CF＝152.
6．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 AB
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上，AE＝1.若点 P 为对角线 BD 上的一个动点，则
△PAE 周长的最小值是( D )
A．3
B．4
C．5
1．(2020·南充中考)如图，面积为 S 的菱形 ABCD
中，点 O 为对角线的交点，点 E 是线段 BC 的中点，
过点 E 作 EF⊥BD 于 F，EG⊥AC 于 G，则四边形
EFOG 的面积为( B )
A.14S
B.18S
C.112S D.116S
2．如图，正方形 ABCD 的边长是 2，对角线 AC、
D．6
7．如图，∠MON＝90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B
分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A
随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，
其中 AB＝2，BC＝1.运动过程中，点 D 到点 O 的最
大距离为( A )
A. 2＋1
B. 5
C.
145 5
D.52
∴PR＋PQ＝152.
(2)如图③，当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点 时，其他条件不变，则 PR 与 PQ 之间又具有怎样的 数量关系？请直接写出你的猜想．
(2)PR－PQ＝12. 5
解析：如图③，过 C 作 CF⊥BD 于 F，作 CM⊥PR 于 M，连接 BP，
同(1)可知 CF＝152.
【变式题】正方形→菱形→矩形
(1)如图，菱形 ABCD 的周长为 16，面积为 12，P
是对角线 BD 上一点，分别作 P 点到直线 AB、AD
的垂线段 PE、PF，则 PE＋PF＝( B )
A．6
B．3
C．1.5
D．0.75
(2)(2020·太湖县期末)如图，矩形 ABCD 中，AB＝8， BC＝15，P 是边 AD 上的动点，PE⊥AC 于点 E，
解析：如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、 OD.∵OD≤OE＋DE，∴当 O、D、E 三点共线时， 点 D 到点 O 的距离最大．∵∠AOB＝90°，AB＝2， BC＝1，∴OE＝AE＝AD＝1.在 Rt△DAE 中，DE＝
AD2＋AE2＝ 12＋12＝ 2， ∴OD 的最大值为 2＋1.故选 A.
BD 相交于点 O，点 E、F 分别在边 AD、AB 上，且
OE⊥OF，则四边形 AFOE 的面积是( C )
A．4 B．2
C．1
D.12
3．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 为 AB 上一
点．若 EF⊥AC 于 F，EG⊥BD 于 G，则 EF＋EG
＝( D )
A．4
B．8
C．8 2 D．4 2
若efac于fegbd于g则efega4b8c8变式题正方形菱形矩形1如图菱形abcd的周长为16面积为12p是对角线bd上一点分别作p点到直线abad的垂线段pepf则pepfa6b3c15d07522020太湖县期末如图矩形abcd中ab8bc15p是边ad上的动点peacpfbd于点f则pepf120174
12．如图，菱形 ABCD 的边长为 8，∠BAD＝60°， 点 E 在 AB 上运动，点 F 在 BC 上运动(E，F 两点可 以和菱形的顶点重合)，且 EF＝4，点 N 是线段 EF 的中点，ME⊥AC，垂足为 M，求 MN 的最小值．(提 示：延长 EM 交 AD 于点 K， 连接 FK，通过构造中位线 进行转化)
E、点 C 重合)时，其他条件不变，则 PR＋PQ＝152是 否仍然成立？若成立，请给予 证明；若不成立，请说明理由；
解：(1)图②中结论 PR＋PQ＝152仍然成立． 证明如下：如图②，连接 BP，过 C 点作 CK⊥BD 于点 K. ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠BCD＝90°. 又∵CD＝AB＝3，BC＝4，
10．如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上 的动点，以 DE 为边作正方形 DEFG，H 是 CD 的 中点，连接 GH.若 GH 的最小值是 1，则正方形 ABCD 的边长为 2 2 .
11．如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于 O，点 E、F 分别在边 AB、BC 上，且 BE＝BF，射线 EO、 FO 分别交边 CD、AD 于 G、H. (1)求证：四边形 EFGH 为矩形；
∴BD＝ CD2＋BC2＝ 32＋42＝5. ∵S△BCD＝12BC·CD＝12BD·CK， ∴3×4＝5CK，∴CK＝152. ∵S△BCE＝12BE·CK，S△BEP＝12PR·BE，
S△BCP＝12PQ·BC，且 S△BCE＝S△BEP＋S△BCP， ∴12BE·CK＝12PR·BE＋12PQ·BC. 又∵BE＝BC，∴CK＝PR＋PQ.
5．如图，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点， 且 BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点 P 为直线 EC 上的 一点，且 PQ⊥BC 于点 Q，PR⊥BD 于点 R.如图①， 当点 P 为线段 EC 中点时， 易证得 PR＋PQ＝152.
(1)如图②，当点 P 为线段 EC 上的任意一点(不与点
解：如图，延长 EM 交 AD 于 K，连接 FK，BD. ∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠BAC＝∠DAC. ∵EM⊥AC，易证△AEM≌△AKM， ∴EM＝KM. 又∵EN＝NF，∴MN＝12KF. 当 KF⊥AD 时，KF 的值最小．
∵∠BAD＝60°，AB＝AD＝8， ∴△ABD 为等边三角形． 易得 S△ABD＝12×8×4 3＝16 3. ∵S 菱形 ABCD＝2S△ABD＝AD·FK， ∴2×16 3＝8×FK，解得 FK＝4 3. ∴MN 的最小值为 12KF＝2 3.
(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
AB∥CD，AD∥BC.
∴∠BAO＝∠DCO.
又∵∠AOE＝∠COG， ∴△AOE≌△COG(ASA)． ∴OE＝OG.同理得 OH＝OF. ∴四边形 EFGH 是平行四边形． ∵BE＝BF，∠ABD＝∠CBD，OB＝OB， ∴△EBO≌△FBO(SAS)．∴OE＝OF. ∴EG＝FH.∴四边形 EFGH 是矩形．
120 PF⊥BD 于点 F，则 PE＋PF 的值为 17 .
4．(2020·东台市期中)如图，矩形 ABCD 中，BC＝6， AB＝3，R 在 CD 边上，且 CR＝2，P 为 BC 上一动 点，E、F 分别是 AP、RP 的中点，当 P 从 B 向 C
37 移动时，线段 EF 的长度为 2 .
8．如图，在矩形 ABCD 的边 AD 上找一点 P，使得 点 P 到 B、C 两点的距离之和最短，则点 P 的位置 应该在 AD的中点 处．
9．如图，菱形 ABCD 的边长为 4，∠ABC＝60°， 且 M 为 BC 的中点，P 是对角线 BD 上的一动点， 则 PM＋PC 的最小值为 2 3 .
(2)若 OA＝4，OB＝3，求 EG 的最小值． (2)解：∵垂线段最短， ∴当 OE⊥AB 时，OE 最小． ∵OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°， ∴AB2＝OA2＋OB2＝25， ∴AB＝5.
∴S△AOB＝12OA·OB＝12AB·OE， 即 3×4＝5·OE，解得 OE＝152. ∵OE＝OG，∴EG＝254， 即 EG 的最小值是254.