2018届高三下学期考前押题卷(二)数学(理)试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1．集合{}
2
|,M y y x x R ==∈，{}|2||,N y y x x R ==-∈，则M N ⋂=（ ）
A. {()}-11，
B. {()()}-1111，，，
C. {|}y y 02≤≤
D. {|}y y ≥0
2．设i 是虚数单位，则复数
21i
i
-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．设,,A B C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA OB ⊥uu v
uu u v
，则(
)(
)
•OC OA OC OB --uuu v uu v
uuu v uu u v
的最大值是（ ）
A ．12+
B ．12-
C ．21-
D ． 1
4．若0b a <<，则下列不等式：①a b >；②a b ab +<；③2b a
a b +>；④
22a a b b
<-中正确的不等式有（ ）个.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．若,x y 满足条件函数11y x
x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
,则2z x y =-的最大值是( )
A ．
12 B ．14 C ．12- D ．14
- 6．《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图. 若输出的 S 的值为 350，则判断框中可填（ ）
A ．6?i >
B ．7?i >
C ． 8?i >
D ．9?i >
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．3083π+
B ．
76833
π
+ C. 80833π+ D ． 92833
π
+
8.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每
局比赛中获胜的概率均为
2
3
，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠 军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A ．
13
B ．25
C ．23
D ．45
9. 设2012(12)n n n x a a x a x a x -=++++L ，若340a a +=，则5a =（ ） A ． 256 B ． -128 C ． 64 D ． -32
10．以椭圆
19
132
2=+y x 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是21,F F ，已知点M 的坐标为)1,2(，双曲线C 上的点),(00y x P )0,0(00>>y x 满足
1
21
121
1
1F F MF F F PF MF PF ⋅=
⋅，则
=-∆∆21
PMF PMF S S （ ） A ．2 B ．4 C ．1 D ．-1 11.已知函数(2)()ln x f x x
=，若关于x 的不等式2
()()0f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
12,63ln ln ⎛⎤--
⎥⎝⎦
B ． 11
,63
ln e ⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
C ．1
(6,2)3
ln ln
D ． 126,3
ln e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
12．已知双曲线)0,0(1:22221>>=-Γb a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，椭圆14
3:
2
22=+Γy x 的离心率为e ，直线MN 过点2F 与双曲线交于N M ,两点，若M F F MN F 211cos cos ∠=∠，且
e N
F M F =11，则双曲线1Γ的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A ．30,150o
o
B ．45,135o
o
C ．60,120o
o
D ．15,165o
o
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．已知函数()f x 在R 上可导，且'
()2(2)x
f x t f dt ⎡⎤=+⎣⎦⎰
，则(2)f 与(2)f -的大小关系为
_______．
14. 为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明．甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案．公布他们的答案
后，三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了”；乙说：“我答对了”；丙说：“乙答错了”．评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了．根据以上信息，面试问题答案正确的考生为_______． 15. 已知数列
{}
n a 满足(1)2
1(1)
(
1)(2)
n n n n a a n n +-+=-⋅+≥,n S 是其前n 项和，若20171007S b =--，
（其中10a b >），则123
a b
+的最小值是 . 16.在ABC ∆中，2,2,210,8,AB m AC n BC AB AC ===+=,,E F G 分别为,,AB BC AC 三边中点，将,,BEF AEG GCF ∆∆∆分别沿,,EF EG GF 向上折起，使,,A B C 重合，记为S ，则三棱锥S EFG -的外接球面积的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
设ABC ∆三个内角,,A B C 所对的变分别为,,a b c 已知,cos 6
A b C a π
==
(1)求角C 的大小；
(2)如图，在ABC ∆的一个外角ACD ∠内去一点P ，使得2PC =，过点P 分别作直线CA CD 、的垂线PM PN 、，垂足分别为M N 、.设PCA α∠=,求PM PN +的最大值及此时α的取值.
18．（本小题满分12分）
据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．
参考数据：
，（说明：以上数据
为3
月至7月的数据）
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，
（1）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价 （万元/平方米）与月份 之间具有较强
的线性相关关系，试建立 关于 的回归方程（系数精确到 0.01），政府若不调控，依次相关关系
预测第12月份该市新建住宅销售均价；
（2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．
19. （本小题满分12分）
如图，在等腰梯形ABCD 中， //AB CD ， 1AD DC CB ===， 60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ， 1CF =. (1)求证： BC ⊥平面ACFE ；
(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为()90θθ≤，试求cos θ的
取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知动圆M 过定点)0,2(T ，且在y 轴上截得的弦PQ 长为4． (1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
(2)设点B A ,是轨迹C 上的两点,4-=⋅OB OA 且)0,1(F ，记O AB O FA S S S ∆∆+=，求S 的最小值．
21.（本小题满分12分） 已知()(1)()f x x lnx k k R =--∈
（1）若对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4f x lnx <成立，求k 的取值范围；
（2）若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：212k x x e <
22.极坐标与参数方程（本小题满分10分） 已知在极坐标系中，点2(2,
)(23,
)6
3
A B π
π
、，C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是
2cos ( 22sin x y θ
θθ==-+⎧⎨
⎩
为参数). （1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；
（2）设直线l 过点C 交曲线Ω于P Q 、两点，求CP CQ ⋅uu r uu u r
的值.
23．不等式选讲（本小题满分10分）
已知函数()4(0)f x m x m =-+>，且()20f x -≥的解集为[]3,1--． （1）求m 的值；
（2）若,,a b c 都是正实数，且
11123m a b c
++=，求证： 239a b c ++≥．
押题二理科数学答案
123456789101112 C B A C A B D B D A A C
13. 14. 丙15. 16.
17.(1)
又，得
(2)
当时，最大值为
18．（1）解：
计算可得：，，，
所以，，
所以从3月份至6月份关于的回归方程为.
将2016年的12月份代入回归方程得：，所以预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米
（2）解：根据题意，的可能取值为1,2,3
，
，
，
所以的分布列为
因此，的数学期望
19.【答案】(1)详见解析；(2).
【解析】试题分析：(1)证明：连接交于，连接，证得，再在等腰
中，，利用线面垂直的判定定理，得，进而利用平面与平面垂直的判定定理，即可证得平面.
(2)由题意以向量方向分别为轴正方向，建立如图空间直角坐标系，求的平面
的一个法向量和平面的一个法向量，即可利用向量的夹角公式，求解平面
与平面所成二面角的余弦值.
试题分析：
(1)证明：在梯形中，∵，，，
∴，∴，
∴，∴，
∴平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
(2)由（1）分别以直线为轴，轴，轴发建立如图所示空间直角坐标系，
令，则，
∴.
设为平面的一个法向量，由，
得，取，则，
∵是平面的一个法向量，
∴.
∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值，
∴.
20【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析:(1) 根据垂径定理得等量关系，
再将等量关系用坐标表示，可得动圆圆心的轨迹的方程；（2）先用
，坐标化简条件，得
，而，根据弦长公式及点到直线距
离公式可得.最后利用基本不等式求最值.
试题解析: (1)设，的中点，连，则：，
，
∴.
又,
∴
∴，整理得.
(2)设，，不失一般性，令，
则，
∵,
∴,解得③
直线的方程为：，,
即，令得，即直线恒过定点
，
当时，轴，，．
直线也经过点.
∴.
由③可得,
∴
.
当且仅当，即时，.
21.（1）等价于对恒成立
令，则
令，，则在上递增，，
在上递增，，即
（2）时为增函数，又，，令得，
在上减，在上增，且
不妨设，则有，要证，即证即
又，即证，令
，
，
，，又
即，
22. 【答案】（Ⅰ）,. （Ⅱ）12.
【解析】（（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.
所以点的直角坐标为.将消去参数，得，即为曲线
的普通方程.
（Ⅱ）解法一：直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角）
代入，整理得：.设点、对应的参数值分别为、.则
，
解法二：过点作圆：的切线，切点为，连接，因为点由平面几何知识得：
，所以.
23.（I）;（II）见解析.
【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.
试题解析：
（I）依题意,即,
∴
（II）方法1:∵
∴
当且仅当,即时取等号方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得
当且仅当,即时取等号.。