2023届新高考数学复习：专项(分段函数零点问题 )经典题提分练习(附答案)

2023届新高考数学复习：专项（分段函数零点问题）经典题提分练习
一、单选题
1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0
log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0-
B ．[)1,-+∞
C ．(),0∞-
D ．(],1-∞
2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,
()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪
=⎨⎛⎫
+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）
A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦
C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫
⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,0
3,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩
， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()
g x 的零点个数为（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x a
x a x a x a π⎧⎡⎤
⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．5711
,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪
=⎨<⎪-⎩若函数()()11
g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
B ．(){}1,10,14⎛⎫
-∞- ⎪⎝⎭
C ．()1,10,4⎡⎫
-∞-⎪⎢⎣⎭
D ．(){}14,10,14⎡⎫
--⎪⎢⎣⎭
6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1
,0
ln ,0
x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为
（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 2
2,43,x x a x ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A
．[)2,⎫
⋃+∞⎪⎪⎝⎭
B ．()[)0,12,+∞
C
．[)7,2,28⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭
D
．7,228⎛⎫⎡⎤
⋃ ⎪⎢⎥ ⎪⎣
⎦⎝⎭ 8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2
ln ,0
,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩
若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．1
0e k -<<
9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，
()[)[)
12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪
=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）
A ．21a -
B ．12a -
C ．21a --
D ．12a --
10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2
22
,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、多选题
11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）
A ．当0k >时，有3个零点
B ．当0k <时，有2个零点
C ．当0k >时，有4个零点
D ．当0k <时，有1个零点
12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()(
)2
2,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，
其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ）
A ．1
B ．
74
C ．2
D ．3
13．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,
2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）
A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1
B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增
C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点
D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点
14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()1
21,0
2|log ,0
x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩
，令
()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）
A ．若()g x 有1个零点，则0a =
B ．()0f x >恒成立
C ．若()g x 有3个零点，则1
02
a <<
D ．若()g x 有4个零点，则
1
12
a ≤< 15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说法正确的是（ ）
A ．当0a >时，()g x 有4个零点
B ．当0a >时，()g x 有5个零点
C ．当a<0时，()g x 有1个零点
D ．当a<0时，()g x 有2个零点
16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02
()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩，下列
结论中正确的是（ ）
A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2
f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
+
+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，其中N k ∈；
C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；
D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；
17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0
()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的
可能取值是（ ）
A ．0
B ．14-
C ．13-
D ．15
-
18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,2
2021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值
可能为（ ）
A ．1
B ．2
C ．15
D ．16
三、填空题
19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,01
5,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则
实数m 的取值范围为_____________.
20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x a
f x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]
g x f f x =在R 上有三个不同的
零点，则实数a 的取值范围是______________．
21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1
(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函
数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．
22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有
()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______．
23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，
恰有2个零点，则=a __________．
24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0
()e 1,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，
则实数m 的取值范围是___________.
25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()3
2
21014680x x f x x x g x x x x x ⎧
+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，
，，，
则函数
()()()1h x f g x =-的零点为________．
26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足
2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧
⎪
=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰
好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____
27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,
10k x f x x x kx x ⎧
-<⎪=⎨⎪-->⎩
恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．
28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若3
48,122()1,2
22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩ 则()()6g x xf x =-在*
1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________．
29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0
()42,0x
x x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________
30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32
,0
()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.
参考答案
一、单选题
1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0
log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0- B ．[)1,-+∞ C ．(),0∞- D ．(],1-∞
【答案】A
【答案解析】()()0()g x f x m f x m =+=⇔=-Q
()g x ∴存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：
由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足01m <-≤，解得：[)1,0m ∈- 故选：A.
2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,
()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪
=⎨⎛⎫
+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）
A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦
C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫
⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
【答案】A
【答案解析】设()(2)ln(1)g x x x =-+，()cos 34h x x π⎛
⎫+ ⎝
=⎪⎭，
求导()23
ln(1)ln(1)111
x g x x x x x -'=++
=++-++ 由反比例函数及对数函数性质知()g x '在(]1,,0m m ->上单调递增，
且102g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()10g '>，故()g x '在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭内必有唯一零点0x ，
当()01,x x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减；
当(]0,x x m ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；
令()0g x =，解得0x =或2，可作出函数()g x 的图像， 令()0h x =，即3,4
2
x k k Z π
π
π+=
+∈，在(]0,π之间解得12
x π
=
或
512π或34
π， 作出图像如下图
数形结合可得：π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫
⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，
故选：A
3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,0
3,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩
， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()
g x 的零点个数为（ ） A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【答案解析】当0x >时，0x -<，()3f x x -=
当0x <时，0x ->，()e x
f x --=
()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x -⎧->⎪
∴=--==⎨⎪+<⎩
，
()()()()g x f x f x g x -=--=-，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，
所以我们求出0x >时零点个数即可，
(0,)3e x g x x x =->，()3e 0x g x '=->，令()3e 0x g x '=->，解得0ln3x <<，
故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，
且(ln 3)3ln 330g =->，而()2
26e 0g =-<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，
1
311e 03g ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：
故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞-上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.
4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x a x a x a x a π⎧⎡⎤
⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．5711
,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D
【答案解析】当0a ≤时，对任意的0x ≥，()()22
212f x x a x a =-+++在[)0,∞+上至多2个零点，不合乎
题意，所以，0a >.
函数()22
212y x a x a =-+++的对称轴为直线12
x a =+
，()()22
214247a a a ∆=+-+=-. 所以，函数()f x 在1,2a a ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()2f a a =-.
①当470a ∆=-<时，即当7
04
a <<
时，则函数()f x 在[),a +∞上无零点， 所以，函数()12sin 22f x x a π⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦在[)0,a 上有5个零点，
当0x a ≤<时，111222a x a -≤-+<，则()11222a x a πππ⎛
⎫-≤-+< ⎪⎝⎭，
由题意可得()5124a πππ-<-≤-，解得
5
32
a ≤<，此时a 不存在；
②当Δ0=时，即当74a =
时，函数()f x 在7,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上只有一个零点， 当70,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2cos 2f x x π=-，则7022x ππ≤<，则函数()f x 在70,4⎡⎫
⎪⎢⎣⎭上只有3个零点，
此时，函数()f x 在[)0,∞+上的零点个数为4，不合乎题意；
③当()20Δ470
f a a a ⎧=-≥⎨=->⎩时，即当7
24a <≤时，函数()f x 在[),a +∞上有2个零点，
则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有3个零点，
则()3122a πππ-<-≤-，解得
322a ≤<，此时7
24
a <<； ④当()20
Δ470f a a a ⎧=-<⎨=->⎩时，即当2a >时，函数()f x 在[),a +∞上有1个零点，
则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有4个零点，
则()4123a πππ-<-≤-，解得522
a ≤<
，此时，5
22a <<.
综上所述，实数a 的取值范围是75,22,42⎛⎫⎛⎫
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：D.
5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪
=⎨<⎪-⎩若函数()()11
g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
B ．(){}1,10,14⎛⎫
-∞- ⎪⎝⎭
C ．()1,10,4⎡⎫
-∞-⎪⎢⎣⎭
D ．(){}14,10,14⎡⎫
--⎪⎢⎣⎭
【答案】B
【答案解析】()()11,1
11,1x x x f x x x ⎧--≤⎪-=⎨->⎪⎩，故()()1,11111,1
x x x f x x x ⎧-≤⎪
-+=⎨-+>⎪⎩，
则函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点等价于()11f x ax -+=有两个不同的解， 故()11,y f x y ax =-+=的图象有两个不同的交点，
设()()()()1,01111,01
1,1x x x g x f x x x x x x ⎧
⎪-≤≤⎪
=-+=--<⎨⎪⎪-+>⎩
又(),y g x y ax ==的图象如图所示，
由图象可得两个函数的图象均过原点，
若0a =，此时两个函数的图象有两个不同的交点， 当0a ≠时，
考虑直线y ax =与()()2
01g x x x x =-≤≤的图象相切，
则由2ax x x =-可得()2
100a ∆=--=即1a =， 考虑直线y ax =与()1
1(1)g x x x
=-+≥的图象相切，
由11ax x =-+可得210ax x -+=，则140a ∆=-=即1
4
a =.
考虑直线y ax =与()2
(0)g x x x x =-≤的图象相切，
由2ax x x =-可得()2
100a ∆=+-=即1a =-， 结合图象可得当1
14
a <<或1a <-时，两个函数的图象有两个不同的交点， 综上，
1
14
a <<或1a <-或0a =， 故选：
B.
6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1,0
ln ,0x x f x x x x ⎧
+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦
=+的零点个数为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【答案解析】令()2t f x =+，
当1x <-时，1
()(,2)f x x x =+∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞，
当10x -<<时，1
()(,2)f x x x
=+∈-∞-且递减，此时(,0)t ∈-∞，
当2
1
0e <<x 时，()ln (,2)f x x =∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞， 当2
1
e x >
时，()ln (2,)f x x =∈-+∞且递增，此时(0,)t ∈+∞， 所以，()g x 的零点等价于()f t 与=2y -交点横坐标t 对应的x 值，如下图示：
由图知：()f t 与=2y -有两个交点，横坐标11t =-、201t <<： 当11t =-，即()3f x =-时，在(),1x ∈-∞-、(1,0)-、21
(0,
)e
上各有一个解；当201t <<，即2()1f x -<<-时，在21,e x ∞⎛⎫
∈+ ⎪⎝⎭有一个解.
综上，()g x 的零点共有4个. 故选：B
7．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 2
2,43,x x a
x ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ）
A
．[)2,⎫
⋃+∞⎪⎪⎝⎭
B ．()[)0,12,+∞
C
．[)72,8⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭
D
．7,28⎫⎡⎤
⋃⎪⎢
⎥⎪⎣⎦
⎝⎭ 【答案】A
【答案解析】①若2x =是一个零点，则需要2()43()f x x ax x a =-+> 只有一个零点， 即有2a ≥，且此时当x a >时，需要2430()x ax x a -+=>只 有一个实根， 而221612162120a ∆=-≥⨯-> ，
解方程根得2x a =±，
易得
2a 2a <<
<2a 即当2a ≥ 时， ()f x 恰有 2
个零点，122,2x x a ==. ②若2x =
不是函数的零点，则2x a =为函数的 2 个零点，
于是2
2
Δ161202a a a a ⎧<⎪=->⎨⎪<⎩ ，
解得：
1.2
a << 综上
:[)2,2a ∞⎛⎫
∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭
.
故选：A.
8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2
ln ,0
,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩
若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．1
0e k -<<
【答案】D
【答案解析】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，
当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
递增，
∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11e e f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，且10e x <<时，ln 0x x <；
当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞； 当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；
∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则1
0e
k -<<，
故选：D ．
9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，
()[)[)
12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）
A ．21a -
B ．12a -
C ．21a --
D ．12a --
【答案】B
【答案解析】由题设，画出[0,)+∞上()f x 的大致图象，又()f x 为奇函数，可得()f x 的图象如下：
()F x 的零点，即为方程()0f x a -=的根，即()f x 图像与直线y a =的交点.
由图象知：()f x 与y a =有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为12344,,,,x x x x x ， 1、12,x x 关于3x =-对称，126x x +=-；
2、30x <且满足方程()()()333f x a f x a f x a =⇒-=-⇒-=-即()132
log 1x a -+=，解得：312a x =-；
3、45,x x 关于3x =轴对称，则456x x +=；
1234512∴++++=-a x x x x x 故选：B
10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2
22
,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A
【答案解析】令(),()0t f x F x ==，则3
()202
f t t --=， 作出()y f x =的图象和直线3
2+
2
y x =，由图象可得有两个交点，设横坐标为12,t t ，
∴120,(1,2)t t =∈.
当1()f x t =时，有2x =，即有一解；当2()f x t =时，有三个解， ∴综上，()0F x =共有4个解，即有4个零点. 故选：A 二、多选题
11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()2
1,0
log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩
，下列是关于函数
()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）
A ．当0k >时，有3个零点
B ．当0k <时，有2个零点
C ．当0k >时，有4个零点
D ．当0k <时，有1个零点
【答案】CD
【答案解析】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，
①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，
∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解， 由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．
②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，
由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．
12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()()22,2
2,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ） A ．1
B ．
7
4
C ．2
D ．3
【答案】BD
【答案解析】∵()(
)2
2,2,
2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，
∴()2
22,0
2,0x x f x x x ⎧--≥-=⎨<⎩ ， ∵函数()()y f x g x =-恰好有两个零点，
∴方程()()0f x g x -=有两个解，即()(2)0f x f x b +--=有两个解， 即函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点，
()()222,0
22,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪
=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩ ，
作函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象如下， 当12x =-和52x =，即115572222224f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫-+
+=+
-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ ，
结合图象可知，当7
24
b <≤时，有不止两个交点， 当2b >或7
4
b =时，满足函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点， 当7
4
b <
时，无交点， 综上，2b >或7
4
b =
时满足题意，
故选：BD.
13．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,
2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）
A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1
B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增
C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点
D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点
【答案解析】当0,x ≤()2
2211y x x x =--=++-，
故()221,0
2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩
的图像如图所示，
对AC ，函数()()g x f x m =-有3个零点，相当于()y f x =与y m =有3个交点，
故m 的取值范围是()0,1，直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点，AC 对； 对B ，函数()f x 在(),0∞-上先增后减，B 错；
对D ，如图所示，联立2
22y x y x x =+⎧⎨=--⎩可得解得20x y =-⎧⎨=⎩或1
1x y =-⎧⎨=⎩，由图右侧一定有一个交点，故函数()f x 的图象与直线2y x =+不止一个公共点，D 错.
14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()1
21,0
2|log ,0
x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩
，令
()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）
A ．若()g x 有1个零点，则0a =
B ．()0f x >恒成立
C ．若()g x 有3个零点，则1
02
a <<
D ．若()g x 有4个零点，则
1
12
a ≤< 【答案】AD
【答案解析】()1
21,0
2|log ,0
x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，
作出()f x 的图象，如图所示：
因为()()g x f x a =-，
所以()g x 的零点个数即为函数()y f x =与y a =的图象的交点的个数，
对于A ：若()g x 有1个零点，则函数()y f x =与y a =的图象仅有一个公共点，由图象得0a =，故A 正确；
对于B ：由图象得()0f x ≥恒成立，故B 错误；
对于C ：若()g x 有3个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有三个公共点，由图象得1a =或者102
a <<，故C 错误；
对于D ：若()g x 有4个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有四个公共点，由图象得1
12
a ≤<，故D 正确. 故选：AD ．
15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说
法正确的是（ ）
A ．当0a >时，()g x 有4个零点
B ．当0a >时，()g x 有5个零点
C ．当a<0时，()g x 有1个零点
D ．当a<0时，()g x 有2个零点
【答案】AC
【答案解析】当0a >时，令()f x t =，由()10f t +=，解得13t =
或3t =或2t a
=-. 作出函数()f x 的图象，如图1所示，易得()f x t =有4个不同的实数解， 即当0a >时，()g x 有4个零点.故A 正确，B 错误； 当a<0时，令()f x t =，所以()10f t +=，解得13t =
或3t =或2
t a
=-（舍） 作出函数()f x 的图象，如图2所示，易得()f x t =有1个实数解， 即当a<0时，()g x 有1个零点.故C 正确，D 错误. 故选：AC.
16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02
()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩，下列
结论中正确的是（ ）
A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123
()()2
f x f x -≤
B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+
+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其中N k ∈；
C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；
D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；
【答案】
ACD
【答案解析】作出函数sin ,02()1(2),22
x x f x f x x π≤≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩的图象如图所示.所以max min ()1,()1f x f x ==-.
对于A ：任取12,[1,)x x ∈+∞，都有()12max min 13
()()()()122
f x f x f x f x -≤-=--=.故A 正确； 对于B ：因为151
111,
,2222
22k
f f f k ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以111?121511*********
k k f f f k +⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++=
=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- .故B 错误； 对于C ：由1()(2)2f x f x =-，得到1(2)()2k
f x k f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，即()2(2)k f x f x k =+.故C 正确；
对于D ：函数()ln(1)y f x x =--的定义域为()1,+∞.作出()y f x =和ln(1)y x =-的图象如图所示：
当2x =时,sin2ln10y π=-=;
当12x <<时,函数()y f x =与函数()ln 1y x =-的图象有一个交点;
当2x >时,因为211
1s 49422in 41f f π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,971ln 1ln 1224⎪->⎛⎫ ⎝>=⎭
，所以函数()y f x =与函数()
ln 1y x =-的图象有一个交点,所以函数()ln(1)y f x x =--有3个零点.故D 正确
.
故选：ACD
17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0
()1,0
x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的
可能取值是（ ） A ．0
B ．14-
C ．13-
D ．15
-
【答案】BD
【答案解析】在0x ≤上()f x 单调递增且值域为(,1]-∞； 在01x <≤上()f x 单调递减且值域为[0,)+∞； 在1x >上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞； 故()f x 的图象如下：
由题设，()[2()]g x f f x a =+有7个零点，即[2()]f f x a =-有7个不同解，
当0a -<时有2()1f x <-，即1
()2
f x <-，此时()
g x 有1个零点；
当0a -=时有2()1f x =±，即1
()2
f x =±，
∴1()2f x =-有1个零点，1
()2f x =有3个零点，此时()g x 共有4个零点；
当0lg 2a <-≤时有12()lg 21f x -<≤-或1
2()12
f x ≤<或12()2f x <≤， ∴1l
g 21()022f x --
<≤<有1个零点，11()42f x ≤<有3个零点，1(1)2
f x <≤有3个零点，此时()
g x 共有7个零点；
当lg 21a <-≤时有lg 212()0f x -<≤或1
02()2
f x <<或22()10f x <≤， ∴
lg 21()02
f x -<≤有1个零点，1
0()4f x <<有3个零点，1()5f x <≤有2个零点，此时()g x 共有6个零
点；
当1a ->时有1
02()10
f x <<或2()10f x >， ∴1
0()20
f x <<
有3个零点，()5f x >有2个零点，此时()g x 共有5个零点； 综上，要使()g x 有7个零点时，则lg 20a -≤<，(lg 20.30103≈) 故选：BD
18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,2
2021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值
可能为（ ）
A ．1
B ．2
C ．15
D ．16
【答案】AD
【答案解析】函数f (x )的零点即为方程f (x )＝0的解．
当m ＝1时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣1＝0，解得：x ＝0； 当x ≥2时，2021（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x ＝1或3，只取x ＝3． ∴函数有两个零点0或3．∴A 对；
当m ＝2时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣2＝0，解得：x ＝1
2； 当x ≥2时，2021（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，解得：x ＝2或6． ∴函数有三个零点1
2或2或6．∴B 错；
当m ＝15时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣15＝0，解得：x ＝log 415＜2； 当x ≥2时，2021（x ﹣15）（x ﹣45）＝0，解得：x ＝15或45． ∴函数有三个零点log 415或15或45．∴C 错；
当m ＝16时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣16＝0，解得：x ＝2不成立； 当x ≥2时，2021（x ﹣16）（x ﹣48）＝0，解得：x ＝16或48． ∴函数有两个零点16或48．∴D 对； 故选：AD ．
三、填空题
19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,01
5,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则
实数m 的取值范围为_____________. 【答案】50m -<<
【答案解析】由答案解析式知：在[0,1]上()f x 为增函数且()[,5]f x m m ∈+， 在(1,)+∞上，0m ≠时()f x 为单调函数，0m =时()5f x =无零点， 故要使()f x 有两个不同的零点，即1x =两侧各有一个零点，
所以在(1,)+∞上()f x 必递减且()(,5)f x m ∈-∞+，则0
50m m <⎧⎨+>⎩，可得50m -<<.
故答案为：50m -<<
20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x a
f x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]
g x f f x =在R 上有三个不同的
零点，则实数a 的取值范围是______________．
【答案】)⎡⎡⎣⎣
【答案解析】令()t f x =，则()()g x f t =，由于函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，所以
()()0g x f t ==必有两解，所以20a -≤<或2a ≥.
当20a -≤<时，()f x 的图像如下图所示，由图可知，()y f t =必有两个零点122,0t t =-=，由于()2f x t =有
两个解，所以()1f x t =有一个解，即242a -≤-，解得0a ≤<.
当2a ≥时，()f x 的大致图像如下图所示，()y f t =必有两个零点342,2t t =-=，由于()3f x t =有两个解，
所以()4f x t =有一个解，所以242a -<，解得2a ≤<
综上所述，实数a 的取值范围是)⎡⎡⎣⎣ .
故答案为：)⎡⎡⎣⎣
21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1
(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函
数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．
【答案】1,0e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【答案解析】因为函数()f x 满足,1
(1)ln(1),1
ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨
+>-⎩，
所以,0()ln ,0ax x f x x x ≤⎧=⎨
>⎩，-,0()ln(-),0ax x f x x x ≥⎧-=⎨<⎩， 因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点， 所以函数()y f x =与()y f x =-恰有5个交点，如图，
因为y ax =-与y ax =交于原点，要恰有5个交点，
,0y ax x =->与ln y x =必有2个交点， 设,0y ax x =->与ln y x =相切，切点为(,)m n ， 此时切线斜率为1100
n y x m m -'=
==-，解得1,ln 1n m ==， 解得e m =，所以切点为(e,1)，所以e 1a -=，解得1
a e =-，
所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1
(,0)e
a ∈-.
故答案为：1,0e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有
()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______． 【答案】[]32,28--
【答案解析】设(]4,8x ∈，则(]40,4x -∈，则[]6
()(4)44(4)422x f x f x f x -=-+=-=-，
设(]8,12x ∈，则(]80,4x -∈，
则[][]()(4)44(4)4(8)4f x f x f x f x =-+=-=-+
1016(8)1622x f x -=-=-，
则(](](]26
10
220,4()4224,816228,12x x x x f x x x ---⎧-∈⎪
⎪=-∈⎨⎪-∈⎪⎩
，，，，则(3)(7)(11)0f f f ===，
函数()f x 图象如下：
由2()()()0g x f x t f x =+⋅=，可得()0f x =，或()f x t =-， 由()0f x =，可得3x =，或7x =，或11x =，
则()f x t =-仅有一根，又(8)f =810162228--=，(12)f =1210
162
232--=， 则2832t ≤-≤，解之得3228t -≤≤-， 故答案为：3228t -≤≤-.
23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，
恰有2个零点，则=a __________．
【答案】1
2
【答案解析】当0x ≥时，令()e 10x
f x =-=，解得0x =，故()f x 在[)0+∞，
上恰有1个零点，即方程20ax x a ++=有1个负根.
当0a =时，解得0x =，显然不满足题意；当0a ≠时，因为方程20ax x a ++=有1个负根，所以2Δ140.a =-≥ 当2Δ140a =-=，即12a =±时，其中当12a =时，211022x x ++=，解得=1x -，符合题意；当1
2a =-时，
211
022
x x -+-=，解得1x =，不符合题意； 当2140a ∆=->时，设方程20ax x a ++=有2个根1x ，2x ，因为1210x x =>，所以1x ，2x 同号， 即方程20ax x a ++=有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，1
2
a =
．
故答案为：0.5.
24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0()e 1,0x
x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】12m <≤
【答案解析】由()0g x =得()f x m =，即函数()g x 的零点是直线y m =与函数()y f x =图象交点横坐标， 当0x ≤时，()e 1x f x =+是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当0x >时，()ln f x x =是增函数，函数值为一切实数，
在坐标平面内作出函数()y f x =的图象，如图，
观察图象知，当12m <≤时，直线y m =与函数()y f x =图象有2个交点，即函数()g x 有2个零点， 所以实数m 的取值范围是：12m <≤. 故答案为：12m <≤
25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()32
21014680x x f x x x g x x x x x ⎧
+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =-的零点为________．
【答案】1
4322
---，
，， 【答案解析】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①
②的解．
由方程②可得320t t -=， 解得0t =或1t =，
将0t =代入方程①，而方程1
04x x
+
=无解， 由方程2680x x ---=解得4x =-或2x =-；
将1t =代入方程①，而方程114x x +
=，解得12
x =， 由方程2681x x ---=，解得3x =-．
综上，函数()h x 的零点为14322---，
，，，共四个零点． 故答案为：1
4322
---，
，，. 26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足
2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧
⎪
=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰
好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____ 【答案】11
(,)505504
-
【答案解析】由函数在[0,4)x ∈上的答案解析式作出如图所示图像，
由(4)()f x f x a +=+知，函数()f x 是以4为周期，且每个周期上下平移|a |个单位的一个函数，
若使[0,2021]x ∈时，存在R k ∈，方程()()g x f x k =+在[0,2021]x ∈上恰有2021个零点，等价于()f x k =-在[0,2021]x ∈上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即(1,2)k -∈时满足条件，且必须
每个周期内均应使k -处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点， 则当0a ≥时，需使最后一个完整周期[2016,2020)中的极小值(2018)2f <， 即(2018)(2)50415042f f a a =+=+<，解得1
504
a <，即1[0,504a ∈ 当a<0时，需使最后一个极大值(2021)1f >， 即(2021)(1)50525051f f a a =+=+>，解得1
505a >-，即1(,0)505a ∈-
， 综上所述，11
(,505504
a ∈-
故答案为：11,505504⎛⎫- ⎪⎝⎭
27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,
10k x f x x x kx x ⎧
-<⎪=⎨⎪-->⎩
恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．
【答案】10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案解析】当0x <时，令()0f x =可得：2
1k x =， 当0x >时，令()0f x =可得：2
1x k x
-=
，
令()()()2
21
010x x g x x x x ⎧<⎪⎪=⎨
-⎪>⎪⎩， 若01x <<，()2
1
x g x x -+=
， ()3
2
0x g x x -'=
<，()g x 为减函数， 若1x ≥，()2
1
x g x x -=， ()3
2
0x g x x -+'=
=，2x =， 若[)1,2x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数， 若()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，()124
g = 画出()g x 的图像，如下图：
如要()f x 有4个零点，则104
k <<
， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩
则()()6g x xf x =-在*1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________． 【答案】3(21)2
n - 【答案解析】当312
x ≤≤时，f （x ）＝8x ﹣8， 所以()218()82g x x =--，此时当32
x =时，g （x ）max ＝0； 当322
x ≤＜时，f （x ）＝16﹣8x ，所以g （x ）＝﹣8（x ﹣1）2+2＜0； 由此可得1≤x ≤2时，g （x ）max ＝0．
下面考虑2n ﹣
1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）的最大值的情况． 当2n ﹣1≤x ≤3•2n ﹣2时，由函数f （x ）的定义知()11112222n n x x f x f f --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为13122
n x
-≤≤， 所以()2225
1
(2)82n n g x x --=--， 此时当x ＝3•2n ﹣2时，g （x ）max ＝0；
当3•2n ﹣2≤x ≤2n 时，同理可知，()12251
(2)802n n g x x --=--+＜．
由此可得2n ﹣
1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）max ＝0． 综上可得：对于一切的n ∈N *，函数g （x ）在区间[2n ﹣
1，2n ]上有1个零点， 从而g （x ）在区间[1，2n ]上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，因此，所有这些零点的和为()
3212n -． 故答案为()
3212n -． 29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0()42,0x x x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩
，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________
【答案】23a <≤.
【答案解析】
函数()f x 当0x >时是对勾函数，
因为112x x x x -+=+≥=，当且仅当10
x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩即1x =时，取最小值．所以函数最小值为2，且在(0,1)上为减函数，
在(1,)+∞上为增函数．当0x ≤时，2x y -= 是减函数，且21x -≥，所以2x y -=-为增函数，且21x --≤-，所以函数()42x f x -=-为增函数，且()3f x ≤，函数图像如图所示．令32t x =-，函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，可以看成函数()y f t a =-恰有三个不同的零点，函数()f t 的图像与直线y a =有三个交点．由图像可知23a <≤．
30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32,0()461,0
x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.
【答案】01m ≤<
【答案解析】当0x ≥时,2'()121212(1)f x x x x x =-=-，
在区间()0,1上，()()'0,f x f x <单调递减，
在区间()1,+∞上，()()'0,f x f x >单调递增，
故函数在1x =处取得极小值()11f =-，
据此绘制函数()f x 的图像如图所示，
结合函数图像和题意可知原问题等价于函数232y x x =-与函数y m =有两个交点，且交点的横坐标的范围分别位于区间(]1,0-和区间()0,1内，
观察二次函数的图像可得m 的范围是01m ≤<.。