2022-2023学年七年级数学下学期复习二元一次方程精讲精练

2022-2023学年七年级数学下学期复习
二元一次方程组精讲精练
【目标导航】
【知识梳理】
1.二元一次方程：
（1）二元一次方程的定义
含有未知数，并且含有未知数的，像这样的方程叫做二元一次方程
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是方程．②方程中共含有未知数．③所有未知．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
（3）二元一次方程有解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
2.二元一次方程组的定义：
（1）二元一次方程组的定义：
由两个方程组成，并含有未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是．
②方程组中共含有未知数．
③每个方程都是方程．
3.二元一次方程组的解法：
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较的方程，将这个方程组中的一个未知数用表示出来．②将变形后的关系式另一个方程，一个
未知数，得到一个方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数．②把两个方程的两边分别，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．
4.二元一次方程组的应用
（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）．
（5）：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
【典例剖析】
【考点1】二元一次方程（组）的有关定义
【例1】方程（m﹣1009）x|m|﹣1008+（n+3）y|n|﹣2＝2018是关于x、y的二元一次方程，则（）A．m＝±1009；n＝±3B．m＝1009，n＝3
C．m＝﹣1009，n＝﹣3D．m＝﹣1009，n＝3
【变式训练】
1．（2022春•鹿城区校级期中）下列式子中是二元一次方程的是（）
A．x+2＝2x﹣1B．2xy﹣1＝3C．3﹣x＝5+2y D．2x﹣3y
2．（2022春•拱墅区期中）如果3x m+1+5y n﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，那么（）
A．{m=0
n=1B．{
m=1
n=1C．{
m=0
n=3D．{
m=1
n=3
3．（2022春•富阳区期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（）
A ．{xy =1x +y =2
B ．{5x −2y =31x +y =3
C ．{
2x +z =0
3x −y =
15
D ．{x =5x 2
+y 3
=7
【考点2】二元一次方程（组）的解
【例2】若{x =−2
y =m 是方程nx +6y ＝4的一个解，则代数式3m ﹣n +1的值是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．﹣1
【变式训练】
4．（2022春•普陀区期末）已知{x =2k
y =−3k 是二元一次方程x ﹣y ＝10的解，则k 的值是（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．10
D ．﹣10
5．（2022春•临海市期末）下列各组数是方程x +y ＝2解的是（ ） A ．{x =1y =2
B ．{
x =2
y =1
C ．{x =1y =1
D ．{x =−1y =1
6．（2022春•龙游县月考）二元一次方程组{7x −3y =2
2x +y =8的解是（ ）
A ．{x =−1y =−3
B ．{
x =2
y =4
C ．{x =4y =2
D ．{x =1y =6
【考点3】解二元一次方程组
【例3】（2021春•拱墅区月考）解下列方程组： （1）{3x +2y =133x −2y =5
（2）{x+y 2
+x−y
3=6
4(x +y)−5(x −y)=2
．
【变式训练】
7．（2022•婺城区模拟）解方程组：{4x +y =15
x −2y =6．
8．（2022春•鹿城区校级期中）解方程组： （1）{3x +2y =8y =x −1；
（2）{3x +4y =−55x −2y =9
．
9．（2022春•富阳区期中）解方程组： （1）{x −2y =3x +4y =−3
；
（2）{x−12+y+1
3=1
x +y =4
．
【考点4】二元一次方程组的含参问题
【例4】（2022•富阳区一模）已知关于x ，y 的方程组{ax +by =5cx +dy =−1的解是{x =1y =2，则关于x 1，y 1的方程组
{a(x −3)+b(y +1)=5
c(x −3)+d(y +1)=−1的解为（ ） A ．{x =4y =1
B ．{
x =1
y =2
C ．{x =−2y =1
D ．{x =−2y =−1
【变式训练】
10.（2022春•杭州期中）关于x ，y 的方程组为{ax +2y =−5
−x +ay =2a ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相
加，得到一个新的方程，当a 每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是（ ） A ．{x =2y =1
B ．{
x =3
y =−1
C ．{x =1y =2
D ．{x =−1y =3
11．（2022春•普陀区期末）若方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解是{x =4
y =−2，则方程组{3a 1x +2b 1y =a 1−c 13a 2x +2b 2y =a 2−c 2
的解
是（ ） A ．{x =−1
y =1
B ．{x =−1y =−1
C ．{x =5
3y =1
D ．{x =5
3y =−1
12．（2022春•嘉兴期末）关于x ，y 的方程组{x +y =1−a
x −y =3a +5有以下两个结论：
①当a ＝1时，方程组的解也是方程x +y ＝2的解；
②不论a 取什么实数，代数式2x +y 的值始终不变．则（ ） A ．①②都正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确 D ．①②都错误
考点5同解方程组
【例5】（2021春•上城区校级期中）若方程组{x +y =3x −y =1与方程组{x −my =−2
nx −y =3
同解，则mn ＝ 8 ．
【变式训练】
13．（2022春•东阳市校级月考）已知方程组{5x +y =3ax +5y =4与{5x +by =1
x −2y =5有相同的解，则a ，b 的值为（ ）
A ．{
a =1
b =2
B ．{a =−4b =−6
C ．{a =−6b =2
D ．{a =14b =2
14．（2021春•奉化区校级期末）已知方程组{x =y +5x +y +m =0和方程组{2x −y =5
x +y +m =0有相同的解，则m 的值
是 ．
15．（2022春•柯桥区期中）如果方程组{x +y =3mx +ny =8与方程组{x −y =1
mx −ny =4有相同的解，则m ﹣n ＝ ．
【考点6】三元一次方程组
【例6】（2020春•奉化区期中）已知{x +7y +11z =9
2x +5y +4z =15
，则x +y ﹣z ＝ 7 ．
【变式训练】
16．（2022春•东莞市期中）解方程组：{x +y +z =6
2x +y −z =1y =x +1．
17．（2022秋•浑南区校级月考）解方程组：{x +y +z =23①
x −y =1②2x +y −z =20③
．
18.（2022春•义乌市校级月考）若方程组{3x +2y =2k
5x +4y =k +3的解x 、y 的和为﹣5，求k 的值，并解此方程组．
19．（2021•下城区一模）已知x ﹣2y +z ＝2x ﹣y +z ＝3，且x ，y ，z 的值中仅有一个为0，解这个方程组． 考点7由实际问题抽象出二元一次方程
【例7】某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上山，最后又沿原路返回．假如他在平路上每小时走4里，上山每小时走3里，下山的速度是6里/小时，则他从出发到返回原地的平均速度是 里/小时．
【变式训练】
20．（2022春•萧山区期中）现有1元的人民币x 张，5元的人民币y 张，共120元，这个关系用方程可以表示为 ．
21．（2022•上虞区模拟）我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡x 只，兔y 只，则由头数可列出方程x +y ＝35，那么由足数可列出的方程为 ．
22.（2022•江北区开学）某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而
苹果树种植量比计划减少5%．若设实际种植梨树x 株，苹果树y 株，列二元一次方程为 ． 考点8由实际问题抽象出二元一次方程组
【例8】（2021春•奉化区校级期末）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹排布而成的，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与对应的常数项，把图1所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是{3x +2y =19x +4y =23．类似地，
图2所示的算筹图可用方程组表述为 {2x +y =11
4x +3y =27
．
【变式训练】
23．（2022春•婺城区期末）浙教版七（下）数学书P 44中有这样一个合作学习：游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍．设男孩有x 人，女孩有y 人，可列方程组 ．
24．（2022春•诸暨市期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：由大小两种盛酒的桶，已知五个大桶和一个小桶共可盛酒3斛（斛：古代是一种容量单位），一个大桶和五个小桶共可盛酒2斛，问一个大桶和一个小桶各可以盛酒几斛？若设一个大桶可以盛酒x 斛，一个小桶可盛酒y 斛，根据题意，可列方程组： ． 考点9二元一次方程的应用
【例9】（2021春•镇海区期中）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x 辆，大客车y 辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金7600元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租
金．
【变式训练】
25．（2021春•北仑区期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x +3y ＝12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由2x +3y ＝12，得：y =12−2x
3
，根据x 、y 为正整数，运用尝试法可以知道方程2x +3y ＝12的正整数解为{x =3y =2
．问题：
（1）请你直接写出方程3x ﹣y ＝6的一组正整数解． （2）若12
x−3
为自然数，则满足条件的正整数x 的值有 个．
A .5
B .6
C .7
D .8
（3）2020﹣2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
26．（2020秋•西湖区校级期末）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了． ②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 元．
27．（2021春•越城区期末）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A 型车和1辆B 型车装满物资一次可运10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． （1）1辆A 型车和1辆B 型车都装满物资一次可分别运多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A 型车每辆需租金每次100元，B 型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少
租车费．
考点10二元一次方程组的应用
【例10】（2020春•上虞区期末）确保室内空气新鲜，一方面是提高生活质量的需要，另一方面也是有效防控新型冠状病毒传播的需要，因而越来越多的居民选购家用空气净化器以净化室内空气．阳光商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号的净化器共160台，A型号净化器进价是1500元/台，B型号净化器进价是3500元/台，购进两种型号净化器共用去360000元
（1）求商场各进了A、B两种型号的净化器多少台？
（2）为使每台B型号净化器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台净化器的毛利润达到110000元，求每台A型号净化器的售价．（注：毛利润＝售价﹣进价）
【变式训练】
28．（2022秋•西湖区期中）某中学准备购进A、B两种教学用具共40件，A种每件价格比B种每件贵6元，同时购进3件A种教学用具和2件B种教学用具恰好用去113元．
（1）A和B两种教学用具的单价分别是多少元？
（2）学校准备用不超过850元的金额购买A、B两种教学用具，问至多能购买多少件A种教学用具？29．（2022春•鹿城区校级期中）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同．
（1）设甲车间有x名工人，乙车间有y名工人．
①完成下列表格
冰墩墩（个）雪容融（个）
甲车间2x
乙车间y
总计
②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？
（2）由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调a名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量等于雪容融的数量，则要抽调的工人数a为．（直接写出答案）
30．（2022春•鹿城区校级期中）某单位计划购进A，B，C三种型号的礼品（每种型号至少1件），要求C 型号礼品件数是A型号礼品件数的2倍，三种型号礼品的单价如下表：
型号A B C
单价（元/件）907075
设购进x件A型号礼品，y件B型号礼品．
（1）根据信息填表：
A B C
数量（件）x y
费用（元）90x
（2）①若购买三种型号的礼品总数为100件，共花费7600元，则三种型号的礼品分别购进多少件？
②若购买三种型号的礼品共花费5600元，且A，B两种型号的礼品件数之和超过礼品总数的一半，则三
种型号的礼品总数为件（直接写出答案）．。