2019高考数学文科一轮分层演练：第4章三角函数与解三角形 第3讲含解析

[学生用书P225(单独成册)]
一、选择题
1.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( ) A ．
33 B ． 3 C ．－
33
D ．－ 3
解析：选B.原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°
1－tan 45°tan 15°
＝tan(45°＋15°)＝ 3.
2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A ． 3 B ．1＋ 2
C ．2
D ．2(tan 18°＋tan 27°)
解析：选C.原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C.
3．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2(π
4－α)＝( )
A ．1
18
B.1718 C ．89
D.29
解析：选B.由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－8
9，
所以sin 2(π
4－α)＝1－cos （π
2－2α）
2
＝1－sin 2α2＝1＋8
92＝17
18
.
4．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235
B ．235
C ．45
D ．－45
解析：选D.由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， 所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－4
5
. 5．已知cos(π3－2x )＝－78，则sin(x ＋π
3)的值为( )
A ．1
4
B ．78
C ．±14
D ．±78
解析：选C.因为cos [π－(π3－2x )]＝cos(2x ＋2π3)＝78，所以有sin 2(x ＋π3)＝12(1－78)＝116，从而求得sin(x ＋π
3)的
值为±1
4
，故选C.
6.3cos 10°－1sin 170°＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2
D ．－4
解析：选D.3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1
sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2sin （10°－30°）12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4，
故选D.
二、填空题
7．已知cos θ＝－5
13，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________． 解析：由cos θ＝－5
13，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2得sin θ＝－1－cos 2θ＝－1213，故sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝－12
13
×
32－⎝⎛⎭⎫－513×12＝5－123
26. 答案：5－12326
8．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－3
3，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________． 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π
3 ＝cos x ＋12cos x ＋3
2sin x
＝32cos x ＋3
2sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π
6 ＝3×⎝
⎛⎭
⎫
－
33
＝－1. 答案：－1
9.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________．
解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°
sin 70°
＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°sin 70°
＝3cos 20°cos 20°＝ 3.
答案： 3
10．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π
12的值为________． 解析：因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝24
25
， cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725
， 所以sin ⎝
⎛⎭⎫2α＋π
12＝sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝172
50. 答案：17250
三、解答题
11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭
⎫－π
4的值； (2)若cos θ＝4
5，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π
12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12
. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝2
2(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝4
5，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin θ＝3
5
.
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝24
25，
cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2θ＝7
25，
所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝2
2(sin 2θ－cos 2θ) ＝
22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250
. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝6
2. (1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－3
5，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，
两边同时平方，得sin α＝1
2.
又π
2
＜α＜π， 所以cos α＝－
1－sin 2α＝－
32
. (2)因为π2＜α＜π，π
2＜β＜π，
所以－π2＜α－β＜π
2.
又由sin(α－β)＝－35，
得cos(α－β)＝4
5
.
所以cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－
32×45＋12×⎝⎛⎭
⎫－35 ＝－43＋310.。