3.1.2 两条直线平行与垂直的判定题型全归纳

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定题型全归纳
【归纳总结】
判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．
题型一 两直线平行
例1：已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．0或2
D ．0或1 变式1：7．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．
题型二 两直线垂直
例2：已知△ABC 的顶点坐标为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．
变式1：已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．
变式2：已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________．
变式3：直线l 过点A (0,1)和B (－2,3)，直线l 绕点A 顺时针旋转90°得直线l 1，那么l 1的斜率是_______；直线l 绕点B 逆时针旋转15°得直线l 2，则l 2的斜率是_______.
变式4：已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( ) A ．19 B ．19
4
C ．5
D ．4
题型三两直线平行、垂直综合应用
例3：直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．
变式1：直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝_________；若l1∥l2，则b＝_________.
变式2：已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定题型全归纳参考答案
题型一 两直线平行 例1：D 变式1：4 题型二 两直线垂直
例2：解 k AB ＝－1－15－1＝－1
2，k AC ＝－1－m 5－2
＝－m ＋13，
k BC ＝m －1
2－1
＝m －1．
若AB ⊥AC ，则有－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫
－m ＋13＝－1， 所以m ＝－7．
若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1，
所以m ＝3．
若AC ⊥BC ，则有－m ＋1
3·(m －1)＝－1，
所以m ＝±2．
综上可知，所求m 的值为－7，±2,3．
变式1：k AB ＝
6－－
6－－
＝54
， k BC ＝6－66－0＝0，
k AC ＝
6－－0－－
＝5．
由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，
∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在． 设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2， 由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，
即k 1·5
4
＝－1，k 2·5＝－1，
解得k 1＝－45，k 2＝－1
5．
∴BC 边上的高所在直线斜率不存在；
AB 边上的高所在直线斜率为－4
5；
AC 边上的高所在直线斜率为－1
5
．
变式2：(－19，－62) 变式3：1，－
3
3
变式4： B
题型三 两直线平行、垂直综合应用 例3：当l 1∥l 2时，
由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在， 则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m
－1－1，解得m ＝3；
当l 1⊥l 2时，
由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1
＝－1，解得m ＝－92.
综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－9
2.
变式1： 2 －9
8
变式2： (1)如下图，当∠A ＝∠D ＝90°时，
∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AB ∥DC 且AD ⊥AB ． ∵k DC ＝0，∴m ＝2，n ＝－1. (2)如下图，当∠A ＝∠B ＝90°时， ∵四边形ABCD 为直角梯形，
∴AD ∥BC ，且AB ⊥BC ，∴k AD ＝k BC ，k AB k BC ＝－1.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
n －2
m －2＝2－－
4－5
，
n ＋1m －5·
2－－
4－5＝－1，
解得m ＝165，n ＝－85
.
综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－8
5.。