湖北省武汉市武昌区高三5月调考理科数学试题含答案

武昌区 高三年级五月调研考试

理科数学试题及参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的． 1．若复数

2

i 1i 1+++m 是实数，则实数=m （ B ） A ．12 B ．1 C ．3

2

D ．2

2．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧-≥≤+≤,1,1,

2y y x x y 则y x z 2+=的最大值是( C )

A ．25-

B ．0

C ．35

D ．2

5 3．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为8

1

和p ．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为40

9

，则=p ( B )

A ．

101 B ．152 C ．61 D ．5

1 4．已知双曲线122=-y x ，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点．若21PF PF ⊥，则||||21PF PF +的值为( C )

A ．2

B ．22

C ．32

D ．52 5．设2log 3=a ，2ln =b ，2

15-=c ，则( C )

A ．c b a <<

B ．a c b <<

C ．b a c <<

D ．a b c <<

6．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( B ) A ．?4

3≤S B ．?1211≤S C ．?2425≤S D ．?120

137

≤

S 7．5

)2)(3(y x y x +-的展开式中，2

4

y x 的系数为( A ) A ．110 B ．120 C ．130

D ．150

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为( C ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．30 9．动点A (x ，y )在圆122=+y x 上绕坐标原点沿 逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知

时间0=t 时，点A 的坐标是)2

3

,21(，则当

120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位： 秒）的函数的单调递增区间是( D )

A ．]1,0[

B ．]7,1[

C ．]12,7[

D ．]1,0[和]12,7[

10．已知命题

p 1：设函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，且2

)1(a

f -

=，则)(x f 在)2,0(上必有零点； p 2：设R ∈b a ,，则“b a >”是“||||b b a a >”的充分不必要条件．

则在命题1q ：21p p ∨，2q ：21p p ∧，3q ：21)(p p ∨⌝和4q ：)(21p p ⌝∧中，真命题是( C ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4 11．在ABC ∆中， 90=∠C ，M 是BC 的中点．若3

1

sin =

∠BAM ，则=∠BAC sin ( A ) A ．

36 B ．35 C ．32 D ．3

3

12．设直线l 与抛物线x y 42=相交于A ，B 两点，与圆)0()5(222>=+-r r y x 相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( D )

A ．(1，3)

B ．(1，4)

C ．(2，3)

D ．(2，4) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若向量a ，b 满足：a )1,3(-=，(a ＋2b )⊥a ，(a ＋b )⊥b ，则|b |= ． 答案：2

14．已知⎰=

-20

4

7

d )sin(π

ϕx x ，则=ϕ2sin ． 答案：

16

9 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在同一球面上．若21===AA AC AB ，

120=∠BAC ，则该球的表面积等于 ．

答案：π20

16．已知函数2

12

1e )(x x k x f x +

-=-（k 为常数），曲线)(x f y =在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则)(x f 的单调递减区间为 ． 答案：)0,(-∞

正视图

侧视图

俯视图

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，)(2

1*+∈+=N n S n

n a n n ． （Ⅰ）证明：数列}{

n

S n

是等比数列； （Ⅱ）求数列}{n S 的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）由a n ＋1＝

n ＋2n S n ，及a n ＋1＝S n ＋1－S n ，得S n ＋1－S n ＝n ＋2

n S n

， 整理，得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴S n ＋1n ＋1

＝2·S n n ．又S 1

1＝1，

∴{S n

n }是以1为首项，2为公比的等比数列．……………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），得S n n

＝2n －1，∴S n ＝n ·2n －

1（n ∈N *）．

∴T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －

1， ①

2T n ＝ 1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －

1＋n ·2n ． ② 由②－①，得 T n

＝－(1＋2＋22＋…＋2n －

1)＋n ·2n ＝－

1－2n

1－2

＋n ·2n ＝(n －1)·2n ＋1．……12分 18．（本小题满分12分）

某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．

（Ⅰ）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；

（Ⅱ）若从甲部门中随机选取3人，用X 表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X 的分布列及数学期望． 解：（Ⅰ）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，

用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选

取10×2

5

＝4人． 记“至少有一人来自甲部门”为事件A ，则

P (A )＝1－C 34C 38＝13

14

．

故至少有一人来自甲部门的概率为13

14．…………………………………………5分

（Ⅱ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3．

P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24

C 310＝310，

P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04

C 310＝16

．

∴X 的分布列为