高中数学人教A版选修1-1模块综合检测及答案

高中数学人教A 版选修1-1
模块综合检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0 (x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1
b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．以x 24－y 2
12＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 2
16＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 2
16＝1
4．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )
A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 2
0－bx 0
B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤1
2ax 20－bx 0
C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥1
2ax 20－bx 0
D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 2
0－bx 0
5．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．圆
C ．双曲线的一支
D ．线段
6．已知点P 在曲线y ＝4
e x ＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是
( )
A ．[0，π4)
B ．[π4，π
2)
C ．(π2，3π4]
D ．[3π
4，π) 7．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．不存在
8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
9．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. 6
B. 5
C.62
D.5
2
10．若当x ＝2时，函数f (x )＝ax 3－bx ＋4有极值－4
3，则函数的解析式为( )
A ．f (x )＝3x 3－4x ＋4
B ．f (x )＝1
3x 2＋4 C ．f (x )＝3x 3＋4x ＋4 D ．f (x )＝1
3x 3－4x ＋4
11．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0
12．若函数f (x )＝x 2＋a
x (a ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数 D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范 围是 ________________________________________________________________．
14．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为
________________________________________________________________________．
15．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与坐标轴不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝________.
16．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知p ：2x 2
－9x ＋a <0，q ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，且綈q 是綈p 的必要条件，求
实数a 的取值范围．
18．(12分)设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π
3，求△F 1PF 2的面积．
19.（12分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP
→
|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．
20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－4
3ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1. (1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．
21.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；
(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．
22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a
x －1(a ∈R )．
(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)当a ≤1
2时，讨论f (x )的单调性．
答案
1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]
2．B [命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．]
3．D [双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 2
4＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2
＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.]
4．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 2
2a ，此时函数对应的图象开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0
＝－b 2
2a ，那么对于任意的x ∈R ，
都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 2
0－bx 0.]
5．A [∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，
∴|OP |＝1
2|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，
∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋1
2|MF 2|＝a .
∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆．]
6．D [∵y ＝4
e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2
.
令e x ＋1＝t ，则e x ＝t －1且t >1，
∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4
t .
再令1
t ＝m ，则0<m <1，
∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －1
2)2－1，m ∈(0,1)． 容易求得－1≤y ′<0，
∴－1≤tan α<0，得3
4π≤α<π.]
7．B [因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以有f ′(x )≥0，x ∈[1，＋∞)，即3x 2－a ≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2.
因为x ∈[1，＋∞)时，3x 2≥3，从而a ≤3.] 8．B [由抛物线的定义， 得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]
9．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，∴－2＝－b
a ×4，∴a ＝2
b ，设b ＝k ，
则a ＝2k ，c ＝5k ，∴e ＝c a ＝5k 2k ＝5
2.] 10．D [因为f (x )＝ax 3－bx ＋4， 所以f ′(x )＝3ax 2－b .
由题意得⎩
⎪⎨⎪
⎧
f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝13
b ＝4
，
故所求函数解析式为f (x )＝1
3x 3－4x ＋4.]
11．D [如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，PF 1→＋PF 2→＝2PO →
，
∴（PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.
即 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ，
∴ |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→||PF 2→
|＝28a 2. ① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.
即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2. ② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2.
在△F 1PF 2中，由余弦定理得
cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1||PF 2|， ∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，b
a ＝ 2.
∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0.]
12．C [f ′(x )＝2x －a
x 2，故只有当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上才是增函数，因此A 、B 不对，当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，因此C 对，D 不对．]
13．[3,8)
解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 14.x 24－y 2
12＝1
解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得b
a ＝3，∴
b ＝3a . ∵抛物线y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，∴
c ＝4. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2， ∴a 2＝4，b 2＝12.
∴所求双曲线的方程为x 24－y 2
12＝1.
15．－b 2
a 2
解析 设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)， 则B (－x 1，－y 1)，
则k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 2
1
x 20－x 21
＝⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 2
0＋b 2－⎝⎛⎭⎫－b 2
a 2x 21＋
b 2x 20－x 2
1
＝－b 2a 2. 16．57
解析 f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝0， 得x ＝0或x ＝－2.
又∵f (0)＝a ，f (－3)＝a ， f (－2)＝a ＋4，f (3)＝54＋a ，
∴f (x )的最小值为a ，最大值为54＋a . 由题可知a ＝3，∴f (x )的最大值为57.
17．解 由⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧
1<x <32<x <4，
即2<x <3.∴q ：2<x <3.
设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p ，∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，
要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0， 需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧
8－18＋a ≤018－27＋a ≤0
. ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 18．解 如图所示，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，
则S △F 1PF 2＝12mn sin π
3
＝34mn .
由椭圆的定义知 |PF 1|＋|PF 2|＝20，
即m ＋n ＝20. ① 又由余弦定理，得
|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π
3 ＝|F 1F 2|2，
即m 2＋n 2－mn ＝122. ②
由①2－②，得mn ＝256
3.
∴S △F 1PF 2＝64
3 3.
19．解 设 P ＝(x ，y )，则 MN →＝(4,0)，MP →
＝(x ＋2，y )， NP →
＝(x －2，y )．
∴ |MN →|＝4，|MP →
|＝(x ＋2)2＋y 2， MN →·NP →＝4(x －2)，
代入 |MN →|·|MP →|＋MN →·NP →
＝0， 得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 即(x ＋2)2＋y 2＝2－x ， 化简整理，得y 2＝－8x .
故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .
20．解 (1)f ′(x )＝2ax －4
3a ，
由已知得⎩⎨⎧
f ′(1)＝2a －4
3a ＝1
f (1)＝a －4
3a ＋b ＝2，
解得⎩⎨⎧
a ＝32
b ＝5
2
，
∴f (x )＝32x 2－2x ＋5
2.
(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.
21．解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋1，
3x 2－y 2＝1消去y ，
得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.
依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
3－a 2
≠0，
Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.
(2)设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝2a
3－a 2
，
x 1x 2
＝－2
3－a 2
.
∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，
∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，
即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.
∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a
3－a 2＋1＝0， ∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.
22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2
x －1， x ∈(0，＋∞)，
所以f ′(x )＝x 2＋x －2
x 2，x ∈(0，＋∞)， 因此f ′(2)＝1，
即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，
所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.
(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a
x －1，
所以f ′(x )＝1
x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2
，x ∈(0，＋∞)． 令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)．
①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 所以当x ∈(0,1)时，g (x )>0，
此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；
当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，
此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，
即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1
a －1. a ．当a ＝1
2时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，
此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．
b ．当0<a <12时，1
a －1>1， x ∈(0,1)时，g (x )>0，
此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；
x ∈⎝⎛⎭
⎫1，1
a －1时，g (x )<0， 此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；
x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，g (x )>0，
此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．
c ．当a <0时，由于1
a －1<0. x ∈(0,1)时，g (x )>0，
此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，
此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 综上所述：
当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增；
当a ＝1
2时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；
当0<a <1
2时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a －1上单调递增，在⎝⎛⎭
⎫1a －1，＋∞上单调递减．
模块综合检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)
1．已知命题“p ：x ≥4或x ≤0”，命题“q ：x ∈Z ”，如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为( )
A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∉Z }
B ．{x |－1≤x ≤3，x ∉Z }
C ．{－1,0,1,2,3}
D ．{1,2,3}
2．“a >0”是“|a |>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知2x ＋y ＝0是双曲线x 2－λy 2＝1的一条渐近线，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D ．2
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 2
4＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 2
10＝1
5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )
A ．2 3
B ．6
C ．4 3
D ．12
6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.y 24－x 22＝1 D.y 22－x 2
4＝1
7．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5 8．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )
A ．(0,1]
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，－1]，(0,1)
D ．[－1,0)，(0,1] 9．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3
C.303
D.32 6
10．设曲线y ＝x ＋1
x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )
A ．2 B.12 C ．－1
2 D ．－2
11．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )
12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝4x 3
－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极小值－6时，x 的值应为( )
A ．0
B ．－1
C ．±1
D ．1
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．
14．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． 15．给出如下三种说法：
①四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc . ②命题“若x ≥3且y ≥2，则x －y ≥1”为假命题． ③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确说法的序号为________．
16．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．
18．(12分)F 1，F 2是椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线引垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹．
19.(12分)若r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.已知∀x ∈R ，r (x )为假命题且s (x )为真命题，求实数m 的取值范围．
20．(12分)已知椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为
2
2，过点B(0，－
2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
22．(12分)已知f(x)＝2
3x
3－2ax2－3x (a∈R)，
(1)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数a的取值范围；
(2)试讨论y＝f(x)在(－1,1)内的极值点的个数．
答案
1．D
2．A [因为|a |>0⇔a >0或a <0，所以a >0⇒|a |>0，但|a |>0 ⇒a >0，所以“a >0”是“|a |>0”的充分不必要条件．]
3．C
4．A [由题意知c ＝4，焦点在x 轴上，
又e ＝c a ＝2，∴a ＝2，
∴b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，
∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.]
5．C [设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知
|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，
所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC |
＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3.]
6．D [与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，
由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.
所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.]
7．B [y ′＝3x 2－6x ，∴k ＝y ′|x ＝1＝－3，
∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，
∴y ＝－3x ＋2.]
8．A [由题意知x >0，
若f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x ≤0，则0<x ≤1，
即函数f (x )的递减区间是(0,1]．]
9．C [令直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋2y 21＝4 ①x 22＋2y 22＝4 ②
①－②得：
(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，
即2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，
∴k l ＝－12，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －3＝0x 2＋2y 2－4＝0，得6y 2－12y ＋5＝0. ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝56.
∴|AB |＝⎝⎛⎭
⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝303.] 10．D [y ＝x ＋1x －1
， ∴y ′|x ＝3＝－2(x －1)
2|x ＝3＝－12. 又∵－a ×⎝⎛⎭
⎫－12＝－1，∴a ＝－2.] 11．A [依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A 满足．]
12．C [f (x )＝x 4－2x 2＋c .
因为过点(0，－5)，所以c ＝－5.
由f ′(x )＝4x (x 2－1)，得f (x )有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f (1)＝f (－1)＝－6.] 13. 3 解析 焦点(±2,0)，渐近线：y ＝±3x ，
焦点到渐近线的距离为23(3)2＋1
＝ 3. 14. 2
解析 先设出曲线上一点，求出过该点的切线的斜率，由已知直线，求出该点的坐标，再由点到直线的距离公式求距离．设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，则经过该点的切线的斜
率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0
＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0>0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2
＝ 2. 15．①②
解析 对①，a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之不一定，故①正确；对②，令x ＝5，y ＝6，则x －y ＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p ∧q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．
16．(1,3]
解析 设|PF 2|＝m ，
则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m ，
2c ＝|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＝3m .
∴e ＝c a ＝2c 2a ≤3，又e >1，
∴离心率的取值范围为(1,3]．
17．解 命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4>0m >0
⇔m >2. 命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根
⇔Δ′＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0
⇔1<m <3.
∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，
∴p 为真、q 为假或p 为假、q 为真，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m >2m ≤1或m ≥3或⎩
⎪⎨⎪⎧
m ≤21<m <3， 解得m ≥3或1<m ≤2.
18．解 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)，F 1，F 2是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)，连结PO ，
过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ，则P 是F 2H 的中点，且|F 2Q |＝|QH |，
因此|PO |＝12|F 1H |＝12(|F 1Q |＋|QH |)
＝12(|F 1Q |＋|F 2Q |)＝a ，
∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交
点)．
19．解 由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4∈[－2，2]， ∀x ∈R ，r (x )为假命题即sin x ＋cos x >m 恒不成立．
∴m ≥ 2. ①
又对∀x ∈R ，s (x )为真命题．
∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立．
则Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2. ②
故∀x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题， 应有2≤m <2.
20．解 (1)由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22，
又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2.
∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.
(2)∵F 1(－1,0)，
∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1
，得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，
∴直线与椭圆有两个公共点，
设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－169x 1x 2＝23，
∴|CD |＝1＋(－2)2|x 1－x 2|
＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝5·⎝⎛⎭
⎫－1692－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，
故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.
21．解 (1)由f (x )的图象经过P (0,2)知d ＝2，
∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，
f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .
由在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，
即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩
⎪⎨⎪⎧ b －c ＝0，2b －c ＝－3， 解得b ＝c ＝－3.
故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.
(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3，令3x 2－6x －3＝0，
即x 2－2x －1＝0.
解得x 1＝1－2，x 2＝1＋ 2.
当x <1－2或x >1＋2时，f ′(x )>0.
当1－2<x <1＋2时，f ′(x )<0.
故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2在(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)内是增函数，在(1－2，1＋2)内是减函数．
22．解 (1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，
∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，
∵f (x )在区间(－1,1)上为减函数，
∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立；
∴⎩⎪⎨⎪⎧
f ′(－1)≤0f ′(1)≤0 得－14≤a ≤14. 故a 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤－14，14. (2)当a >14时，∵⎩⎨⎧ f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14>0f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0，
∴存在x 0∈(－1,1)，使f ′(x 0)＝0，
∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，
∴在(－1，x 0)内，f ′(x )>0，在(x 0,1)内，f ′(x )<0，
即f (x )在(－1，x 0)内单调递增，在(x 0,1)内单调递减，
∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．
当a <－14时，∵⎩⎨⎧ f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14<0f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14>0，
∴存在x 0∈(－1,1)使f ′(x 0)＝0.
∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，
∴在(－1，x 0)内f ′(x )<0，
在(x 0,1)内f ′(x )>0.
即f (x )在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增，
∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．
当－14≤a ≤14时，由(1)知f (x )在(－1,1)内递减，没有极值点．
综上，当a >14或a <－14时，f (x )在(－1，1)内的极值点的个数为1，当－14≤a ≤14时，f (x )在(－
1，1)内的极值点的个数为0.
模块综合检测(C)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)
1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )
A ．双曲线的一部分
B ．椭圆的一部分
C ．圆的一部分
D ．直线的一部分
2．若抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A ．x 2＝－28y
B ．x 2＝28y
C ．y 2＝－28x
D ．y 2＝28x
3．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A ．2 B. 3 C. 2 D.32
4．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .
其中真命题的序号是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
5．已知a 、b 为不等于0的实数，则a b >1是a >b 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
6．若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4，m )是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆一共有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．4个
7．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 6 C.233 D.263 8．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为245，则此双曲线方程是( )
A.x 212－y 24＝1 B ．－x 212＋y 2
4＝1
C.x 24－y 212＝1 D ．－x 24＋y 2
12＝1
9．下列四个结论中正确的个数为( )
①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”；
②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p ∧q 为真命题；
③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；
④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c ) (a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )
A ．(a ，b )
B ．(a ，c )
C ．(b ，c )
D ．(a ＋b ，c )
11．函数y ＝ln x x 的最大值为( )
A ．e －1
B ．e
C ．e 2 D.103
12．已知命题P ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ；命题Q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≤1
B ．a <2
C ．1<a <2
D ．a ≤1或a ≥2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．
14．一动圆圆心在抛物线x 2＝8y 上，且动圆恒与直线y ＋2＝0相切，则动圆必过定点________．
15．已知F 1、F 2是椭圆C x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，PF 1→⊥PF 2→.
若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.
16．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是
________________________________________________________________________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知p ：x 2－12x ＋20<0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0 (a >0)．若綈q 是綈p 的充分条 件，求a 的取值范围．
18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f (x )＝0的一个根为2.
(1)求c 的值；
(2)求证：f (1)≥2.
19.(12分) 如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一个定点，动弦ME 、MF 分别与x 轴交于不同的点A 、B ，且|MA |＝|MB |.证明：直线EF 的斜率为定值．
20．(12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
21.(12分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．
22.（12分）如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2=－2py （p>0）
交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)．
(1)求直线l 和抛物线C 的方程；
(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．
答案
1．B [x ＝1－4y 2，∴x 2＋4y 2＝1 (x ≥0)．
即x 2＋y 214
＝1 (x ≥0)．]
2．D
3．C [由已知，b 2
a 2＝1，∴a ＝
b ，
∴c 2＝2a 2，∴e ＝c a ＝2a a ＝ 2.]
4．C
5．D [如取a ＝－3，b ＝－2，满足a b >1，但不满足a >b .反过来取a ＝1，b ＝－5，满足a >b ，
但不满足a b >1，故答案为D.]
6．D [因为点M (4，m )在抛物线y 2＝4x 上，所以可求得m ＝±4.由于圆经过焦点F 且和准线l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上．又因为圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知对于点M (4,4)和(4，－4)，都各有两个交点，因此一共有4个满足条件的圆．]
7．C
8．B [由已知得椭圆中a ＝5，b ＝3，
∴c ＝4，且它的焦点在y 轴上，
故双曲线的焦点也应在y 轴上且为(0,4)和(0，－4)，
又椭圆的离心率为e ＝c a ＝45，
所以双曲线的离心率为2，即c a ＝2，
又c ＝4，∴它的实半轴为2，虚半轴平方为
b 2＝
c 2－a 2＝16－4＝12， 则双曲线方程为y 24－x 2
12＝1.]
9．B [只有③中结论正确．]
10．A
11．A [令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x
2＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0，y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e .]
12．C [先化简P 与Q ，建构关于a 的关系式；由函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R 知：内层函数u (x )＝x 2＋2x ＋a 恰好取遍(0，＋∞)内的所有实数⇔Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即P ⇔a ≤1；同样由y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a >1，即Q ⇔a <2；由P 或Q 为真，P 且Q 为假知，P 与Q 中必有一真一假．故答案为C.]
13.⎣⎡⎭⎫13，＋∞
解析 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，依题意可知f (x )在R 上只能单调递增，所以Δ＝4－12m ≤0，
∴m ≥13.
14．(0,2)
解析 动圆一定过抛物线x 2＝8y 的焦点．
15．3
解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|＋|PF 2|＝2a |PF 1|·|PF 2|＝18， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋36＝4a 2，
又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，
∴4a 2－4c 2＝36，∴b ＝3.
16．(－∞，－3)∪(0,3)
解析 设F (x )＝f (x )g (x )，
由已知得，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．
当x <0时，F ′(x )>0，
∴F (x )在(－∞，0)上为增函数．
又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．
∴F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，
∴F (x )为奇函数．
∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数．
又g (－3)＝0，∴F (－3)＝0，F (3)＝0.
∴f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
17．解 p ：{x |2<x <10}，
q ：{x |x <1－a ，或x >1＋a }．
由綈q ⇒綈p ，得p ⇒q ，
于是1＋a <2，∴0<a <1.
18．(1)解 ∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴f ′(0)＝0.
∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝c ＝0.
∴c ＝0.
(2)证明 ∵f (2)＝0，∴8＋4b ＋2c ＋d ＝0，
而c ＝0，∴d ＝－4(b ＋2)．
∵方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＝0的两个根分别为x 1＝0，x 2＝－23b ，且f (x )在[0,2]上是减函数，
∴x 2＝－23b ≥2，∴b ≤－3.
∴f (1)＝b ＋d ＋1＝b －4(b ＋2)＋1
＝－7－3b ≥－7＋9＝2.
故f (1)≥2.
19．证明 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，则直线MF 的斜率为－k ，
直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k (x －y 20)y 2＝x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.
于是y 0·y E ＝y 0(1－ky 0)k
. 所以y E ＝1－ky 0k .同理可得y F ＝1＋ky 0－k
. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝y E －y F y 2E －y 2F
＝1y E ＋y F ＝－12y 0
(定值)． 20．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，
故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.
函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，则有3－2a >1，即a <1.
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．
①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧
－2<a <2，a ≥1， ∴1≤a <2.
②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤－2，或a ≥2，a <1， ∴a ≤－2.
综上可知，所求实数a 的取值范围为{a |1≤a <2或a ≤－2}．
21．解 由f (x )>1，得ax －ln x －1>0.
即a >1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内恒成立．
设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x 2，
∵x >1，∴g ′(x )<0.
∴g (x )＝1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内单调递减．
∴g (x )<g (1)＝1，
即1＋ln x x <1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1.
22．解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.
因为 OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)
＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
p ＝1，k ＝2. 所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .
(2)设P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大， y ′＝－x ，
所以－x 0＝2⇒x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，
所以P (－2，－2)．
此时点P 到直线l 的距离
d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0， |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410.
∴△ABP 面积的最大值为410×4552
＝8 2.。