对数的定义
对数函数的定义和基本性质
对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数,通常用符号y = log_a(x)(其中a是底数,x是真数)表示。
对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。
对数函数是一类重要的数学函数,在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。
2. 对数函数的基本性质(1)单调性对数函数y = log_a(x)在定义域(即真数集)内是单调递增的。
当底数a > 1时,随着真数x的增加,对数函数的值也增加;当底数0 < a < 1时,随着真数x的增加,对数函数的值减少。
(2)反函数对数函数y = log_a(x)(其中a是底数,x是真数)和函数y = a^x(其中a是底数,x是真数)是互为反函数的关系。
也就是说,对于任意一个正实数y,都存在一个正实数x使得log_a(y) = x,则有a^x = y。
(3)对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。
具体来说,有以下两个恒等式:•对数换底公式:log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)(其中a, b, c 都是正实数,且a != 1, c != 1)。
•对数性质公式:log_a(b^c) = c * log_a(b)(其中a, b, c都是正实数,且a != 1)。
(4)对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0),且斜率在0和+∞之间的曲线。
当底数a > 1时,图像位于第一象限;当底数0 < a < 1时,图像位于第二象限。
(5)对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线,但有一条垂直渐近线,即x = 0。
当x趋近于0时,对数函数的值趋近于负无穷;当x趋近于正无穷时,对数函数的值趋近于正无穷。
(6)对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。
具体来说,对于任意一个正实数y,如果y = log_a(x),则有x = a^y。
对数的概念
2 3
16
A.①②
B.③④
② logx8=6
2
③
lg 100=x
1 2
④ -ln e2=x -2
C.②④
D.②③
【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.
【解析】选C.由log64x=
2 3
得,x=
2
64 3
1
,所以①错误;由logx8=6得,
16
x6=8,所以x2=2且x>0,
所以x= 2 ,所以②正确; 由log10100=x得,10x=100.所以x=2,所以③错误; 由-ln e2=x得,x=-2,所以④正确;
D.4
2
【解析】选B.因为logx8=3,所以x3=8,解得x=2.
3.(教材二次开发:练习改编) 若10m= 3 ,则m=_______. 【解析】因为10m= 3 ,则m=lg 3 . 答案:lg 3
4.ln(lg 10)=_______. 【解析】ln(lg 10)=ln 1=0. 答案:0
D.2 2
【思路导引】1.先利用指数运算性质拆分,再利用对数恒等式求值. 2.利用指数对数互化表示出x,再代入利用对数恒等式求值.
【解析】1.选A. 21log2 2 21 2log2 2 1 2 2 .
2
2
2.由x=log43,
则2·4x+4-x=2· 4log43 4-log43 =2×3+ 答案:19
3
1 =6 1 19.
4log4 3
33
【解题策略】关于对数恒等式的应用 首先利用指数运算性质变形,变形为 alogab 的形式,再利用对数恒等式计算 求值.
【跟踪训练】
(2020·绍兴高一检测)若a=log23,则2a+2-a=_______.
对数及其运算性质
x
loga1=0 logaa=1 logaa =b a 3.对数的运算性质:
b
loga N
=N
log a(MN)=log a M+log a N
loga(M N )=loga M-loga N n loga(M )=nloga M(n ∈R)
-1
换底公式及推论:
1.换 公 : 底 式 2.推论:
log c b loga b= log c a
思考:
在复习提问3:log264=6,log24=2的基 础上增加log464=3,你还有何猜想?你 能证明它吗?由它还能得出什么结论?
2
2
对数与对数运算(三 对数与对数运算 三)
复习提问: 1.对数式与指数式的互化:
a = N ⇔ x = loga N(a > 0, a ≠ 1, N > 0) 2.对数的基本性质:
例6:科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生 :科学研究表明, 放射性碳14。 的衰变极有规律, 放射性碳 。碳14的衰变极有规律,其精确性可以 的衰变极有规律 称为自然界的“标准时钟” 称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰 变的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补充, 变的碳 ,可以通过与大气的相互作用得到补充, 所以活着的动植物每无组织中的碳14含量不变 含量不变。 所以活着的动植物每无组织中的碳 含量不变。死 亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用, 亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机 体中原有的碳14按确定的规律衰减, 14按确定的规律衰减 体中原有的碳14按确定的规律衰减,我们已经知 道其“半衰期” 5730年 道其“半衰期”为5730年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14 14的残余 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余 量约占原始含量的76 %,试推算马王堆古墓的 76.7 量约占原始含量的76 7%,试推算马王堆古墓的 年代。 年代。
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质一、引言对数函数作为高等数学中的重要概念之一,具有广泛的应用。
本文将对对数函数的定义和性质进行详细的说明。
二、对数函数的定义对数函数是指满足某些特定条件的函数,它与指数函数是互为逆运算的关系。
对数函数的定义如下:对于任意正实数x和正实数a(a≠1),满足a^x=x的函数y=loga(x)称为以a为底的对数函数。
三、对数函数的性质1. 定义域与值域对数函数的定义域为正实数集(0, +∞),值域为实数集(-∞, +∞)。
2. 单调性当底数a>1时,对数函数随着自变量的增大而增大;当0<a<1时,对数函数随着自变量的增大而减小。
3. 对数函数的图像对数函数的图像在底数a>1时,为增长趋向正无穷的曲线;在0<a<1时,为递减趋向于负无穷的曲线;而对于特殊的底数a=1,对数函数为常值函数y=0。
4. 对数函数的性质(1)对数函数满足对数的加法公式:loga(MN) = logaM + logaN。
(2)对数函数满足对数的减法公式:loga(M/N) = logaM - logaN。
(3)对数函数满足对数的幂公式:loga(M^p) = p*logaM。
(4)对数函数满足换底公式:logaM = logbM/logba。
(5)特别地,当底数为自然对数e时,称其为自然对数函数,记为ln(x),其中ln(x)=logex。
四、对数函数的应用对数函数在实际问题中有着广泛的应用,以下列举几个例子:1. 财务学中,对数函数常用于复利计算和利率转换。
2. 物理学中,对数函数常用于描述指数衰减和增长的过程。
3. 统计学中,对数函数常用于处理大数据和缩小数据的范围。
4. 信息论中,对数函数常用于测量信息的度量。
五、总结对数函数是一种重要的数学函数,在数学和实际应用中都起着重要的作用。
通过本文的介绍,我们对对数函数的定义和性质进行了详细的阐述,希望读者能够对对数函数有更深入的理解和应用。
对数的运算公式大全
对数的运算公式大全
对数运算有以下几种常见的公式:
1. 对数的定义公式:对于正数 a 和正整数 n,定义 n 为以 a 为底的对数,记作n = logₐ b,当且仅当aⁿ = b。
2. 对数的换底公式:logₐ b = logₓ b / logₓ a,其中 x 可以是任意正数。
3. 对数的乘法公式:logₐ (m * n) = logₐ m + logₐ n。
4. 对数的除法公式:logₐ (m / n) = logₐ m - logₐ n。
5. 对数的幂公式:logₐ (mⁿ) = n * logₐ m。
6. 对数的倒数公式:logₐ (1 / m) = -logₐ m。
7. 对数的对数公式:logₐ logₐ m = 1 / m。
8. 对数的改变底公式:logₐ b = logₓ a / logₓ b,其中 x 可以是任意正数。
9. 对数的指数函数公式:a^logₐ b = b,其中 a 和 b 是正数。
10. 对数的对数函数公式:logₐ (a^x) = x,其中 a 是正数,x 是任意实数。
这些公式是对数运算中常用且重要的公式,可以通过这些公式进行对数的计算和化简。
对数函数与指数函数的基本概念与性质
对数函数与指数函数的基本概念与性质一、对数函数的基本概念与性质对数函数是指数函数的逆运算,用来描述指数运算的反向过程。
对数函数的基本概念与性质如下:1. 对数的定义对于任意正数a(a>0)且a≠1,对数函数y=logₐx表示以a为底数,x为真数的对数,其中x是正数。
对数函数的定义域是正实数集,值域是实数集。
2. 对数的性质(1)对数的底数必须是正数且不等于1,即a>0且a≠1。
(2)对数的真数必须是正数,即x>0。
(3)对数函数的图像是一条曲线,称为对数曲线。
(4)对数函数的图像在x轴上有一个垂直渐近线,即x=0,对应于logₐ1=0。
(5)对数函数的图像在y轴上有一个水平渐近线,即y=0,对应于logₐa=1。
3. 对数函数的性质(1)对数函数的单调性:当0<a<1时,对数函数是递减的;当a>1时,对数函数是递增的。
(2)对数函数的奇偶性:当a>1时,对数函数是奇函数;当0<a<1时,对数函数是偶函数。
(3)对数函数的定义域:对数函数的定义域是正实数集,即x>0。
(4)对数函数的值域:对数函数的值域是实数集。
二、指数函数的基本概念与性质指数函数是以一个固定的正数为底数,自变量为指数的函数。
指数函数的基本概念与性质如下:1. 指数的定义指数函数y=aˣ表示以a为底数,x为指数的指数函数,其中a是正数且a≠1,x是实数。
指数函数的定义域是实数集,值域是正实数集。
2. 指数的性质(1)指数的底数必须是正数且不等于1,即a>0且a≠1。
(2)指数函数的图像是一条曲线,称为指数曲线。
(3)指数函数的图像在x轴上有一个水平渐近线,即y=0,对应于a⁰=1。
(4)指数函数的图像在y轴上有一个垂直渐近线,即x=0,对应于1ˣ=1。
3. 指数函数的性质(1)指数函数的单调性:当0<a<1时,指数函数是递减的;当a>1时,指数函数是递增的。
对数的概念与性质
对数的概念与性质对数是数学中的一个重要概念,它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍对数的概念及其性质,帮助读者更好地理解并应用对数。
一、对数的概念对数是指数运算的逆运算。
在数学中,对于任意正实数a和正实数b,如果a^x = b,则称x为以a为底b的对数,记作x=logₐ b。
这里的a 称为对数的底数,b称为真数。
对数运算可以理解为将指数运算的结果转化为一个数值。
二、对数的性质1. 对数的底数不能为0或1:因为0的任何正数次幂都等于0,而1的任何实数次幂都等于1,这样就无法满足对数的逆运算的要求。
2. 对数的底数不能为负数:因为负数的幂在实数范围内没有定义,无法满足对数的逆运算的要求。
3. 对数的底数必须大于0且不等于1:只有在底数大于0且不等于1的情况下,才能保证对数的逆运算存在,这样才有意义。
4. 对数的特殊形式:a) logₐ a = 1:任何数以自身为底的对数都等于1。
b) logₐ 1 = 0:任何底数的对数等于1的幂都等于1,因此对数的真数为1时,对数等于0。
c) logₐ (a×b) = logₐ a + logₐ b:对数运算的运算律之一,在求两个数的乘积的对数时,可以拆分为两个对数的和。
d) logₐ (a/b) = logₐ a - logₐ b:对数运算的运算律之二,在求两个数的商的对数时,可以拆分为两个对数的差。
e) logₐ (a^k) = k × logₐ a:对数运算的运算律之三,在求一个数的幂的对数时,可以将指数提到对数的前面。
三、对数的应用对数在数学和其它领域中有广泛的应用,下面列举几个常见的应用:1. 指数运算转化:对数的一个重要应用是将指数运算转化为简单的加减运算,方便计算和处理复杂的指数关系。
2. 代数方程求解:对数可以用于求解各种类型的代数方程,特别是指数方程和对数方程。
3. 数据缩放:在数据处理和统计学中,对数可以用于将大范围的数值转化为比较小的范围,方便分析和比较。
对数知识点总结集合
对数知识点总结集合一、对数的概念1.1 对数的定义对数是数学中常见的概念,它是指数的逆运算。
对数以一个常数为底数,另一个数为真数,找到一个指数,使得底数的这个指数等于真数。
对数的定义形式如下:如果 a>0 且a≠1,且a ≠ 1,那么称指数x是以a为底的数b的对数。
记作x=log_ab,读作“以a为底b的对数等于x”,其中a为底数,b为真数,x为对数。
1.2 对数的性质对数具有一些基本性质,这些性质在处理对数运算时非常重要。
(1)对数的底数必须是大于0且不等于1的实数。
(2)对数的真数必须是大于0的实数。
(3)对数的值与指数的值之间具有一一对应的关系,即以a为底的b的对数等于x,等价于a的x次幂等于b。
(4)对数运算遵循对数法则,包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法则等。
二、对数的运算2.1 对数的运算法则对数的运算规则与指数运算法则非常类似,具体包括以下几个方面的法则:(1)对数的乘法法则:log_ab + log_ac = log_a(bc)(2)对数的除法法则:log_ab - log_ac = log_a(b/c)(3)对数的幂法则:log_ab^m = m*log_ab(4)对数的换底公式:log_ab = log_cb / log_ca2.2 对数的应用对数的运算在实际问题中具有广泛的应用,特别是在科学、工程、经济等领域。
例如在计算机科学中,对数常常用于分析算法的时间复杂度;在经济学中,对数常常用于分析利润的增长率和复合增长;在生物学中,对数常常用于分析细胞的增长增殖率等。
三、常用对数与自然对数3.1 常用对数与自然对数常用对数以10为底数,通常用lg表示,而自然对数以常数e为底数,通常用ln表示。
常用对数和自然对数之间的换底公式为:lg_ab = ln_b / ln_103.2 常用对数与自然对数的特性常用对数与自然对数具有一些特性和性质,如:(1)lg_ac = ln_c / ln_a(2)ln_a = lg_a / lg_e3.3 常用对数与自然对数的应用常用对数和自然对数在实际问题中具有广泛的应用,如在计算机科学和工程学中,常用对数和自然对数常常用于描述和分析一些复杂系统的性能和特性;在金融学和经济学中,常用对数和自然对数常常用于描述和分析一些金融商品、利率和风险等。
对数函数的运算公式
对数函数的运算公式
对数函数是高中数学中的一个重要内容,它在数学的各个领域中都有广泛的应用。
对数函数的运算公式是非常重要的,掌握这些公式可以帮助我们解决各种数学问题,下面是对数函数的运算公式:
1. 对数的定义公式
对数是指数运算的逆运算,设a为正数,b为正实数,则对数的定义可以表示为:
如果a的x次方等于b,那么x就是以a为底数的对数,记作loga b,即:
a^x=b <===> loga b=x
2. 对数运算的基本公式
(1)对数乘法公式:
当a,b均为正数时,有:
loga (b*c)= loga b + loga c
(2)对数除法公式:
当a,b均为正数,c不等于0时,有:
loga (b/c) = loga b - loga c
(3)对数的幂运算公式:
当a为正数,b为正实数,m为整数时,有:
loga (b^m) = m*loga b
3. 对数函数的性质
(1)如果a>1,则loga x随着x的增加而增加,即loga x是单调递增的。
(2)如果0<a<1,则loga x随着x的增加而减少,即loga x是单调递减的。
(3)loga 1= 0,因为任何数的0次方均为1。
(4)loga a= 1,这是因为a^1=a。
(5)a^(loga b) = b,这个公式是对数函数的定义反演,也是它的最基本的性质之一。
以上是对数函数的运算公式,掌握了这些公式,我们可以更加简单地进行数学运算,求解各种数学问题。
同时,对数函数的性质也是我们需要掌握的内容,通过对它们的理解,我们可以更好地理解对数函数的本质,并更好地应用于实际问题的解决中。
对数的概念知识点总结
对数的概念知识点总结一、对数的概念1.1 对数的定义对数是指数的倒数。
设a和b是正实数,且a≠1,a的x次幂等于b,那么x叫做以a为底数的对数,记作loga b=x。
其中,a称为底数,b称为真数,x称为对数。
1.2 对数的性质(1)对数的基本性质:①对数的法则:loga (MN) = loga M + loga N。
②对数的乘积法则:loga(M/N) = loga M − loga N。
③对数的幂法则:loga (M^x) = x loga M。
④对数的换底公式:loga b = logc b / logc a。
(2)对数的特殊性:loga 1 = 0。
1.3 对数函数对数函数是以对数为自变量的函数,一般记作y = loga x。
对数函数是单调递增的,其图像是一个不断向上增长的曲线。
1.4 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用,比如在科学和工程领域,对数可以用来简化和解决复杂的计算问题。
在财务和经济领域,对数可以用来描述复利和增长速度。
此外,在信息论和统计学中,对数也有着重要的应用。
二、对数的运算2.1 对数的运算规则(1)对数方程的求解:利用对数的性质和公式,可以将对数方程转化为指数方程,从而求解未知数的值。
(2)对数的应用:利用对数的特性和公式,可以将复杂的计算问题简化为更容易处理的形式,从而提高计算的效率和精度。
2.2 对数的反运算对数的反运算是指数运算,即将以a为底数的对数转化为以a为底数的指数形式,从而得到真数的值。
2.3 对数的实际应用对数在实际中有广泛的应用,比如在科学和工程领域中,对数可以用来描述复杂的物理现象和工程问题。
在金融和经济领域中,对数可以用来描述复利和增长速度。
在信息论和统计学中,对数可以用来处理大量数据和计算概率。
三、对数的性质3.1 对数的底数对数的底数一般取为10,自然对数的底数为e。
对数的底数不同,其计算和性质都有所不同。
3.2 对数的长度对数的长度是指对数所具有的位数,一般取整数部分。
对数运算法则及推论
对数运算法则及推论1.对数函数定义:对于正实数a>0,且a≠1,以b为底的对数函数Lg(x)定义为:Lg(a)=c,当且仅当b^c=a。
这里,b称为对数的底,x称为真数,c称为对数。
2.对数函数的基本性质:a)Lg(1)=0:以任何正数为底的对数函数,对数1等于0。
b)Lg(a)=1,当且仅当a=b:对数等于1,当且仅当真数等于底。
c)Lg(a*b)=Lg(a)+Lg(b):对数函数的乘法法则,两个数的乘法的对数等于对应的对数相加。
d)Lg(a/b)=Lg(a)-Lg(b):对数函数的除法法则,两个数的除法的对数等于对应的对数相减。
e)Lg(a^n)=n*Lg(a):对数函数的幂法则,一个数的n次幂的对数等于对应的对数乘以n。
3.推论1:对数的负值和倒数a)Lg(1/a)=-Lg(a):一个数的倒数的对数等于对应的对数相反数。
b)Lg(a^(-n))=-n*Lg(a):一个数的负指数的对数等于对应的对数相反数乘以n。
4.推论2:对数函数的换底公式对数函数的换底公式允许我们在计算时将底数换成其他值,比如以10为底换成以e为底。
Lg(x)=Ln(x)/Ln(b):以b为底的对数等于以e为底的对数除以以b为底的对数。
5.推论3:对数函数的对数积性Lg(a*b)=Lg(a)+Lg(b):对数函数的乘法法则反过来,两个数的乘法等于对应的对数相加。
Lg(a^n)=n*Lg(a):对数函数的幂法则反过来,一个数的n次幂等于对应的对数乘以n。
6.推论4:对数函数的对数分解Lg(ab) = Lg(a) + Lg(b):对数函数的乘法法则反过来,两个数的乘法等于对应的对数相加。
Lg(a/b)=Lg(a)-Lg(b):对数函数的除法法则反过来,两个数的除法等于对应的对数相减。
7.推论5:对数函数的对数幂Lg(a^n)=n*Lg(a):对数函数的幂法则反过来,一个数的n次幂等于对应的对数乘以n。
8.推论6:对数函数的对数中的对数Lg(Lg(x))=Ln(Ln(x))/Ln(b):对数函数中的对数等于以e为底的对数除以以b为底的对数。
对数法的知识点总结
对数法的知识点总结一、对数的定义对数是指数运算的倒数。
通常来说,对数是一个数对应的指数。
比如,log2(8) = 3,表示2的多少次方等于8。
在这里,log2表示以2为底的对数,8是对数的真数,3是对数的值。
对数的底数必须大于0且不等于1,对数的真数必须大于0。
对数常用符号log来表示,底数和真数用括号括起来。
对数的定义是指数的一个有用的补充。
指数表示一个数重复相乘的次数,而对数表示一个数重复乘积的次数。
例如,2的3次方等于8,那么log2(8) = 3。
可以看出,对数和指数是互相对立的,通过对数可以方便地解决指数运算不易解决的问题。
二、对数的性质对数有一些重要的性质,比如乘法性质、除法性质、幂次性质和换底性质等。
这些性质是对数运算的基础,也是对数问题的解决关键。
1. 乘法性质:loga(m*n) = loga(m) + loga(n),其中a > 0且a ≠ 1,m和n都是大于0的实数。
这个性质表示两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
2. 除法性质:loga(m/n) = loga(m) - loga(n),其中a > 0且a ≠ 1,m和n都是大于0的实数。
这个性质表示两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
3. 幂次性质:loga(m^p) = p * loga(m),其中a > 0且a ≠ 1,m是大于0的实数,p是任意实数。
这个性质表示一个数的幂次的对数等于这个数的对数乘以幂次。
4. 换底性质:loga(b) = logc(b) / logc(a),其中a、b、c都是大于0且不等于1的实数。
这个性质表示底数不同的对数可以相互换底,该性质在解决对数问题时非常有用。
这些性质对于解决对数问题非常重要,可以大大简化对数的运算和求解。
三、对数的运算规则对数的运算规则是指对数的加减乘除和幂次运算法则,它们是对数运算的基础,可以帮助我们解决各种对数问题。
1. 加减法规则:对数的加减法规则是乘法性质和除法性质的直接应用。
对数函数的性质及运算
对数函数的性质及运算对数函数是数学中经常使用的一种函数,它在许多领域都有重要的应用。
本文将探讨对数函数的性质及其运算规则。
一、对数函数的定义及性质对数函数的定义:给定一个正数a(a>0且a≠1),那么以a为底的对数函数记作logₐ(x),定义为满足a的x次方等于b的数x,即aˣ=b,其中b>0。
1. 对数函数的定义域和值域:对数函数的定义域是(0, +∞),值域是(-∞, +∞)。
当底数a>1时,对数函数是递增的;当0<a<1时,对数函数是递减的。
2. 对数函数的性质:(1)logₐ(a)=1,即对数函数的基本性质。
(2)logₐ(aˣ)=x,即对数函数的反函数性质。
(3)logₐ(a×b)=logₐ(a)+logₐ(b),即对数函数的乘法公式。
(4)logₐ(a/b)=logₐ(a)-logₐ(b),即对数函数的除法公式。
(5)logₐ(a^k)=k·logₐ(a),即对数函数的幂函数公式。
(6)logₐ1=0,即对数函数的特殊性质。
二、对数函数的运算规则1. 对数运算的基本性质:(1)logₐ(m×n)=logₐ(m)+logₐ(n),即对数乘法法则。
(2)logₐ(m/n)=logₐ(m)-logₐ(n),即对数除法法则。
(3)logₐ(m^k)=k·logₐ(m),即对数幂函数法则。
(4)logₐ(a)=1/logₐ(a),即对数底变换公式。
2. 特殊情况下的对数运算:(1)logₐ(a)=1,其中a是正实数且a>0,即指数和对数的底为同一个数时,结果为1。
(2)logₐ(a)≠0,其中a是正实数且a>0,即指数和对数的底不相等时,结果不为0。
三、对数函数的应用对数函数在科学研究和实际生活中有着广泛的应用,例如:1. 财务与利息计算:对数函数可以用于计算复利、年化利率等问题。
2. 生物学与医学研究:对数函数可以用于研究生物体的生长和代谢等问题。
对数与对数知识点
对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N的对数,记作log a x N=,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a xN a N a a N =⇔=>≠>.2几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.3常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N 其中 2.71828e =….4对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>,那么①加法:log log log ()aa a M N MN +=②减法:log log log a a a MM N N-=③数乘:log log ()n aa n M M n R =∈④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且对数函数及其性质5对数函数过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,0y =.奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内,a 越大图象越靠低,越靠近x 轴 在第四象限内,a 越大图象越靠高,越靠近y 轴在第一象限内,a 越小图象越靠低,越靠近x 轴 在第四象限内,a 越小图象越靠高,越靠近y 轴基础练习:1.将下列指数式与对数式互化:12-2=错误!; 2102=100; 3e a =16; 464-错误!=错误!; 2. 若log 3x =3,则x =_________ 3.计算:2lg 25lg 2lg 50(lg 2)++= ;4.1 错误!=________.5. 设a =log 310,b =log 37,则3a -b =_________.6.若某对数函数的图象过点4,2,则该对数函数的解析式为______________.7.1如图2-2-1是对数函数y =log a x 的图象,已知a 值取错误!,错误!,错误!,错误!,则图象C 1,C 2,C 3,C 4相应的a 值依次是______________2函数y =lg x +1的图象大致是4. 求下列各式中的x 的值:1log 8x =-错误!;2log x 27=错误!;8.已知函数fx =1+log 2x ,则f 错误!的值为__________. 9. 在同一坐标系中,函数y =log 3x 与y =lg 错误!x 的图象之间的关系是_______________ 10. 已知函数fx =错误!那么ff 错误!的值为___________. 例题精析:例1.求下列各式中的x 值:1log 3x =3; 2log x 4=2; 3log 28=x ; 4lgln x =0.变式突破:求下列各式中的x的值:1log8x=-错误!;2log x27=错误!;3log2log5x=0;4log3lg x=1.例2.计算下列各式的值:12log510+log50.25; 2错误!lg 错误!-错误!lg 错误!+lg 错误!3lg 25+错误!lg 8+lg 5×lg 20+lg 22.变式突破:计算下列各式的值:13错误!log错误!4;232+log35;371-log75;44错误! log29-log25.例3.求下列函数的定义域:1y=错误!;2y=错误!;3y=log2x-1-4x+8.变式突破:求下列函数的定义域:1y=错误!;例4.比较下列各组中两个值的大小:1ln 0.3,ln 2;2log a3.1,log a5.2a>0,且a≠1;3log30.2,log40.2;4log3π,logπ3.变式突破:若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为________.2设y1=40.9,y2=80.48,y3=错误!-1.5,则A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3D.y1>y3>y23.已知0<a<1,x=log a错误!+log a错误!,y=错误!log a5,z=log a错误!-log a错误!,则A.x>y>z B.z>y>x C.y>x>z D.z>x>y4.下列四个数ln22,lnln2,ln错误!,ln2中最大的为________.5.已知log m7<log n7<0,则m,n,0,1之间的大小关系是________.6.函数y=log错误!-x2+4x+12的单调递减区间是________.7.若log a2<1,则实数a的取值范围是A.1,2B.0,1∪2,+∞ C.0,1∪1,2 D.0,错误!8.下列不等式成立的是A.log32<log23<log25 B.log32<log25<log23C.log23<log32<log25 D.log23<log25<log32例5.解对数不等式1解不等式log2x+1>log21-x;2若log a错误!<1,求实数a的取值范围.变式突破:解不等式:1log32x+1>log33-x.2若log a2>1,求实数a的取值范围.课后作业:1. 已知log x16=2,则x等于___________.2. 方程2log3x=错误!的解是__________.3. 有以下四个结论:①lglg 10=0;②lnln e=0;③若10=lg x,则x=10;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是_____________.4.函数y=log a x+2+1的图象过定点___________.5. 设a=log310,b=log37,则3a-b=6. 若log错误!a=-2,log b9=2,c=log327,则a+b+c等于___________.7.. 设3x=4y=36,则错误!+错误!=___________.。
对数
一.基础知识(一)对数概念:1. 如果,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:log a N=b.其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2. 对数恒等式:3. 对数具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即;(2)1的对数为0,即;(3)底的对数等于1,即.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数,.以e为底的对数叫做自然对数,.(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知(1);推广:(2);(3).(五)换底公式同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0,a≠1,M>0的前提下有:(1)令log a M=b,则有a b=M,(a b)n=M n,即,即,即:.(2) ,令log a M=b,则有a b=M,则有即,即,即当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.知识点二、对数函数1. 函数y=log a x(a>0,a≠1)叫做对数函数.2. 在同一坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图像愈靠近x轴;当0<a <1时,对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见图1)(1)对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R(2)对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的图像过点(1,0)(3)当a>1时,三、规律方法指导容易产生的错误(1)对数式log a N=b中各字母的取值范围(a>0 且a≠1,N>0,b∈R)容易记错.(2)关于对数的运算法则,要注意以下两点:一是利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如:log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,因为虽然log2(-3)(-5)是存在的,但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来,即下面的等式是错误的:log a(M±N)=log a M±log a N,log a(M·N)=log a M·log a N,loga.(3)解决对数函数y=log a x (a>0且a≠1)的单调性问题时,忽视对底数a的讨论.(4)关于对数式log a N的符号问题,既受a的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供同学们学习时参考.以1为分界点,当a,N同侧时,log a N>0;当a,N异侧时,log a N<0.二反函数1 概念:函数y=f(x)的定义域为A,值域为c,由y=f(x)得x=φ(y)函数y=φ(x)是y=f(x)的反函数。
对数的运算知识点总结
对数的运算知识点总结对数的概念是建立在幂指数的基础之上的。
在代数运算中,指数表示一个数与底数的乘积。
举个例子,2的3次方表示为2^3=2×2×2=8。
对数则表示幂指数的逆运算,即给定一个底数和一个数,对数就是指明这个底数的多少次幂等于这个数。
如果a的x次幂等于b,那么记作loga(b)=x。
其中,a是底数,b是真数,x是指数。
对数的运算法则和性质有很多,接下来我们将对它们进行详细的总结和解析。
一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数的定义是对数学中幂指数运算的逆运算。
如果a的x次幂等于b,那么记作loga(b)=x。
其中,a是底数,b是真数,x是指数。
在这个定义中,底数为a,真数为b,指数为x,x 就是对数。
对数的定义可以简单理解为求底数为a的真数b的x次幂是多少。
对数的定义也可以形式化为loga(b)=x ⇔ ax=b,即底数为a的对数b等于x等价于a的x次幂等于b。
2. 对数的性质对数有一些基本的性质,这些性质在对数的运算中有着重要的作用。
对数的性质主要有以下几点:(1)对数的底数不能为1,对数的真数不能为负数。
(2)底数为10的对数叫做常用对数,底数为自然常数e(e=2.7182)的对数叫做自然对数。
(3)对数运算的唯一性:如果loga(b)=loga(c),那么b=c。
(4)对数运算的除法性质:loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
(5)对数运算的乘法性质:loga(b×c)=loga(b)+loga(c)。
(6)对数运算的幂指数性质:loga(b^r)=r×loga(b)。
(7)对数运算的变底公式:loga(b)=logc(b)/logc(a)。
以上是对数的定义和性质的简要总结,接下来我们将对对数的运算方法和应用进行更详细的探讨。
二、对数的运算方法对数的运算方法主要包括对数的加法、减法、乘法、除法、幂指数等运算。
掌握这些运算方法对于解决一些复杂的对数问题有着重要的作用。
对数的基本概念与性质
对数的基本概念与性质在数学中,对数是指一个数以另一个数为底的指数,表示这个底数需要连乘几次才能得到该数。
对数的概念最早由苏格拉底学派的尼科曼德在公元200年左右提出,后来被数学家约翰·纳普尔顿进一步发展和推广。
对数在科学、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用,并具有许多重要的性质和特性。
一、对数的定义对数的定义如下:对于任意正数a和b,当且仅当b=a^x时,我们称x是以a为底的b的对数,记作x=log_a(b),其中a被称为底数,b被称为真数,x被称为对数。
二、对数的性质对数具有以下几个基本性质:1. 对数的底数不能为1或负数:对数的底数必须大于0且不等于1,这是因为对数的定义要求底数为正数。
如果底数为1,则无论真数是多少,都无法找到一个指数使得1的指数等于真数;如果底数为负数,那么对数就没有定义。
2. 对数的真数必须大于0:真数必须大于0,否则对数就没有定义。
这是因为对数是一种连乘运算的逆运算,而在连乘运算中,因子必须大于0才有意义。
3. 对数的定义域和值域:对数的定义域是正实数集,即x要大于0;而对数的值域是实数集,即x可以是任意实数。
4. 对数的特殊性质:log_a(1) = 0,log_a(a) = 1。
这是因为任何数的1次方都等于自身,任何数的0次方都等于1。
5. 对数的运算法则: log_a(b*c) = log_a(b) + log_a(c),log_a(b/c) =log_a(b) - log_a(c)。
这是因为对数是指数运算的逆运算,而指数运算有对应的乘法和除法法则。
6. 对数与指数的关系:当且仅当a^x = b时,log_a(b) = x。
这是对数和指数之间的基本关系,对数和指数是相互依存的。
7. 对数函数的图像:对数函数的图像是一条上升的曲线,当底数大于1时,曲线呈现上升趋势,当底数小于1时,曲线呈现下降趋势。
总之,对数是一种非常重要的数学概念,它在数学、科学、工程和计算机科学等领域中扮演着重要的角色。
数据取对数的意义
数据取对数的意义数据取对数是一种常见的数学操作,它在数据分析和统计学中具有重要的意义。
通过取对数,可以将原始数据转化为更加可解释和可比较的形式,从而提供更深入的洞察和理解。
一、对数的定义和性质在介绍数据取对数的意义之前,首先需要了解对数的定义和性质。
对数是指一个数以另一个数为底的指数,也就是说,对数是指数运算的逆运算。
常见的对数有自然对数(以e为底)和常用对数(以10为底)。
1. 对数的定义:对于正数a和正数b,如果满足b = loga(x),则称b为以a为底x的对数,记作b = loga(x)。
2. 对数的性质:- 对数运算的底数必须大于0且不等于1。
- 对数运算的真数必须大于0。
- 对数运算满足乘法和幂运算的性质。
二、数据取对数的意义数据取对数的意义主要体现在以下几个方面:1. 数据压缩和缩放:在数据分析中,经常会遇到数据范围较大的情况,例如财务数据、人口数据等。
这些数据的取值范围可能相差很大,这样会导致难以直观地比较和分析。
通过对数据取对数,可以将数据进行压缩和缩放,使得数据的范围更加接近,方便进行比较和分析。
2. 数据平滑和趋势分析:对于一些波动较大的时间序列数据,通过取对数可以将数据平滑化。
对数运算具有抑制大数值和放大小数值的特点,可以减小极端值对整体趋势的影响,更好地展现数据的趋势和变化。
3. 数据关系的线性化:在一些数据分析和建模的场景中,常常需要将非线性关系转化为线性关系。
通过对数据取对数,可以将指数关系、幂函数关系等非线性关系转化为线性关系,从而便于进行线性回归等分析。
4. 百分比变化的比较:对数运算可以将百分比变化转化为绝对数值的变化。
例如,对于两个数x和y,它们的百分比变化为(y-x)/x,而对数变化为log(y/x)。
通过取对数,可以将百分比变化转化为对数变化,便于进行比较和分析。
5. 数据分布的对称化:在一些统计学和概率论的应用中,常常需要假设数据服从正态分布。
然而,实际数据往往不满足正态分布的要求。
对数概念是什么意思定义
对数概念是什么意思定义对数概念是什么意思定义对数在数学内外有许多应用。
这些事件中的一些与尺度不变性的概念有关。
下面是店铺给大家整理的对数的概念简介,希望能帮到大家!对数的概念在数学中,对数是对求幂的逆运算,正如除法是乘法的倒数,反之亦然。
这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字(基数)的指数。
在简单的情况下,乘数中的对数计数因子。
更一般来说,乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率,总是产生正的结果,因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。
如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a 为底N的对数(logarithm),记作x=logaN。
其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。
对数的定义一般地,函数y=logax(a>0, 且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。
对数函数的实际应用:在实数域中,真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数),底数则要大于0且不为1。
对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里a通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。
另外,在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把logeN 记为In N。
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,a≠1时,aX=N X=logaN。
(N>0)由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:在实数范围内,负数和零没有对数;log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点(1,0)。
对数的历史16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急。
对数的概念
对数的概念对数是一种数学概念,用来描述一个数在某个底数下所表示的幂次。
它在很多领域都有应用,特别是在科学、工程和经济等领域。
对数被广泛使用是因为它可以以很方便的方式处理大数和小数的乘除运算。
一、基本概念1.1 对数的定义对数是指一个数在某个正实数底数下的幂次。
如果 $a>0$,$b>0$ 且 $a \ eq 1$ ,则满足下列等式中 $x$ 的值称为以 $a$ 为底的 $b$ 的对数,记做$\\log_a b=x$。
$a^x=b$在上式中,$a$ 是底,$b$ 是真数,$x$ 是指数,$\\log_a b$ 表示底为$a$ ,真数为 $b$ 的对数。
在这里,我们也可以将对数的定义改写为以下两种形式:$\\log_{a}b=x \\Leftrightarrow a^x=b$$a^{\\log_a b}=b$1.2 对数的性质对数有以下基本性质:(1)$\\log_a a=1$ (底的幂次为 1)(2)$\\log_a (a^x)=x$ (底和真数的幂次相等 )(3)$a^{\\log_a b}=b$ (对数及其底的幂次被破坏)(4)$\\log_a b = \\frac{\\log_c b}{\\log_c a}$ (任何底数都可以转化成要求的底数)(5)$\\log_a (bc)=\\log_a b+\\log_a c$(底数为a、因数分解)(6)$\\log_a \\frac{b}{c}=\\log_a b-\\log_a c$ (底数为a、因数分解)1.3 常用对数人们在计算中常用的底数是10的对数,它称为常用对数,记作 $\\log$ 或$\\lg$,它和以e为底的自然对数 $\\ln$ ($\\ln x$ 是以 e (Euler 数 / Napier 常数)为底的对数函数)一样,都是有很多重要性质和计算公式的。
常用对数的底数是10,因此常用对数表现为 $f(x)=\\log_{10} x$ ,常写作 $\\log x$ 或 $\\lg x$ 。
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上节课研究细胞分裂时,第 x 次分裂后细胞 的个数 y 与 x 的关系为:
y2
1 已知2,x 求y
0
x
幂运算
这是什么 运算哩?
2 已知2,y求x
0
新课标
X
知识探究:
一.对数的定义:
在指数函数 y a (a 0, 且a 1 中,对于实数 ) 集 R 内的每一个值 x ,在正实数集内都有唯一确定 的值 y 和它对应;反之,对于正实数集内的每一个 确定的值 y ,在 R 内都有唯一确定的值 x 和它对应 (如图), 幂指数 x 又叫做以 a 为底 y 的对数.
1
对数的表示方法:
我们常用符号“log”(拉丁字 logarithm的缩写)表示对数。如2是 以4为底16的对数,就可写成2=log 416,读作“2等于以4为底16的对数”.
一般地,我们把“ 以a为底 y的对数x”记作logay,即x=logay (a>0,且a≠1)。其中,a叫做 对数的底数,y叫做真数,读作 “
(1) log2 16 = 4
(3) log2 2 = 1
(5) log 1.001 = -3
1 (4) log 2 = -1 2 3 (6) log4 8 2
= -2
学后反思:
求 loga y 就是求 a 的多少次幂等于 y
三.对数恒等式:
2
log2 4
4
loga y
3.2
1 log 2
7 2
的值等于: ( B )
B.7 4 C. 7 D.14
7 A. 2
迁移应用:
已知loga 2 m,loga 5 n, 求a
解: 因为 loga 2 m , 所以 a 2
m
3m 2n
.
又因为
loga 5 n , 所以 a 5 3 m 2 n 3m 2n a a 所以 a m 3 n 2 (a ) ( a ) 3 2 200 2 5
二.对数的性质:
N a
b
b loga N
根据对数的定义,对数 loga N (a 0且a 1) 具有下列性质: (1) 0和负数没有对数,即 N>0; (2) 1的对数为0,即 loga 1 0 ; (3) 底数的对数为1,即 loga a 1 .
例题精析:
例一:求下列各式的值:
x
y
y
y
1 1
y
o
x
x
xo
x
例
y a x (a 0, 且a 1 ) 如: 幂指数 x 又叫做以 a 为底 y 的对数.
因为 42 16, 所以2是以4为底16的对数; 因为 41 4 ,所以1是以4为底4的对数;
1 因为 4 2 ,所以 是以4为底2的对数; 2
1 2
1 1 因为 4 ,所以-1是以4为底 的对数; 4 4
n
课堂小结:
1.对数的定义;
2.对数的性质; 3.对数恒等式; 4.常用对数.
课后思考题:
(1) log x2 (5 x)中x 的取值范围. 求
(2) 已知 log 7 [log 3 (log 2 x )] 0, 求x .
2 3
即
练一练
log10 N lg N .
求: lg10 , lg0.01, lg106 , lg103 .
答案: lg10 1 ; lg0.01 2 ;
lg10 3 3 ; lg10 6 ;
6
议一议
lg10 b
b
巩固提高:
1 1.求值:log 2 1 log 3 27 lg10 lg 2 100 1 4x 2.使 log0.5 0成立的x的值是 : ( D ) 9 A. 1 B. 1 C .2 D. 2
5
log5 25 25
a
1 2 2 25 ( ) 2 y (a 0, 且a 1) ?
log 1 2
注意:幂的底数与对数的底数相同 练一练
2
log2 8
3
log3 5
5
log5 7
2
log4 16
四.常用对数:
以10为底的对数叫做常用对数. 通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,
n
迁移应用:
已知loga 2 m,loga 5 n, 求a
解: 因为 loga 2 m , 所以 a 2
m
3m 2n
.
又因为
loga 5 n , 所以 a 5 3 m 2 n 3m 2n a a 所以 a m 3 n 2 (a ) ( a ) 3 2 200 2 5
1 =log 4 2 2 1 =log 4
4
幂
ya
指 数
x
x loga y
底数
对 数
真 数
底数
注: 1o a 0且a 1
2o 对数式与指数式是同一关系的不同表示 形式 4 如 : 3 81与4 log 3 81 表示同一关系
巩固练习:
1.把下列指数式改写成对数式: 5 5 log2 32 (1) 2 32 0 0 log8.8 1 (2) 8.8 1 1 1 1 1 log 27 (3) 27 3 3 3 3 2.把下列对数式改写成指数式: 2 4 16 (1) log4 16 2 4 4 (2) log 8 16 8 3 16 3 ( 1 )3 1000 (3) log 1 1000 3 10 10
x等于以 a 为底 y 的对数”。
例 如:
因为 42 16,所以2是以4为底16的对数; 因为 41 4 ,所以1是以4为底4的对数;
1 因为 4 2 ,所以 是以4为底2的对数; 2
1 2
2=log4 16
1=log4 4
1 1 因为 41 ,所以-1是以4为底 的对数; 4 4 1