青岛版九年级上册数学《圆的对称性》说课教学复习课件

180
360
所对弧长是
180 2r
360
900
90
90 2r
360
360
450
45
45 2r
360
360
n0
n
n 2r
360
360
结论：
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径 为r，那么，弧长的计算公式为：
练一练：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°， 求此圆弧的长度。
解：
= 50 cm
系？证明：连接OA,OB, 则OA=OB.
C
∵CD⊥AB于M
A
M└
●O
B ∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B
D
重合, ⌒ AC和B⌒C重合, ⌒ AD和B⌒D重合.
∴ A⌒C = B⌒C,
⌒AD = ⌒BD.
探究一：垂径定理的三种语言
4
1 个圆面积
2
3 个圆面积
4
圆心角是10的扇形面积是多少？
圆心角是10的扇形面积是圆面积的3160
圆心角为n0的扇形面积是多少?
圆心角是n0的扇形面积是圆面积的3n60
如果用字母
n 360
＝n
360
πr2
l
弧
＝n
180
πr
＝n
360
πr2
=
nr r 180 2
在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角 n°、半径R有关系，因此l 和
B
弧 圆心角 O
A
B
扇形
O A
扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？ （当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心 角的增大而增大。
1.圆心角是3600的扇形面积是多少？ 2.圆心角是1800的扇形面积是多少？ 3.圆心角是900的扇形面积是多少？ 4.圆心角是2700的扇形面积是多少？
1个圆面积 1 个圆面积
定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
∵ CD是直径,
A
B
M└
CD⊥AB,
●O
∴ AM=BM,
⌒ ⌒⌒ ⌒
AC = BC, AD = BD.
D
①一条直径 条件
②垂直于弦
③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧
⑤平分弦所对的优弧
同步训练：
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段
或相等的圆弧？
3
答：此圆弧的长度为
50
3
cm。
注意
（1）在应用弧长公式l nR ，进行计算时，
180 要注意公式中n的意义。n表示1°圆心角的倍数， 它是不带单位的。
（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念。度数相等 的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是 等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧。
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆 心角所对的弧围成的图形是扇形。
解:∵圆心角900
∴铁轨长度是圆周长的
图 23.3.1
则铁轨长是 1 2 100 50米
4
上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆心角 为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、900、 450、n0所对的弧长。
图 23.3.2
圆心角占整个周角的
1800
l弧＝
n 360
C圆
＝n
360
.πd
＝n
180
πr
n 360
- ＝ n 360
πr2
=
1 2
rl
弧长与圆的周长有关，扇形的面积与圆的面
积有关。因此，计算弧长是
形的面积时是 n
。
n
360 C圆
；而计算扇
360
小试牛刀：
1、如果扇形的圆心角是2３0°，那么这个扇形的
面积等于这个扇形所在圆的面积的_____；
A
●O
C
D
自主学习：
1、圆是轴对称图形吗？ • 圆是轴对称图形.
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？
圆的对称轴是任意一条经过
圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
你是用什么方法找到对称轴的? 利用折叠的方法即可解决上述问题.
自主学习：
2、按下面的步骤做一做： 1）拿出一张圆形纸片，把这个圆对折， 使圆的两半部分重合． 2）得到一条折痕CD． 3）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，
B
上 着 ∴R
●O
面利 的用
∴AM=BM.
等 构 ∴点A和点B关于CD对称.
D
量 造 ∵⊙O关于直径CD对称,
关等 系腰 ？三
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B
重合, ⌒AC和⌒BC重合, ⌒ AD和B⌒D重合. ∴ A⌒C = ⌒BC, ⌒AD = ⌒BD.
自主学习：
能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关
3.1 圆的对称性
---垂径定理
学习目标：
• 理解圆的轴对称性及其相关性质； • 理解垂径定理； • 会运用垂径定理解决有关问题。
重点、难点：
垂径定理及其应用。
预习案的交流与展示：
知识准备：
什么是轴对称图形？我们曾经学过哪些轴 对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折， 直线两旁的部分能够互相重合，那 么这个图形叫轴对称图形。如线段、 角、等腰三角形、矩形、菱形、等 腰梯形、正方形等。
2、扇形的面积是它所在圆的面积的
2 3
，这个扇
形的圆心角的度数是_______。
3、扇形的面积是；
长是______。
答案： 23
36
2s 240° r
典型例题
例2 如图，折扇完全打开后，OA、OB的 夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm， 求图中阴影部分的面积
拓展提升
如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆 的3等分点．求弦AC、AD与 ⌒ CD 围成的阴 影部分的面积．
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧AB”. 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用两个字母). 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒DB
(用三个字母).
连接圆上任意两点间的线段叫做弦
B
(如弦AB).
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
●
● ●
●
2、如图水平放置的圆形油桶的截面半径为R，油
面高为 3 R，则阴影部分的面积为 2
庆）
。（05重
3R 2
3.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水 平线翻滚(如图),那么B点从开始至结束所走过的 路径长度为________.
B
B●
则下A列、结A⌒C论=不A⌒D正确的B、是B（⌒C=CB⌒）D
C
D
M└
C、AM=OM D、CM=DM
●O
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，
垂足为M，OM=3，则CD= 8 .
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
赵州石拱桥
• 1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高) 为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
课后提升：
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出 水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱 桥吗？
弧长周长公式 C=2πr
圆的面积公式
问题情景：
如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径 为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的 长度吗?
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
探究二：垂径定理的应用
例１：如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O 交AB于点C、D，且AC=BD。
求证：OA＝OB。
探究二：垂径定理的应用
A
例2：如图，已知在⊙O 中，弦AB的长为8厘米， 圆心O到AB的距离为3厘 米，求⊙O的半径。
其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 4）将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图． 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等 的线段和相等的弧？ 它们为什么相等呢？
自主学习：
• 如图,小明的理由是:
角 能 • 连接OA,OB, 则OA=OB.
形不 得能 出试
在R ∵OA=OB，OM=OM，
C
A
M└
E
B
.
O
实际应用
如(中即图C图D，中=一60C⌒条0Dm公，,E路点为的oC是⌒转D弯C⌒上D处一的是点圆一，段心且圆)，弧其
OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段 弯路的半径。
C E
FD O
挑战自我：
如图， 说明你的理由。
你说、我说、大家说：
当堂达标：
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径， A
课堂总结
1．弧长、扇形面积公式； 2．不规则图形的面积的求法：用规则的图 形的面积来表示； 3．数学思想转化的应用：
①转化思想；②整体思想．
1.如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的半径 都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形中 四个扇形(阴影部分)的面积之和是___________.